Qu'est-ce que « espace séparé » ? — Mathématiques

Définition 6.7 Mathématiques universitaires — Licence 3 · Chapitre 6 — Topologie générale

$X$ est séparé (ou de Hausdorff) si deux points distincts admettent des voisinages disjoints. Les espaces métriques sont séparés (boules de rayon $d(x,y)/2$ ). Une suite $(x_n)$ converge vers $x$ si tout voisinage de $x$ contient tous les $x_n$ sauf un nombre fini ; dans un espace séparé, les limites sont uniques (deux limites auraient des voisinages disjoints contenant chacun une queue). Dans un espace séparé, les points — donc les parties finies — sont fermés.

Exemples

Exemple 6.11

Le quotient $\R/\Z$ (identifier $x$ et $x + n$ ) est homéomorphe au cercle $S^1 = \{z \in \C : \abs z = 1\}$ : l’application $x \mapsto \eu^{2\iu\pi x}$ passe à une bijection continue $\R/\Z \to S^1$ (Proposition 6.10(b)) ; son inverse est continue par l’argument de compacité du Corollaire 6.14 ci-dessous (Exercice 6.5 détaille tout, y compris pourquoi $\R/\Z$ est séparé et compact). De même $[0,1]$ avec les extrémités collées est $S^1$ , le carré avec les côtés opposés collés est le tore, et le collage est enfin un théorème, non un dessin.

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