¿Qué es sucesión de Cauchy?

Ejemplo 11.19 (Verificar a mano la propiedad de Cauchy)

Sea $u_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{\cos k}{2^k}$ — sin monotonía y sin límite adivinable. Para $p > q$:

por la desigualdad triangular, $\abs{\cos k} \leq 1$ y una suma geométrica finita. Dado $\varepsilon > 0$, elíjase $N$ con $2^{-N} \leq \varepsilon$: todas las separaciones más allá de $N$ son $\leq \varepsilon$, la sucesión es de Cauchy y, por tanto, converge — a un límite que nadie sabe nombrar en forma cerrada, que es justamente lo importante. La idea de cierre: dominar geométricamente los incrementos es la manera estándar de ganarse la propiedad de Cauchy, y el Capítulo 17 embotellará el argumento como «la convergencia absoluta implica la convergencia».

Ejemplo 11.22 (Una sucesión de Cauchy de límite invisible)

Sea $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$. Para $p > q \geq 1$:

de modo que, más allá de $N > \frac1\varepsilon$, todas las separaciones son $\leq \varepsilon$: $(S_n)$ es de Cauchy y, por tanto, converge. Obsérvese lo que acaba de pasar: hemos demostrado que existe un número real concreto sin tener ningún nombre para él. (Es $\frac{\pi^2}{6}$ — una célebre identidad de Euler, demostrada en el volumen del segundo año; nada de este capítulo podría decírnoslo.) Este reparto de tareas — existencia ahora, identificación después, si acaso — es todo el sentido del criterio de Cauchy y el motor de la teoría de series del Capítulo 17.