Mathématiques universitaires — Licence 1 · Bachelor Year 1

24Courbes planes

Le calcul différentiel et intégral des Chapitres 14 et 16 a été construit pour les fonctions $y = f(x)$ ; la plupart des courbes de la géométrie et de la mécanique — trajectoires, cercles roulant sur des cercles, orbites — refusent cette forme et se présentent plutôt comme des courbes paramétrées $t \mapsto (x(t), y(t))$ ou comme des courbes en polaires $r = r(\theta)$ . Ce chapitre classique étudie les deux, et se termine par les coniques.

24.1 Courbes paramétrées

Définition 24.1

Une courbe paramétrée est une application $f \colon I \to \R^2$ , $t \mapsto M(t) = (x(t), y(t))$ , où $x$ et $y$ sont de classe $C^1$ (au moins) sur l’intervalle $I$ . Le vecteur vitesse est $f'(t) = (x'(t), y'(t))$ ; le point $M(t_0)$ est régulier lorsque $f'(t_0) \neq (0,0)$ , et la tangente en ce point est la droite passant par $M(t_0)$ et dirigée par $f'(t_0)$ .

Pourquoi $f'$ dirige la tangente. Par la formule de Taylor–Young appliquée composante par composante, $M(t) = M(t_0) + (t - t_0) f'(t_0) + o(t - t_0)$ : la direction de la corde $\frac{M(t) - M(t_0)}{t - t_0}$ tend vers $f'(t_0)$ . C’est l’hypothèse de régularité qui fait de cette limite une direction : si $f'(t_0) = 0$ , la formule se réduit à $M(t) = M(t_0) + o(t - t_0)$ et ne dit rien sur la façon dont la courbe quitte le point — d’où le traitement séparé des points singuliers dans la méthode ci-dessous, où la première dérivée non nulle reprend le rôle de $f'$ . Remarquons aussi que la tangente est un objet géométrique : tout reparamétrage multiplie $f'$ par un facteur scalaire non nul et laisse la droite inchangée. ∎

Méthode 24.2 (Étude d’une courbe paramétrée)

Réduire l’intervalle d’étude grâce aux symétries : relations entre $M(-t)$ , $M(t + T)$ , … et $M(t)$ (réflexions, translations, périodicité), puis ne tracer que la partie réduite.
Variations : dresser conjointement le tableau des signes de $x'$ et de $y'$ ; la courbe va vers la droite ou vers la gauche selon $x'$ , vers le haut ou vers le bas selon $y'$ .
Points remarquables : tangente horizontale ( $y' = 0 \neq x'$ ), tangente verticale ( $x' = 0 \neq y'$ ) ; en un point singulier ( $f' = 0$ ), examiner les dérivées d’ordre supérieur pour obtenir la direction de la tangente.
Comportement asymptotique aux bornes de $I$ , puis tracé.

Exemple 24.3 (Branches asymptotiques, un exemple traité)

$x(t) = t$ , $y(t) = t + \dfrac1t$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ . Quand $t \to 0^{+}$ : $x \to 0$ tandis que $y \to +\infty$ — la courbe grimpe le long de l’asymptote verticale $x = 0$ (limite finie pour une coordonnée, infinie pour l’autre). Quand $t \to +\infty$ : les deux coordonnées explosent ; on teste alors une droite : la différence

y(t) - x(t) = \frac1t \longrightarrow 0^{+}

met en évidence l’asymptote oblique $y = x$ , approchée par valeurs supérieures. Entre les deux, $y' = 1 - \frac1{t^2}$ s’annule en $t = 1$ : le point $(1, 2)$ est le point bas de la branche, et $x' = 1 > 0$ partout, donc la courbe avance toujours vers la droite. Un arc, deux asymptotes, un minimum : une image complète à partir de trois calculs — avec la recette générale visible en dessous : lorsque $x, y \to \infty$ ensemble, examiner $y/x$ pour une pente candidate (ici $\to 1$ ), puis $y - (\text{pente})\,x$ pour l’ordonnée à l’origine et le côté d’approche.

Exemple 24.4 (L’astroïde)

$x(t) = \cos^3 t$ , $y(t) = \sin^3 t$ . Symétries : $M(t + 2\pi) = M(t)$ (on étudie une période) ; $M(-t)$ est le symétrique de $M(t)$ par rapport à l’axe des $x$ ; $M(\pi - t)$ par rapport à l’axe des $y$ ; $M(\frac\pi2 - t)$ par rapport à la diagonale $y = x$ : il suffit d’étudier $t \in \intcc{0}{\frac\pi4}$ et de déplier.

Vitesse : $f'(t) = 3\sin t\cos t\,(-\cos t, \sin t)$ . Sur $\intoo{0}{\frac\pi2}$ tous les points sont réguliers, de tangente dirigée par $(-\cos t, \sin t)$ ; en $t = 0$ (le point $(1,0)$ ) la vitesse s’annule : c’est un point de rebroussement, où la courbe rebrousse chemin le long de la direction tangente $(-1, 0)\cdot(\pm)$ — par symétrie, les quatre points de rebroussement sont en $(\pm1, 0), (0, \pm1)$ .

Exemple 24.5 (Une courbe en huit, étudiée complètement)

$x(t) = \sin t$ , $y(t) = \sin 2t$ (une courbe de Lissajous). Symétries : $M(t + \pi) = (-x(t), y(t))$ (réflexion par rapport à l’axe des $y$ ), $M(-t) = (-x(t), -y(t))$ (symétrie centrale), $M(\pi - t) = (x(t), -y(t))$ (réflexion par rapport à l’axe des $x$ ) : il suffit d’étudier $t \in \intcc{0}{\frac\pi2}$ et de déplier. Variations : $x' = \cos t \geq 0$ partout, tandis que $y' = 2\cos 2t$ est positif avant $t = \frac\pi4$ et négatif après : l’arc monte vers la droite jusqu’au sommet $\bigl(\frac{\sqrt2}2,\ 1\bigr)$ en $t = \frac\pi4$ (tangente horizontale), puis descend vers la droite jusqu’à $(1, 0)$ en $t = \frac\pi2$ , où $x' = 0 \neq y'$ : tangente verticale. Point double : $M(0) = M(\pi) = (0,0)$ , avec deux vitesses différentes

f'(0) = (1,\ 2), \qquad f'(\pi) = (-1,\ 2) :

deux branches régulières se croisant à l’origine selon des angles distincts — un point double, non un point singulier : chaque passage est parfaitement lisse, les deux passages partagent simplement leur position. La courbe entière est le huit ci-dessous.

La courbe de Lissajous ( t, 2t) : un point double à l’origine, où deux branches régulières se croisent avec les vitesses (1, 2) et (-1, 2), et des tangentes horizontales aux quatre sommets. La symétrie a réduit tout le travail à un quart de période. — La courbe de Lissajous $(\sin t, \sin 2t)$ : un point double à l’origine, où deux branches régulières se croisent avec les vitesses $(1, 2)$ et $(-1, 2)$ , et des tangentes horizontales aux quatre sommets. La symétrie a réduit tout le travail à un quart de période.

L’astroïde ( 3 t, 3 t) : quatre arcs se rejoignant en quatre points de rebroussement. C’est la courbe décrite par un point d’un cercle de rayon 1/4 roulant à l’intérieur du cercle unité. — L’astroïde $(\cos^3 t, \sin^3 t)$ : quatre arcs se rejoignant en quatre points de rebroussement. C’est la courbe décrite par un point d’un cercle de rayon $\frac14$ roulant à l’intérieur du cercle unité.

24.2 Courbes en polaires

Définition 24.6

Une courbe en polaires est donnée par $r = r(\theta)$ : le point de paramètre $\theta$ est

M(\theta) = r(\theta)\,\vec u(\theta), \qquad \vec u(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta).

Avec $\vec v(\theta) = (-\sin\theta, \cos\theta) = \vec u\,'(\theta)$ , la vitesse est

M'(\theta) = r'(\theta)\, \vec u(\theta) + r(\theta)\, \vec v(\theta) .

Conséquences : là où $r \neq 0$ , le point est régulier, et la tangente fait avec le rayon vecteur l’angle $V$ donné par $\tan V = \frac{r}{r'}$ (angle entre $M'$ et $\vec u$ ) ; là où $r(\theta_0) = 0$ , la courbe passe par l’origine avec pour tangente le rayon $\theta = \theta_0$ (direction $\vec u(\theta_0)$ , lue sur $M'(\theta_0) = r'(\theta_0)\vec u(\theta_0)$ , ou sur la corde limite : la corde de $O$ à $M(\theta)$ est portée par $\vec u(\theta)$ lui-même, qui tend vers $\vec u(\theta_0)$ — la règle vaut donc même lorsque $r'(\theta_0) = 0$ et que le point est singulier, ce qui explique pourquoi les points de rebroussement polaires à l’origine, comme celui de la cardioïde, obtiennent leur tangente gratuitement).

Exemple 24.7 (La cardioïde)

$r(\theta) = 1 + \cos\theta$ . Symétrie : $r(-\theta) = r(\theta)$ : réflexion par rapport à l’axe des $x$ ; on étudie $\theta \in \intcc{0}{\pi}$ . $r$ décroît de $2$ à $0$ ; en $\theta = \pi$ , $r = 0$ : la courbe atteint l’origine tangentiellement au rayon $\theta = \pi$ (l’axe des $x$ ), y formant un point de rebroussement — la pointe du cœur. Tangente en $\theta = 0$ : $r' = 0$ , donc $\tan V = \infty$ : perpendiculaire à l’axe.

L’angle $V$ mérite une lecture de plus. En $\theta = \frac\pi2$ : $r = 1$ et $r' = -1$ , donc $\tan V = \frac{r}{r'} = -1$ : la tangente fait les trois quarts d’un angle droit avec le rayon sortant — la courbe s’infléchit déjà vers son point de rebroussement. La formule $\tan V = r/r'$ fournit les directions tangentes tout au long de la courbe sans aucun calcul de $M'(\theta)$ : c’est l’analogue polaire de la lecture d’une pente.

Exemple 24.8 (Des polaires aux cartésiennes : un cercle caché)

Quelle est la courbe en polaires $r = 2\cos\theta$ ? Multiplions par $r$ : $r^2 = 2r\cos\theta$ , c’est-à-dire $x^2 + y^2 = 2x$ , c’est-à-dire

(x - 1)^2 + y^2 = 1 :

le cercle de centre $(1, 0)$ et de rayon $1$ , passant par l’origine. La comptabilité importe : lorsque $\theta$ parcourt $\intoc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , le cercle entier est décrit exactement une fois ( $r$ s’annule aux deux bornes), et en $\theta = \pm\frac\pi2$ la règle « tangente à l’origine le long du rayon $\theta = \theta_0$ » y donne une tangente verticale — en accord avec la géométrie, puisque l’axe vertical est bien tangent à ce cercle en $O$ . Pour $\theta$ au-delà de cet intervalle, $r < 0$ redécrit le même cercle : rappel qu’une courbe en polaires est un objet paramétré, autorisé à repasser sur lui-même.

La rose à quatre pétales r = 2 (). Les pétales le long de l’axe des y sont tracés avec r < 0 (le point se place sur le rayon opposé à ) ; les diagonales en pointillés = ± π4 sont les tangentes à l’origine, où r s’annule. — La rose à quatre pétales $r = \cos 2\theta$ (Exercice 24.4). Les pétales le long de l’axe des $y$ sont tracés avec $r < 0$ (le point se place sur le rayon opposé à $\theta$ ) ; les diagonales en pointillés $\theta = \pm\frac\pi4$ sont les tangentes à l’origine, où $r$ s’annule.

La cardioïde r = 1 +. Les courbes en polaires se lisent en balayant l’angle : le rayon enfle et diminue à mesure que tourne. — La cardioïde $r = 1 + \cos\theta$ . Les courbes en polaires se lisent en balayant l’angle : le rayon enfle et diminue à mesure que $\theta$ tourne.

24.3 Longueur d’arc

Définition 24.9 (Longueur d’un arc)

La longueur d’un arc $C^1$ $f \colon \intcc{a}{b} \to \R^2$ est l’intégrale de la vitesse scalaire :

L = \int_a^b \norm{f'(t)}\,\dd t = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\;\dd t .

(Motivation : sur un petit intervalle, $M(t + h) \approx M(t) + h f'(t)$ , de sorte que l’arc est proche d’une ligne polygonale dont les longueurs des segments s’additionnent en une somme de Riemann de $\norm{f'}$ , Théorème 15.20.) Pour une courbe en polaires $r = r(\theta)$ , la vitesse $r'\vec u + r\vec v$ a des composantes orthogonales, donc

L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r'(\theta)^2 + r(\theta)^2}\;\dd\theta .

La longueur ne dépend pas du paramétrage (monotone, $C^1$ ) choisi : la substitution $t = \varphi(s)$ dans l’intégrale (Théorème 15.15) multiplie $f'$ par $\varphi'$ et $\dd t$ par $\varphi'^{-1}$ .

Exemple 24.10 (Vérification : le cercle)

Pour $f(t) = (R\cos t, R\sin t)$ sur $\intcc{0}{2\pi}$ : $\norm{f'} = R$ , donc $L = 2\pi R$ — la définition rend bien la circonférence. Test de reparamétrage : l’application $g(t) = (R\cos 2t, R\sin 2t)$ sur $\intcc{0}{\pi}$ décrit le même cercle à vitesse doublée $\norm{g'} = 2R$ , et

\int_0^{\pi} 2R\,\dd t = 2\pi R

de nouveau : deux fois moins de temps, deux fois plus vite, même longueur — l’invariance promise dans la définition, constatée une fois sur les nombres. (Faire parcourir $g$ sur tout $\intcc{0}{2\pi}$ donnerait $4\pi R$ : une courbe parcourue deux fois est deux fois plus longue en tant que trajet ; la longueur mesure le chemin paramétré, et une comptabilité honnête de l’intervalle fait partie du calcul.) Pour l’astroïde $(\cos^3t, \sin^3t)$ : $\norm{f'} = 3\abs{\sin t\cos t} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$ , et par symétrie $L = 4\int_0^{\pi/2} \tfrac32\sin 2t\,\dd t = 6$ : une courbe tracée à l’intérieur du cercle unité, de longueur $6 < 2\pi$ . Le devoir maison mesure la plus célèbre des arches.

Une arche de la cycloïde (rayon R = 1), le cercle roulant en t = 2, et les deux droites de construction du devoir maison : la corde MC vers le point de contact est normale à la courbe, la corde MT vers le sommet du cercle est tangente. — Une arche de la cycloïde (rayon $R = 1$ ), le cercle roulant en $t = 2$ , et les deux droites de construction du devoir maison : la corde $MC$ vers le point de contact est *normale* à la courbe, la corde $MT$ vers le sommet du cercle est *tangente*.

24.4 Coniques

Définition 24.11 (Définition par foyer et directrice)

Fixons un point $F$ (le foyer), une droite $D$ ne passant pas par $F$ (la directrice) et $e > 0$ (l’excentricité). La conique associée à ces données est

\mathcal{C} = \{M : d(M, F) = e\; d(M, D)\}:

c’est une ellipse si $e < 1$ , une parabole si $e = 1$ , une hyperbole si $e > 1$ . (Le cercle apparaît comme cas limite dégénéré $e \to 0$ .)

Exemple 24.12 (La définition, vérifiée sur une parabole)

Prenons la parabole $y^2 = 4x$ , c’est-à-dire $2p = 4$ : foyer $F = (1, 0)$ et directrice $D : x = -1$ (la forme réduite du Théorème 24.13 les place en $\pm\frac p2$ ). Au point $M = (1, 2)$ de la courbe :

MF = \sqrt{(1-1)^2 + 2^2} = 2, \qquad d(M, D) = 1 - (-1) = 2 :

égaux, comme $e = 1$ l’exige. En $M' = (4, 4)$ : $MF' = \sqrt{9 + 16} = 5$ et $d(M', D) = 5$ également. La définition par foyer et directrice n’est pas une abstraction : c’est un couple de distances que l’on peut mesurer en tout point, et l’algèbre des équations réduites n’est rien d’autre que cette mesure faite une fois pour toutes.

Théorème 24.13 (Équations réduites)

Dans un repère orthonormal bien choisi :

\text{ellipse~: } \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a \geq b > 0), \qquad \text{hyperbole~: } \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad \text{parabole~: } y^2 = 2px,

avec, pour l’ellipse : foyers en $(\pm c, 0)$ , $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ , $e = \frac ca$ , et la caractérisation bifocale $MF + MF' = 2a$ ; pour l’hyperbole : $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ , $e = \frac ca$ , $\abs{MF - MF'} = 2a$ , asymptotes $y = \pm\frac ba x$ .

Démonstration. Plaçons le foyer à l’origine et la directrice verticale, $x = -h$ ( $h > 0$ ) : la condition $MF^2 = e^2 d(M, D)^2$ s’écrit $x^2 + y^2 = e^2 (x + h)^2$ . Pour $e = 1$ : $y^2 = 2hx + h^2$ , une parabole après la translation $x \mapsto x - \frac h2$ (donc $p = h$ ). Pour $e \neq 1$ : en complétant le carré en $x$ ,

(1 - e^2)\Bigl(x - \frac{e^2 h}{1 - e^2}\Bigr)^{\!2} + y^2 = e^2h^2 + \frac{e^4 h^2}{1 - e^2} = \frac{e^2 h^2}{1 - e^2} .

Posons $X = x - \frac{e^2h}{1-e^2}$ (une translation du repère). Lorsque $e < 1$ , divisons par le membre de droite, qui est positif : $\frac{X^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ avec $a = \frac{eh}{1 - e^2}$ , $b = \frac{eh}{\sqrt{1-e^2}}$ ; lorsque $e > 1$ , les deux membres de l’égalité changent de signe comme il convient et la même division donne $\frac{X^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ avec $a = \frac{eh}{e^2 - 1}$ , $b = \frac{eh}{\sqrt{e^2 - 1}}$ . Les valeurs annoncées de $c$ s’en déduisent ( $c^2 = a^2 - b^2$ ou $a^2 + b^2$ donne $c = ea$ dans les deux cas, ce qui place correctement le foyer), et les propriétés bifocales sont des vérifications directes sur les équations réduites. En détail pour l’ellipse, avec $F' = (c, 0)$ et $M = (X, y)$ sur la courbe :

MF'^2 = (X - c)^2 + y^2 = X^2 - 2cX + c^2 + b^2\Bigl(1 - \frac{X^2}{a^2}\Bigr) = \frac{c^2}{a^2}X^2 - 2cX + a^2 = (a - eX)^2 ,

en utilisant $c^2 + b^2 = a^2$ et $e = \frac ca$ ; comme $\abs X \leq a$ et $e < 1$ , on a $a - eX > 0$ , donc $MF' = a - eX$ sans jamais extraire de racine carrée. Le calcul symétrique donne $MF = a + eX$ , d’où $MF + MF' = 2a$ , constante. Pour l’hyperbole, la même algèbre donne $MF = \abs{a + eX}$ et $MF' = \abs{eX - a}$ , de différence $\pm2a$ selon la branche. ∎

Exemple 24.14

$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ : ellipse, $a = 5$ , $b = 3$ , $c = 4$ : foyers $(\pm4, 0)$ , excentricité $\frac45$ . Son paramétrage : $(5\cos t, 3\sin t)$ — un cercle étiré de façon anisotrope ; la somme des distances aux foyers de n’importe lequel de ses points vaut $10$ .

Exemple 24.15 (Lire une orbite sur son équation polaire)

La conique en polaires $r = \dfrac{1}{1 + \frac12\cos\theta}$ (Exercice 24.7 avec $p = 1$ , $e = \frac12$ ) est une ellipse dont un foyer est à l’origine — la géométrie d’une orbite planétaire avec le soleil en $O$ . Tout s’extrait de $p$ et $e$ : d’après la réduction du Théorème 24.13, $a = \dfrac{p}{1 - e^2} = \dfrac{1}{3/4} = \dfrac43$ et $c = ea = \dfrac23$ . Les deux apsides le confirment sans la moindre théorie :

r(0) = \frac{1}{3/2} = \frac23 = a - c \quad (\text{périhélie}), \qquad r(\pi) = \frac{1}{1/2} = 2 = a + c \quad (\text{aphélie}),

et leur somme $\frac23 + 2 = \frac83 = 2a$ redonne le grand axe. La forme polaire est la forme naturelle dès qu’un foyer est physiquement distingué ; la forme cartésienne réduite l’est dès que les axes de symétrie le sont. Passer de l’une à l’autre est exactement ce que fait le calcul par complétion du carré du théorème.

L’excentricité comme un bouton de réglage, enfin : gardons $p = 1$ et faisons tourner $e$ dans $r = \frac{1}{1 + e\cos\theta}$ . En $e = 0$ : le cercle $r = 1$ . En $e = \frac12$ : l’ellipse qu’on vient d’étudier, $r$ oscillant entre $\frac23$ et $2$ . En $e = 1$ : $r(\theta) \to \infty$ quand $\theta \to \pi$ — la courbe ne se referme plus : une parabole, son point le plus lointain repoussé à l’infini. En $e = 2$ : le dénominateur s’annule en $\cos\theta = -\frac12$ , et seul $\theta \in \intoo{-\frac{2\pi}3}{\frac{2\pi}3}$ subsiste : une branche d’une hyperbole, s’échappant selon deux directions asymptotiques. Une seule formule, toute la famille des coniques, et le point de transition $e = 1$ visible comme l’instant où le dénominateur atteint zéro pour la première fois.

Remarque 24.16 (Pièges classiques)

Les points doubles ne sont pas des points singuliers : en un point de croisement, chaque branche est régulière ; « singulier » renvoie à $f'(t_0) = 0$ pour une valeur du paramètre (Exemple 24.5 face aux points de rebroussement de l’astroïde). Tangente verticale contre point de rebroussement : $x'(t_0) = 0 \neq y'(t_0)$ est un point régulier à tangente verticale ; seul $x' = y' = 0$ exige le développement d’ordre supérieur. Les rayons négatifs se placent sur le rayon opposé : pour $r(\theta) < 0$ le point est $-\abs{r}\,\vec u(\theta)$ , d’angle $\theta + \pi$ (Exercice 24.5) ; l’oublier fait perdre les boucles intérieures ou dédouble les courbes. La longueur d’arc intègre $\norm{f'}$ , pas $f'$ : on découpe l’intégrale aux zéros de la vitesse — pour l’astroïde, intégrer $\frac32\sin 2t$ sur une période entière sans valeur absolue donne $0$ , et non $6$ . Les coniques doivent être réduites avant d’être lues : dans $9x^2 + 25y^2 - 36x - 50y - 164 = 0$ , ni les axes, ni le centre, ni l’excentricité ne sont visibles avant d’avoir complété les carrés (Exercice 24.6) ; et une partie quadratique nulle en une variable signifie parabole, non « ellipse dégénérée ».

Remarque 24.17 (Où mènent ces courbes)

Les courbes paramétrées sont le langage de la mécanique : les trajectoires sont des courbes, les vecteurs vitesse sont des vecteurs tangents, et la longueur d’arc de la Définition 24.9 est la distance parcourue. Les coniques réapparaissent partout où agit une loi en carré inverse — les orbites planétaires sont des ellipses avec le soleil en un foyer. Au Chapitre 25, les courbes deviennent les lignes de niveau de fonctions de deux variables, et la tangente de ce chapitre rencontre le gradient du suivant. Le volume de Licence 2 ajoute la courbure et la forme canonique locale d’une courbe ; le devoir maison ci-dessous extrait déjà, avec les seuls outils de cette année, tout ce que le dix-septième siècle savait de sa courbe la plus célèbre.

Remarque 24.18 (Perspectives dans le livre 3)

Ce chapitre consomme toute la première moitié du volume et nourrit le dernier chapitre. Consommé : les vecteurs tangents sont des dérivées (Chapitre 14), la longueur d’arc et les aires sont des intégrales (Chapitre 15), les points de rebroussement se règlent par des développements de Taylor (Chapitre 16), la tautochrone est une équation différentielle linéaire (Chapitre 5), et toute distance et tout angle sont euclidiens (Chapitre 23). Nourri : au Chapitre 25, une courbe $t \mapsto (x(t), y(t))$ tracée dans une ligne de niveau $\{f = c\}$ se dérive par la règle de la chaîne, et l’identité obtenue $\langle \nabla f,\ f'(t)\rangle = 0$ marie les vecteurs tangents de ce chapitre aux gradients du suivant — la tangente de la courbe et la direction normale de la surface sont le même calcul vu des deux rives.

24.5 Exercices

Exercice 24.1 ★

Étudier et tracer la courbe $x(t) = t^2$ , $y(t) = t^3$ (symétries, variations, comportement au point singulier $t = 0$ ).

Solution

Solution de Exercice 24.1.

$M(-t) = (t^2, -t^3)$ : réflexion par rapport à l’axe des $x$ ; on étudie $t \geq 0$ . $x' = 2t$ et $y' = 3t^2$ sont tous deux $\geq 0$ : la branche va vers la droite et vers le haut, de $(0,0)$ jusqu’à l’infini. En $t = 0$ la vitesse s’annule ; les développements $x = t^2$ , $y = t^3$ montrent que la tangente est l’axe des $x$ ( $y/x = t \to 0$ ), avec $y$ changeant de signe tandis que $x \geq 0$ : un point de rebroussement pointant vers la gauche. La courbe est la parabole semi-cubique $y^2 = x^3$ .

Exercice 24.2 ★

Pour la cycloïde $x(t) = t - \sin t$ , $y(t) = 1 - \cos t$ (la trajectoire d’un point d’une roue de rayon $1$ qui roule) : identifier la symétrie de translation par période, les points singuliers, et la direction de la tangente en $t = 0$ (développer $x$ et $y$ aux premiers ordres non nuls).

Solution

Solution de Exercice 24.2.

$M(t + 2\pi) = M(t) + (2\pi, 0)$ : la courbe se répète, translatée d’une circonférence de roue ; on étudie une période. $x'(t) = 1 - \cos t \geq 0$ , $y'(t) = \sin t$ : l’arche monte sur $\intoo{0}{\pi}$ , descend sur $\intoo{\pi}{2\pi}$ , culminant en $(\pi, 2)$ . Points singuliers là où $x' = y' = 0$ : $t \in 2\pi\Z$ , sur le sol. Au voisinage de $t = 0$ :

x(t) = \frac{t^3}{6} + o(t^3), \qquad y(t) = \frac{t^2}{2} + o(t^2):

$x$ change de signe, $y \geq 0$ , et $\frac{x}{y^{3/2}}$ est borné : la tangente est verticale (direction $(0,1)$ ), un point de rebroussement où le point suivi a momentanément une vitesse nulle — la signature physique du roulement sans glissement.

Exercice 24.3 ★

Donner la tangente à la courbe $(\cos^3 t, \sin^3 t)$ en $t = \frac\pi4$ , et vérifier que le segment de cette tangente découpé par les axes est de longueur $1$ — une propriété célèbre de l’astroïde (vraie en tout point régulier).

Solution

Solution de Exercice 24.3.

En $t = \frac\pi4$ : $M = \bigl(\frac{\sqrt2}{4}, \frac{\sqrt2}{4}\bigr)$ , direction tangente $(-\cos t, \sin t) = \frac{1}{\sqrt2}(-1, 1)$ (Exemple 24.4). Tangente : $y - \frac{\sqrt2}{4} = -(x - \frac{\sqrt2}{4})$ , c’est-à-dire $x + y = \frac{\sqrt2}{2}$ . Intersections avec les axes : $\bigl(\frac{\sqrt2}{2}, 0\bigr)$ et $\bigl(0, \frac{\sqrt2}{2}\bigr)$ ; le segment qui les joint a pour longueur $\sqrt{\frac12 + \frac12} = 1$ .

(Point général $t$ : la tangente en $(\cos^3 t, \sin^3 t)$ coupe les axes en $(\cos t, 0)$ et $(0, \sin t)$ — vérifier que la droite passant par ces points a pour direction $(-\cos t, \sin t)$ et passe par $M(t)$ — et le segment découpé a pour longueur $\sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t} = 1$ .)

Exercice 24.4 ★

Tracer les courbes en polaires $r = \cos 2\theta$ (rose à quatre pétales) et $r = \frac{1}{\cos\theta}$ sur $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ (reconnaître une droite).

Solution

Solution de Exercice 24.4.

$r = \cos 2\theta$ : période $\pi$ en $\theta$ , symétrique par rapport aux deux axes ; $r$ s’annule en $\theta = \pm\frac\pi4$ (tangentes à l’origine le long des diagonales) et est négatif pour $\theta \in \intoo{\frac\pi4}{\frac{3\pi}{4}}$ , où les points se placent sur le rayon opposé — ce qui produit quatre pétales le long des directions des axes $\theta = 0, \frac\pi2, \pi, \frac{3\pi}{2}$ , chacun de rayon maximal $1$ .

$r\cos\theta = 1$ est l’équation $x = 1$ : la courbe en polaires $r = \frac{1}{\cos\theta}$ est la droite verticale $x = 1$ (décrite une fois pour $\theta \in \intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ ).

Exercice 24.5 ★★

Étudier la courbe en polaires $r = 1 + 2\cos\theta$ (un limaçon) : domaine où $r \geq 0$ et où $r < 0$ (les points tracés avec un rayon négatif se placent sur le rayon opposé), passage par l’origine, boucle intérieure, tracé.

Solution

Solution de Exercice 24.5.

$r(\theta) = 1 + 2\cos\theta$ s’annule pour $\cos\theta = -\frac12$ : $\theta = \pm\frac{2\pi}{3}$ . Symétrie par rapport à l’axe des $x$ ; on étudie $\theta \in \intcc{0}{\pi}$ . Pour $\theta \in \intco{0}{\frac{2\pi}{3}}$ : $r > 0$ , décroissant de $3$ à $0$ : arc extérieur, entrant à l’origine tangentiellement au rayon $\theta = \frac{2\pi}{3}$ . Pour $\theta \in \intoc{\frac{2\pi}{3}}{\pi}$ : $r < 0$ : les points $r\vec u(\theta)$ se placent sur le rayon opposé (angle $\theta - \pi \in \intoc{-\frac\pi3}{0}$ ), avec une distance $\abs r$ croissant de $0$ à $1$ : cela dessine une petite boucle intérieure passant par l’origine. En $\theta = \pi$ , $r = -1$ et le point est $-\vec u(\pi) = (1, 0)$ : la boucle se referme sur le demi-axe positif des $x$ . Tracé : une grande courbe extérieure en forme de cœur, de portée maximale $3$ en $\theta = 0$ , plus une boucle à l’intérieur passant par $O$ et $(1,0)$ .

Exercice 24.6 ★★

Identifier la conique $9x^2 + 25y^2 - 36x - 50y - 164 = 0$ : la réduire en complétant les carrés, donner centre, demi-axes, foyers, excentricité.

Solution

Solution de Exercice 24.6.

Complétons les carrés :

9(x^2 - 4x) + 25(y^2 - 2y) = 164 \iff 9(x-2)^2 + 25(y-1)^2 = 164 + 36 + 25 = 225 .

En divisant par $225$ : $\frac{(x-2)^2}{25} + \frac{(y-1)^2}{9} = 1$ : une ellipse de centre $(2, 1)$ , de demi-axes $a = 5$ (horizontal) et $b = 3$ ; $c = \sqrt{25 - 9} = 4$ : foyers $(2 \pm 4,\, 1) = (-2, 1)$ et $(6, 1)$ ; excentricité $e = \frac45$ .

Exercice 24.7 ★★

Démontrer que l’équation polaire d’une conique dont un foyer est à l’origine est

r = \frac{p}{1 + e\cos\theta}

(directrice verticale, à distance $\frac pe$ à droite du foyer). Quelles valeurs de $\theta$ sont permises lorsque $e > 1$ ?

Solution

Solution de Exercice 24.7.

Foyer à l’origine, directrice $D: x = d$ avec $d = \frac pe > 0$ . Pour un point $M = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ avec $r > 0$ :

MF = r, \qquad d(M, D) = \abs{d - r\cos\theta},

et la condition de conique $MF = e\,d(M, D)$ , dans le régime où $M$ est du côté du foyer par rapport à la directrice ( $r\cos\theta < d$ ), s’écrit $r = e(d - r\cos\theta)$ , c’est-à-dire

r(1 + e\cos\theta) = ed = p, \qquad r = \frac{p}{1 + e\cos\theta} .

Pour $e < 1$ le dénominateur ne s’annule jamais : tout $\theta$ est permis (ellipse). Pour $e = 1$ : $\theta \neq \pi$ (parabole, ouverte du côté opposé à la directrice). Pour $e > 1$ : il faut $1 + e\cos\theta > 0$ , c’est-à-dire $\theta \in \intoo{-\theta_0}{\theta_0}$ avec $\theta_0 = \arccos\bigl(-\frac1e\bigr)$ : une branche de l’hyperbole (l’autre branche correspond au choix de signe $r < 0$ , ou au second foyer).

Exercice 24.8 ★★

À partir de la propriété bifocale $MF + MF' = 2a$ , déduire la « construction du jardinier » de l’ellipse, et démontrer que la tangente en $M$ fait des angles égaux avec $MF$ et $MF'$ (propriété de réflexion ; dériver $\norm{M(t) - F} + \norm{M(t) - F'} = 2a$ et interpréter la somme nulle des produits de vecteurs unitaires).

Solution

Solution de Exercice 24.8.

Le jardinier : attacher une ficelle de longueur $2a$ à deux piquets $F$ et $F'$ et la maintenir tendue avec la pointe traçante $M$ : la contrainte est exactement $MF + MF' = 2a$ , donc la courbe tracée est l’ellipse.

Propriété de réflexion : soit $t \mapsto M(t)$ un paramétrage régulier et $u(t) = \frac{M(t) - F}{\norm{M(t) - F}}$ , $u'(t)$ le vecteur unitaire analogue vers $F'$ . En dérivant $\norm{M - F} + \norm{M - F'} = 2a$ , à l’aide de $\frac{\dd}{\dd t}\norm{M - F} = \bigl\langle \frac{M - F}{\norm{M-F}},\, M'\bigr\rangle$ (règle de la chaîne sur $\sqrt{\langle\cdot,\cdot\rangle}$ ) :

\bigl\langle u + u',\, M'\bigr\rangle = 0 .

Ainsi la direction tangente $M'$ est orthogonale à la direction $u + u'$ de la bissectrice des deux rayons focaux : la tangente fait des angles égaux avec $MF$ et $MF'$ . (Un rayon lumineux issu d’un foyer se réfléchit sur l’ellipse vers l’autre foyer.)

Exercice 24.9 ★★★

La lemniscate de Bernoulli est la courbe en polaires $r^2 = \cos 2\theta$ (prendre $r = \sqrt{\cos2\theta}$ là où c’est défini).

Donner son domaine, ses symétries, les tangentes à l’origine, et la tracer.
Démontrer que c’est le lieu des points $M$ tels que $MF \cdot MF' = \frac12$ , où $F, F' = \bigl(\pm\frac{1}{\sqrt2}, 0\bigr)$ . (Calculer $MF^2\,MF'^2$ en coordonnées polaires.)

Solution

Solution de Exercice 24.9.

Domaine : $\cos 2\theta \geq 0$ : $\theta \in \intcc{-\frac\pi4}{\frac\pi4} \cup \intcc{\frac{3\pi}{4}}{\frac{5\pi}{4}}$ . Symétries : $\theta \mapsto -\theta$ (axe des $x$ ) et $\theta \mapsto \pi - \theta$ (axe des $y$ ) : on étudie $\intcc{0}{\frac\pi4}$ ; $r$ décroît de $1$ à $0$ . En $\theta = \pm\frac\pi4$ : $r = 0$ , tangentes à l’origine le long des diagonales. La courbe est le symbole $\infty$ : deux boucles symétriques se rejoignant en $O$ , atteignant $(\pm 1, 0)$ .
Avec $F, F' = (\pm c, 0)$ , $c = \frac{1}{\sqrt 2}$ , et $M = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ :

$MF^2\, MF'^2 = \bigl((r\cos\theta - c)^2 + r^2\sin^2\theta\bigr) \bigl((r\cos\theta + c)^2 + r^2\sin^2\theta\bigr) = (r^2 + c^2)^2 - (2rc\cos\theta)^2 ,$

par l’identité $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$ avec $A = r^2 + c^2$ , $B = 2rc\cos\theta$ . Avec $c^2 = \frac12$ :

$MF^2 MF'^2 = \Bigl(r^2 + \frac12\Bigr)^2 - 2r^2\cos^2\theta = r^4 + r^2\bigl(1 - 2\cos^2\theta\bigr) + \frac14 = r^4 - r^2\cos 2\theta + \frac14 .$

Sur la lemniscate, $r^2 = \cos 2\theta$ : les deux premiers termes se compensent, laissant $MF^2MF'^2 = \frac14$ , c’est-à-dire $MF \cdot MF' = \frac12$ . Réciproquement, le calcul lu à l’envers montre que l’équation du lieu $MF\,MF' = \frac12$ est $r^2 = \cos 2\theta$ (pour $r \neq 0$ ; et $O$ vérifie les deux).

Exercice 24.10 ★★

Calculer la longueur totale de la cardioïde $r = 1 + \cos\theta$ à l’aide de la formule polaire de la Définition 24.9 (l’identité $1 + \cos\theta = 2\cos^2\frac\theta2$ transforme la racine carrée en $2\abs{\cos\frac\theta2}$ ).

Solution

Solution de Exercice 24.10.

$r = 1 + \cos\theta$ , $r' = -\sin\theta$ :

r^2 + r'^2 = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta = 2 + 2\cos\theta = 4\cos^2\frac\theta2 ,

donc $\sqrt{r^2 + r'^2} = 2\abs{\cos\frac\theta2}$ et, par la symétrie par rapport à l’axe des $x$ ,

L = \int_0^{2\pi} 2\Bigl|\cos\frac\theta2\Bigr|\,\dd\theta = 2\int_0^{\pi} 2\cos\frac\theta2\,\dd\theta = 2\Bigl[4\sin\frac\theta2\Bigr]_0^{\pi} = 8 .

Encore un périmètre algébrique, sans $\pi$ .

Exercice 24.11 ★★

Montrer que la tangente à l’ellipse $(a\cos t, b\sin t)$ au point de paramètre $t$ a pour équation

\frac{x\cos t}{a} + \frac{y\sin t}{b} = 1 ,

et en déduire la tangente à $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ en un point $(x_0, y_0)$ de l’ellipse : $\frac{x\,x_0}{a^2} + \frac{y\,y_0}{b^2} = 1$ (la règle du « dédoublement des carrés »).

Solution

Solution de Exercice 24.11.

Le point $(a\cos t, b\sin t)$ vérifie l’équation : $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ . Le vecteur normal de la droite est $\bigl(\frac{\cos t}a, \frac{\sin t}b\bigr)$ , et son produit avec la vitesse $(-a\sin t, b\cos t)$ vaut $-\sin t\cos t + \sin t\cos t = 0$ : la droite passe par le point avec la direction tangente — c’est la tangente. Pour $(x_0, y_0)$ sur l’ellipse, écrivons $\cos t = \frac{x_0}a$ , $\sin t = \frac{y_0}b$ et substituons :

\frac{x\,x_0}{a^2} + \frac{y\,y_0}{b^2} = 1 ,

obtenue à partir de l’équation de l’ellipse en « dédoublant » $x^2 \mapsto x\,x_0$ et $y^2 \mapsto y\,y_0$ .

Exercice 24.12 ★★★

La spirale logarithmique est la courbe en polaires $r = \eu^{k\theta}$ ( $k > 0$ fixé, $\theta \in \R$ ).

Montrer que l’angle $V$ entre le rayon vecteur et la tangente est constant ( $\tan V = \frac1k$ ) — la spirale coupe tout rayon sous le même angle.
Montrer que faire tourner la spirale d’un angle $c$ l’envoie sur son image par l’homothétie de rapport $\eu^{-kc}$ : toute rotation de la spirale en est un agrandissement (autosimilarité).
Calculer la longueur de l’arc $\theta \in \intoc{-\infty}{\theta_0}$ (comme limite des longueurs sur $\intcc{A}{\theta_0}$ , $A \to -\infty$ ) et observer qu’elle est finie : une courbe s’enroulant une infinité de fois autour de l’origine, de longueur finie.

Solution

Solution de Exercice 24.12.

$r' = k\eu^{k\theta}$ , donc $\tan V = \frac{r}{r'} = \frac1k$ : constant. La spirale coupe tout rayon issu de l’origine sous le même angle $V = \arctan\frac1k$ .
En notation complexe la spirale est $\{\eu^{k\theta} \eu^{\iu\theta} : \theta \in \R\}$ . La rotation d’angle $c$ multiplie par $\eu^{\iu c}$ :

$\eu^{k\theta}\eu^{\iu(\theta + c)} = \eu^{-kc}\,\eu^{k(\theta + c)}\eu^{\iu(\theta+c)} ,$

et lorsque $\theta + c$ parcourt $\R$ ceci décrit $\eu^{-kc}$ fois la spirale : rotation $=$ homothétie. Aucune autre courbe lisse que les droites et les cercles n’a cette propriété.
$\sqrt{r^2 + r'^2} = \sqrt{1 + k^2}\,\eu^{k\theta}$ , donc sur $\intcc{A}{\theta_0}$ la longueur vaut $\frac{\sqrt{1+k^2}}{k}\bigl(\eu^{k\theta_0} - \eu^{kA}\bigr)$ , et quand $A \to -\infty$ :

$L = \frac{\sqrt{1 + k^2}}{k}\,\eu^{k\theta_0} < \infty :$

une infinité de tours autour de l’origine, et une longueur totale finie (les tours décroissent géométriquement).

24.6 Problème : la cycloïde, reine des courbes

Problème 24.1

Une roue de rayon $R$ roule sans glisser le long de l’axe des $x$ ; le point de la jante initialement à l’origine décrit la cycloïde. Le dix-septième siècle s’est battu autour de cette courbe — Galilée en a pesé des découpes de papier, Wren l’a mesurée, Roberval en a calculé l’aire, Huygens en a fait des horloges — et chacun de leurs résultats est à la portée de ce chapitre. Nous démontrons les quatre classiques : la construction de la tangente, la longueur $8R$ de Wren, l’aire $3\pi R^2$ , et la propriété de tautochronisme de Huygens.

Partie I — Le roulement et la tangente.

Après que la roue a tourné d’un angle $t$ , son centre est en $\Omega(t) = (Rt, R)$ (roulement sans glissement : distance de contact $=$ arc déroulé). Montrer que le point marqué est en

$M(t) = \bigl(R(t - \sin t),\; R(1 - \cos t)\bigr).$
Calculer $f'(t)$ et montrer que $\norm{f'(t)} = 2R\,\abs{\sin\frac t2}$ ; localiser les points singuliers (points de rebroussement — cf. Exercice 24.2) et le sommet de chaque arche.
Soit $C(t) = (Rt, 0)$ le point de contact et $T(t) = (Rt, 2R)$ le sommet de la roue. Démontrer que pour $0 < t < 2\pi$ le vecteur $M - C$ est normal à la courbe en $M(t)$ et que le vecteur $T - M$ lui est tangent : pour tracer la tangente à une cycloïde, joindre le point au sommet de son cercle roulant. (Tout factoriser par $\sin\frac t2$ et $\cos\frac t2$ .)
Interpréter la question 3 cinématiquement : le point de contact est le centre instantané de rotation, et la vitesse de $M$ est égale à sa distance à $C$ (pour une vitesse angulaire unité). Vérifier $\norm{M - C} = 2R\abs{\sin\frac t2}$ .
Démontrer la relation hauteur–vitesse

$\norm{f'(t)}^2 = 2R\,y(t) :$

sur une cycloïde parcourue à vitesse angulaire unité, la vitesse en chaque point est exactement la vitesse de chute libre pour une descente égale à la hauteur courante. (À garder pour la partie IV.)

Partie II — Le théorème de Wren : l’arche a pour longueur $8R$ .

À l’aide de la Définition 24.9, calculer la longueur d’une arche :

$L = \int_0^{2\pi} 2R\sin\frac t2\,\dd t = 8R$

(théorème de Wren, 1658). Quatre diamètres de roue, et pas de $\pi$ nulle part.
Calculer la longueur d’arc depuis le point de rebroussement : $s(t) = 4R\bigl(1 - \cos\frac t2\bigr)$ , et vérifier $s(2\pi) = 8R$ .
Mesurer maintenant l’arc depuis le sommet $t = \pi$ : $\sigma(t) = \abs{4R\cos\frac t2}$ . Démontrer la relation intrinsèque

$\sigma^2 = 8R\,\bigl(2R - y\bigr) :$

le carré de la distance d’arc au sommet est proportionnel à la hauteur de descente sous le sommet.
Vérifications : retrouver à partir de la question 8 que la demi-arche du sommet au point de rebroussement est de longueur $4R$ , et comparer avec le calcul sur l’astroïde de l’Exemple 24.10 — les deux courbes ont des longueurs algébriques, sans $\pi$ ; expliquer ce qui rend cela possible bien que les deux soient construites à partir de cercles. (Regarder la forme de $\norm{f'}$ .)

Partie III — L’aire de Roberval : $3\pi R^2$ .

Justifier que l’aire entre une arche et le sol est $A = \int_0^{2\pi} y(t)\,x'(t)\,\dd t$ (la substitution $x = x(t)$ dans $\int y\,\dd x$ , Théorème 15.15 ; $x$ est croissante).
Calculer

$A = R^2\int_0^{2\pi}(1 - \cos t)^2\,\dd t = 3\pi R^2 :$

exactement trois fois l’aire de la roue — le rapport que Galilée avait deviné en pesant.
Même méthode pour l’astroïde $(\cos^3t, \sin^3t)$ : montrer que l’aire enfermée vaut $\frac{3\pi}8$ (linéariser $\sin^4 t\cos^2 t$ ; seul le terme constant survit sur une période entière).
Vérifier la formule de la question 10 sur le demi-cercle unité supérieur $(\cos t, \sin t)$ , $t$ allant de $\pi$ à $0$ : rend-elle bien $\frac\pi2$ ?

Partie IV — La tautochrone de Huygens. Retournons l’arche : une bille sans frottement glisse, sous la gravité $g$ , dans la cuvette cycloïdale

x(t) = R(t + \sin t), \qquad y(t) = R(1 - \cos t) \qquad (t \in \intcc{-\pi}{\pi}),

dont le point le plus bas est l’origine ( $y$ mesuré vers le haut).

Calculer la vitesse $\norm{f'(t)} = 2R\cos\frac t2$ , la longueur d’arc depuis le fond $s(t) = 4R\sin\frac t2$ , et démontrer l’identité clé

$y = \frac{s^2}{8R} .$
La bille lâchée sans vitesse initiale depuis le point de paramètre $t_0 > 0$ obéit à la conservation de l’énergie : si $s(\tau)$ désigne son abscisse curviligne à l’instant $\tau$ , alors $\frac12\bigl( \frac{\dd s}{\dd\tau}\bigr)^2 + g\,y = g\,y_0$ . Réécrire ceci, à l’aide de la question 14, sous la forme

$\Bigl(\frac{\dd s}{\dd\tau}\Bigr)^{\!2} = \frac{g}{4R}\,\bigl(s_0^2 - s^2\bigr), \qquad s_0 = s(t_0).$
Dériver par rapport à $\tau$ et obtenir l’oscillateur harmonique

$\frac{\dd^2 s}{\dd\tau^2} = -\frac{g}{4R}\,s ;$

le résoudre avec le Théorème 5.10 et les conditions initiales : $s(\tau) = s_0\cos(\omega\tau)$ , $\omega = \sqrt{g/4R}$ .
En déduire la propriété de tautochronisme (Huygens, 1659) : le temps de descente jusqu’au fond,

$T_{\downarrow} = \frac{\pi}{2\omega} = \pi\sqrt{\frac Rg}\,,$

ne dépend pas du point de lâcher — des billes lâchées ensemble depuis deux hauteurs quelconques de la cuvette arrivent ensemble.
Vérifier par substitution que $s(\tau) = s_0\cos\omega\tau$ satisfait exactement l’équation d’énergie du premier ordre de la question 15 (et pas seulement l’équation dérivée), et expliquer en une phrase pourquoi un pendule circulaire n’est qu’approximativement isochrone alors que la cycloïde l’est exactement.
Numériquement : quel rayon $R$ rend le temps de descente exactement égal à une seconde ( $g = 9.81$ ) ? Noter à quel point la réponse est proche d’un mètre, et comment la période complète d’oscillation $2\pi\sqrt{4R/g}$ se compare à la formule du pendule aux petits angles $2\pi\sqrt{\ell/g}$ pour $\ell = 4R$ .

Partie V — Dividendes et synthèse.

Appliquer la règle de la tangente de la question 3 en $t = \frac\pi2$ (prendre $R = 1$ ) : calculer $M$ , $T$ , la direction de $MT$ , et la confronter à $f'(\frac\pi2)$ .
(Trochoïdes) Marquer plutôt un point à distance $d$ du centre ( $d \neq R$ ) : la courbe est $x = Rt - d\sin t$ , $y = R - d\cos t$ . Montrer que pour $d < R$ la courbe est partout régulière et ne présente aucun comportement singulier ( $x' > 0$ : elle avance), tandis que pour $d > R$ l’abscisse $x'$ change de signe et la courbe fait des boucles — la roue de chemin de fer à boudin dont les points de la jante voyagent à reculons.
(Avant-goût de la brachistochrone) Du point de rebroussement $(\pi R, 2R)$ de la cuvette jusqu’au fond, comparer le temps de descente sur la cycloïde $\pi\sqrt{R/g}$ avec le temps le long de la glissière rectiligne joignant les mêmes points (accélération constante $g\sin\alpha$ le long de la corde) : montrer que la corde demande $\sqrt{\pi^2 + 4}\,\sqrt{R/g} \approx 3.72\sqrt{R/g}$ . La courbe bat la droite — elle est, de fait, la plus rapide de toutes les courbes, résultat du calcul des variations.
Montrer que sur l’arche ( $0 < t < 2\pi$ ),

$\frac{\dd y}{\dd x} = \cot\frac t2, \qquad \frac{\dd^2 y}{\dd x^2} = -\frac{1}{4R\sin^4\frac t2} < 0 :$

l’arche est concave, avec des tangentes verticales exactement aux points de rebroussement.
Retrouver géométriquement la tangente verticale au point de rebroussement de l’Exercice 24.2 : calculer la direction limite de la corde $MT$ de la question 3 quand $t \to 0^{+}$ , sans aucun développement.
Synthèse, en quatre phrases : quels trois théorèmes nommés ce problème a démontrés (avec leurs valeurs $8R$ , $3\pi R^2$ , $\pi\sqrt{R/g}$ et leurs auteurs) ; quel unique procédé de calcul (les factorisations par $\sin\frac t2$ , $\cos\frac t2$ ) a alimenté toutes les parties I, II et IV ; comment la relation intrinsèque $y = s^2/8R$ a converti la géométrie en une équation différentielle linéaire ; et sur quel chapitre de ce livre chaque partie s’est appuyée.

Solution

Solution de Problème 24.1.

1. Rouler sans glisser signifie que le point de contact a parcouru une distance égale à l’arc de roue déroulé : après avoir tourné de $t$ , le centre est en $(Rt, R)$ . Le point marqué se trouve sur la jante, à l’angle $t$ en arrière de la verticale descendante (la roue tourne dans le sens horaire en avançant) :

M(t) = \Omega(t) + R(-\sin t, -\cos t) = \bigl(R(t - \sin t),\ R(1 - \cos t)\bigr),

ce qui est correct en $t = 0$ ( $M = (0,0)$ ) et en $t = \pi$ ( $M = (\pi R, 2R)$ , le sommet).

2. $f'(t) = R(1 - \cos t,\ \sin t)$ et

\norm{f'}^2 = R^2\bigl((1-\cos t)^2 + \sin^2 t\bigr) = 2R^2(1 - \cos t) = 4R^2\sin^2\frac t2 ,

donc $\norm{f'} = 2R\abs{\sin\frac t2}$ . Points singuliers en $t \in 2\pi\Z$ : les points de rebroussement sur le sol (Exercice 24.2) ; le sommet de l’arche est en $t = \pi$ , où la vitesse $2R$ est maximale.

3. Factorisations par l’angle moitié :

f'(t) = 2R\sin\frac t2\,\Bigl(\sin\frac t2,\ \cos\frac t2\Bigr), \quad M - C = 2R\sin\frac t2\,\Bigl(-\cos\frac t2,\ \sin\frac t2\Bigr),

T - M = \bigl(R\sin t,\ R(1 + \cos t)\bigr) = 2R\cos\frac t2\,\Bigl(\sin\frac t2,\ \cos\frac t2\Bigr).

Pour $0 < t < 2\pi$ , $\sin\frac t2 \neq 0$ : $M - C$ est orthogonal à la direction tangente $\bigl(\sin\frac t2, \cos\frac t2\bigr)$ (leur produit vaut $-\sin\frac t2\cos\frac t2 + \sin\frac t2\cos\frac t2 = 0$ ), et $T - M$ lui est parallèle. La corde vers le sommet de la roue est la tangente ; la corde vers le point de contact est la normale.

4. À chaque instant la roue pivote autour de son point de contact (ce point a une vitesse nulle : roulement sans glissement), donc tout point solidaire de la roue se déplace orthogonalement à la droite qui le joint à $C$ , avec une vitesse (pour une vitesse angulaire $1$ ) égale à cette distance. Vérification : $\norm{M - C} = 2R\abs{\sin\frac t2} = \norm{f'(t)}$ .

5. $2R\,y(t) = 2R\cdot 2R\sin^2\frac t2 = 4R^2\sin^2\frac t2 = \norm{f'(t)}^2$ . La vitesse à la hauteur $y$ est $\sqrt{2R\,y}$ — formellement la loi $v = \sqrt{2gh}$ de la chute libre, le sol jouant le rôle du plafond ; la partie IV transforme cette observation en horlogerie.

6. D’après la Définition 24.9 et la question 2 ( $\sin\frac t2 \geq 0$ sur $\intcc{0}{2\pi}$ ) :

L = \int_0^{2\pi} 2R\sin\frac t2\,\dd t = 2R\Bigl[-2\cos\frac t2\Bigr]_0^{2\pi} = 2R(2 + 2) = 8R .

Théorème de Wren : exactement quatre diamètres.

7. $s(t) = \int_0^t 2R\sin\frac u2\,\dd u = 4R\bigl(1 - \cos\frac t2\bigr)$ ; $s(2\pi) = 4R(1+1) = 8R$ , ce qui est cohérent.

8. $\sigma(t) = \abs{s(t) - s(\pi)} = \abs{4R(1 - \cos\frac t2) - 4R} = 4R\abs{\cos\frac t2}$ , donc $\sigma^2 = 16R^2\cos^2\frac t2$ ; et $2R - y = R(1 + \cos t) = 2R\cos^2\frac t2$ , d’où $8R(2R - y) = 16R^2\cos^2\frac t2 = \sigma^2$ .

9. Au point de rebroussement $t = 0$ (ou $2\pi$ ) : $\sigma = 4R$ , la moitié de $8R$ : le sommet coupe l’arche en deux. Dans les deux calculs, la vitesse est $\abs{\text{polynôme trigonométrique en } t/2}$ , dont une primitive est encore trigonométrique : la longueur est une différence de valeurs de cosinus — des nombres rationnels multipliés par $R$ — sans aucun arc de cercle à mesurer, d’où l’absence de $\pi$ . Le cercle, lui, a une vitesse constante, si bien que son intégrale de longueur produit la longueur totale de l’intervalle $2\pi$ ; la vitesse de la cycloïde s’annule aux extrémités et s’intègre algébriquement.

10. L’arche est décrite avec $x$ croissant de $0$ à $2\pi R$ ( $x' = R(1 - \cos t) \geq 0$ , ne s’annulant qu’en des points isolés). La substitution $x = x(t)$ dans l’intégrale d’aire $\int_0^{2\pi R} y\,\dd x$ (Théorème 15.15) donne $A = \int_0^{2\pi} y(t)\,x'(t)\,\dd t$ .

11.

A = \int_0^{2\pi} R(1 - \cos t)\cdot R(1 - \cos t)\,\dd t = R^2\int_0^{2\pi}\bigl(1 - 2\cos t + \cos^2 t\bigr)\dd t = R^2\Bigl(2\pi - 0 + \pi\Bigr) = 3\pi R^2 ,

en utilisant $\int_0^{2\pi}\cos^2 = \pi$ . Exactement trois aires de roue : la balance de Galilée disait « environ $3$ » ; le calcul de Roberval dit « exactement ».

12. Avec $x = \cos^3 t$ , $y = \sin^3 t$ : $y\,x' = -3\sin^4 t\cos^2 t$ . Linéarisons :

\sin^4 t\cos^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}\cdot\frac{\sin^2 2t}{4} = \frac{\sin^2 2t}{8} - \frac{\sin^2 2t\cos 2t}{8} ,

et sur $\intcc{0}{2\pi}$ : $\int\sin^2 2t = \pi$ , $\int \sin^2 2t\cos 2t = \bigl[\frac{\sin^3 2t}{6}\bigr] = 0$ . Donc $\oint y\,\dd x = -3\cdot\frac\pi8$ , et l’aire enfermée vaut $\frac{3\pi}8$ (le signe enregistre l’orientation dans le sens trigonométrique).

13. Pour $(\cos t, \sin t)$ avec $t$ allant de $\pi$ à $0$ , $x$ croît de $-1$ à $1$ et

\int_\pi^0 \sin t\cdot(-\sin t)\,\dd t = \int_0^\pi \sin^2 t\,\dd t = \frac\pi2 :

la formule rend l’aire du demi-disque supérieur, comme il se doit.

14. $x' = R(1 + \cos t) = 2R\cos^2\frac t2$ , $y' = R\sin t = 2R\sin\frac t2\cos\frac t2$ , donc $\norm{f'} = 2R\cos\frac t2$ (positif sur $\intcc{-\pi}{\pi}$ ). Arc depuis le fond : $s(t) = \int_0^t 2R\cos\frac u2\,\dd u = 4R\sin\frac t2$ . Alors

y = R(1 - \cos t) = 2R\sin^2\frac t2 = 2R\Bigl(\frac{s}{4R}\Bigr)^{\!2} = \frac{s^2}{8R} .

15. Conservation de l’énergie avec $v = \frac{\dd s}{\dd\tau}$ et $y = \frac{s^2}{8R}$ , $y_0 = \frac{s_0^2}{8R}$ :

\Bigl(\frac{\dd s}{\dd\tau}\Bigr)^{\!2} = 2g(y_0 - y) = \frac{2g}{8R}\bigl(s_0^2 - s^2\bigr) = \frac{g}{4R}\bigl(s_0^2 - s^2\bigr).

16. En dérivant en $\tau$ : $2s's'' = -\frac{g}{4R}\,2ss'$ , donc partout où $s' \neq 0$ (donc partout par continuité), $s'' = -\frac{g}{4R}s$ : l’oscillateur harmonique. D’après le Théorème 5.10, $s(\tau) = A\cos\omega\tau + B\sin\omega\tau$ avec $\omega = \sqrt{g/(4R)}$ ; les conditions initiales $s(0) = s_0$ , $s'(0) = 0$ donnent $s(\tau) = s_0\cos\omega\tau$ .

17. La bille atteint le fond quand $s = 0$ , c’est-à-dire en $\omega\tau = \frac\pi2$ :

T_{\downarrow} = \frac{\pi}{2\omega} = \frac\pi2\sqrt{\frac{4R}{g}} = \pi\sqrt{\frac Rg}\,,

indépendant de $s_0$ : lâchées de n’importe où dans la cuvette, toutes les billes arrivent au même instant — la tautochrone.

18. En substituant $s = s_0\cos\omega\tau$ : le membre de gauche vaut $s_0^2\omega^2\sin^2\omega\tau$ et le membre de droite vaut $\frac{g}{4R}s_0^2(1 - \cos^2\omega\tau) = s_0^2\omega^2\sin^2\omega\tau$ : égalité exacte, donc aucune solution parasite n’a été introduite. Pour un arc de cercle, $y$ n’est pas proportionnel à $s^2$ ( $y = \ell(1 - \cos\frac s\ell) = \frac{s^2}{2\ell} - \frac{s^4}{24\ell^3} + \dots$ ) : le terme de rappel n’est qu’approximativement linéaire, si bien que la période d’un pendule circulaire dérive avec l’amplitude, alors que celle de la cycloïde est rigoureusement constante.

19. $\pi\sqrt{R/g} = 1$ donne $R = \frac{g}{\pi^2} \approx \frac{9.81}{9.87} \approx 0.994$ m — presque exactement un mètre. L’oscillation complète prend $\frac{2\pi}\omega = 2\pi\sqrt{4R/g}$ , qui est précisément la formule des petits angles $2\pi\sqrt{\ell/g}$ pour un pendule de longueur $\ell = 4R$ : Huygens suspendait son pendule entre des joues cycloïdales exactement de cette proportion.

20. En $t = \frac\pi2$ , $R = 1$ : $M = \bigl(\frac\pi2 - 1,\ 1\bigr)$ , $T = \bigl(\frac\pi2,\ 2\bigr)$ , donc $T - M = (1, 1)$ . Et $f'(\frac\pi2) = (1 - 0,\ 1) = (1, 1)$ : la corde vers le sommet est la vitesse, comme promis.

21. Pour la trochoïde, $x'(t) = R - d\cos t$ et $y'(t) = d\sin t$ . Si $d < R$ : $x' \geq R - d > 0$ , le point avance toujours ; la vitesse ne s’annule jamais (sa première composante est positive) : aucun point singulier, une ondulation régulière. Si $d > R$ : $x'(0) = R - d < 0 < R + d = x'(\pi)$ , donc le point recule au voisinage des instants de contact et avance ailleurs : la courbe se recoupe en formant des boucles. Un point du boudin d’une roue de chemin de fer (sous le champignon du rail, $d > R$ ) recule à chaque tour.

22. La corde du point de rebroussement $(\pi R, 2R)$ à l’origine a pour longueur $L = R\sqrt{\pi^2 + 4}$ et fait un angle $\alpha$ avec l’horizontale, avec $\sin\alpha = \frac{2R}{L}$ . En glissant depuis le repos avec une accélération constante $g\sin\alpha$ : $L = \frac12 g\sin\alpha\,T^2$ , donc

T = \sqrt{\frac{2L}{g\sin\alpha}} = \sqrt{\frac{2L^2}{2Rg}} = \frac{L}{\sqrt{Rg}} = \sqrt{\pi^2 + 4}\,\sqrt{\frac Rg} \approx 3.72\sqrt{\frac Rg}\,,

contre $\pi\sqrt{R/g} \approx 3.14\sqrt{R/g}$ pour la cycloïde : le chemin courbe est plus rapide. Il est en fait le plus rapide possible — la brachistochrone — un théorème du calcul des variations, hors de portée de ce volume.

23. $\dfrac{\dd y}{\dd x} = \dfrac{y'}{x'} = \dfrac{\sin t}{1 - \cos t} = \cot\dfrac t2$ (formules de l’angle moitié). Alors

\frac{\dd^2y}{\dd x^2} = \frac{\dd}{\dd t}\Bigl(\cot\frac t2\Bigr)\cdot\frac{1}{x'(t)} = -\frac{1}{2\sin^2\frac t2}\cdot\frac{1}{2R\sin^2\frac t2} = -\frac{1}{4R\sin^4\frac t2} < 0 :

concave sur toute l’arche ; quand $t \to 0^+$ ou $2\pi^-$ , la pente $\cot\frac t2 \to \pm\infty$ : tangentes verticales aux points de rebroussement.

24. La direction de la corde est $T - M \parallel \bigl(\sin\frac t2, \cos\frac t2\bigr)$ , qui tend vers $(0, 1)$ quand $t \to 0^{+}$ : la tangente au point de rebroussement est verticale — retrouvée par la géométrie pure, sans aucun développement de Taylor.

25. (i) Le théorème de Wren, $L = 8R$ ; l’aire de Roberval, $A = 3\pi R^2$ (le rapport $3$ conjecturé par Galilée) ; la tautochrone de Huygens, $T_\downarrow = \pi\sqrt{R/g}$ . (ii) Tout le calcul a reposé sur les factorisations par l’angle moitié $f' = 2R\sin\frac t2(\sin\frac t2, \cos\frac t2)$ et leur analogue dans la cuvette — une seule identité alimentant la tangente, la longueur et l’horloge. (iii) La relation intrinsèque $y = s^2/8R$ a converti l’équation d’énergie en $s'' = -\frac{g}{4R}s$ , une équation linéaire à coefficients constants dont les solutions sont exactement isochrones. (iv) La partie I a utilisé le calcul différentiel du Chapitre 14, les parties II et III l’intégrale du Chapitre 15, la partie IV les équations différentielles du Chapitre 5 — la cycloïde est le programme de ce livre enroulé en une seule courbe.