Wat is Cauchyrij?

Voorbeeld 11.19 (De cauchy-eigenschap met de hand nagaan)

Zij $u_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{\cos k}{2^k}$ — geen monotonie, geen raadbare limiet. Voor $p > q$ is

wegens de driehoeksongelijkheid, $\abs{\cos k} \leq 1$ en een eindige meetkundige som. Kies bij gegeven $\varepsilon > 0$ een $N$ met $2^{-N} \leq \varepsilon$: alle gaten voorbij $N$ zijn $\leq \varepsilon$, de rij is een Cauchyrij en convergeert dus — naar een limiet die niemand in gesloten vorm kan benoemen, en dat is nu juist het punt. Het inzicht tot slot: de aangroeiingen meetkundig overheersen is de standaardmanier om de cauchy-eigenschap te verdienen, en Hoofdstuk 17 zal dat argument bottelen als “absolute convergentie impliceert convergentie”.

Voorbeeld 11.22 (Een Cauchyrij met een onzichtbare limiet)

Zij $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$. Voor $p > q \geq 1$ is

dus zijn voorbij $N > \frac1\varepsilon$ alle gaten $\leq \varepsilon$: $(S_n)$ is een Cauchyrij en convergeert dus. Merk op wat er zojuist gebeurde: we bewezen dat een bepaald reëel getal bestaat zonder er ook maar een naam voor te hebben. (Het is $\frac{\pi^2}{6}$ — een beroemde identiteit van Euler, bewezen in het volume van bachelorjaar 2; niets in dit hoofdstuk kon ons dat vertellen.) Die taakverdeling — eerst het bestaan, later de identificatie, als die er al komt — is de hele bestaansreden van het criterium van Cauchy, en de motor van de theorie van de reeksen in Hoofdstuk 17.