कोशी अनुक्रम क्या है? — गणित

परिभाषा 11.18 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · अध्याय 11 — अनुक्रम

अनुक्रम $(u_n)$ कोशी अनुक्रम तब है जब उसके पद एक-दूसरे के मनचाहे निकट आ जाएँ:

\forall \varepsilon > 0,\ \exists N,\ \forall p, q \geq N, \qquad \abs{u_p - u_q} \leq \varepsilon .

उदाहरण

उदाहरण 11.19 (हाथ से कोशी गुणधर्म सत्यापित करना)

मान लीजिए $u_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{\cos k}{2^k}$ — न कोई एकदिष्टता, न कोई अनुमेय सीमा। $p > q$ के लिए:

\abs{u_p - u_q} = \Bigl| \sum_{k=q+1}^{p} \frac{\cos k}{2^k} \Bigr| \leq \sum_{k=q+1}^{p} \frac{1}{2^k} < \frac{1}{2^{q}} ,

जो त्रिभुज असमिका, $\abs{\cos k} \leq 1$ और एक परिमित गुणोत्तर योग से मिलता है। $\varepsilon > 0$ दिया हो, तो ऐसा $N$ चुनिए कि $2^{-N} \leq \varepsilon$ : $N$ के आगे सारे अंतराल $\leq \varepsilon$ हैं, अतः अनुक्रम कोशी है, इसलिए अभिसरित — और वह भी ऐसी सीमा की ओर जिसे कोई संवृत रूप में नाम नहीं दे सकता, और यही तो बात है। समापन का सार: वृद्धियों का गुणोत्तर दमन कोशी गुणधर्म कमाने का मानक उपाय है, और अध्याय 17 इस तर्क को “निरपेक्ष अभिसरण से अभिसरण” के रूप में बोतल में बंद कर देगा।

उदाहरण 11.22 (अदृश्य सीमा वाला एक कोशी अनुक्रम)

मान लीजिए $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$ । $p > q \geq 1$ के लिए:

S_p - S_q = \sum_{k=q+1}^{p} \frac{1}{k^2} \leq \sum_{k=q+1}^{p} \frac{1}{k(k-1)} = \sum_{k=q+1}^{p} \Bigl(\frac{1}{k-1} - \frac 1k\Bigr) = \frac 1q - \frac 1p < \frac 1q ,

अतः $N > \frac1\varepsilon$ के आगे सभी अंतराल $\leq \varepsilon$ हैं: $(S_n)$ कोशी है, इसलिए अभिसरित। ध्यान दीजिए कि अभी क्या हुआ: हमने किसी विशिष्ट वास्तविक संख्या का अस्तित्व सिद्ध कर दिया, यद्यपि उसके लिए हमारे पास कोई नाम नहीं है। (वह $\frac{\pi^2}{6}$ है — ऑयलर की एक प्रसिद्ध सर्वसमिका, जो स्नातक वर्ष 2 के खंड में सिद्ध है; इस अध्याय की कोई चीज़ हमें यह नहीं बता सकती थी।) यही श्रम-विभाजन — अस्तित्व अभी, पहचान बाद में, यदि कभी — कोशी कसौटी की पूरी बात है, और अध्याय 17 में श्रेणियों के सिद्धांत का इंजन।

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