Qu'est-ce que « espace compact » ? — Mathématiques

Définition 6.12 Mathématiques universitaires — Licence 3 · Chapitre 6 — Topologie générale

Un recouvrement ouvert de $X$ est une famille $(U_i)_{i\in I}$ d’ouverts avec $\bigcup U_i = X$ . $X$ est compact s’il est séparé et si tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini. De façon équivalente (en passant aux complémentaires) : toute famille de fermés avec la propriété d’intersection finie (toutes les sous-familles finies ont une intersection non vide) a une intersection totale non vide.

Exemples

Exemple 6.11

Le quotient $\R/\Z$ (identifier $x$ et $x + n$ ) est homéomorphe au cercle $S^1 = \{z \in \C : \abs z = 1\}$ : l’application $x \mapsto \eu^{2\iu\pi x}$ passe à une bijection continue $\R/\Z \to S^1$ (Proposition 6.10(b)) ; son inverse est continue par l’argument de compacité du Corollaire 6.14 ci-dessous (Exercice 6.5 détaille tout, y compris pourquoi $\R/\Z$ est séparé et compact). De même $[0,1]$ avec les extrémités collées est $S^1$ , le carré avec les côtés opposés collés est le tore, et le collage est enfin un théorème, non un dessin.

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