O que é sequência de Cauchy?

Exemplo 11.19 (Verificando a propriedade de Cauchy à mão)

Seja $u_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{\cos k}{2^k}$ — sem monotonicidade, sem limite adivinhável. Para $p > q$:

pela desigualdade triangular, por $\abs{\cos k} \leq 1$ e por uma soma geométrica finita. Dado $\varepsilon > 0$, escolha $N$ com $2^{-N} \leq \varepsilon$: todas as distâncias além de $N$ são $\leq \varepsilon$, a sequência é de Cauchy e, portanto, converge — para um limite que ninguém sabe nomear em forma fechada, o que é exatamente o ponto. A ideia de fechamento: a dominação geométrica dos incrementos é a maneira padrão de conquistar a propriedade de Cauchy, e o Capítulo 17 engarrafará o argumento como “convergência absoluta implica convergência”.

Exemplo 11.22 (Uma sequência de Cauchy com limite invisível)

Seja $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$. Para $p > q \geq 1$:

de modo que, além de $N > \frac1\varepsilon$, todas as distâncias são $\leq \varepsilon$: $(S_n)$ é de Cauchy e, portanto, converge. Note o que acabou de acontecer: demonstramos que um número real específico existe sem ter nome algum para ele. (Ele vale $\frac{\pi^2}{6}$ — célebre identidade de Euler, demonstrada no volume do segundo ano de graduação; nada neste capítulo poderia nos dizer isso.) Essa divisão de trabalho — existência agora, identificação depois, se algum dia — é todo o sentido do critério de Cauchy, e o motor da teoria das séries no Capítulo 17.