Mathématiques universitaires — Licence 3 · Bachelor Year 3

6Topologie générale

Le volume de deuxième année a mené l’analyse dans les espaces métriques : distances, boules, suites. Mais les notions fondamentales — continuité, compacité, connexité — ne mentionnent jamais la valeur numérique d’une distance, seulement la famille des ouverts qu’elle engendre. Ce chapitre prend cette famille comme objet primitif. Le gain n’est pas la généralité pour elle-même : les constructions quotients (le cercle comme $\R/\Z$ , les espaces projectifs), les produits et les topologies de type faible de l’analyse fonctionnelle ne sont tout simplement pas des objets « métrique d’abord ». On reconstruit la continuité, puis on traite la compacité par recouvrements ouverts (en prouvant l’équivalence avec la définition séquentielle de deuxième année dans les espaces métriques), et la connexité — pour conclure par le théorème qu’une bijection continue ne peut identifier $\R$ et $\R^2$ : la topologie distingue les dimensions.

6.1 Topologies, ouverts, continuité

Définition 6.1

Une topologie sur un ensemble $X$ est une famille $\mathcal T$ de parties de $X$ — appelées ouverts — telles que : $\varnothing, X \in \mathcal T$ ; toute réunion d’ouverts est ouverte ; toute intersection finie d’ouverts est ouverte. Le couple $(X, \mathcal T)$ est un espace topologique. Les complémentaires d’ouverts sont fermés. Un voisinage de $x$ est un ensemble contenant un ouvert contenant $x$ .

Exemple 6.2

(a) Un espace métrique, avec les ouverts de deuxième année (réunions de boules ouvertes) : la topologie métrique ; des métriques différentes peuvent donner la même topologie (métriques équivalentes). Un espace dont la topologie provient d’une métrique est métrisable. (b) La topologie discrète (toutes les parties) et la topologie indiscrète $\{\varnothing, X\}$ . (c) La topologie cofinie sur un ensemble infini : ouvert $=$ vide ou cofini. Non métrisable, comme on le verra (Exercice 6.3). (d) Sur $\R$ , la topologie usuelle ; sur $\bar\R = \R \cup \{\pm\infty\}$ , la topologie de l’ordre engendrée par les demi-droites — faisant de « $x_n \to +\infty$ » un cas particulier de convergence ordinaire.

Définition 6.3

Pour $A \subseteq X$ : l’intérieur $\mathring A$ est le plus grand ouvert contenu dans $A$ (réunion de tous) ; l’adhérence $\bar A$ le plus petit fermé contenant $A$ ; la frontière $\partial A = \bar A \setminus \mathring A$ . $A$ est dense si $\bar A = X$ . On a $x \in \bar A$ ssi tout voisinage de $x$ rencontre $A$ (si un voisinage manque $A$ , le complémentaire de son noyau ouvert est un fermé plus petit autour de $A$ ; et réciproquement).

Définition 6.4

Une base de $\mathcal T$ est une famille $\mathcal B \subseteq \mathcal T$ telle que tout ouvert est réunion de membres de $\mathcal B$ (p. ex. les boules ouvertes d’un espace métrique ; les intervalles ouverts de $\R$ ). Une famille $\mathcal B$ de parties de $X$ est une base d’une topologie ssi elle recouvre $X$ et, pour $B_1, B_2 \in \mathcal B$ et $x \in B_1 \cap B_2$ , il existe $B_3 \in \mathcal B$ avec $x \in B_3 \subseteq B_1\cap B_2$ — alors les « réunions de membres » forment une topologie, la topologie engendrée par $\mathcal B$ .

Définition 6.5

$f \colon X \to Y$ est continue si $f^{-1}(V)$ est ouvert pour tout ouvert $V \subseteq Y$ — de façon équivalente, les images réciproques de fermés sont fermées ; de façon équivalente, pour tout $x$ et tout voisinage $V$ de $f(x)$ , $f^{-1}(V)$ est un voisinage de $x$ (continuité en chaque $x$ ). Il suffit de vérifier sur une base de $Y$ . Les composées d’applications continues sont continues. Un homéomorphisme est une bijection continue d’inverse continue ; la topologie étudie les propriétés préservées par les homéomorphismes.

Proposition 6.6 (Continuité vs adhérence ; recollement)

(a) $f$ est continue ssi $f(\bar A) \subseteq \overline{f(A)}$ pour tout $A \subseteq X$ . (b) Si $X = F_1 \cup F_2$ avec $F_1, F_2$ fermés et $f\colon X \to Y$ se restreint continûment à chaque $F_i$ , alors $f$ est continue.

Démonstration. (a) Si $f$ est continue : $f^{-1}(\overline{f(A)})$ est fermé et contient $A$ , donc contient $\bar A$ . Réciproquement, appliquer le critère à $A = f^{-1}(F)$ , $F$ fermé : $f(\bar A) \subseteq \overline{f(f^{-1}(F))} \subseteq \bar F = F$ , donc $\bar A \subseteq f^{-1}(F) = A$ : les images réciproques de fermés sont fermées. (b) Pour $F \subseteq Y$ fermé : $f^{-1}(F) = (f\restriction_{F_1})^{-1}(F) \cup (f\restriction_{F_2})^{-1} (F)$ , réunion de deux ensembles fermés dans $F_1$ , resp. $F_2$ , donc fermés dans $X$ ( $F_i$ fermés : fermé-dans-fermé est fermé). ∎

Définition 6.7

$X$ est séparé (ou de Hausdorff) si deux points distincts admettent des voisinages disjoints. Les espaces métriques sont séparés (boules de rayon $d(x,y)/2$ ). Une suite $(x_n)$ converge vers $x$ si tout voisinage de $x$ contient tous les $x_n$ sauf un nombre fini ; dans un espace séparé, les limites sont uniques (deux limites auraient des voisinages disjoints contenant chacun une queue). Dans un espace séparé, les points — donc les parties finies — sont fermés.

Remarque 6.8

Dans les espaces métriques, les suites détectent tout : $x \in \bar A$ ssi une suite de $A$ converge vers $x$ (prendre $x_n \in A \cap B(x, 1/n)$ ), et $f$ est continue ssi elle est séquentiellement continue. Dans les espaces généraux, les deux équivalences échouent ; les bons substituts des suites (filtres, filets) relèvent d’un cours plus avancé. On énoncera les résultats séquentiels dans les espaces métriques et les résultats par recouvrements en général — et on prouvera l’équivalence là où elle a lieu.

6.2 Sous-espaces, produits, quotients

Définition 6.9

Trois façons de fabriquer de nouveaux espaces à partir d’anciens :

Sous-espace : sur $A \subseteq X$ , les ouverts sont les $U \cap A$ , $U$ ouvert dans $X$ — la topologie la plus grossière rendant l’inclusion continue.
Produit : sur $X \times Y$ (et les produits finis), la topologie de base les pavés ouverts $U \times V$ ; sur un produit infini $\prod_i X_i$ , la base est formée des pavés $\prod U_i$ avec $U_i = X_i$ pour tous les $i$ sauf un nombre fini — la topologie la plus grossière rendant chaque projection continue.
Quotient : si $\sim$ est une équivalence sur $X$ et $\pi\colon X \to X/{\sim}$ la projection, on déclare $V \subseteq X/{\sim}$ ouvert ssi $\pi^{-1}(V)$ est ouvert — la topologie la plus fine rendant $\pi$ continue.

Proposition 6.10 (Propriétés universelles)

(a) $f \colon Z \to X \times Y$ est continue ssi les deux composantes $\pi_X \circ f$ , $\pi_Y \circ f$ le sont (idem pour les produits arbitraires). (b) $g \colon X/{\sim} \to Z$ est continue ssi $g \circ \pi \colon X \to Z$ l’est.

Démonstration. (a) Nécessité : composées. Suffisance : il suffit de vérifier les images réciproques des pavés de base : $f^{-1}(U \times V) = (\pi_Xf)^{-1}(U) \cap (\pi_Yf)^{-1}(V)$ , ouvert (nombre fini de facteurs $\neq X_i$ dans le cas infini). (b) Nécessité : composée. Suffisance : pour $W \subseteq Z$ ouvert, $\pi^{-1}(g^{-1}(W)) = (g\pi)^{-1}(W)$ est ouvert, ce qui, par définition de la topologie quotient, signifie que $g^{-1}(W)$ est ouvert. ∎

Exemple 6.11

Le quotient $\R/\Z$ (identifier $x$ et $x + n$ ) est homéomorphe au cercle $S^1 = \{z \in \C : \abs z = 1\}$ : l’application $x \mapsto \eu^{2\iu\pi x}$ passe à une bijection continue $\R/\Z \to S^1$ (Proposition 6.10(b)) ; son inverse est continue par l’argument de compacité du Corollaire 6.14 ci-dessous (Exercice 6.5 détaille tout, y compris pourquoi $\R/\Z$ est séparé et compact). De même $[0,1]$ avec les extrémités collées est $S^1$ , le carré avec les côtés opposés collés est le tore, et le collage est enfin un théorème, non un dessin.

6.3 Compacité

Définition 6.12

Un recouvrement ouvert de $X$ est une famille $(U_i)_{i\in I}$ d’ouverts avec $\bigcup U_i = X$ . $X$ est compact s’il est séparé et si tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini. De façon équivalente (en passant aux complémentaires) : toute famille de fermés avec la propriété d’intersection finie (toutes les sous-familles finies ont une intersection non vide) a une intersection totale non vide.

Théorème 6.13 (Premières propriétés)

Soit $X$ compact.

Une partie fermée de $X$ est compacte ; une partie compacte d’un espace séparé est fermée.
L’image continue d’un espace compact dans un espace séparé est compacte. En particulier une $f\colon X \to \R$ continue est bornée et atteint ses bornes.
Une suite décroissante de parties fermées non vides de $X$ a une intersection non vide.

Démonstration. (1) Soit $F \subseteq X$ fermé et $(U_i)$ un recouvrement ouvert de $F$ (par des ouverts de $X$ ) : en ajoutant $X \setminus F$ on obtient un recouvrement ouvert de $X$ ; un sous-recouvrement fini, privé de $X \setminus F$ , recouvre $F$ . La séparation du sous-espace est claire. Réciproquement soit $K \subseteq Y$ compact, $Y$ séparé, et $y \notin K$ : pour chaque $x \in K$ choisir des ouverts disjoints $U_x \ni x$ , $V_x \ni y$ ; un nombre fini de $U_x$ recouvrent $K$ , et l’intersection des $V_x$ correspondants est un voisinage de $y$ disjoint du recouvrement de $K$ , donc de $K$ : le complémentaire de $K$ est ouvert.

(2) Si $(V_j)$ recouvre $f(X)$ , alors $(f^{-1}(V_j))$ recouvre $X$ ; un sous-recouvrement fini en bas provient du sous-recouvrement fini en haut. L’image est séparée comme sous-espace. Pour $f$ réelle : $f(X)$ est compacte dans $\R$ , donc fermée et bornée (recouvrement par $(-n, n)$ pour la bornitude ; fermée par (1)), et une partie fermée bornée contient son supremum.

(3) Si $\bigcap F_n = \varnothing$ , les ouverts $X \setminus F_n$ recouvrent $X$ ; un nombre fini suffit, donc quelque $F_{n_0} = \varnothing$ (la suite décroît) — contradiction. ∎

Corollaire 6.14

Une bijection continue d’un espace compact vers un espace séparé est un homéomorphisme.

Démonstration. L’inverse est continue ssi les images directes de fermés sont fermées ; un fermé $F$ est compact (Théorème 6.13(1)), son image est compacte (2), donc fermée (1) dans la cible séparée. ∎

Théorème 6.15 (Produits finis)

Un produit fini d’espaces compacts est compact.

Démonstration. Il suffit de traiter $X \times Y$ . La séparation s’hérite (séparer dans une coordonnée). Soit $(W_i)$ un recouvrement ouvert de $X \times Y$ ; on peut supposer les $W_i$ des pavés de base $U_i \times V_i$ (raffiner : chaque point est dans un pavé contenu dans quelque $W_i$ ; un sous-recouvrement fini de pavés en donne un de $W_i$ ). Fixons $x \in X$ : la tranche $\{x\}\times Y \cong Y$ est compacte, donc un nombre fini de pavés $U_1\times V_1, \dots, U_k\times V_k$ la recouvrent, avec $x \in U_j$ pour tout $j$ ; alors $U^x = \bigcap_{j \leq k} U_j$ est un voisinage ouvert de $x$ avec $U^x \times Y$ recouvert par un nombre fini de pavés (le lemme du tube : pour $(x', y) \in U^x \times Y$ , $y \in V_j$ pour quelque $j$ puisque les pavés recouvraient $\{x\}\times Y$ au niveau $y$ , et $x' \in U^x \subseteq U_j$ , donc $(x', y) \in U_j \times V_j$ ). Un nombre fini de $U^x$ recouvrent alors le compact $X$ ; les collections finies de pavés correspondantes recouvrent $X \times Y$ . ∎

Théorème 6.16 (Compacité dans les espaces métriques)

Pour un espace métrique $(X, d)$ , les propriétés suivantes sont équivalentes :

$X$ est compact (Borel–Lebesgue) ;
toute suite de $X$ admet une sous-suite convergente (compacité séquentielle — définition de deuxième année) ;
$X$ est complet et totalement borné : pour tout $\varepsilon > 0$ , un nombre fini de boules de rayon $\varepsilon$ recouvrent $X$ .

Démonstration. (1) $\Rightarrow$ (2) : Soit $(x_n)$ sans sous-suite convergente. Alors chaque $x \in X$ admet une boule ouverte $B_x$ ne contenant $x_n$ que pour un nombre fini d’indices $n$ (sinon une sous-suite convergerait vers $x$ : prendre des rayons $1/k$ ). Un nombre fini de $B_x$ recouvrent $X$ , donc seuls un nombre fini d’indices $n$ existent : absurde.

(2) $\Rightarrow$ (3) : Complétude : une suite de Cauchy admettant une sous-suite convergente converge (deuxième année). Totalement borné : si un $\varepsilon$ n’admet pas de recouvrement fini, choisir inductivement $x_{n+1}$ hors de $\bigcup_{k\leq n} B(x_k, \varepsilon)$ : la suite vérifie $d(x_m, x_n) \geq \varepsilon$ pour $m \neq n$ , pas de sous-suite de Cauchy, donc pas de sous-suite convergente.

(3) $\Rightarrow$ (1) : D’abord, (3) implique (2) : étant donné $(x_n)$ , recouvrir $X$ par un nombre fini de boules de rayon $1$ : l’une, $B_1$ , contient une sous-suite ; recouvrir $X$ par des boules de rayon $1/2$ : l’une en contient une sous-sous-suite ; itérer et diagonaliser : la sous-suite diagonale est de Cauchy (deux termes au-delà de l’étape $k$ sont dans une boule commune de rayon $2^{-k}$ , au facteur $2$ près habituel), donc converge. Soit maintenant $(U_i)$ un recouvrement ouvert et supposons qu’il n’y ait pas de sous-recouvrement fini. Argument du nombre de Lebesgue : pour chaque $n$ , quelque boule $B(y_n, 2^{-n})$ n’est pas recouverte par un nombre fini de $U_i$ — en effet, recouvrir $X$ par un nombre fini de boules de rayon $2^{-n}$ ; si chacune était finiment recouverte, $X$ le serait. Par (2), une sous-suite $y_{n_k} \to y$ ; choisir $i$ avec $y \in U_i$ et $r > 0$ avec $B(y, r) \subseteq U_i$ . Pour $k$ grand, $B(y_{n_k}, 2^{-n_k}) \subseteq B(y, r) \subseteq U_i$ : recouverte par un $U_i$ — contradiction. ∎

Corollaire 6.17 (Heine–Borel ; Heine)

(a) Une partie de $\R^n$ est compacte ssi elle est fermée et bornée. (b) Une application continue d’un espace métrique compact vers un espace métrique est uniformément continue.

Démonstration. (a) Fermée et bornée $\Rightarrow$ contenue dans un cube $[-M,M]^n$ , qui est compact : $[-M, M]$ l’est (séquentiellement, par Bolzano–Weierstrass — ou directement par dichotomie pour les recouvrements), et le Théorème 6.15 traite le produit ; appliquer alors le Théorème 6.13(1). Réciproquement une partie compacte est fermée (Théorème 6.13(1)) et bornée (recouvrement par des boules concentriques).

(b) Soit $f \colon X \to Y$ , $\varepsilon > 0$ . Les boules $B\bigl(x, \delta_x\bigr)$ avec $f\bigl(B(x, 2\delta_x)\bigr)\subseteq B\bigl(f(x), \varepsilon/2\bigr)$ recouvrent $X$ ; extraire un sous-recouvrement fini $B(x_j, \delta_{x_j})$ et poser $\delta = \min_j \delta_{x_j}$ . Si $d(x, x') < \delta$ : $x \in B(x_j, \delta_{x_j})$ pour quelque $j$ , et alors $x, x' \in B(x_j, 2\delta_{x_j})$ , donc $d(f(x), f(x')) < \varepsilon$ . ∎

Définition 6.18

$X$ est localement compact s’il est séparé et si tout point admet un voisinage compact ( $\R^n$ ; ouverts de $\R^n$ ; espaces discrets — mais pas $\Q$ , voir Exercice 6.9). Tout espace localement compact s’immerge dans un compact : la compactification d’Alexandroff $\hat X = X \cup \{\infty\}$ , dont les ouverts sont ceux de $X$ ainsi que les complémentaires (dans $\hat X$ ) des parties compactes de $X$ . On vérifie les axiomes directement ; $\hat X$ est compact (un recouvrement a un membre contenant $\infty$ , dont le complémentaire est compact, recouvert par un nombre fini d’autres) et séparé (séparer $x$ de $\infty$ par un voisinage compact de $x$ et son complémentaire). Exemple : $\hat\R \cong S^1$ , et $\widehat{\R^n} \cong S^n$ par projection stéréographique (Exercice 6.11).

6.4 Connexité

Définition 6.19

$X$ est connexe s’il n’est pas réunion de deux ouverts non vides disjoints — de façon équivalente, ses seules parties à la fois ouvertes et fermées sont $\varnothing$ et $X$ ; de façon équivalente, toute application continue $X \to \{0, 1\}$ (discret) est constante. Une partie est connexe si elle l’est comme sous-espace.

Théorème 6.20

Les parties connexes de $\R$ sont exactement les intervalles.
Les images continues d’ensembles connexes sont connexes (d’où le théorème des valeurs intermédiaires : une application réelle continue sur un espace connexe a un intervalle pour image).
Si $(A_i)$ sont connexes avec un point commun, $\bigcup A_i$ est connexe. Si $A$ est connexe et $A \subseteq B \subseteq \bar A$ , alors $B$ est connexe.
Les produits finis d’espaces connexes sont connexes.

Démonstration. Partout on utilise le critère $\{0,1\}$ : $f \colon X \to \{0,1\}$ continue doit être constante.

(1) Une non-intervalle $A$ manque quelque $c$ entre $a, b \in A$ : $A = (A \cap (-\infty, c)) \sqcup (A \cap (c, +\infty))$ déconnecte. Réciproquement soit $I$ un intervalle et $f \colon I \to \{0,1\}$ continue avec $f(a) = 0$ , $f(b) = 1$ , $a < b$ . Soit $c = \sup\{x \in [a,b] : f(x) = 0\}$ ; la continuité en $c$ force $f(c) = 0$ (limite de valeurs $0$ : tout voisinage de $c$ rencontre $\{f = 0\}$ ; $\{f=0\}$ est fermé) puis $c < b$ avec $f \equiv 1$ sur $(c, b]$ , donc $f(c) = 1$ par le même argument de fermeture sur $\{f = 1\} \ni c$ : contradiction.

(2) Une $g \colon f(X) \to \{0,1\}$ continue donne $g \circ f$ constante, donc $g$ est constante sur l’image.

(3) Une $f\colon \bigcup A_i \to \{0,1\}$ continue est constante sur chaque $A_i$ , avec la même valeur au point commun. Pour l’adhérence : $f \colon B \to \{0,1\}$ est constante $= c$ sur $A$ ; tout $x \in B \subseteq \bar A$ est dans l’adhérence de $A$ , et $f^{-1}(f(x))$ est un voisinage de $x$ (image réciproque d’un ouvert), qui doit rencontrer $A$ : $f(x) = c$ .

(4) Pour $X \times Y$ et $f\colon X\times Y \to \{0,1\}$ : deux points $(x,y), (x',y')$ sont joints par le « coude » $\{x\}\times Y \cup X \times \{y'\}$ , réunion de deux ensembles connexes (homéomorphes à $Y$ , $X$ ) se rencontrant en $(x, y')$ : par (3) et (2), $f$ coïncide sur les deux points. ∎

Définition 6.21

$X$ est connexe par arcs si deux points quelconques sont joints par un chemin (application continue $\gamma \colon [0,1] \to X$ ). Connexe par arcs implique connexe : deux valeurs d’une $f \colon X \to \{0,1\}$ continue en $x, y$ sont des valeurs de la constante $f\circ\gamma$ (Théorème 6.20(1)–(2)). Les parties convexes d’espaces normés sont connexes par arcs (segments) ; de même $\R^n \setminus \{0\}$ pour $n \geq 2$ (contourner l’origine), et $S^n$ pour $n \geq 1$ (projeter des chemins depuis $\R^{n+1}\setminus \{0\}$ ).

Exemple 6.22 (La sinusoïde du topologue)

Soit $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ et $S = \bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (tout point $(0, y)$ , $\abs y \leq 1$ , est limite de points de $\Gamma$ : résoudre $\sin\frac1x = y$ près de $0$ ). Alors $S$ est connexe — adhérence de la connexe $\Gamma$ , image continue de $(0, 1]$ (Théorème 6.20(3)) — mais pas connexe par arcs : un chemin de $(1, \sin 1)$ à $(0,0)$ devrait parcourir des abscisses $\to 0$ tandis que l’ordonnée oscille entre $\pm1$ ; Exercice 6.9 rend cela rigoureux. Connexité et connexité par arcs diffèrent vraiment.

La sinusoïde du topologue : le graphe de 1x (rouge) s’accumule sur tout le segment \0\×[-1,1] (bleu). La réunion est connexe mais non connexe par arcs : aucun chemin continu ne peut traverser les oscillations infiniment nombreuses en un temps de paramètre fini. — La sinusoïde du topologue : le graphe de $\sin\frac1x$ (rouge) s’accumule sur tout le segment $\{0\}\times[-1,1]$ (bleu). La réunion est connexe mais non connexe par arcs : aucun chemin continu ne peut traverser les oscillations infiniment nombreuses en un temps de paramètre fini.

Définition 6.23

La composante connexe de $x \in X$ est la réunion de toutes les parties connexes contenant $x$ — la plus grande (Théorème 6.20(3)). Les composantes partitionnent $X$ et sont fermées (les adhérences d’ensembles connexes sont connexes). $X$ est totalement discontinu si toutes les composantes sont des singletons ( $\Q$ ; l’ensemble de Cantor du problème de fin de semaine).

Théorème 6.24

$\R$ n’est homéomorphe à aucun $\R^n$ avec $n \geq 2$ .

Démonstration. Supposons $h \colon \R \to \R^n$ un homéomorphisme. En retirant un point : $\R \setminus \{0\}$ est homéomorphe à $\R^n \setminus \{h(0)\}$ . Or $\R\setminus\{0\}$ est disconnexe, tandis que $\R^n\setminus\{\text{point}\}$ est connexe par arcs pour $n \geq 2$ (Définition 6.21 ; translater le point en $0$ ) : la connexité est un invariant d’homéomorphisme (Théorème 6.20(2)) — contradiction. (Que $\R^2 \not\cong \R^3$ demande des invariants plus fins — topologie algébrique ; le problème de fin de semaine montre le danger : des surjections continues $\R \to \R^2$ existent.) ∎

Méthode 6.25

Pour prouver qu’un ensemble est connexe : l’exhiber comme image continue, réunion d’ensembles connexes se chevauchant, adhérence, ou produit (Théorème 6.20) ; pour les parties d’espaces normés, prouver la connexité par arcs avec des chemins explicites (segments, arcs, coudes). Pour prouver que deux espaces ne sont pas homéomorphes : trouver un invariant topologique qui diffère — compacité, connexité, nombre de composantes, ou composantes après suppression d’un ensemble fini bien choisi (l’astuce du Théorème 6.24 : elle prouve aussi $[0,1) \not\cong (0,1)$ et $S^1 \not\cong [0,1]$ ).

6.5 Exercices

Exercice 6.1 ★

(a) Lister toutes les topologies sur $\{a, b\}$ , les classer à homéomorphisme près, et déterminer lesquelles sont connexes et lesquelles sont séparées. (b) Dans $\R$ (topologie usuelle), calculer intérieur, adhérence et frontière de $\Q$ , de $[0,1) \cup \{2\}$ , et de $\{1/n : n \geq 1\}$ .

Solution

Solution de Exercice 6.1.

(a) Quatre topologies sur $\{a,b\}$ : indiscrète $\{\varnothing, X\}$ ; discrète ; les deux topologies de Sierpiński $\{\varnothing, \{a\}, X\}$ et $\{\varnothing, \{b\}, X\}$ . Les deux dernières sont homéomorphes (échanger $a, b$ ) : trois classes. Connexes : toutes sauf la discrète (seule la topologie discrète contient un clopen propre non vide). Séparées : seule la discrète (dans les autres, le seul voisinage de $b$ est $X$ , ou celui de $a$ ).

(b) $\Q$ : intérieur $\varnothing$ (tout intervalle contient des irrationnels), adhérence $\R$ (densité), frontière $\R$ . $[0,1) \cup \{2\}$ : intérieur $(0,1)$ , adhérence $[0,1]\cup\{2\}$ , frontière $\{0, 1, 2\}$ . $\{1/n\}$ : intérieur $\varnothing$ , adhérence $\{1/n\}\cup\{0\}$ , frontière l’adhérence elle-même.

Exercice 6.2 ★

(a) Montrer que $f\colon X \to Y$ est continue ssi $f^{-1}(B)$ est ouvert pour tout $B$ d’une base fixée de $Y$ . (b) Montrer que $f = \mathbf 1_{[0,\infty)} \colon \R \to \R$ n’est pas continue mais est continue à droite. Vérifier que les intervalles semi-ouverts $[a, b)$ forment une base d’une topologie sur la source $\R$ (la droite de Sorgenfrey), que cette topologie est strictement plus fine que l’usuelle, et qu’une fonction $\R \to \R$ (cible usuelle) est continue depuis la droite de Sorgenfrey ssi elle est continue à droite en tout point.

Solution

Solution de Exercice 6.2.

(a) Tout ouvert $V \subseteq Y$ est une réunion $\bigcup B_j$ d’ensembles de base, et $f^{-1}(V) = \bigcup f^{-1}(B_j)$ : si ces derniers sont ouverts, le premier l’est ; la réciproque est triviale.

(b) $f^{-1}\bigl(\intoo{\frac12}{\frac32}\bigr) = [0, \infty)$ n’est pas ouvert : $f$ n’est pas continue ; la continuité à droite en chaque point est claire ( $f$ est localement constante à droite de tout point). Les ensembles $[a, b)$ satisfont le critère de base (Définition 6.4) : $[a,b)\cap[c,d) = [\max(a,c), \min(b,d))$ . La topologie de Sorgenfrey est plus fine que l’usuelle, car $(a, b) = \bigcup_{a < c < b}[c, b)$ ; strictement : $[0,1)$ est ouvert pour Sorgenfrey, pas pour l’usuelle. Continuité depuis la droite de Sorgenfrey en $x$ : un voisinage de Sorgenfrey de $x$ contient un ensemble de base $[a, b) \ni x$ , donc contient $[x, b)$ — la condition de continuité se lit : pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $\delta > 0$ avec $\abs{f(t) - f(x)} < \varepsilon$ dès que $x \leq t < x + \delta$ . C’est exactement la continuité à droite en $x$ .

Exercice 6.3 ★

Sur un ensemble infini muni de la topologie cofinie, montrer : deux ouverts non vides se rencontrent toujours (donc l’espace n’est pas séparé, donc non métrisable) ; toute suite injective converge vers tout point. Où la preuve d’unicité des limites utilise-t-elle la séparation

Solution

Solution de Exercice 6.3.

Deux ouverts non vides ont des complémentaires finis, donc leur intersection a un complémentaire fini : non vide (l’ensemble est infini) — aucun couple de points n’a de voisinages disjoints : non séparé, donc non métrisable (Définition 6.7). Soit $(x_n)$ injective et $x$ arbitraire : un voisinage de $x$ contient un ouvert cofini $U$ ; les points finiment nombreux de $X\setminus U$ sont atteints par au plus un nombre fini d’indices (injectivité), donc une queue de la suite est dans $U$ : $x_n \to x$ , pour tout $x$ . La preuve d’unicité a besoin de deux voisinages disjoints pour séparer deux limites alléguées — précisément ce qui échoue ici.

Exercice 6.4 ★★

(a) Montrer que les projections $\pi_X, \pi_Y$ d’un produit sont continues et ouvertes (images d’ouverts sont ouvertes), mais pas fermées en général ( $\{xy = 1\}$ dans $\R^2$ ). (b) Montrer qu’une suite dans un produit dénombrable $\prod_n X_n$ d’espaces métriques converge ssi chaque coordonnée converge, et que $d(x, y) = \sum_n 2^{-n}\min(1, d_n(x_n, y_n))$ métrise la topologie produit. (c) Sur $\R^\N$ , montrer que la « topologie boîte » (tous les produits d’ouverts sont ouverts) est strictement plus fine : la suite $x^{(k)} = (1/k, 1/k, \dots)$ converge vers $0$ pour la topologie produit mais pas pour la topologie boîte.

Solution

Solution de Exercice 6.4.

(a) La continuité est par construction (Définition 6.9). Ouverture : un ouvert $W \subseteq X \times Y$ est réunion de pavés $U_i\times V_i$ , et $\pi_X(W) = \bigcup U_i$ (les pavés non vides se projettent sur leurs facteurs), ouvert. Pas fermée : $H = \{(x,y) : xy = 1\}$ est fermé dans $\R^2$ (image réciproque de $\{1\}$ sous le produit continu), mais $\pi_X(H) = \R\setminus\{0\}$ n’est pas fermé.

(b) ( $\Rightarrow$ ) Les projections sont continues. ( $\Leftarrow$ ) Soit $x^{(k)} \to x$ composante par composante et $W = \prod U_n$ un voisinage de base de $x$ , avec $U_n = X_n$ sauf pour $n \in F$ fini. Pour chaque $n \in F$ , $x_n^{(k)} \in U_n$ pour $k \geq K_n$ ; pour $k \geq \max_F K_n$ , $x^{(k)} \in W$ . La formule $d$ définit une métrique (chaque somme est une, à la vérification standard près que $\min(1, d_n)$ l’est) ; ses boules : $B_d(x, 2^{-N})$ contient le pavé de base $\{y : d_n(x_n,y_n) < 2^{-N},\ n \leq N'\}$ pour $N'$ convenable (la queue $\sum_{n > N'} 2^{-n}$ est petite), et réciproquement tout pavé de base contient une $d$ -boule : les deux topologies ont les mêmes voisinages de chaque point.

(c) Pour la topologie produit, $x^{(k)} \to 0$ par (b). L’ouvert boîte $U = \prod_n \intoo{-\tfrac1n}{\tfrac1n}$ contient $0$ , mais $x^{(k)} \notin U$ pour tout $k$ (la $n$ -ième coordonnée $1/k \geq 1/n$ quand $n \geq k$ ) : aucune queue n’entre dans $U$ . La topologie boîte est strictement plus fine et n’est pas une topologie de type produit pour la convergence.

Exercice 6.5 ★★

Le cercle, de trois façons. Montrer que les suivants sont homéomorphes deux à deux, avec des applications explicites : (i) $S^1 \subseteq \R^2$ ; (ii) $\R/\Z$ (topologie quotient) ; (iii) $[0,1]/(0 \sim 1)$ . (Pour (ii) : montrer que $\R/\Z$ est séparé — relever deux classes à des représentants à distance $\leq \frac12$ — et que $\pi([0,1])$ est tout, donc le quotient est compact ; puis utiliser le Corollaire 6.14.)

Solution

Solution de Exercice 6.5.

$\varphi \colon \R \to S^1$ , $x \mapsto \eu^{2\iu\pi x}$ , est continue, surjective, et constante sur les classes modulo $\Z$ : elle induit une bijection continue $\bar\varphi \colon \R/\Z \to S^1$ (Proposition 6.10(b)). La projection $\pi$ est ouverte : pour $U \subseteq \R$ ouvert, $\pi^{-1}(\pi(U)) = \bigcup_{n}(U + n)$ est ouvert, donc $\pi(U)$ est ouvert. Séparé : soit $\bar x \neq \bar y$ ; choisir des représentants avec $\delta = \min_{n}\abs{x - y - n} > 0$ ; les images des intervalles de rayon $\delta/3$ autour de $x$ et $y$ sont ouvertes (ouverture de $\pi$ ), contiennent $\bar x, \bar y$ , et sont disjoints (deux points antécédents seraient à moins de $2\delta/3$ l’un de l’autre mod $\Z$ ). Compact : $\R/\Z = \pi([0,1])$ , image continue d’un espace compact (Théorème 6.13(2)). Maintenant $\bar\varphi$ est une bijection continue d’un espace compact vers le séparé $S^1$ : un homéomorphisme (Corollaire 6.14).

Pour (iii) : le composé $[0,1] \hookrightarrow \R \xrightarrow{\pi} \R/\Z$ est continu, surjectif, et identifie exactement $0 \sim 1$ : il induit une bijection continue $[0,1]/(0\sim1) \to \R/\Z$ d’un espace compact (image continue de $[0,1]$ sous la projection quotient) vers un espace séparé : un homéomorphisme. En composant : les trois espaces sont homéomorphes.

Exercice 6.6 ★★

Soit $X$ un espace métrique. (a) Montrer qu’une réunion finie de parties compactes est compacte, et qu’une intersection quelconque l’est. (b) Si $K$ est compact, $F$ fermé, $K \cap F = \varnothing$ , montrer $d(K, F) = \inf\{d(x,y) : x \in K, y \in F\} > 0$ ; donner un contre-exemple avec deux fermés disjoints. (c) Montrer que $X$ est compact ssi toute $f \colon X \to \R$ continue est bornée. (Si une suite n’a pas de sous-suite convergente, construire une fonction continue non bornée supportée près de ses termes ; ou utiliser des fonctions du type $x \mapsto d(x, \cdot)$ — une voie propre : si $(x_n)$ n’a pas de point d’accumulation, l’ensemble $\{x_n\}$ est fermé et discret, et $f(x_n) = n$ s’étend continûment par des moyens sans Tietze : $f(x) = \sum_n n\,\max\bigl(0, 1 - \frac{d(x, x_n)}{r_n}\bigr)$ pour $r_n$ assez petits.)

Solution

Solution de Exercice 6.6.

(a) Un recouvrement de $K_1 \cup \dots \cup K_m$ se restreint en un recouvrement de chaque $K_j$ : un nombre fini d’ouverts par morceau suffit. Une intersection $\bigcap K_i$ est fermée dans le compact $K_{i_0}$ (les compacts sont fermés dans l’espace métrique ambiant), donc compacte.

(b) $x \mapsto d(x, F)$ est continue ( $1$ -lipschitzienne) et strictement positive sur $K$ ( $d(x, F) = 0$ signifie $x \in \bar F = F$ ) ; sur le compact $K$ elle atteint un minimum $m > 0$ : $d(K, F) \geq m$ . Contre-exemple sans compacité : $F_1 = \{n : n \geq 2\}$ et $F_2 = \{n + \frac1n : n \geq 2\}$ sont fermés, disjoints, à distance $\inf_n \frac1n = 0$ .

(c) Si $X$ est compact, toute $f$ continue est bornée (Théorème 6.13(2)). Réciproquement, si $X$ n’est pas compact, prendre $(x_n)$ sans sous-suite convergente (Théorème 6.16) ; en passant à une sous-suite on peut supposer les $x_n$ deux à deux distincts, et aucun point de $X$ n’est point d’accumulation de la suite, donc

r_n = \min\Bigl(2^{-n},\ \tfrac13\,d\bigl(x_n, \{x_m : m \neq n\}\bigr)\Bigr) > 0,

et les boules $B(x_n, r_n)$ sont deux à deux disjointes (un point commun des $n$ -ième et $m$ -ième donnerait $d(x_n, x_m) < r_n + r_m \leq \frac23 d(x_n, x_m)$ ). Définir

f(x) = \sum_{n} n\,\max\Bigl(0,\ 1 - \frac{d(x, x_n)}{r_n}\Bigr):

en chaque $x$ au plus un terme est non nul, et $f(x_n) = n$ . Continuité en $x$ : soit $y_k \to x$ ; chaque valeur $f(y_k)$ est soit $0$ soit une valeur de bosse unique $\mathrm{bump}_{n_k}(y_k)$ . Si quelque indice $n$ apparaît infiniment souvent, le long de cette sous-suite $f(y_k) = \mathrm{bump}_n(y_k) \to \mathrm{bump}_n(x)$ , qui égale $f(x)$ (si $x \in B(x_n, r_n)$ , toute la queue est dans cette boule ouverte et aucun autre indice n’apparaît ; si $x \notin B(x_n, r_n)$ alors $\mathrm{bump}_n(x) = 0 = f(x)$ , puisque $x$ , adhérent à la $n$ -ième boule, n’est dans aucune autre boule ouverte). Si $n_k \to \infty$ : $d(y_k, x_{n_k}) < r_{n_k} \leq 2^{-n_k} \to 0$ , donc $x_{n_k} \to x$ , faisant de $x$ un point d’accumulation de $(x_n)$ — exclu ; ce cas ne concerne donc qu’un nombre fini de $k$ . Dans tous les cas $f(y_k) \to f(x)$ : $f$ est continue, et non bornée.

Exercice 6.7 ★★

(Nombre de Lebesgue) Soit $(U_i)$ un recouvrement ouvert d’un espace métrique compact $X$ . Montrer qu’il existe $\delta > 0$ tel que toute partie de diamètre $< \delta$ est contenue dans un seul $U_i$ . (Sinon choisir $A_n$ de diamètre $< 1/n$ dans aucun $U_i$ , et un point d’accumulation de $x_n \in A_n$ choisis.) En déduire à nouveau le théorème de Heine (Corollaire 6.17(b)).

Solution

Solution de Exercice 6.7.

Supposons qu’aucun $\delta$ ne marche : pour chaque $n$ il existe $A_n$ de diamètre $< 1/n$ contenu dans aucun $U_i$ ; choisir $x_n \in A_n$ . Par compacité (Théorème 6.16), une sous-suite $x_{n_k} \to x$ ; choisir $i$ et $r > 0$ avec $B(x, r) \subseteq U_i$ . Pour $k$ grand : $d(x_{n_k}, x) < r/2$ et $1/n_k < r/2$ , donc $A_{n_k} \subseteq B(x_{n_k}, 1/n_k) \subseteq B(x, r) \subseteq U_i$ — contradiction. Heine : étant donné $\varepsilon$ , recouvrir $Y$ par des boules $B(y, \varepsilon/2)$ ; les images réciproques forment un recouvrement ouvert de $X$ ; soit $\delta$ un nombre de Lebesgue : si $d(x, x') < \delta$ , la paire $\{x, x'\}$ a un diamètre $< \delta$ , est dans une image réciproque, et $d(f(x), f(x')) < \varepsilon$ .

Exercice 6.8 ★★

(a) Montrer que $GL_n(\R)$ est une partie ouverte dense de $M_n(\R)$ , et qu’elle est disconnexe : le signe du déterminant la sépare en (au moins) deux morceaux. Montrer en revanche que $GL_n(\C)$ est connexe par arcs. (Pour $A, B \in GL_n(\C)$ : $\lambda \mapsto \det\bigl((1 - \lambda)A + \lambda B\bigr)$ est un polynôme, non identiquement nul, donc a un nombre fini de racines dans $\C$ : choisir un chemin de $\lambda$ dans $\C$ de $0$ à $1$ les évitant.) (b) Prouver la densité : $A + \varepsilon I$ est inversible pour $\varepsilon > 0$ petit.

Solution

Solution de Exercice 6.8.

(a) $GL_n(\R) = \det^{-1}(\R\setminus\{0\})$ est ouvert ( $\det$ est polynomiale, continue). Disconnexe : $\det$ l’envoie sur $\R\setminus\{0\}$ , et un espace connexe a des images continues connexes (Théorème 6.20(2)) ; $\R\setminus\{0\}$ n’est pas un intervalle. $GL_n(\C)$ : pour $A, B$ inversibles, $p(\lambda) = \det\bigl((1-\lambda)A + \lambda B\bigr)$ est un polynôme en $\lambda$ avec $p(0), p(1) \neq 0$ , donc non identiquement nul : il a un nombre fini de racines dans $\C$ . Le plan privé d’un nombre fini de points est connexe par arcs (contourner les points), donc il existe un chemin $\lambda(t)$ de $0$ à $1$ avec $p(\lambda(t)) \neq 0$ : $t \mapsto (1-\lambda(t))A + \lambda(t)B$ est un chemin dans $GL_n(\C)$ .

(b) $\det(A + \varepsilon I) = \chi_A(-\varepsilon)\cdot(\pm1)$ s’annule pour au plus $n$ valeurs de $\varepsilon$ : des matrices inversibles $A + \varepsilon I \to A$ quand $\varepsilon \to 0$ : densité.

Exercice 6.9 ★★

(a) Montrer que les composantes connexes de $\Q$ sont les singletons, et que $\Q$ n’est pas localement compact (un voisinage compact de $0$ dans $\Q$ contiendrait $[-r, r]\cap \Q$ , dont l’adhérence dans $\Q$ n’est pas compacte : couper en un irrationnel). (b) Compléter l’Exemple 6.22 : aucun chemin ne joint $(0,0)$ à $\Gamma$ . (Si $\gamma = (\gamma_1, \gamma_2)$ est un tel chemin, soit $t^* = \sup\{t : \gamma_1(t) = 0\}$ ; pour $t > t^*$ le point se déplace sur le graphe ; choisir $t_k \downarrow t^*$ avec $\gamma_1(t_k) \to 0$ frappant des abscisses où $\sin$ vaut alternativement $\pm1$ — le théorème des valeurs intermédiaires les fournit — contredisant la continuité de $\gamma_2$ en $t^*$ .)

Solution

Solution de Exercice 6.9.

(a) Soit $A \subseteq \Q$ contenant $p < q$ et choisir un irrationnel $\alpha \in (p, q)$ : $A = (A \cap (-\infty, \alpha)) \sqcup (A\cap(\alpha, +\infty))$ scinde $A$ en deux morceaux non vides relativement ouverts : $A$ est disconnexe. Les composantes sont des singletons. La compacité locale échoue : un voisinage compact $V$ de $0$ dans $\Q$ contient $[-r, r]\cap\Q$ pour quelque $r > 0$ , qui est fermé dans $V$ , donc compact ; mais une suite de rationnels dans $[-r,r]$ convergeant (dans $\R$ ) vers un irrationnel n’a pas de sous-suite convergeant dans $\Q$ : contradiction avec Théorème 6.16.

(b) Soit $\gamma = (\gamma_1, \gamma_2) \colon [0,1] \to S$ un chemin avec $\gamma(0) = (0,0)$ et $\gamma(1) \in \Gamma$ . L’ensemble $\{t : \gamma_1(t) = 0\}$ est fermé et ne contient pas $1$ ; soit $t^*$ son supremum, donc $\gamma_1(t^*) = 0$ et $\gamma_1 > 0$ sur $(t^*, 1]$ . Par continuité de $\gamma_2$ en $t^*$ , choisir $\delta$ avec $\abs{\gamma_2(t) - \gamma_2(t^*)} < \tfrac12$ pour $t \in [t^*, t^* + \delta]$ . Fixer $t_0 = t^* + \delta$ (on peut supposer $\leq 1$ ) : $\gamma_1(t_0) > 0$ , et $\gamma_1$ prend toute valeur de $(0, \gamma_1(t_0)]$ sur $[t^*, t_0]$ (théorème des valeurs intermédiaires, Théorème 6.20). Choisir $k$ grand avec $a_k = \frac1{\pi/2 + 2k\pi} < \gamma_1(t_0)$ et $b_k = \frac1{3\pi/2 + 2k\pi} < \gamma_1(t_0)$ : il existe $s, s' \in (t^*, t_0]$ avec $\gamma_1(s) = a_k$ , $\gamma_1(s') = b_k$ ; comme les points sont sur le graphe, $\gamma_2(s) = \sin(1/a_k) = 1$ et $\gamma_2(s') = -1$ . Les deux ne peuvent être à moins de $\frac12$ de $\gamma_2(t^*)$ : contradiction. $S$ est connexe mais non connexe par arcs.

Exercice 6.10 ★★★

L’ensemble de Cantor des tiers médians $C = \bigcap_n C_n$ , où $C_0 = [0,1]$ et $C_{n+1}$ retire le tiers médian ouvert de chaque intervalle de $C_n$ . (a) Montrer $C = \bigl\{\sum_{n\geq1} a_n3^{-n} : a_n \in \{0,2\}\bigr\}$ , et que $C$ est compact, d’intérieur vide, et sans point isolé (parfait). (b) Montrer que $C$ est totalement discontinu. (c) Montrer que $x \mapsto (a_n(x))_n$ est un homéomorphisme $C \to \{0,2\}^\N$ (topologie produit sur l’espace discret à deux points) ; en déduire que $C$ est non dénombrable, et que $C \times C \cong C$ .

Solution

Solution de Exercice 6.10.

(a) $C_n$ consiste exactement en les $x$ admettant un développement ternaire avec chiffres dans $\{0, 2\}$ jusqu’au rang $n$ (induction : retirer les tiers médians retire le premier chiffre $1$ , etc. ; les extrémités ont deux développements, dont un sans $1$ ), donc $C = \bigcap C_n$ est l’ensemble des sommes $\sum a_n3^{-n}$ , $a_n \in \{0,2\}$ . Compact : chaque $C_n$ est une réunion finie d’intervalles fermés ; $C$ est fermé dans $[0,1]$ . Intérieur vide : $C \subseteq C_n$ , une réunion d’intervalles de longueur $3^{-n}$ ; un intervalle intérieur de longueur $\ell > 0$ tiendrait dans l’un d’eux pour tout $n$ . Parfait : étant donné $x \in C$ et $m$ , retourner le chiffre $a_m$ : le nouveau point est dans $C$ , distinct, à moins de $2\cdot3^{-m}$ de $x$ .

(b) Si $x \neq y \in C$ , leurs développements diffèrent d’abord à quelque rang $k$ ; entre eux se trouve un intervalle de tiers médian retiré (le trou au rang $k$ séparant le chiffre $0$ du chiffre $2$ ), fournissant un point $c \notin C$ , $x < c < y$ (disons) : $C = (C \cap (-\infty, c)) \sqcup (C \cap (c, \infty))$ scinde toute partie contenant les deux points. Les composantes sont des singletons.

(c) L’application des chiffres $\beta\colon x \mapsto (a_n(x))$ est une bijection sur $\{0,2\}^\N$ (existence et unicité des développements $\{0,2\}$ : des suites de chiffres distinctes donnent des points à distance $\geq 3^{-k} > 0$ où elles diffèrent d’abord, comme dans Problème 6.1, question 1). Elle est continue : $\abs{x - y} < 3^{-m}$ force l’accord des $m$ premiers chiffres (même calcul), donc $\beta$ envoie de petites boules dans des pavés de base. Une bijection continue du compact $C$ vers le produit séparé est un homéomorphisme (Corollaire 6.14 ; le produit est séparé : séparer en une coordonnée différente). Non dénombrabilité : diagonale de Cantor sur $\{0,2\}^\N$ . Enfin $\{0,2\}^\N \times \{0,2\}^\N \cong \{0,2\}^\N$ par entrelacement des chiffres (un homéomorphisme : continuité composante par composante dans les deux sens), donc $C \times C \cong C$ .

Exercice 6.11 ★★★

Projection stéréographique : depuis le pôle nord $N = (0, \dots, 0, 1)$ de $S^n \subseteq \R^{n+1}$ , l’application $\sigma(x) = \frac{(x_1, \dots, x_n)}{1 - x_{n+1}}$ est un homéomorphisme $S^n \setminus \{N\} \to \R^n$ (donner l’inverse explicitement). En déduire que $S^n$ est homéomorphe à la compactification d’Alexandroff $\widehat{\R^n}$ , et que retirer n’importe quel point de $S^n$ laisse un espace homéomorphe à $\R^n$ .

Solution

Solution de Exercice 6.11.

Pour $y \in \R^n$ , poser

\tau(y) = \Bigl(\frac{2y}{\norm y^2 + 1},\ \frac{\norm y^2 - 1}{\norm y^2 + 1}\Bigr) \in \R^n\times\R = \R^{n+1}.

On vérifie $\norm{\tau(y)} = 1$ , $\tau(y) \neq N$ , et $\sigma(\tau(y)) = y$ , $\tau(\sigma(x)) = x$ : $\sigma$ et $\tau$ sont mutuellement inverses, toutes deux continues (formules rationnelles à dénominateurs non nuls) : $S^n \setminus\{N\} \cong \R^n$ . Étendre en $\hat\sigma \colon S^n \to \widehat{\R^n}$ par $N \mapsto \infty$ : une bijection, continue en tout point de $S^n\setminus\{N\}$ , et en $N$ : un voisinage de base de $\infty$ est $\widehat{\R^n}\setminus K$ , $K$ compact, $K \subseteq \bar B(0, R)$ ; comme $\norm{\sigma(x)}^2 = \frac{1 + x_{n+1}}{1 - x_{n+1}} \to \infty$ quand $x_{n+1} \to 1$ , l’ensemble $\{x \in S^n : x_{n+1} > 1 - \eta\}$ s’envoie hors de $\bar B(0,R)$ pour $\eta$ petit : continuité. Une bijection continue du compact $S^n$ vers le séparé $\widehat{\R^n}$ est un homéomorphisme. Retirer un autre point $p$ : une rotation de $S^n$ envoie $p$ sur $N$ (les rotations sont des homéomorphismes), se ramenant au cas calculé : $S^n \setminus \{p\} \cong \R^n$ .

Exercice 6.12 ★★★

(La sinusoïde du topologue) Soit

T = \bigl\{(x, \sin\tfrac1x) : 0 < x \leq 1\bigr\} \cup \bigl(\{0\}\times\intcc{-1}1\bigr) \subseteq \R^2 .

(a) Montrer que $T$ est compact, et que c’est l’adhérence de la partie graphe. (b) Montrer que $T$ est connexe (le graphe est connexe comme image continue ; son adhérence reste connexe). (c) Montrer que $T$ n’est pas connexe par arcs : aucun chemin continu ne joint $(0,0)$ à $(1, \sin1)$ . (Si $\gamma = (\gamma_1, \gamma_2)$ est un tel chemin, soit $t^* = \sup\{t : \gamma_1(t) = 0\}$ ; juste après $t^*$ , $\gamma_1$ prend toutes les petites valeurs positives (théorème des valeurs intermédiaires), donc $\gamma_2$ oscille entre $\pm1$ sur tout intervalle $(t^*, t^* + \delta)$ — contredire la continuité en $t^*$ .) (d) Conclure que la connexité par arcs est strictement plus forte que la connexité, et montrer qu’aucun tel exemple ne peut être ouvert dans $\R^n$ : une partie ouverte connexe de $\R^n$ est connexe par arcs (l’ensemble des points joignables à un point de base par un chemin est ouvert et fermé dans le domaine).

Solution

Solution de Exercice 6.12.

(a) $T$ est borné, et fermé : une limite de points de $T$ d’abscisses $\to x_0 > 0$ reste sur le graphe (localement fermé) par continuité de $\sin\frac1x$ sur $\intoc01$ ; une limite d’abscisses $\to 0$ a une ordonnée dans $\intcc{-1}1$ , donc est dans le segment. Compact par Heine–Borel (Corollaire 6.17). Adhérence du graphe $\Gamma$ : tout point $(0, y)$ , $y \in \intcc{-1}1$ , est limite de points du graphe — résoudre $\sin\frac1x = y$ près de $0$ (la fonction balaye $\intcc{-1}1$ sur chaque intervalle $[\frac1{(k+1)\pi}, \frac1{k\pi}]$ ) : $\bar\Gamma = T$ .

(b) $\Gamma$ est l’image continue de la connexe $\intoc01$ sous $x \mapsto (x, \sin\frac1x)$ : connexe ; et l’adhérence d’un ensemble connexe est connexe (Théorème 6.20) : $T = \bar\Gamma$ est connexe.

(c) Supposer $\gamma\colon\intcc01\to T$ continue avec $\gamma(0) = (0,0)$ , $\gamma(1) = (1, \sin1)$ , et soit $t^* = \sup\{t : \gamma_1(t) = 0\}$ : par continuité $\gamma_1(t^*) = 0$ et $\gamma_1 > 0$ sur $\intoc{t^*}1$ . Pour tout $\delta > 0$ , l’intervalle $\intoc{t^*}{t^*+\delta}$ a $\gamma_1$ prenant toutes les valeurs de quelque $\intoc0\eta$ (théorème des valeurs intermédiaires, $\gamma_1(t^* + \delta) > 0$ ) ; en particulier il contient des abscisses de la forme $\frac1{\pi/2 + 2k\pi}$ et $\frac1{-\pi/2 + 2k\pi}$ pour $k$ arbitrairement grand, où $\gamma_2 = \pm1$ . Donc sur tout voisinage droit de $t^*$ , $\gamma_2$ prend les deux valeurs $1$ et $-1$ : $\gamma_2$ n’a pas de limite en $t^{*+}$ , contredisant la continuité. Aucun chemin n’existe.

(d) $T$ est connexe mais non connexe par arcs : les deux notions diffèrent. Pour $U \subseteq \R^n$ ouvert connexe et $a \in U$ , soit $V$ l’ensemble des points de $U$ joignables à $a$ par un chemin dans $U$ . $V$ est ouvert : autour de $x \in V$ une boule $B(x, r) \subseteq U$ est étoilée, et en concaténant le chemin vers $x$ avec un segment on atteint tout point de la boule. $V$ est fermé dans $U$ : si $x \in U \setminus V$ , le même argument de boule montre $B(x, r) \cap V = \varnothing$ (un point de $V$ dans la boule joindrait $a$ à $x$ ). Non vide ( $a \in V$ ), ouvert et fermé dans le connexe $U$ : $V = U$ . La sinusoïde échappe à cela en étant fermée d’intérieur vide : son « mauvais » point $(0,0)$ n’a aucune boule dans $T$ pour pontifier les oscillations.

La sinusoïde du topologue reste l’exemple canonique séparant connexité et connexité par arcs : fermée d’intérieur vide, elle échappe au critère ouvert qui force les deux notions à coïncider dans $\R^n$ .

6.6 Problème : l’ensemble de Cantor et une courbe de remplissage

Problème 6.1

Problème de fin de semaine — les courbes de Peano existent, et pourquoi ce ne sont pas des homéomorphismes

En 1890 Peano stupéfia l’analyse avec une surjection continue $[0,1] \to [0,1]^2$ : une courbe remplissant un carré. On en construit une à mains nues à partir de l’ensemble de Cantor $C$ de l’Exercice 6.10 (dont les résultats sont librement utilisables), puis on prouve qu’aucune telle application ne peut être injective : les carrés ne sont pas des courbes. Tout au long, les éléments de $C$ s’écrivent $x = \sum_{n \geq 1} \frac{2b_n(x)}{3^n}$ avec chiffres $b_n(x) \in \{0, 1\}$ .

Partie I — Lire les chiffres continûment.

Montrer que si $x, y \in C$ vérifient $\abs{x - y} < 3^{-m}$ , alors $b_n(x) = b_n(y)$ pour tout $n \leq m$ . (Si le premier chiffre différent est $b_k$ , alors $\abs{x - y} \geq \frac{2}{3^k} - \sum_{j>k}\frac2{3^j} = \frac1{3^k}$ .)
En déduire que chaque fonction-chiffre $b_n \colon C \to \{0, 1\}$ est continue, et retrouver l’homéomorphisme $C \cong \{0,1\}^\N$ de l’Exercice 6.10(c).

Partie II — Une surjection continue $C \to [0,1]^2$ .

Définir $g \colon C \to [0,1]$ par $g(x) = \sum_{n\geq1} b_n(x)\,2^{-n}$ (lire les chiffres de Cantor en binaire). Montrer que $g$ est continue (utiliser la question 1) et surjective. Est-elle injective
Définir $\Phi \colon C \to [0,1]^2$ par

$\Phi(x) = \Bigl(\ \sum_{n\geq1} b_{2n-1}(x)\,2^{-n},\ \sum_{n\geq1} b_{2n}(x)\,2^{-n}\ \Bigr)$

(chiffres impairs pour l’abscisse, pairs pour l’ordonnée). Montrer que $\Phi$ est continue et surjective.

Partie III — Combler les trous : la courbe de Peano.

Le complémentaire $[0,1] \setminus C$ est une réunion dénombrable d’intervalles ouverts disjoints $(u, v)$ (les tiers médians retirés) dont les extrémités sont dans $C$ . Définir $f \colon [0,1] \to [0,1]^2$ par $f = \Phi$ sur $C$ , étendue affinement sur chaque trou :

$f(t) = \frac{v - t}{v - u}\,\Phi(u) + \frac{t - u}{v - u}\,\Phi(v), \qquad t \in (u, v).$

Montrer que $f$ est bien définie et surjective sur $[0,1]^2$ .
Montrer que $f$ est continue en tout point de $[0,1] \setminus C$ (localement affine), et en tout point de $C$ : étant donné $\varepsilon$ , choisir $m$ avec $2^{-m} < \varepsilon/2$ et utiliser la question 1 pour contrôler $\Phi$ sur $C$ près de $x$ , puis vérifier que l’interpolation affine ne peut s’échapper : sur un trou $(u,v) \subseteq (x - 3^{-m}, x + 3^{-m})$ , les valeurs $f(t)$ sont sur le segment $[\Phi(u), \Phi(v)]$ , les deux extrémités proches de $\Phi(x)$ . Conclure : $f$ est une surjection continue $[0,1] \to [0,1]^2$ .
En déduire des surjections continues $[0,1] \to [0,1]^n$ pour tout $n \geq 2$ , et $\R \to \R^2$ .

Partie IV — Mais jamais injective.

Montrer qu’une injection continue $f \colon [0,1] \to [0,1]^2$ serait un homéomorphisme sur son image (Corollaire 6.14).
Montrer que $[0,1]$ et $[0,1]^2$ ne sont pas homéomorphes : retirer un point bien choisi et comparer la connexité (Méthode 6.25).
Conclure : une surjection continue $[0,1] \to [0,1]^2$ ne peut jamais être injective — une injective rendrait $[0,1]^2 = f([0,1])$ homéomorphe à $[0,1]$ par la question 8, contredisant la question 9. Où exactement la compacité de $[0,1]$ est-elle entrée dans l’argument
(Couronnement) Assembler la morale : il existe une surjection continue mais pas de bijection continue $[0,1] \to [0,1]^2$ . Que dit cela de la « dimension » comme notion topologique ? Formuler précisément un théorème prouvé dans ce problème et un énoncé plausible qui reste hors de nos outils (invariance du domaine).

Partie V — L’arithmétique de l’ensemble de Cantor.

Prouver que $C + C = [0, 2]$ : étant donné $t \in [0, 1]$ , écrire $t = \sum_n d_n3^{-n}$ avec chiffres $d_n \in \{0, 1, 2\}$ et scinder chaque chiffre en $d_n = a_n + b_n$ avec $a_n, b_n \in \{0, 1\}$ ; conclure que $\frac C2 + \frac C2 = [0, 1]$ (quelle partie de $[0,1]$ est $\frac C2$ , en termes de chiffres ternaires ?), puis redimensionner. Aucune retenue n’est jamais nécessaire — dire pourquoi c’est le nœud.
Interpréter géométriquement : la « poussière de Cantor » $C \times C \subseteq \R^2$ , d’intérieur vide, projette une ombre pleine sur la diagonale : la projection $(x, y) \mapsto x + y$ l’envoie sur $[0, 2]$ . Noter aussi l’auto-similarité $C = \frac C3 \cup \bigl(\frac C3 + \frac23\bigr)$ , l’équation derrière tout dessin de $C$ .
Montrer que l’entrelacement des chiffres définit un homéomorphisme $C \to C \times C$ , et en déduire $C \cong C^n$ pour tout $n$ — l’ensemble de Cantor est son propre carré, cube, … Quels espaces familiers partagent cette propriété
Montrer que $\frac14 \in C$ (calculer son développement ternaire : $\frac14 = \sum_{k\geq1} 2\cdot3^{-2k}$ ) bien que $\frac14$ ne soit extrémité d’aucun intervalle retiré ; en déduire — en comptant les extrémités — que les extrémités forment une partie dénombrable propre de $C$ .
Montrer que l’application de lecture binaire $g$ de la question 3 est au plus $2$ -vers- $1$ , et décrire exactement quels points de $[0,1]$ ont deux antécédents. ( $g$ écrase $C$ sur $[0,1]$ en collant dénombrablement de paires : l’ombre combinatoire de l’escalier de Cantor qu’on retrouvera dans le Chapitre 9.)

Partie VI — Ensembles parfaits compacts : Cantor partout. Un espace métrique compact non vide $P$ est parfait s’il n’a pas de point isolé.

Soit $P$ parfait compact et $x \in P$ , $r > 0$ . Montrer que la boule $B(x, r)$ contient deux points $y_0 \neq y_1$ de $P$ , et donc deux boules fermées disjointes $\bar B(y_0, \rho)$ , $\bar B(y_1, \rho)$ dans $B(x, r)$ , centrées en des points de $P$ , de rayon $\rho \leq r/4$ aussi petit qu’on veut. Expliquer pourquoi la perfection (pas de points isolés) est exactement ce qui permet de répéter ce scindage à l’intérieur de chacune des deux nouvelles boules.
Itérer : construire des fermés $F_w \neq \varnothing$ indexés par les mots binaires finis $w$ , avec $F_{w0}, F_{w1} \subseteq F_w$ disjoints et $\operatorname{diam}F_w \leq 2^{-\abs w} \operatorname{diam}P$ . Montrer que pour tout mot infini $\varepsilon \in \{0,1\}^\N$ l’intersection $\bigcap_mF_{\varepsilon_1\cdots\varepsilon_m}$ est un singleton $h(\varepsilon)$ (propriété d’intersection finie du compact $P$ ).
Montrer que $h\colon\{0,1\}^\N \to P$ est injective et continue, et conclure : tout espace métrique compact parfait est non dénombrable — en fait de cardinalité au moins celle de $\{0,1\}^\N$ . Retrouver : $[0,1]$ et $C$ sont non dénombrables.
Montrer que $h$ est un homéomorphisme sur son image (injection continue depuis un compact, Corollaire 6.14) : tout espace métrique compact parfait contient une copie homéomorphe de l’ensemble de Cantor. L’ensemble de Cantor n’est pas une curiosité mais le germe universel de la perfection compacte.
En déduire que tout espace métrique compact dénombrable a un point isolé, et en exhiber un où les points isolés sont denses mais pas tout : $K = \{0\} \cup \{\frac1n : n \geq 1\}$ .
(Cantor–Bendixson pour $\R$ ) Soit $F \subseteq \R$ fermé. Appeler $x$ un point de condensation de $F$ si tout voisinage de $x$ rencontre $F$ de façon non dénombrable. Montrer que les points de condensation d’un $F$ fermé non dénombrable forment un parfait fermé non vide $P$ , et que $F \setminus P$ est dénombrable (recouvrir les non-points de condensation par dénombrablement d’intervalles rationnels rencontrant $F$ dénombrablement). Conclure : toute partie fermée de $\R$ est dénombrable ou a la cardinalité du continu — l’hypothèse du continu vaut pour les fermés.

Partie VII — Codas : régularité, et éloignement de la perfection.

(Régularité de Hölder de la courbe) Poser $\alpha = \frac{\ln 2}{2\ln 3} \approx 0.3155$ , et noter l’identité $3^\alpha = \sqrt2$ . En utilisant la question 1, montrer que

$\norm{\Phi(x) - \Phi(y)}_\infty \leq 2\,\abs{x - y}^\alpha \qquad (x, y \in C),$

puis propager l’estimation à travers les trous affines : montrer que la courbe de Peano $f$ de la question 6 vérifie $\norm{f(t) - f(s)}_\infty \leq 6\abs{t - s}^\alpha$ sur tout $[0,1]$ (traiter une paire dans le même trou par interpolation, puis une paire générale en passant par les points extrêmes de $C \cap [t, s]$ ).
(L’exposant $\frac12$ est un mur) Montrer qu’aucune surjection $F \colon [0,1] \to [0,1]^2$ ne peut être $\alpha$ -Hölder avec $\alpha > \frac12$ : découper $[0,1]$ en $N$ intervalles, borner les diamètres de leurs images, et compter les points de la grille $\bigl(\frac iM, \frac jM\bigr)$ , $0 \leq i, j \leq M$ , qu’un ensemble de diamètre $< \frac1M$ peut contenir ; choisir $M$ d’ordre $N^\alpha$ et laisser $N \to \infty$ . Situer notre courbe ( $\alpha \approx 0.3155$ ) par rapport au mur, et noter sans preuve que la courbe de Hilbert atteint l’exposant critique $\frac12$ .
(Ensembles dérivés : mesurer l’imperfection) Pour $F$ fermé dans $\R$ , soit $F'$ l’ensemble des points d’accumulation de $F$ (une partie fermée), et itérer : $F^{(0)} = F$ , $F^{(i+1)} = (F^{(i)})'$ . Vérifier que

$K = \{0\} \cup \Bigl\{\frac1m\Bigr\}_{m \geq 1} \cup \Bigl\{\frac1m + \frac1n : m \geq 1,\ n > m^2\Bigr\}$

est un compact dénombrable avec $K' = \{0\} \cup \{\frac1m\}$ , $K'' = \{0\}$ , $K''' = \varnothing$ (vérifier que le $m$ -ième amas vit dans l’intervalle $(\frac1m, \frac1{m-1})$ , donc les amas ne s’entrelacent pas), et que ses points isolés sont denses dans $K$ , comme le prédit la question 21. Décrire l’induction produisant, pour tout $j$ , un compact dénombrable $K_j$ avec $K_j^{(j)} = \{0\}$ et $K_j^{(j+1)} = \varnothing$ , et contraster avec les ensembles parfaits de la question 22, pour lesquels la dérivation ne bouge jamais : le rang fini est l’exact opposé de la perfection.

Solution

Solution de Problème 6.1.

1. Supposons que les développements de $x, y \in C$ diffèrent d’abord au rang $k \leq m$ , disons $b_k(x) = 1$ , $b_k(y) = 0$ . Alors

x - y \;\geq\; \frac{2}{3^k} - \sum_{j > k}\frac{2}{3^j} = \frac{2}{3^k} - \frac{1}{3^k} = \frac1{3^k} \geq \frac1{3^m}:

contraposée : $\abs{x - y} < 3^{-m}$ force l’accord jusqu’au rang $m$ .

2. Par la question 1, $b_n$ est constante sur $C \cap (x - 3^{-n}, x + 3^{-n})$ : localement constante, donc continue. L’application $x \mapsto (b_n(x))_n \in \{0,1\}^\N$ est continue (composante par composante, Proposition 6.10(a)) et bijective (unicité des développements $\{0,2\}$ ) ; du compact $C$ vers un espace séparé, c’est un homéomorphisme (Corollaire 6.14).

3. Continuité : si $\abs{x - y} < 3^{-m}$ , les $m$ premiers chiffres coïncident, donc $\abs{g(x) - g(y)} \leq \sum_{n > m}2^{-n} = 2^{-m}$ . Surjectivité : tout $t \in [0,1]$ a un développement binaire $t = \sum b_n2^{-n}$ , et $t = g\bigl(\sum 2b_n3^{-n}\bigr)$ . Non injective : $g$ identifie les deux points de Cantor de chiffres $(0,1,1,1,\dots)$ et $(1,0,0,\dots)$ — tous deux d’image $\frac12$ (l’ambiguïté dyadique $0.0111\ldots_2 = 0.1000\ldots_2$ ).

4. Chaque composante de $\Phi$ est continue par la même estimation (ses chiffres sont une sous-suite des $b_n$ ). Surjectivité : étant donné $(s, t) \in [0,1]^2$ , choisir des chiffres binaires $(c_n)$ de $s$ et $(d_n)$ de $t$ , et entrelacer : le point $x \in C$ avec $b_{2n-1}(x) = c_n$ , $b_{2n}(x) = d_n$ satisfait $\Phi(x) = (s,t)$ .

5. Les trous sont deux à deux disjoints d’extrémités dans $C$ , donc la formule définit $f$ sans ambiguïté sur $[0,1]$ ; aux extrémités d’un trou la formule affine renvoie $\Phi(u)$ , $\Phi(v)$ : cohérent avec $f = \Phi$ sur $C$ . Surjectivité : déjà $f(C) = \Phi(C) = [0,1]^2$ . 6. En $t_0 \notin C$ : $t_0$ est dans un trou ouvert où $f$ est affine : continue. En $x \in C$ : on enregistre d’abord deux estimations.

(i) Sur $C$ : si $\abs{y - x} \leq 3^{-M}$ , $y \in C$ , alors les chiffres coïncident jusqu’à $M$ , donc chaque composante de $\Phi(y) - \Phi(x)$ est au plus $\sum_{n > \lfloor M/2\rfloor} 2^{-n} = 2^{-\lfloor M/2\rfloor}$ .

(ii) À travers un trou : un trou $(u,v)$ retiré à l’étape $k$ a longueur $3^{-k}$ , et ses extrémités ont des chiffres coïncidant jusqu’au rang $k - 1$ , donc $\norm{\Phi(v) - \Phi(u)}_\infty \leq 2^{-\lfloor (k-1)/2\rfloor}$ .

Maintenant soit $\abs{t - x} < 3^{-M}$ avec $t$ dans un trou $(u, v)$ d’étape $k$ , et disons $u$ l’extrémité du côté de $x$ . Alors

\norm{f(t) - \Phi(x)}_\infty \leq \norm{\Phi(u) - \Phi(x)}_\infty + \frac{t - u}{v - u}\,\norm{\Phi(v) - \Phi(u)}_\infty \leq 2^{-\lfloor M/2\rfloor} + \min\bigl(1,\ 3^{k - M}\bigr)\, 2^{-\lfloor(k-1)/2\rfloor} .

Pour $k \geq M$ le dernier terme est $\leq 2^{-\lfloor(M-1)/2 \rfloor}$ ; pour $k < M$ , comme $2^{-\lfloor(k-1)/2\rfloor} \leq \sqrt2\,\cdot 2^{-k/2}$ ,

3^{k-M}\,2^{-\lfloor(k-1)/2\rfloor} \leq \sqrt2\,\Bigl(\frac{3}{\sqrt2}\Bigr)^{k} 3^{-M} \leq \sqrt2\,\Bigl(\frac{3}{\sqrt2}\Bigr)^{M} 3^{-M} = \sqrt2\; 2^{-M/2}.

Dans tous les cas $\norm{f(t) - \Phi(x)}_\infty \leq C\,2^{-M/2}$ : $M \to \infty$ prouve la continuité en $x$ . Donc $f$ est une surjection continue $[0,1] \to [0,1]^2$ .

7. Pour $[0,1]^n$ : scinder les chiffres de $x \in C$ en $n$ sous-suites entrelacées et répéter les questions 4–6. Pour $\R \to \R^2$ : soit $h \colon [0,1] \to [-1,1]^2$ une surjection continue (redimensionner $f$ ). Définir $F$ sur $[m, m + \frac12]$ ( $m \in \Z$ ) comme une copie de $h$ redimensionnée pour remplir $[-(m+1), m+1]^2$ pour $m \geq 0$ (et symétriquement pour $m < 0$ ), et sur $[m + \frac12, m + 1]$ comme le segment affine joignant les valeurs d’extrémité : $F$ est continue (recollement, Proposition 6.6(b)) et son image contient $\bigcup_m [-(m+1), m+1]^2 = \R^2$ .

8. $[0,1]$ est compact et $[0,1]^2$ séparé : une injection continue est un homéomorphisme sur son image (Corollaire 6.14).

9. Retirer $\frac12$ : $[0,1]\setminus\{\frac12\}$ est disconnexe. Si $h \colon [0,1] \to [0,1]^2$ était un homéomorphisme, $[0,1]^2\setminus\{h(\frac12)\}$ serait disconnexe aussi ; mais le carré moins un point est connexe par arcs. Contradiction : $[0,1] \not\cong [0,1]^2$ .

10. Par la question 8, une surjection continue injective serait un homéomorphisme, contredisant la question 9. La compacité est entrée dans Corollaire 6.14. Sans compacité : $[0, 2\pi) \to S^1$ est une bijection continue non homéomorphisme.

11. Prouvé ici : il existe une surjection continue, mais pas de bijection continue, de $[0,1]$ sur $[0,1]^2$ ; en particulier $[0,1] \not\cong [0,1]^2$ . La dimension est un invariant d’homéomorphisme (au moins $1$ vs $2$ ), non de surjection continue. L’invariance du domaine demande la topologie algébrique, hors de ce cours. 12. En ternaire, $\frac C2 = \{\sum_na_n3^{-n} : a_n \in \{0, 1\}\}$ (diviser les chiffres $\{0,2\}$ donne $\{0,1\}$ ). Pour $t \in [0,1]$ , prendre un développement ternaire $t = \sum_nd_n3^{-n}$ , $d_n \in \{0,1,2\}$ , et scinder chaque chiffre en $d_n = a_n + b_n$ avec $a_n, b_n \in \{0,1\}$ : alors $t \in \frac C2 + \frac C2$ . Aucune retenue ne se propage. L’inclusion réciproque est claire. Redimensionner par $2$ : $C + C = [0,2]$ .

13. $(x, y) \mapsto x + y$ envoie $C \times C$ sur $C + C = [0,2]$ : la poussière (intérieur vide, Exercice 6.10) projette une ombre pleine. Auto-similarité : $C = \frac C3 \cup \bigl(\frac C3 + \frac23\bigr)$ .

14. Via $C \cong \{0,1\}^\N$ (question 2), l’entrelacement des chiffres est une bijection continue dans les deux sens $\{0,1\}^\N\times\{0,1\}^\N \to \{0,1\}^\N$ . Donc $C\times C \cong C$ et $C^n \cong C$ . Les espaces familiers ne partagent pas cela ( $\R^2 \not\cong \R$ ) ; les produits infinis oui.

15. $\sum_{k\geq1}2\cdot3^{-2k} = \frac14$ : le développement ternaire de $\frac14$ est $0.\overline{02}$ , donc $\frac14 \in C$ sans être extrémité d’un intervalle retiré. Les extrémités sont dénombrables, $C$ non dénombrable (question 19).

16. $g$ est au plus $2$ -vers- $1$ : l’ambiguïté dyadique $0.w01^\infty = 0.w10^\infty$ donne exactement deux antécédents aux rationnels dyadiques de $(0,1)$ . Squelette combinatoire de l’escalier de Cantor du Chapitre 9.

17. $x$ non isolé donne $y_0 \neq x$ dans $B(x, r/2)$ ; $y_0$ non isolé donne $y_1$ . Des $\rho \leq \min\bigl(\frac{d(y_0,y_1)}3, \frac r4\bigr)$ rendent $\bar B(y_0, \rho)$ et $\bar B(y_1, \rho)$ disjointes dans $B(x, r)$ . La perfection maintient la récursion indéfiniment.

18. Construire $F_w$ par induction : $F_\varnothing = P$ , scinder chaque boule en deux boules fermées disjointes de diamètre $\leq 2^{-\abs w}\operatorname{diam}P$ . Pour $\varepsilon$ infini, l’intersection emboîtée est un singleton $h(\varepsilon)$ (propriété d’intersection finie du compact $P$ ).

19. $h$ est injective (mots différant se séparent en $F_{w0}, F_{w1}$ ) et continue (diamètres $\to 0$ ) : tout compact métrique parfait est non dénombrable — $[0,1]$ et $C$ parmi eux.

20. $h$ est une injection continue du compact $\{0,1\}^\N$ vers $P$ : homéomorphisme sur l’image (Corollaire 6.14). Tout compact métrique parfait contient une copie de Cantor.

21. Un compact métrique dénombrable a un point isolé (question 19). Dans $K = \{0\}\cup\{\frac1n : n \geq 1\}$ les $\frac1n$ sont isolés et denses, $0$ ne l’est pas.

22. Les non-points de condensation se recouvrent par dénombrablement d’intervalles rationnels à trace dénombrable sur $F$ : $F \setminus P$ dénombrable. $P$ est parfait fermé non vide si $F$ est non dénombrable. L’arbre des questions 17–19 dans $P$ donne $\abs P \geq \mathfrak c$ : tout fermé non dénombrable de $\R$ a cardinalité $\mathfrak c$ .

23. Si $3^{-(m+1)} \leq \abs{x-y} < 3^{-m}$ , les chiffres coïncident jusqu’à $m$ , donc chaque coordonnée de $\Phi$ partage $\lfloor m/2\rfloor$ chiffres binaires de tête : $\norm{\Phi(x)-\Phi(y)}_\infty \leq 2\abs{x-y}^\alpha$ avec $\alpha = \frac{\ln2}{2\ln3}$ (car $3^\alpha = \sqrt2$ ). Propager aux trous affines ( $\norm{f(t)-f(s)} \leq 2\abs{t-s}^\alpha$ ) et aux paires générales via les extrémités de $C \cap [t,s]$ : $\norm{f(t)-f(s)}_\infty \leq 6\abs{t-s}^\alpha$ .

24. Si $F$ est $\alpha$ -Hölder surjective avec $\alpha > \frac12$ , découper $[0,1]$ en $N$ intervalles : chaque image a diamètre $O(N^{-\alpha})$ . Choisir une grille de pas $M \sim N^\alpha$ : chaque cellule de grille tient dans au plus une image, d’où $(M+1)^2 \leq N$ , impossible pour $N$ grand. Notre courbe ( $\alpha \approx 0.3155$ ) est sous le mur ; Hilbert atteint $\frac12$ .

25. Les amas $\frac1m + \frac1n$ ( $n > m^2$ ) occupent des intervalles disjoints $(\frac1m, \frac1{m-1})$ . $K' = \{0\} \cup \{\frac1m\}$ , $K'' = \{0\}$ , $K''' = \varnothing$ ; points isolés denses. Induction : coller des copies réduites de $K_j$ le long de $\frac1m$ pour obtenir $K_{j+1}$ de rang $j+1$ . Un parfait est l’opposé : $P' = P$ , et Cantor–Bendixson (question 22) scinde tout fermé en un noyau parfait et un reste dénombrable.

En résumé pour les questions 17–22 : la perfection d’un compact métrique $P$ permet de scinder récursivement toute boule en deux boules fermées disjointes centrées dans $P$ , d’où une injection continue $h \colon \{0,1\}^\N \to P$ qui, par compacité, est un homéomorphisme sur l’image — toute perfection compacte contient Cantor, et en particulier est non dénombrable. Cantor–Bendixson décompose alors tout fermé de $\R$ en un noyau parfait (de cardinalité du continu s’il est non vide) et un reste dénombrable, de sorte que l’hypothèse du continu vaut pour les fermés : aucun fermé de $\R$ ne peut avoir une cardinalité strictement entre $\aleph_0$ et $\mathfrak c$ .

Pour la régularité de Hölder (questions 23–24) : l’exposant $\alpha = \frac{\ln 2}{2\ln 3}$ apparaît naturellement de l’identité $3^\alpha = \sqrt2$ , qui couple le pas ternaire de $C$ au pas binaire des coordonnées de $\Phi$ . La borne $2\abs{x-y}^\alpha$ sur $C$ se propage aux interpolations affines des trous (où le rapport de longueurs élevé à la puissance $\alpha \leq 1$ diminue) et aux paires générales via un découpage en trois (côté gauche, cœur dans $C$ , côté droit), d’où le facteur $6$ . Le mur $\alpha = \frac12$ est une obstruction de dimension pure : une application $\alpha$ -Hölder envoie $N$ intervalles sur des ensembles de diamètre $O(N^{-\alpha})$ , qui ne peuvent couvrir une grille de pas $N^{-\alpha}$ en dimension $2$ que si $N^{2\alpha} \lesssim N$ , c’est-à-dire $\alpha \leq \frac12$ .

Pour les questions 6–10 (continuité de la courbe de Peano et absence d’injectivité) : le contrôle local des chiffres sur $C$ (question 1) donne la continuité de $\Phi$ et de l’interpolation affine sur les trous ; le facteur $2^{-M/2}$ domine uniformément. L’injectivité est bloquée par la compacité : une injection continue $[0,1] \to [0,1]^2$ serait un homéomorphisme sur l’image (Corollaire 6.14), mais retirer un point intérieur de $[0,1]$ déconnecte la source sans déconnecter le carré. La compacité de $[0,1]$ est donc l’ingrédient critique qui transforme une bijection continue en homéomorphisme — sans elle, $[0, 2\pi) \to S^1$ offre un contre-exemple classique.

Ainsi la « dimension » se révèle être un invariant topologique fin (homéomorphismes) mais non un invariant de surjection continue : Peano construit le pont, Cantor–Bendixson et l’obstruction de Hölder en marquent les rives.