Qu'est-ce que « suite de Cauchy » ?

Exemple 11.19 (Vérifier la propriété de Cauchy à la main)

Soit $u_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{\cos k}{2^k}$ — aucune monotonie, aucune limite devinable. Pour $p > q$ :

par l’inégalité triangulaire, $\abs{\cos k} \leq 1$ et une somme géométrique finie. Étant donné $\varepsilon > 0$, choisissons $N$ avec $2^{-N} \leq \varepsilon$ : tous les écarts au-delà de $N$ sont $\leq \varepsilon$, la suite est de Cauchy, donc converge — vers une limite que personne ne sait nommer sous forme close, et c’est précisément le propos. L’idée à retenir : la domination géométrique des accroissements est la façon standard de gagner la propriété de Cauchy, et le Chapitre 17 mettra l’argument en bouteille sous le nom « la convergence absolue implique la convergence ».

Exemple 11.22 (Une suite de Cauchy à limite invisible)

Soit $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$. Pour $p > q \geq 1$ :

donc au-delà de $N > \frac1\varepsilon$ tous les écarts sont $\leq \varepsilon$ : $(S_n)$ est de Cauchy, donc converge. Remarquons ce qui vient de se passer : nous avons prouvé qu’un nombre réel précis existe sans en avoir le moindre nom. (C’est $\frac{\pi^2}{6}$ — une célèbre identité d’Euler, démontrée dans le volume de Licence 2 ; rien dans ce chapitre ne pouvait nous l’apprendre.) Cette division du travail — l’existence maintenant, l’identification plus tard, si jamais — est tout le propos du critère de Cauchy, et le moteur de la théorie des séries au Chapitre 17.