Wat is compacte ruimte? — Wiskunde

Definitie 6.12 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Hoofdstuk 6 — Algemene topologie

Een open overdekking van $X$ is een familie $(U_i)_{i\in I}$ open verzamelingen met $\bigcup U_i = X$ . $X$ heet compact als ze Hausdorff is en elke open overdekking een eindige deeloverdekking toelaat. Gelijkwaardig (neem complementen): elke familie gesloten verzamelingen met de eindige-doorsnede-eigenschap (elke eindige deelfamilie heeft een niet-lege doorsnede) heeft een niet-lege totale doorsnede.

Voorbeelden

Voorbeeld 6.11

Het quotiënt $\R/\Z$ (vereenzelvig $x$ met $x + n$ ) is homeomorf met de cirkel $S^1 = \{z \in \C : \abs z = 1\}$ : de afbeelding $x \mapsto \eu^{2\iu\pi x}$ gaat over op een continue bijectie $\R/\Z \to S^1$ (Propositie 6.10(b)); haar inverse is continu wegens het compactheidsargument van Gevolg 6.14 hieronder (Oefening 6.5 werkt alles uit, ook waarom $\R/\Z$ Hausdorff en compact is). Net zo is $[0,1]$ met verlijmde eindpunten gelijk aan $S^1$ en is het vierkant met verlijmde overstaande zijden de torus, en is verlijmen eindelijk een stelling in plaats van een plaatje.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen