Apa itu barisan Cauchy?

Contoh 11.19 (Memeriksa sifat Cauchy dengan tangan)

Misalkan $u_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{\cos k}{2^k}$ — tanpa kemonotonan, tanpa limit yang dapat ditebak. Untuk $p > q$:

menurut ketaksamaan segitiga, $\abs{\cos k} \leq 1$ dan jumlah geometri yang hingga. Diberikan $\varepsilon > 0$, pilihlah $N$ dengan $2^{-N} \leq \varepsilon$: maka semua celah di luar $N$ bernilai $\leq \varepsilon$, sehingga barisannya Cauchy, jadi konvergen — ke limit yang tak seorang pun dapat menamainya dalam bentuk tertutup, dan itu justru intinya. Inti gagasan penutupnya: bahwa dominasi geometri atas pertambahannya yang menjadi cara baku untuk memperoleh sifat Cauchy, dan Bab 17 akan membotolkan argumen itu sebagai “kekonvergenan mutlak mengakibatkan kekonvergenan”.

Contoh 11.22 (Barisan Cauchy yang limitnya tak kasatmata)

Misalkan $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$. Untuk $p > q \geq 1$:

sehingga di luar $N > \frac1\varepsilon$ semua celahnya $\leq \varepsilon$: jadi $(S_n)$ Cauchy, sehingga konvergen. Perhatikan apa yang baru saja terjadi: kita membuktikan bahwa sebuah bilangan real tertentu ada tanpa mempunyai nama apa pun untuknya. (Ia $\frac{\pi^2}{6}$ — yaitu kesamaan Euler yang termasyhur, yang dibuktikan pada jilid Tahun ke-2; dan tak ada apa pun dalam bab ini yang dapat memberitahu kita hal itu.) Pembagian kerja inilah — keberadaan sekarang, pengenalan belakangan, kalau pun pernah — yang menjadi seluruh inti kriteria Cauchy, dan mesin teori deret pada Bab 17.