Mathématiques universitaires — Licence 3 · Bachelor Year 3

16Fonctions holomorphes

La différentiabilité complexe ressemble à une petite variation sur la théorie réelle — une limite, un quotient. C’est en réalité un univers différent. Une fonction différentiable une seule fois sur un ouvert de $\C$ est automatiquement indéfiniment différentiable, analytique, déterminée sur tout un domaine par ses valeurs près d’un seul point, et contrainte par des principes globaux rigides (Liouville, module maximum). Tout cela découle d’un unique miracle, le théorème de Cauchy : l’intégrale d’une fonction holomorphe le long d’un chemin fermé dans un domaine étoilé s’annule. Ce chapitre démontre le miracle (argument de Goursat, sans régularité au-delà de la différentiabilité), en récolte les conséquences classiques, et règle un théorème que ce livre utilise à crédit depuis le Chapitre 4 : tout polynôme complexe non constant a une racine.

Tout au long, $\Omega \subseteq \C$ est ouvert, et $D(a, r)$ désigne le disque ouvert.

16.1 Différentiabilité complexe

Définition 16.1

$f \colon \Omega \to \C$ est holomorphe sur $\Omega$ si pour tout $z_0 \in \Omega$

f'(z_0) = \lim_{h\to0}\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h}

existe ( $h \in \C^*$ ). Sommes, produits, quotients (dénominateurs non nuls), compositions de fonctions holomorphes sont holomorphes, avec les formules usuelles (les preuves de première–deuxième année sont verbatim : elles n’utilisent que les opérations de corps et les limites). $\mathcal H(\Omega)$ désigne l’ensemble des fonctions holomorphes sur $\Omega$ .

Proposition 16.2 (Cauchy–Riemann)

Écrivons $f(x + \iu y) = P(x,y) + \iu Q(x,y)$ . Alors $f$ est holomorphe en $z_0$ si et seulement si $f$ est $\R$ -différentiable en $z_0$ (comme application de deux variables réelles) et

\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial Q}{\partial y}, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{\partial Q}{\partial x} \qquad \text{en } z_0 ;

de façon équivalente, la différentielle réelle est la multiplication par le nombre complexe $f'(z_0)$ .

Démonstration. La $\C$ -différentiabilité dit $f(z_0 + h) = f(z_0) + ch + o(\abs h)$ avec $c = f'(z_0)$ : une différentielle $\R$ -linéaire qui est la multiplication par $c = a + \iu b$ , c’est-à-dire de matrice $\bigl(\begin{smallmatrix} a & -b\\ b & a \end{smallmatrix}\bigr)$ dans la base $(1, \iu)$ — exactement les relations affichées pour les dérivées partielles. Réciproquement une telle différentielle est $\C$ -linéaire, et les définitions en $o(\abs h)$ coïncident. ∎

Exemple 16.3

Les polynômes en $z$ , les fractions rationnelles hors de leurs pôles, et — par le théorème de dérivation terme à terme des séries entières de deuxième année, dont la preuve fonctionne identiquement sur $\C$ — toute somme d’une série entière $\sum a_n(z - a)^n$ à l’intérieur de son disque de convergence : holomorphes, de dérivée $\sum na_n(z - a)^{n-1}$ (même rayon). En particulier $\exp z = \sum z^n/n!$ est entière (holomorphe sur $\C$ ) avec $\exp' = \exp$ . En revanche $z \mapsto \bar z$ , $\abs z$ , $\operatorname{Re}z$ ne sont nulle part holomorphes (Cauchy–Riemann échoue partout) : l’holomorphie est une rigidité qui préserve orientation et angles, non une simple régularité.

16.2 Intégrales de contour

Définition 16.4

Un chemin est une application $\mathcal C^1$ par morceaux $\gamma \colon \intcc ab \to \C$ ; il est fermé si $\gamma(a) = \gamma(b)$ . Pour $f$ continue sur l’image de $\gamma$ :

\int_\gamma f(z)\,\dd z = \int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma'(t)\,\dd t, \qquad \Bigl|\int_\gamma f\,\dd z\Bigr| \leq \sup_{\gamma}\abs f\cdot\operatorname{length}(\gamma)

(l’inégalité ML ; longueur $= \int_a^b\abs{\gamma'}$ ). L’intégrale est invariante par reparamétrisation $\mathcal C^1$ croissante et change de signe par renversement d’orientation.

Proposition 16.5 (Primitives)

Pour $f$ continue sur $\Omega$ , les assertions suivantes sont équivalentes : (i) $f$ admet une primitive $F \in \mathcal H(\Omega)$ ( $F' = f$ ) ; (ii) $\int_\gamma f\,\dd z = 0$ pour tout chemin fermé $\gamma$ dans $\Omega$ . Dans ce cas $\int_\gamma f\,\dd z = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a))$ pour tout chemin.

Démonstration. (i) $\Rightarrow$ : $\frac{\dd}{\dd t}F(\gamma(t)) = F'(\gamma(t))\gamma'(t)$ (règle de la chaîne, valide par morceaux), donc l’intégrale se téléscope en la différence des extrémités ; les chemins fermés donnent $0$ . (ii) $\Rightarrow$ (i) : fixons $z_*$ dans une composante connexe, définissons $F(z) = \int_{\gamma_z}f\,\dd z$ le long d’un chemin quelconque de $z_*$ à $z$ (bien défini : deux chemins diffèrent d’un chemin fermé) ; pour $h$ petit, en prenant le segment de $z$ à $z + h$ ,

\frac{F(z + h) - F(z)}{h} - f(z) = \frac1h\int_{[z, z+h]}\bigl(f(w) - f(z)\bigr)\dd w \longrightarrow 0

par l’inégalité ML et la continuité de $f$ en $z$ . ∎

Définition 16.6 (Nombre de tours)

Pour un chemin fermé $\gamma$ et $z \notin \operatorname{im}\gamma$ , l’indice est

\operatorname{Ind}_\gamma(z) = \frac1{2\iu\pi} \int_\gamma\frac{\dd w}{w - z} .

C’est un entier : en posant $\varphi(t) = \int_a^t\frac{\gamma'(s)}{\gamma(s) - z}\dd s$ , la fonction $(\gamma(t) - z)\eu^{-\varphi(t)}$ a une dérivée nulle (par morceaux), donc est constante ; en $t = b$ , $\eu^{\varphi(b)} = \frac{\gamma(b) - z}{\gamma(a) - z} = 1$ , d’où $\varphi(b) \in 2\iu\pi\Z$ . Comme fonction de $z$ , l’indice est continu sur $\C\setminus\operatorname{im}\gamma$ (convergence dominée), donc constant sur chaque composante connexe, et $0$ sur la composante non bornée (ML : l’intégrale tend vers $0$ quand $z \to \infty$ ). Pour le cercle $\gamma(t) = a + r\eu^{\iu t}$ , $t \in \intcc0{2\pi}$ : $\operatorname{Ind}_\gamma(z) = 1$ pour $z \in D(a,r)$ (calculer en $z = a$ : $\frac1{2\iu\pi} \int_0^{2\pi}\frac{r\iu\eu^{\iu t}}{r\eu^{\iu t}}\dd t = 1$ ; la constance fait le reste).

16.3 Théorème de Cauchy

Théorème 16.7 (Goursat)

Soit $f \in \mathcal H(\Omega)$ et $T \subseteq \Omega$ un triangle plein fermé. Alors $\int_{\partial T}f\,\dd z = 0$ (bord parcouru une fois, orientation quelconque).

Démonstration. Posons $I(T) = \int_{\partial T}f\,\dd z$ . En joignant les milieux des côtés, on découpe $T$ en quatre triangles de demi-taille $T^{(1)}, \dots, T^{(4)}$ , et les arêtes intérieures s’annulent deux à deux : $I(T) = \sum_iI(T^{(i)})$ . Choisissons $T_1$ parmi eux avec $\abs{I(T_1)} \geq \frac14\abs{I(T)}$ , et itérons : une suite emboîtée $T \supseteq T_1 \supseteq T_2 \supseteq\cdots$ avec

\abs{I(T_n)} \geq 4^{-n}\abs{I(T)}, \qquad \operatorname{diam}T_n = 2^{-n}\operatorname{diam}T, \quad \operatorname{length}(\partial T_n) = 2^{-n}\operatorname{length}(\partial T).

L’intersection $\bigcap T_n$ est un unique point $z_0$ (compacts emboîtés de diamètres tendant vers $0$ , le Théorème 6.13(3)). Différentiabilité en $z_0$ : donné $\varepsilon$ , pour $n$ grand, sur $T_n$ ,

f(z) = f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0) + R(z), \qquad \abs{R(z)} \leq \varepsilon\abs{z - z_0} \leq \varepsilon\operatorname{diam}T_n .

La partie affine a une primitive : son intégrale sur le fermé $\partial T_n$ s’annule (la Proposition 16.5), il reste

\abs{I(T_n)} = \Bigl|\int_{\partial T_n}R\Bigr| \leq \varepsilon\operatorname{diam}(T_n)\, \operatorname{length}(\partial T_n) = \varepsilon\,4^{-n}\operatorname{diam}(T) \operatorname{length}(\partial T) .

Comparant avec $\abs{I(T_n)} \geq 4^{-n}\abs{I(T)}$ : $\abs{I(T)} \leq \varepsilon\cdot\text{const}$ pour tout $\varepsilon$ : $I(T) = 0$ . ∎

Théorème 16.8 (Théorème de Cauchy, version étoilée)

Soit $\Omega$ étoilé par rapport à $c$ (tout segment $[c, z]$ , $z \in \Omega$ , est contenu dans $\Omega$ ) — p. ex. convexe. Toute $f \in \mathcal H(\Omega)$ admet une primitive sur $\Omega$ ; par conséquent $\int_\gamma f\,\dd z = 0$ pour tout chemin fermé $\gamma$ dans $\Omega$ .

Démonstration. Définissons $F(z) = \int_{[c,z]}f\,\dd w$ . Pour $z, z + h \in \Omega$ avec $[z, z+h] \subseteq \Omega$ (vrai pour $h$ petit), le triangle de sommets $c, z, z+h$ est contenu dans $\Omega$ (étoilé : chacun de ses points est sur un segment $[c, w]$ avec $w \in [z, z+h] \subseteq \Omega$ ) : Goursat donne

F(z + h) - F(z) = \int_{[z, z+h]}f\,\dd w,

et le calcul du quotient différentiel de la Proposition 16.5 fournit $F' = f$ . L’annulation des intégrales sur les chemins fermés suit de la même proposition. ∎

Théorème 16.9 (Formule intégrale de Cauchy)

Soit $f \in \mathcal H(\Omega)$ , $\bar D(a, r) \subseteq \Omega$ , et $C_r$ le cercle $\partial D(a,r)$ parcouru une fois dans le sens trigonométrique. Alors pour tout $z \in D(a, r)$ :

f(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{w - z}\,\dd w .

Démonstration. Fixons $z$ et définissons sur $\Omega$

g(w) = \begin{cases} \dfrac{f(w) - f(z)}{w - z} & w \neq z,\\[4pt] f'(z) & w = z : \end{cases}

$g$ est continue sur $\Omega$ et holomorphe hors de $z$ . Goursat vaut pour $g$ sur tout triangle $T \subseteq \Omega'$ , où $\Omega'$ est un disque légèrement plus grand que $\bar D(a,r)$ dans $\Omega$ : si $z \notin T$ , directement ; si $z \in T$ , découper $T$ en petits triangles ayant $z$ pour sommet plus des triangles évitant $z$ ; sur un triangle de sommet $z$ la borne ML donne $\abs{\int_{\partial T'}g} \leq \sup_{T'}\abs g\cdot\operatorname{length} \to 0$ quand le triangle se rétrécit, et les morceaux restants s’annulent par Goursat — d’où $\int_{\partial T}g = 0$ dans tous les cas. La preuve du Théorème 16.8 n’utilisait que cette propriété triangulaire : $g$ a une primitive sur le convexe $\Omega'$ , donc $\int_{C_r}g = 0$ , c’est-à-dire

\frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{w - z}\dd w = f(z)\,\frac{1}{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{\dd w}{w - z} = f(z)\operatorname{Ind}_{C_r}(z) = f(z) .

∎

16.4 Analyticité et sa cascade

Théorème 16.10 (Holomorphe $=$ analytique)

Soit $f \in \mathcal H(\Omega)$ et $D(a, R) \subseteq \Omega$ . Alors

f(z) = \sum_{n\geq0}c_n\,(z - a)^n \quad \text{sur } D(a, R), \qquad c_n = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{(w - a)^{n+1}}\,\dd w \ \ (0 < r < R),

les coefficients étant indépendants de $r$ . Par conséquent $f$ est indéfiniment $\C$ -différentiable, $c_n = f^{(n)}(a)/n!$ , et les estimations de Cauchy valent :

\abs{c_n} \;\leq\; \frac{\sup_{\abs{w - a} = r}\abs{f(w)}}{r^{n}} .

Démonstration. Pour $\abs{z - a} < r$ : développer le noyau de Cauchy en série géométrique

\frac1{w - z} = \frac1{(w - a)\bigl(1 - \frac{z - a}{w - a}\bigr)} = \sum_{n\geq0}\frac{(z - a)^n}{(w - a)^{n+1}},

normalement convergente en $w$ sur $C_r$ ( $\abs{\frac{z-a}{w-a}} = \frac{\abs{z-a}}r < 1$ ) : intégrer terme à terme contre $\frac{f(w)}{2\iu\pi}$ (la convergence uniforme justifie l’interversion) et appliquer le Théorème 16.9. Une série entière est indéfiniment différentiable avec $c_n = f^{(n)}(a)/n!$ (deuxième année), ce qui montre aussi que les $c_n$ ne dépendent pas de $r$ . Les estimations : borner l’intégrale des coefficients par ML. ∎

Exemple 16.11 (Les singularités dictent les rayons)

Pourquoi l’innocente fonction réelle $\frac1{1 + x^2}$ a-t-elle une série de Taylor en $x = 3$ ne convergeant que pour $\abs{x - 3} < \sqrt{10}$ , alors que rien ne se passe de mal sur la droite réelle ? Parce que le théorème ci-dessus rend le rayon de convergence en $a$ égal à la distance de $a$ au point le plus proche où l’holomorphie échoue. Ici $f(z) = \frac1{1 + z^2}$ est holomorphe exactement sur $\C\setminus\{\pm\iu\}$ , donc le développement en $a = 3$ converge sur le plus grand disque évitant $\pm\iu$ , de rayon $\abs{3 - \iu} = \sqrt{10}$ — et ne peut converger sur un plus grand, car la somme étendrait $f$ holomorphiquement à un voisinage de $\pm\iu$ , où $\abs f \to \infty$ . La théorie réelle voit le mystérieux rayon $\sqrt{10}$ ; le plan complexe voit deux pôles. Règle pratique : pour trouver un rayon de convergence, localiser les singularités — p. ex. la série de Taylor de $\tan$ en $0$ a pour rayon $\frac\pi2$ (zéros les plus proches de $\cos$ ), et la fonction génératrice de Bernoulli $\frac z{\eu^z - 1}$ (le Problème 16.1, partie VI) a pour rayon $2\pi$ (zéros non nuls les plus proches de $\eu^z - 1$ : $\pm2\iu\pi$ ).

Corollaire 16.12 (Liouville ; d’Alembert–Gauss)

Une fonction entière bornée est constante. Par conséquent tout polynôme non constant sur $\C$ a une racine : $\C$ est algébriquement clos.

Démonstration. Si $\abs f \leq M$ sur $\C$ : pour tout $a$ et $r$ , $\abs{c_1(a)} = \abs{f'(a)} \leq M/r \to 0$ : $f' \equiv 0$ , et $f$ est constante (sur le connexe $\C$ : dérivée nulle implique localement constante — intégrer le long des segments). Si $P$ n’avait pas de racine, $1/P$ serait entière et bornée ( $\abs{P(z)} \to \infty$ quand $\abs z \to \infty$ : le terme dominant domine, donc $\abs{1/P}$ est petit hors d’un grand disque et continu sur le disque compact) : constante — absurde pour $P$ non constant. (Le problème de week-end donne une seconde preuve élémentaire et les conséquences algébriques.) ∎

Théorème 16.13 (Zéros isolés ; théorème d’identité)

Soit $\Omega$ connexe et $f \in \mathcal H(\Omega)$ , $f \not\equiv 0$ . Alors tout zéro $a$ de $f$ a un ordre fini : $f(z) = (z - a)^m\,g(z)$ avec $g \in \mathcal H(\Omega)$ , $g(a) \neq 0$ , et les zéros de $f$ n’ont pas de point d’accumulation dans $\Omega$ . Par conséquent, si deux fonctions holomorphes sur $\Omega$ coïncident sur un ensemble ayant un point d’accumulation dans $\Omega$ , elles coïncident partout.

Démonstration. Soit $Z$ l’ensemble des points où toutes les dérivées de $f$ s’annulent. $Z$ est fermé (intersection de fermés) et ouvert : si tous les $c_n = 0$ en $a$ , le développement en série entière rend $f \equiv 0$ sur un disque autour de $a$ . Connexité : $Z = \varnothing$ ou $Z = \Omega$ ; ce dernier est exclu par $f \not\equiv 0$ . Donc en un zéro $a$ , un coefficient est non nul : soit $m$ minimal avec $c_m \neq 0$ ; alors $f(z) = (z - a)^m\sum_{n\geq m}c_n(z-a)^{n-m}$ sur un disque, et la somme définit $g$ holomorphe près de $a$ avec $g(a) = c_m \neq 0$ ; étendre $g = f/(z-a)^m$ hors de $a$ (holomorphe là). Comme $g(a) \neq 0$ et $g$ est continue, $f$ n’a pas d’autre zéro dans un voisinage de $a$ : les zéros sont isolés, et un ensemble de points isolés n’a pas de point d’accumulation dans $\Omega$ (un point d’accumulation de zéros est un zéro — continuité — et ne serait pas isolé). Identité : appliquer à la différence, dont l’ensemble des zéros a un point d’accumulation, ce qui force la branche $Z = \Omega$ . ∎

Théorème 16.14 (Valeur moyenne et module maximum)

Soit $f \in \mathcal H(\Omega)$ .

(Valeur moyenne) Pour $\bar D(a, r) \subseteq \Omega$ : $f(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(a + r\eu^{\iu t})\,\dd t$ .
(Principe du maximum) Si $\Omega$ est connexe et $\abs f$ atteint un maximum local en un point de $\Omega$ , alors $f$ est constante. Par conséquent, pour $\Omega$ borné et $f$ continue sur $\bar\Omega$ : $\sup_{\bar\Omega}\abs f = \sup_{\partial\Omega}\abs f$ .

Démonstration. (1) est la formule de Cauchy au centre : paramétrer $C_r$ . (2) Supposons $\abs f \leq \abs{f(a)}$ sur $\bar D(a, \rho) \subseteq \Omega$ . Si $f(a) = 0$ , $f \equiv 0$ près de $a$ . Sinon, pour $0 < r \leq \rho$ , la valeur moyenne donne

\abs{f(a)} \leq \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\abs{f(a + r\eu^{\iu t})}\,\dd t \leq \abs{f(a)} :

l’intégrande continue non négative $\abs{f(a)} - \abs{f(a + r\eu^{\iu t})}$ a moyenne nulle, donc s’annule : $\abs f$ est constante $= \abs{f(a)} \ne 0$ sur le disque. Une fonction holomorphe de module non nul constant sur un disque est constante : dériver $P^2 + Q^2 = \text{const}$ donne $PP_x + QQ_x = 0$ et $PP_y + QQ_y = 0$ ; en substituant les relations de Cauchy–Riemann $P_y = -Q_x$ , $Q_y = P_x$ dans la seconde équation on obtient le système linéaire

P\,P_x + Q\,Q_x = 0, \qquad -P\,Q_x + Q\,P_x = 0,

dont le déterminant est $P^2 + Q^2 \neq 0$ : $P_x = Q_x = 0$ , donc $f' = P_x + \iu Q_x = 0$ sur le disque : $f$ constante là. Le théorème d’identité propage la constance à tout $\Omega$ . Forme au bord : $\abs f$ atteint son sup sur le compact $\bar\Omega$ ; un maximum intérieur rend $f$ constante, et le sup est atteint sur le bord dans tous les cas. ∎

Théorème 16.15 (Théorème de convergence de Weierstrass)

Si $f_n \in \mathcal H(\Omega)$ convergent vers $f$ uniformément sur tout sous-ensemble compact de $\Omega$ , alors $f \in \mathcal H(\Omega)$ et $f_n^{(k)} \to f^{(k)}$ uniformément sur les compacts, pour tout $k$ .

Démonstration. $f$ est continue. Pour tout triangle fermé $T \subseteq \Omega$ : $\int_{\partial T}f = \lim\int_{\partial T}f_n = 0$ (convergence uniforme sur le compact $\partial T$ ; Goursat pour les $f_n$ ). Par l’argument du Théorème 16.8, $f$ a des primitives locales (les disques sont convexes ; seule la propriété triangulaire a été utilisée), c’est-à-dire $f = F'$ localement avec $F$ holomorphe ; $F$ est analytique (le Théorème 16.10), donc aussi $f = F'$ : holomorphe. (C’est le théorème de Morera : continue à intégrales triangulaires nulles implique holomorphe.) Dérivées : pour $\bar D(a, 2r) \subseteq \Omega$ et $z \in \bar D(a, r)$ , la formule de Cauchy pour les dérivées (dériver le Théorème 16.9 sous l’intégrale, ou utiliser la formule des coefficients) donne

\abs{f_n'(z) - f'(z)} = \Bigl|\frac{1}{2\iu\pi}\int_{C_{2r}}\frac{f_n(w) - f(w)}{(w - z)^2}\,\dd w\Bigr| \leq \frac{2r\,\sup_{C_{2r}}\abs{f_n - f}}{r^2} \to 0

uniformément sur $\bar D(a,r)$ ; recouvrir un compact par un nombre fini de tels disques, et itérer pour les $k$ plus élevés. ∎

Formule de Cauchy : les valeurs d’une fonction holomorphe à l’intérieur d’un disque sont une moyenne pondérée de ses valeurs sur le cercle bord. Tout ce qui est rigide dans l’holomorphie — analyticité, Liouville, principe du maximum — se déploie à partir de cette unique identité. — Formule de Cauchy : les valeurs d’une fonction holomorphe *à l’intérieur* d’un disque sont une moyenne pondérée de ses valeurs sur le cercle bord. Tout ce qui est rigide dans l’holomorphie — analyticité, Liouville, principe du maximum — se déploie à partir de cette unique identité.

Méthode 16.16

La boîte à outils quotidienne. Pour prouver qu’une fonction est holomorphe : l’exhiber comme série entière, composition, limite localement uniforme (le Théorème 16.15), ou intégrale à paramètre holomorphe (l’Exercice 16.7 — dériver sous $\int$ ou appliquer Morera–Fubini). Pour prouver des identités : les prouver sur un segment ou un sous-domaine et invoquer le théorème d’identité. Pour borner : estimations de Cauchy sur le plus grand cercle disponible. Pour prouver constance/non-existence : Liouville ou le principe du maximum. Toujours savoir où la fonction est holomorphe et quels disques tiennent dans $\Omega$ .

16.5 Exercices

Exercice 16.1 ★

(a) En quels points $z \mapsto \bar z$ , $\abs z^2$ , $\operatorname{Re}z$ sont-elles complexe-différentiables ? Holomorphes sur un ouvert ? (b) Montrer que $P(x, y) = x^2 - y^2$ est la partie réelle d’une fonction holomorphe sur $\C$ , trouvée explicitement, et déterminer toutes ces fonctions.

Solution

Solution de Exercice 16.1.

(a) $\bar z$ : $P = x$ , $Q = -y$ , donc $P_x = 1 \neq -1 = Q_y$ : nulle part $\C$ -différentiable. $\abs z^2$ : $P = x^2 + y^2$ , $Q = 0$ : Cauchy–Riemann exige $2x = 0 = 2y$ : différentiable en $0$ seulement — et holomorphe nulle part (pas d’ouvert). $\operatorname{Re}z$ : $P_x = 1 \neq 0 = Q_y$ : nulle part.

(b) $x^2 - y^2 = \operatorname{Re}(z^2)$ : $f(z) = z^2$ convient. Toutes les solutions : si $\operatorname{Re}f = \operatorname{Re}g$ avec $f, g$ holomorphes sur le connexe $\C$ , alors $h = f - g$ a $\operatorname{Re}h = 0$ ; Cauchy–Riemann donne $h' = P_x + \iu Q_x = 0 - \iu P_y = 0$ : $h$ est une constante imaginaire. Réponse : $f(z) = z^2 + \iu c$ , $c \in \R$ .

Exercice 16.2 ★

Calculer à partir des définitions : $\int_{C}z^n\,\dd z$ pour tout $n \in \Z$ , $C$ le cercle unité ; $\int_\gamma\bar z\,\dd z$ le long du segment $[0, 1+\iu]$ et le long du chemin en deux segments passant par $1$ : conclure que $\bar z$ n’a pas de primitive sur aucun voisinage de ces chemins.

Solution

Solution de Exercice 16.2.

Sur le cercle unité $\gamma(t) = \eu^{\iu t}$ :

\int_C z^n\,\dd z = \int_0^{2\pi}\eu^{\iu nt}\,\iu\eu^{\iu t}\dd t = \iu\int_0^{2\pi}\eu^{\iu(n+1)t}\dd t = \begin{cases} 2\iu\pi & n = -1,\\ 0 & n \neq -1.\end{cases}

Pour $\bar z$ : le long de $[0, 1+\iu]$ , $\gamma(t) = t(1 + \iu)$ : $\int_0^1 t(1 - \iu)(1 + \iu)\dd t = \int_0^12t\,\dd t = 1$ . Le long de $0 \to 1 \to 1 + \iu$ : $\int_0^1t\dd t + \int_0^1(1 - \iu t)\,\iu\,\dd t = \frac12 + \iu + \frac12 = 1 + \iu$ . Valeurs différentes entre les mêmes extrémités : par la Proposition 16.5, $\bar z$ n’a pas de primitive sur aucun ouvert contenant les deux chemins.

Exercice 16.3 ★★

(a) Montrer que le logarithme principal $\log z = \ln\abs z + \iu\arg z$ ( $\arg \in \intoo{-\pi}\pi$ ) est holomorphe sur $\C\setminus\intoc{-\infty}0$ de dérivée $\frac1z$ (primitive de $\frac1z$ sur le plan découpé étoilé : le Théorème 16.8 ; fixer la constante). (b) Montrer qu’aucun logarithme continu n’existe sur $\C^*$ (son obstruction sans dérivée : l’indice du cercle unité). (c) Développer $\log(1 + z)$ en série entière sur $D(0,1)$ .

Solution

Solution de Exercice 16.3.

(a) Le plan découpé $\Omega = \C\setminus\intoc{-\infty}0$ est étoilé par rapport à $1$ , et $\frac1z \in \mathcal H(\Omega)$ : le Théorème 16.8 fournit une primitive $L$ avec $L(1) = 0$ . Alors $\bigl(z\eu^{-L(z)}\bigr)' = \eu^{-L}(1 - z\cdot\frac1z) = 0$ : $z = c\,\eu^{L(z)}$ avec $c = 1$ (en $z = 1$ ). Écrivant $L = u + \iu v$ : $\abs z = \eu^u$ et $z = \abs z\eu^{\iu v}$ avec $v$ continue, $v(1) = 0$ , $v \in \intoo{-\pi}\pi$ ( $v$ est un argument continu de $z$ sur le connexe $\Omega$ , donc son image évite les multiples impairs de $\pi$ — aucun point de $\Omega$ n’est sur $\R_-$ — et, contenant $v(1) = 0$ , reste dans $\intoo{-\pi}\pi$ : $v$ est l’argument principal) : $L = \log$ .

(b) Si $g$ était un logarithme continu sur $\C^*$ : $h(t) = g(\eu^{\iu t})$ satisfait $\eu^{h(t)} = \eu^{\iu t}$ , donc $h(t) - \iu t \in 2\iu\pi\Z$ , et par continuité $h(t) = \iu t + 2\iu\pi k$ pour un entier $k$ fixe. Alors $g(1) = h(0) = 2\iu\pi k$ et $g(1) = h(2\pi) = 2\iu\pi(k + 1)$ : contradiction.

(c) Sur $D(0,1)$ : $\log(1 + z) = \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}z^n$ — les deux membres s’annulent en $0$ et ont pour dérivée $\frac1{1+z} = \sum(-1)^nz^n$ (l’Exemple 16.3) ; une primitive est unique à constante près sur le disque connexe.

Exercice 16.4 ★★

(a) Soit $f$ entière avec $\abs{f(z)} \leq C(1 + \abs z)^{n}$ . Montrer que $f$ est un polynôme de degré $\leq n$ (estimations de Cauchy sur de grands cercles). (b) Soit $f$ entière avec $\operatorname{Re}f$ bornée supérieurement. Montrer que $f$ est constante (considérer $\eu^{f}$ ). (c) En déduire le « petit Picard pour les applications affines » : une fonction entière omettant un demi-plan est constante.

Solution

Solution de Exercice 16.4.

(a) Développer en $0$ (rayon $\infty$ ) : par les estimations de Cauchy sur $C_r$ , $\abs{c_k} \leq C(1 + r)^n/r^k \to 0$ quand $r \to \infty$ pour $k > n$ : $f = \sum_{k\leq n}c_kz^k$ .

(b) Si $\operatorname{Re}f \leq M$ : $g = \eu^f$ est entière avec $\abs g = \eu^{\operatorname{Re}f} \leq \eu^M$ : constante par Liouville. Alors $g' = f'g = 0$ avec $g$ non nulle : $f' = 0$ , et $f$ est constante.

(c) Si $f$ omet le demi-plan $H$ , une application affine $w \mapsto \alpha w + \beta$ envoie $\C\setminus H$ dans $\{\operatorname{Re} \leq M\}$ ; appliquer (b) à $\alpha f + \beta$ .

Exercice 16.5 ★★

(a) Soit $f$ holomorphe sur un $\Omega$ connexe $\ni 0$ avec $f(\frac1n) = \frac1{n^2}$ pour tout $n$ assez grand. Déterminer $f$ . (b) Existe-t-il une $f$ holomorphe sur $\C^*$ satisfaisant $f(\frac1n) = \frac{(-1)^n}{n}$ pour tout $n \geq 1$ ? Justifier. (c) Exhiber deux fonctions holomorphes distinctes sur $D(0,1)\sqcup D(3,1)$ coïncidant sur $D(0,1)$ : où le théorème d’identité utilise-t-il la connexité ?

Solution

Solution de Exercice 16.5.

(a) $g(z) = f(z) - z^2$ s’annule aux points $\frac1n$ , qui s’accumulent en $0 \in \Omega$ : par le théorème d’identité ( $\Omega$ connexe), $g \equiv 0$ : $f(z) = z^2$ .

(b) Oui : $f(z) = z\cos(\pi/z)$ est holomorphe sur $\C^*$ (composition) et $f(\frac1n) = \frac1n\cos(n\pi) = \frac{(-1)^n}n$ . Pas de contradiction avec (a) : le point d’accumulation $0$ des nœuds d’interpolation n’appartient pas à $\C^*$ , donc le théorème d’identité se tait — deux fonctions distinctes ( $z\cos(\pi/z)$ et, disons, celle d’une autre interpolation) peuvent partager ces valeurs.

(c) $f \equiv 0$ partout, versus $g = 0$ sur $D(0,1)$ et $g = 1$ sur $D(3,1)$ : holomorphes sur l’union non connexe, égales sur $D(0,1)$ , différentes. L’argument ouvert-fermé du théorème d’identité a besoin de la connexité pour propager d’une composante à l’autre — et ne le peut pas.

Exercice 16.6 ★★

Soit $f$ holomorphe sur le disque unité ouvert $\mathbb D$ , continue sur $\bar{\mathbb D}$ , avec $\abs f \equiv 1$ sur le cercle bord. (a) Si $f$ n’a pas de zéro dans $\mathbb D$ , montrer que $f$ est constante (appliquer le principe du maximum à $f$ et à $1/f$ ). (b) Donner un exemple avec un zéro où $f$ n’est pas constante.

Solution

Solution de Exercice 16.6.

(a) Par le principe du maximum appliqué sur le domaine borné : $\sup_{\mathbb D}\abs f = \sup_{\partial\mathbb D}\abs f = 1$ . Comme $f$ n’a pas de zéro, $1/f$ est holomorphe sur $\mathbb D$ , continue sur l’adhérence, de module bord $1$ : de même $\abs{1/f} \leq 1$ , c’est-à-dire $\abs f \geq 1$ . Donc $\abs f \equiv 1$ : le module atteint un maximum intérieur, et le Théorème 16.14(2) force $f$ constante.

(b) $f(z) = z$ : module bord $1$ , zéro à l’origine, non constante — le zéro bloque exactement l’argument $1/f$ .

Exercice 16.7 ★★

(Holomorphie sous l’intégrale) Soit $\mu$ une mesure finie sur un espace $X$ et $g \colon X\times\Omega \to \C$ avec : $g(x, \cdot) \in \mathcal H(\Omega)$ pour chaque $x$ , $g$ mesurable en $x$ , et $\abs g \leq h(x)$ avec $h$ intégrable, localement uniformément en $z$ . Montrer que $G(z) = \int_Xg(x, z)\dd\mu(x)$ est holomorphe sur $\Omega$ . (Morera : les intégrales triangulaires s’annulent par Fubini et Goursat ; continuité par convergence dominée. Puis appliquer à $\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\eu^{-t}\dd t$ sur $\{\operatorname{Re}z > 0\}$ .)

Solution

Solution de Exercice 16.7.

Continuité de $G$ : convergence dominée avec dominateur $h$ (borne localement uniforme). Holomorphie par Morera (établi dans le Théorème 16.15) : pour un triangle fermé $T$ dans un disque où $\abs g \leq h$ ,

\int_{\partial T}G(z)\,\dd z = \int_X\Bigl(\int_{\partial T}g(x, z)\,\dd z\Bigr)\dd\mu(x) = 0,

l’interversion par Fubini ( $\int_X\int_{\partial T}\abs g \leq \operatorname{length}(\partial T)\int h < \infty$ ) et l’annulation intérieure par Goursat. Pour $\Gamma$ : sur la bande $a \leq \operatorname{Re}z \leq b$ ( $0 < a \leq b$ ), $\abs{t^{z-1}\eu^{-t}} = t^{\operatorname{Re}z-1}\eu^{-t} \leq (t^{a-1} + t^{b-1})\eu^{-t}$ , intégrable sur $\intoo0{+\infty}$ : $\Gamma$ est holomorphe sur $\{\operatorname{Re} z > 0\}$ (la mesure n’est que $\sigma$ -finie, mais l’argument n’a besoin que du dominateur intégrable). Par le théorème d’identité, l’équation fonctionnelle $\Gamma(z + 1) = z\Gamma(z)$ , prouvée sur $\intoo0{+\infty}$ (l’Exemple 10.16), vaut sur tout le demi-plan.

Exercice 16.8 ★★★

(Gauss–Lucas) Soit $P \in \C[X]$ non constant. Montrer que toute racine de $P'$ est dans l’enveloppe convexe des racines de $P$ . (Écrire $\frac{P'}{P} = \sum_k\frac{m_k}{z - a_k}$ en un zéro $z$ de $P'$ qui n’est pas zéro de $P$ , prendre les conjugués, et lire une combinaison convexe.) Illustrer sur $P = z^3 - 1$ .

Solution

Solution de Exercice 16.8.

Écrire $P = c\prod_k(X - a_k)^{m_k}$ (le Problème 16.1). Soit $P'(z) = 0$ . Si $P(z) = 0$ , alors $z$ est l’un des $a_k$ : dans l’enveloppe. Sinon, la dérivée logarithmique donne

0 = \frac{P'(z)}{P(z)} = \sum_k\frac{m_k}{z - a_k} = \sum_k m_k\,\frac{\bar z - \bar a_k}{\abs{z - a_k}^2} ;

en conjuguant, $\sum_kw_k(z - a_k) = 0$ avec $w_k = m_k/\abs{z - a_k}^2 > 0$ : $z = \sum_k\frac{w_k}{\sum w}\,a_k$ , une combinaison convexe des racines. Pour $P = z^3 - 1$ : racines les racines cubiques de l’unité, $P' = 3z^2$ avec racine double $0$ — le barycentre du triangle équilatéral.

Exercice 16.9 ★★★

Soit $f$ entière et doublement périodique : $f(z + 1) = f(z + \iu) = f(z)$ pour tout $z$ . Montrer que $f$ est constante. (Borner $f$ sur le carré fondamental compact, puis partout ; Liouville.) Morale : les fonctions elliptiques non constantes doivent avoir des pôles — le thème du Chapitre 17.

Solution

Solution de Exercice 16.9.

Le carré unité fermé $K = \{x + \iu y : 0 \leq x, y \leq 1\}$ est compact : $M = \sup_K\abs f < \infty$ . Tout $z \in \C$ diffère d’un point de $K$ d’un élément de $\Z + \iu\Z$ (soustraire les parties entières), et $f$ est invariante sous ces translations (itérer les deux relations) : $\abs f \leq M$ sur $\C$ . Liouville : $f$ est constante. D’où toute fonction méromorphe doublement périodique non constante — les fonctions elliptiques de la théorie classique — doit avoir des pôles.

Exercice 16.10 ★★

(a) Montrer que $P = \operatorname{Re}f$ d’une $f$ holomorphe satisfait la propriété de la moyenne $P(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}P(a + r\eu^{\iu t})\dd t$ et est harmonique : $\partial^2_{xx}P + \partial^2_{yy}P = 0$ (dériver Cauchy–Riemann ; utiliser le Théorème 16.10 pour la régularité requise). (b) En déduire le principe du maximum pour les parties réelles de fonctions holomorphes sur des domaines bornés.

Solution

Solution de Exercice 16.10.

(a) Prendre les parties réelles dans la formule de la moyenne (le Théorème 16.14(1)). Régularité : $f$ est analytique, donc $P, Q \in \mathcal C^\infty$ ; dériver Cauchy–Riemann : $P_{xx} = (Q_y)_x = (Q_x)_y = (-P_y)_y = -P_{yy}$ (symétrie de Schwarz des dérivées secondes) : $\Delta P = 0$ .

(b) Si $\operatorname{Re}f$ atteignait un maximum intérieur sur un $\Omega$ connexe : $g = \eu^f$ a $\abs g = \eu^{\operatorname{Re}f}$ atteignant un maximum intérieur, donc $g$ , d’où $\operatorname{Re}f = \ln\abs g$ , est constante (le Théorème 16.14(2)). Sur un domaine borné avec continuité jusqu’au bord, $\sup_{\bar\Omega}\operatorname{Re}f = \sup_{\partial\Omega}\operatorname{Re}f$ .

Exercice 16.11 ★★★

(Réflexion de Schwarz) Soit $\Omega^+ = \{z : \abs z < 1,\ \operatorname{Im}z > 0\}$ , $I = \intoo{-1}1$ , et $f$ holomorphe sur $\Omega^+$ , continue sur $\Omega^+\cup I$ , à valeurs réelles sur $I$ . Définir

F(z) = \begin{cases} f(z) & z \in \Omega^+\cup I,\\ \overline{f(\bar z)} & \bar z \in \Omega^+ . \end{cases}

(a) Montrer que $F$ est bien définie et continue sur $\Omega = \Omega^+\cup I\cup\Omega^-$ , et holomorphe sur $\Omega^\pm$ (pour $\Omega^-$ : vérifier Cauchy–Riemann pour $\overline{f(\bar z)}$ , ou développer $f$ en série entière locale et conjuguer les coefficients). (b) Montrer que $F$ est holomorphe sur tout $\Omega$ par le critère de Morera : $\int_{\partial T}F = 0$ pour tout triangle $T \subseteq \Omega$ (découper les triangles en $I$ et pousser leurs côtés horizontaux hors de l’axe de $\varepsilon$ , en utilisant la continuité uniforme). (c) En déduire : une fonction holomorphe sur le disque, réelle sur un diamètre, satisfait $f(\bar z) = \overline{f(z)}$ ; et une fonction holomorphe non constante ne peut être à valeurs réelles sur aucun ouvert non vide de son domaine (connexe).

Solution

Solution de Exercice 16.11.

(a) Les deux formules coïncident sur $I$ ( $z = \bar z$ et $f$ réelle là : $\overline{f(\bar z)} = \overline{f(z)} = f(z)$ ), et $z \mapsto \overline{f(\bar z)}$ est continue sur $\Omega^-\cup I$ comme composition d’applications continues : $F$ est continue sur $\Omega$ . Holomorphie sur $\Omega^-$ : près de $z_0 \in \Omega^-$ , développer $f(w) = \sum c_n(w - \bar z_0)^n$ près de $\bar z_0 \in \Omega^+$ ; alors

\overline{f(\bar z)} = \sum_n\bar c_n\,(z - z_0)^n,

une série entière convergente : holomorphe.

(b) Les triangles évitant $I$ sont traités par Goursat dans $\Omega^\pm$ . Pour un triangle rencontrant $I$ , le couper par l’axe réel en au plus trois triangles/quadrilatères, chacun avec un côté sur $I$ ; pour un tel morceau $P$ contenu dans, disons, $\overline{\Omega^+}$ , l’intégrale de contour est la limite quand $\varepsilon \to 0^+$ de l’intégrale sur des translatées de type $P + \iu\varepsilon$ (la continuité uniforme de $F$ sur le morceau compact fait converger les intégrales de bord, le côté sur $I$ étant approché par le haut), et chaque translatée est dans $\Omega^+$ où Goursat donne $0$ . En sommant les morceaux : $\int_{\partial T}F = 0$ . Morera (le critère dans le Théorème 16.15) : $F$ est holomorphe sur $\Omega$ .

(c) Sur le disque, $G(z) = \overline{f(\bar z)}$ est holomorphe par le calcul de (a) et coïncide avec $f$ sur le diamètre, ensemble à points d’accumulation : $G = f$ partout (théorème d’identité). Si $f$ était réelle sur un ouvert non vide $U$ : sur $U$ les deux dérivées partielles de $Q = \operatorname{Im}f$ s’annulent, et Cauchy–Riemann transfère cela à $P = \operatorname{Re}f$ ( $P_x = Q_y = 0$ , $P_y = -Q_x = 0$ ), donc $f' = P_x + \iu Q_x = 0$ sur $U$ : $f$ est constante sur $U$ , d’où partout par le théorème d’identité ( $\Omega$ connexe).

Exercice 16.12 ★★

(L’équation de Pythagore complexe) Trouver tous les couples de fonctions entières avec $f^2 + g^2 = 1$ . (a) Montrer que $h = f + \iu g$ est entière et sans zéro, et que toute fonction entière sans zéro est $\eu^{\varphi}$ pour une $\varphi$ entière ( $h'/h$ est entière, donc a une primitive sur le $\C$ étoilé ; ajuster la constante et montrer que $h\eu^{-\varphi}$ est constante). (b) Conclure $f = \cos\varphi$ , $g = \sin\varphi$ avec $\varphi$ entière, et vérifier la réciproque. Quelles sont les solutions entières de $f^2 + g^2 = 0$ ?

Solution

Solution de Exercice 16.12.

(a) $1 = f^2 + g^2 = (f + \iu g)(f - \iu g)$ , donc $h = f + \iu g$ ne s’annule jamais (son cofacteur devrait exploser). Pour $h$ entière sans zéro : $h'/h$ est entière, et $\C$ est étoilé, donc elle a une primitive $\varphi_0$ (le Théorème 16.8) ; alors $\bigl(h\eu^{-\varphi_0}\bigr)' = \eu^{-\varphi_0}(h' - h\varphi_0') = 0$ : $h = c\,\eu^{\varphi_0}$ avec $c \neq 0$ , et en absorbant une constante $\log c$ dans $\varphi = \varphi_0 + \log c$ (n’importe quel logarithme complexe de $c$ ) : $h = \eu^{\varphi}$ .

(b) Avec $h = \eu^{\varphi}$ et $h^{-1} = f - \iu g = \eu^{-\varphi}$ :

f = \frac{\eu^{\varphi} + \eu^{-\varphi}}2, \qquad g = \frac{\eu^{\varphi} - \eu^{-\varphi}}{2\iu} .

En écrivant $\varphi = \iu\psi$ avec $\psi = -\iu\varphi$ entière, cela lit $f = \cos\psi$ , $g = \sin\psi$ : les solutions entières sont exactement les couples $(\cos\psi, \sin\psi)$ avec $\psi$ entière, et la réciproque est l’identité $\cos^2 + \sin^2 = 1$ . Pour $f^2 + g^2 = 0$ : $(f + \iu g)(f - \iu g) = 0$ dans l’anneau intègre $\mathcal H(\C)$ ( $\C$ connexe : des diviseurs de zéro violeraient le théorème d’identité) : $g = \pm\iu f$ avec $f$ entière arbitraire.

16.6 Problème : le théorème fondamental de l’algèbre, deux fois

Problème 16.1

Problème de week-end — $\C$ est algébriquement clos : preuve de d’Alembert, preuve de Liouville, et la récolte

Soit $P(z) = z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \dots + a_0$ , $n \geq 1$ . Nous prouvons deux fois que $P$ a une racine, puis recueillons ce que l’algèbre attend depuis le Chapitre 4.

Partie I — Coercivité et le minimum.

Montrer que $\abs{P(z)} \to +\infty$ quand $\abs z \to \infty$ : précisément, $\abs{P(z)} \geq \frac12\abs z^n$ pour $\abs z \geq R_0$ convenable.
En déduire que $\abs P$ atteint un minimum global sur $\C$ : il existe $z_0$ avec $\abs{P(z_0)} = \inf_\C\abs P$ (compacité d’un grand disque fermé, le Corollaire 6.17).

Partie II — La descente de d’Alembert. Supposons, par l’absurde, $P(z_0) \neq 0$ .

Développer $Q(h) = P(z_0 + h)/P(z_0)$ comme polynôme en $h$ : $Q(h) = 1 + c_kh^k + h^{k+1}S(h)$ avec $c_k \neq 0$ , $k \geq 1$ , $S$ un polynôme.
Choisir la direction de descente : pour $t > 0$ petit, poser $h = t\,\omega$ où $\omega^k = -1/c_k$ (pourquoi un tel $\omega$ existe-t-il ? — prouver l’existence de racines $k$ -ièmes de tout nombre complexe via la forme polaire, indépendamment du théorème en cours de démonstration). Montrer

$\abs{Q(t\omega)} \leq 1 - t^k + C\,t^{k+1}$

pour $t$ petit, avec une constante $C$ explicite.
Conclure $\abs{Q(t\omega)} < 1$ pour $t$ petit — contredisant la minimalité de $\abs{P(z_0)}$ . D’où $P(z_0) = 0$ : tout polynôme complexe non constant a une racine (d’Alembert–Argand).

Partie III — Le one-liner de Liouville, en entier.

Rédiger soigneusement la preuve du Corollaire 16.12 : si $P$ n’a pas de racine, vérifier que $1/P$ est entière, bornée (quantifier, en utilisant la question 1), donc constante, et conclure. Comparer les deux preuves : quels ingrédients chacune utilise-t-elle ? (La compacité apparaît dans les deux — où ?)

Partie IV — La récolte.

Montrer que tout $P \in \C[X]$ de degré $n$ se scinde : $P = c\prod_{i}(X - \alpha_i)^{m_i}$ avec $\sum m_i = n$ (récurrence, division euclidienne par $(X - \alpha)$ ).
Montrer que les polynômes irréductibles de $\R[X]$ sont les linéaires et les quadratiques à discriminant négatif (apparier les racines conjuguées) ; en déduire que tout polynôme réel de degré impair a une racine réelle, et donner une seconde preuve, d’ordre théorique, de ce dernier fait (théorème des valeurs intermédiaires) — en vérifiant qu’elles s’accordent sur $X^3 - X - 1$ .
En déduire les dettes que ce livre peut maintenant rembourser : (i) tout endomorphisme d’un espace vectoriel $\C$ non nul de dimension finie a une valeur propre, donc toute matrice complexe a une forme de Jordan (le Théorème 3.18) ; (ii) le corps $\bar\Q$ des nombres algébriques utilisé dans la Remarque 4.10 est bien une clôture algébrique de $\Q$ .
(Finale) Localiser où chaque preuve casserait sur un corps comme $\Q(\iu)$ : quelles étapes utilisent l’existence de racines $k$ -ièmes (question 4), et lesquelles utilisent la compacité ou la complétude (questions 2 et 6) ? Conclure en cinq lignes : le théorème est authentiquement analytique — toute preuve invoque quelque part la complétude ou la connexité de $\R$ — même si son énoncé est purement algébrique.

Partie V — L’échelle de rigidité des fonctions entières. Liouville est le premier barreau d’une échelle ; nous grimpons.

(Estimations de Cauchy) À partir de la formule de Cauchy sur le cercle de rayon $r$ autour de $a$ , prouver

$\bigl|f^{(n)}(a)\bigr| \leq \frac{n!\,\sup_{\abs{z-a}=r}\abs f}{r^n} ,$

et retrouver Liouville comme le cas $n = 1$ , $r \to \infty$ .
(Croissance polynomiale) Montrer qu’une $f$ entière avec $\abs{f(z)} \leq A + B\abs z^m$ pour tout $z$ est un polynôme de degré $\leq m$ (tuer les coefficients de Taylor au-delà de $m$ avec la question 11).
(Partie réelle bornée) Montrer qu’une $f$ entière avec $\operatorname{Re}f$ bornée supérieurement est constante (appliquer Liouville à $\eu^{f}$ ).
(Double périodicité) Soit $f$ entière avec $f(z + 1) = f(z)$ et $f(z + \iu) = f(z)$ pour tout $z$ . Montrer que $f$ est constante. Conclure : une fonction « elliptique » non constante doit avoir des singularités — la raison historique pour laquelle les pôles entrent en analyse complexe.
(Image dense) Montrer que l’image d’une fonction entière non constante est dense dans $\C$ : si $f(\C)$ manque un disque $D(a, r)$ , alors $\frac1{f - a}$ est entière et bornée. (Picard a prouvé que l’image manque au plus un point ; la densité est le niveau que nos outils atteignent.)
(Propre $\Rightarrow$ polynôme) Supposons $f$ entière et $\abs{f(z)} \to \infty$ quand $\abs z \to \infty$ . Montrer : les zéros de $f$ sont en nombre fini ( $z_1, \dots, z_p$ , avec multiplicités $m_i$ ) ; le quotient $g = f/\prod(z - z_i)^{m_i}$ est entier et sans zéro ; $1/g$ a une croissance polynomiale, donc (question 12) est un polynôme, nécessairement constant (sans zéro) ; conclure que $f$ est un polynôme. Ainsi parmi les fonctions entières, les polynômes sont exactement les propres — $\eu^z$ échoue à la propreté le long de $\R_-$ .

Partie VI — Ombres harmoniques et une moyenne de Gauss.

Soit $f = u + \iu v$ holomorphe sur un ouvert. Vérifier que $u = \operatorname{Re}f$ satisfait la propriété de la moyenne

$u(a) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} u\bigl(a + r\eu^{\iu\theta}\bigr)\,\dd\theta$

(partie réelle de la formule de Cauchy), et en déduire le principe du maximum pour $u$ sur un domaine borné, avec la même preuve de connexité que pour $\abs f$ .
(Moyenne de Gauss) Pour $a \in \C$ et $r > 0$ avec $\abs a \neq r$ , prouver

$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \log\bigl|a - r\eu^{\iu\theta}\bigr|\,\dd\theta = \log\max\bigl(\abs a, r\bigr)$

(si $\abs a > r$ : $z \mapsto \log\abs{a - z}$ est la partie réelle d’un logarithme holomorphe sur un voisinage du disque fermé — pourquoi en existe-t-il un ? — donc la question 17 s’applique ; si $\abs a < r$ : factoriser $\abs{a - r\eu^{\iu\theta}} = r\,\abs{1 - \frac ar\eu^{-\iu \theta}}$ et réutiliser le premier cas).
(Mesure de Mahler) Pour $P = c\prod_{i=1}^n(X - \alpha_i) \in \C[X]$ , en déduire la formule de Jensen pour les polynômes :

$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\bigl|P(\eu^{\iu\theta}) \bigr|\,\dd\theta = \log\Bigl(\abs c\prod_{i}\max(1, \abs{\alpha_i})\Bigr) :$

la moyenne géométrique de $\abs P$ sur le cercle unité lit les racines hors du disque. Vérifier sur $P = X^2 - X$ et sur $P = 2X - 1$ .
(Nombres de Bernoulli) Définir les coefficients $B_n$ par $\frac{z}{\eu^z - 1} = \sum_{n\geq0}\frac{B_n}{n!} z^n$ près de $0$ (pourquoi le membre de gauche est-il analytique en $0$ ?). Dériver la récurrence $\sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}kB_k = 0$ ( $n \geq 1$ ) de $(\eu^z - 1)\cdot\frac z{\eu^z-1} = z$ , calculer $B_0, \dots, B_6$ , et montrer $B_{2k+1} = 0$ pour $k \geq 1$ (la fonction $\frac z{\eu^z-1} + \frac z2$ est paire). Ces nombres tariferont chaque $\zeta(2k)$ dans le Chapitre 17.
(Réalité) Montrer qu’une fonction entière prenant des valeurs réelles sur $\R$ satisfait $f(\bar z) = \overline{f(z)}$ partout (comparer les coefficients de Taylor en $0$ , ou appliquer le théorème d’identité à $z \mapsto \overline{f(\bar z)}$ ) ; en déduire à nouveau que les racines non réelles des polynômes réels viennent par paires conjuguées (appariement de la question 8, reprouvé analytiquement).
(La morale) Assembler l’échelle de rigidité : bornée $\Rightarrow$ constante ; polynomialement bornée $\Rightarrow$ polynôme ; propre $\Rightarrow$ polynôme ; manquant un disque $\Rightarrow$ constante ; doublement périodique $\Rightarrow$ constante. Contraster en un court paragraphe avec les fonctions réelles $\mathcal C^\infty$ (fonctions bosselées, le Théorème 12.9) : pourquoi l’holomorphie, condition purement locale, impose-t-elle une loi et un ordre globaux ?

Partie VII — Dernière récolte.

(Inégalité de Landau) Pour $P = \sum_{k=0}^na_kX^k$ , prouver la moyenne $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \abs{P(\eu^{\iu\theta})}^2\dd\theta = \sum_k\abs{a_k}^2$ (orthogonalité des $\eu^{\iu k\theta}$ ), puis, en utilisant la borne ponctuelle $\log t \leq t - 1$ pour comparer les moyennes de $\log\abs P^2$ et $\abs P^2$ , déduire de la question 19 que

$\abs c\prod_{i}\max\bigl(1, \abs{\alpha_i}\bigr) \;\leq\; \Bigl(\sum_{k=0}^{n}\abs{a_k}^2\Bigr)^{1/2} :$

le produit des racines hors du disque unité est contrôlé par la taille $\ell^2$ des coefficients (traiter les racines sur le cercle en appliquant l’inégalité à $P(rX)$ et en faisant $r \to 1$ ). Vérifier sur $X^2 - X$ .
(Les nombres de Bernoulli croissent factoriellement) Montrer que le rayon de convergence de $\sum\frac{B_n}{n!}z^n$ est exactement $2\pi$ : au moins $2\pi$ car $z/(\eu^z - 1)$ s’étend holomorphiquement à $D(0, 2\pi)$ , au plus $2\pi$ car la somme resterait sinon bornée près de $2\pi\iu$ , où $\abs{z/(\eu^z-1)} \to \infty$ . En déduire

$\limsup_{k\to\infty} \Bigl(\frac{\abs{B_{2k}}}{(2k)!}\Bigr)^{1/2k} = \frac1{2\pi} :$

les nombres de Bernoulli croissent factoriellement. En admettant $B_{12} = -\frac{691}{2730}$ (la récurrence de la question 20, poussée plus loin), comparer $\abs{B_{12}} \approx 0{,}25311$ avec la prédiction plus fine $2\,(2k)!/(2\pi)^{2k} \approx 0{,}25305$ en $k = 6$ — quatre chiffres concordants d’une loi asymptotique que le Chapitre 17 prouvera exactement, via $\zeta(2k)$ .
(Les racines bougent continûment) Soit $(P_j)$ monique de degré $n$ avec coefficients convergeant vers ceux de (monique) $P$ . Prouver la borne de Cauchy : toute racine d’un monique $Q = X^n + \sum_{k<n}q_kX^k$ satisfait $\abs\alpha \leq 1 + \max_k\abs{q_k}$ ; en déduire que les racines des $P_j$ restent dans un compact fixe, et, en extrayant des sous-suites convergentes de vecteurs de racines et en passant à la limite dans la factorisation de la question 7, que les multi-ensembles de racines des $P_j$ convergent vers celui de $P$ . Montrer enfin que la continuité est le mieux qu’on puisse dire : pour $P_\varepsilon = X^2 - 2X + 1 + \varepsilon$ , une perturbation de taille $\varepsilon = 10^{-4}$ déplace la racine double $1$ de $10^{-2}$ — exposant de Hölder $\frac1m$ en une racine $m$ -uple, jamais lipschitzien : numériquement, les racines multiples coûtent la moitié des chiffres.

Solution

Solution de Problème 16.1.

1. Pour $\abs z \geq 1$ :

\abs{P(z)} \geq \abs z^n\Bigl(1 - \frac{\abs{a_{n-1}}}{\abs z} - \dots - \frac{\abs{a_0}}{\abs z^n}\Bigr) \geq \abs z^n\Bigl(1 - \frac{A}{\abs z}\Bigr), \qquad A = \sum_k\abs{a_k} :

pour $\abs z \geq R_0 = \max(1, 2A)$ , $\abs{P(z)} \geq \frac12\abs z^n \to \infty$ .

2. Choisir $R \geq R_0$ avec $\frac12R^n \geq \abs{P(0)}$ . Sur le compact $\bar D(0, R)$ le continu $\abs P$ atteint un minimum, en un certain $z_0$ ; à l’extérieur, $\abs P \geq \frac12R^n \geq \abs{P(0)} \geq \abs{P(z_0)}$ : le minimum est global.

3. $Q(h) = P(z_0 + h)/P(z_0)$ est un polynôme en $h$ avec $Q(0) = 1$ ; il est non constant ( $P$ l’est), donc un coefficient au-delà de la constante est non nul : $Q(h) = 1 + c_kh^k + h^{k+1}S(h)$ avec $k \geq 1$ minimal, $c_k \neq 0$ , $S \in \C[X]$ .

4. Racines : tout $w = \rho\eu^{\iu\varphi} \neq 0$ a la racine $k$ -ième $\rho^{1/k}\eu^{\iu\varphi/k}$ , où $\rho^{1/k}$ existe par le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à $t \mapsto t^k$ sur $\intco0\infty$ — pas de circularité. Choisir $\omega$ avec $\omega^k = -1/c_k$ . Alors

Q(t\omega) = 1 - t^k + t^{k+1}\,\omega^{k+1}S(t\omega), \qquad \abs{Q(t\omega)} \leq 1 - t^k + C\,t^{k+1} \quad (0 < t \leq 1),

avec $C = \abs\omega^{k+1}\sup_{\abs h \leq \abs\omega}\abs{S(h)}$ (noter $1 - t^k \geq 0$ sur $\intcc01$ ).

5. Pour $0 < t < \min(1, 1/C)$ : $\abs{Q(t\omega)} \leq 1 - t^k(1 - Ct) < 1$ , c’est-à-dire $\abs{P(z_0 + t\omega)} < \abs{P(z_0)}$ — contredisant la minimalité globale. Donc $P(z_0) = 0$ : la preuve de d’Alembert–Argand est complète.

6. Version Liouville : si $P$ ne s’annule jamais, $1/P$ est entière ; par la question 1, $\abs{1/P} \leq 2R_0^{-n}$ hors de $\bar D(0, R_0)$ , et $1/P$ est continue sur ce disque compact, donc bornée là aussi : entière bornée, donc constante (le Corollaire 16.12), rendant $P$ constant : absurde. Ingrédients : d’Alembert utilise la compacité (existence du minimum) et l’existence via forme polaire des racines $k$ -ièmes ; Liouville utilise tout l’appareil de Cauchy (Goursat — lui-même un argument de compacts emboîtés — et les estimations de Cauchy) plus la même coercivité. La compacité des disques fermés est le noyau commun, irréductible.

7. Si $\deg P \geq 1$ , prendre une racine $\alpha$ (questions 5) ; diviser : $P = (X - \alpha)Q + P(\alpha) = (X - \alpha)Q$ , avec $\deg Q = n - 1$ ; récurrence. En regroupant les facteurs égaux : $P = c\prod_i(X - \alpha_i)^{m_i}$ , $\sum m_i = n$ .

8. Pour $P$ réelle : $P(\bar\alpha) = \overline{P(\alpha)} = 0$ , et les multiplicités s’accordent (conjuguer la factorisation) : les racines non réelles viennent par paires, contribuant $(X - \alpha)(X - \bar\alpha) = X^2 - 2\operatorname{Re}(\alpha)X + \abs\alpha^2$ , un quadratique réel de discriminant $< 0$ . D’où la liste d’irréductibles énoncée, et un polynôme réel de degré impair, ayant un nombre pair de racines non réelles, doit en avoir une réelle. Preuve directe : $P(x) \to \pm\infty$ quand $x \to \pm\infty$ (degré impair, coefficient dominant positif disons), donc $P$ change de signe, et le théorème des valeurs intermédiaires s’applique. Pour $X^3 - X - 1$ : les deux arguments donnent l’unique racine réelle $\approx 1{,}3247$ (et une paire conjuguée).

9. (i) $\chi_u \in \C[X]$ est non constant : il a une racine $\lambda$ , et $\det(u - \lambda\,\mathrm{id}) = 0$ donne un vecteur propre ; la machinerie des diviseurs élémentaires du Théorème 3.18 s’applique alors à toute matrice complexe, $\chi$ se scindant toujours. (ii) Soit $P \in \bar\Q[X]$ non constant. Comme polynôme sur $\C$ il a une racine $z \in \C$ ; $z$ est algébrique sur $\bar\Q$ , d’où sur $\Q$ par transitivité (le Corollaire 4.5), donc $z \in \bar\Q$ : tout polynôme non constant sur $\bar\Q$ a une racine dans $\bar\Q$ .

10. Sur $\Q(\iu)$ , la question 4 échoue déjà : les racines $k$ -ièmes n’existent pas forcément (pas de $\sqrt2$ ), et même en les accordant, la question 2 échoue — une suite minimisante n’a pas à converger, $\Q$ manquant de complétude ; dans la route de Liouville, les triangles compacts emboîtés de Goursat ont une intersection vide sur les points de $\Q(\iu)$ . Les deux preuves consomment la complétude (équivalemment, via la convergence monotone bornée, la complétude d’ordre) de $\R$ ; la connexité alimente le théorème des valeurs intermédiaires derrière la forme polaire. L’énoncé « $\C$ est algébriquement clos » est de l’algèbre ; toute preuve connue en est de l’analyse introduite en contrebande par la définition de $\R$ .

11. Par le Théorème 16.10 en $a$ , $f^{(n)}(a) = n!\,c_n$ avec

c_n = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{(w - a)^{n+1}}\,\dd w, \qquad \abs{c_n} \leq \frac{2\pi r}{2\pi}\cdot \frac{\sup_{C_r}\abs f}{r^{n+1}} = \frac{\sup_{C_r}\abs f}{r^{n}} :

les estimations de Cauchy, sous la forme affichée après multiplication par $n!$ . Si $\abs f \leq M$ sur $\C$ : pour tout $a$ et tout $r$ , $\abs{f'(a)} \leq M/r \to 0$ quand $r \to \infty$ , donc $f' \equiv 0$ et $f$ est constante sur le connexe $\C$ — Liouville retrouvé.

12. Développer $f = \sum_kc_kz^k$ en $0$ (rayon $\infty$ ). Pour $k > m$ : $\abs{c_k} \leq (A + Br^m)/r^k \to 0$ quand $r \to \infty$ , donc $c_k = 0$ : $f = \sum_{k\leq m}c_kz^k$ est un polynôme de degré au plus $m$ .

13. $g = \eu^f$ est entière avec $\abs g = \eu^{\operatorname{Re}f} \leq \eu^M$ : constante par la question 11. Alors $0 = g' = f'g$ avec $g$ sans zéro : $f' = 0$ et $f$ est constante.

14. Soit $M = \sup_K\abs f$ sur le carré unité fermé compact $K$ . Tout $z$ diffère d’un point de $K$ d’un élément de $\Z + \iu\Z$ (soustraire les parties entières), et itérer les deux relations de périodicité laisse $f$ inchangée : $\abs f \leq M$ sur tout $\C$ , et la question 11 rend $f$ constante. Donc une fonction non constante invariante sous le réseau ne peut être entière : les fonctions elliptiques de la théorie classique doivent porter des pôles — la porte historique du Chapitre 17.

15. Si $f(\C)$ manque le disque $D(a, r)$ , alors $\abs{f(z) - a} \geq r$ pour tout $z$ , donc $g = 1/(f - a)$ est entière avec $\abs g \leq 1/r$ : constante par Liouville, d’où $f$ constante. Contraposée : l’image d’une fonction entière non constante rencontre tout disque — elle est dense dans $\C$ .

16. Choisir $R$ avec $\abs f \geq 1$ hors de $D(0, R)$ . Les zéros de $f$ sont dans le compact $\bar D(0, R)$ ; s’ils étaient infinis, ils s’y accumuleraient, et le Théorème 16.13 forcerait $f \equiv 0$ — impossible. Les appeler $z_1, \dots, z_p$ , avec multiplicités $m_1, \dots, m_p$ , poser $M = \sum m_i$ et $\Pi(z) = \prod_i(z - z_i)^{m_i}$ . En factorisant chaque zéro hors de la série entière, $g = f/\Pi$ est entière et sans zéro. Pour $\abs z \geq \max(R, 2\max_i\abs{z_i})$ : $\abs{z - z_i} \leq 2\abs z$ et $\abs f \geq 1$ , donc $\abs{1/g} = \abs\Pi/\abs f \leq 2^M\abs z^M$ ; sur le disque compact restant $1/g$ est continue, donc bornée : $\abs{1/g} \leq A + B\abs z^M$ partout. Par la question 12, $1/g$ est un polynôme ; sans zéro, donc par la question 7 c’est une constante non nulle $c$ : $f = \frac1c\Pi$ est un polynôme. Réciproquement, la question 1 rend tout polynôme non constant propre. Et $\eu^z$ est honnêtement exclu : le long de $\R_-$ , $\abs{\eu^z} = \eu^x \to 0$ tandis que $\abs z \to \infty$ .

17. Paramétrer le Théorème 16.9 au centre : avec $w = a + r\eu^{\iu\theta}$ , $\dd w = \iu r\eu^{\iu\theta}\dd\theta$ ,

f(a) = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_r}\frac{f(w)}{w - a}\,\dd w = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} f\bigl(a + r\eu^{\iu\theta}\bigr)\,\dd\theta ;

prendre les parties réelles donne la propriété de la moyenne de $u$ . Si $u$ atteint un maximum en un point intérieur du connexe $\Omega$ : $\abs{\eu^f} = \eu^u$ atteint un maximum intérieur, donc $\eu^f$ est constante par le Théorème 16.14(2), et $u = \log\abs{\eu^f}$ est constante. Sur un domaine borné avec continuité jusqu’au bord, $\sup_{\bar\Omega}u = \sup_{\partial\Omega}u$ , exactement comme pour $\abs f$ .

18. Cas $\abs a > r$ . Choisir $R$ avec $r < R < \abs a$ : sur le disque convexe $D(0, R)$ la fonction $a - z$ est holomorphe et sans zéro, et $z \mapsto -1/(a - z)$ a une primitive $L$ là (le Théorème 16.8) ; après ajustement de la constante, $\bigl(\eu^{-L}(a - z)\bigr)' = \eu^{-L}\bigl(-L'\,(a - z) - 1\bigr) = 0$ donne $\eu^L = a - z$ : un logarithme holomorphe existe, et $\log\abs{a - z} = \operatorname{Re}L(z)$ . Propriété de la moyenne de la question 17 en $0$ , rayon $r$ :

\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \log\bigl|a - r\eu^{\iu\theta}\bigr|\,\dd\theta = \operatorname{Re}L(0) = \log\abs a .

Cas $\abs a < r$ . De $a - r\eu^{\iu\theta} = -r\eu^{\iu\theta}\bigl(1 - \frac ar\eu^{-\iu\theta}\bigr)$ , la moyenne égale $\log r$ plus la moyenne de $\log\abs{1 - \frac ar\eu^{-\iu\theta}}$ . La substitution $\theta \mapsto 2\pi - \theta$ , puis — en écrivant $\frac ar = \rho\eu^{\iu\varphi}$ , $\rho < 1$ , le cas $a = 0$ étant trivial — le décalage $\theta \mapsto \theta - \varphi$ (tous deux préservent les moyennes sur une période) transforment cela en la moyenne de $\log\abs{1 - \rho\eu^{\iu\theta}}$ : le premier cas avec $(a, r) = (1, \rho)$ , qui donne $\log 1 = 0$ . Total : $\log r = \log\max(\abs a, r)$ dans les deux cas.

19. $\log\abs{P(\eu^{\iu\theta})} = \log\abs c + \sum_i\log\abs{\alpha_i - \eu^{\iu\theta}}$ , chaque racine répétée selon sa multiplicité ; en moyennant en $\theta$ et en appliquant la question 18 avec $r = 1$ à chaque racine hors du cercle unité on obtient $\log\bigl(\abs c\prod_i\max(1, \abs{\alpha_i})\bigr)$ . Vérifications. Pour $P = 2X - 1 = 2(X - \frac12)$ la formule prédit $\log 2$ ; directement, $\abs{2\eu^{\iu\theta} - 1} = 2\abs{\frac12 - \eu^{\iu\theta}}$ et la moyenne de $\log\abs{\frac12 - \eu^{\iu\theta}}$ est $\log\max(\frac12, 1) = 0$ : moyenne $\log 2$ . Pour $P = X^2 - X = X(X - 1)$ la racine $1$ est sur le cercle ; la formule prédit $0$ . Directement, la moyenne de $\log\abs{\eu^{\iu\theta}}$ est $0$ , et avec $\abs{\eu^{\iu\theta} - 1} = 2\abs{\sin\frac\theta2}$ :

\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \log\Bigl(2\sin\frac\theta2\Bigr)\dd\theta = \frac1\pi\int_0^\pi\log(2\sin u)\,\dd u = \log 2 + \frac J\pi, \qquad J = \int_0^\pi\log\sin u\,\dd u .

La substitution $u = 2v$ et $\sin 2v = 2\sin v\cos v$ donnent $J = \pi\log2 + 2\int_0^{\pi/2}\log\sin + 2\int_0^{\pi/2}\log\cos = \pi\log 2 + 2J$ (chaque moitié égale $J/2$ par les symétries de $\sin$ ), donc $J = -\pi\log 2$ (les intégrales impropres convergent, $\log\sin$ étant intégrable aux extrémités) : la moyenne est $\log2 - \log2 = 0$ . La formule survit aux racines sur le cercle.

20. $\frac{\eu^z - 1}z = \sum_{j\geq0}\frac{z^j}{(j+1)!}$ est entière et vaut $1$ en $0$ : sa réciproque est holomorphe près de $0$ (sur $\abs z < 2\pi$ en fait, les autres zéros les plus proches de $\eu^z - 1$ étant $\pm2\iu\pi$ ), donc $\frac z{\eu^z-1}$ est analytique en $0$ . En multipliant les deux séries et en lisant le coefficient de $z^n$ , $n \geq 1$ , dans $(\frac{\eu^z-1}z)\cdot(\frac z{\eu^z-1}) = 1$ :

\sum_{k=0}^{n}\frac{B_k}{k!\,(n+1-k)!} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k}B_k = 0 .

Successivement : $B_0 = 1$ , $B_1 = -\frac12$ , $B_2 = \frac16$ , $B_3 = 0$ , $B_4 = -\frac1{30}$ , $B_5 = 0$ , $B_6 = \frac1{42}$ . Parité : avec $F(z) = \frac z{\eu^z-1} + \frac z2$ ,

F(-z) = \frac{-z}{\eu^{-z} - 1} - \frac z2 = \frac{z\,\eu^z}{\eu^z - 1} - \frac z2 = z + \frac{z}{\eu^z - 1} - \frac z2 = F(z) :

$F$ est paire, donc $B_{2k+1} = 0$ pour $k \geq 1$ (le seul coefficient impair $B_1$ a été absorbé par $+\frac z2$ ). Pointeur vers l’avant : $\cot w = \iu + \frac{2\iu}{\eu^{2\iu w}-1}$ donne $w\cot w = 1 + \sum_{k\geq1}\frac{B_{2k}}{(2k)!}(2\iu w)^{2k}$ , donc les coefficients de Laurent de la cotangente — d’où, par le Chapitre 17, chaque $\zeta(2k)$ — sont tarifés par les nombres de Bernoulli :

\zeta(2k) = (-1)^{k+1}\,\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2\,(2k)!} .

21. Écrire $f = \sum_nc_nz^n$ (rayon $\infty$ ) ; alors $g(z) = \overline{f(\bar z)} = \sum_n\bar c_nz^n$ est entière. Sur $\R$ : $g(x) = \overline{f(x)} = f(x)$ , donc $g$ et $f$ coïncident sur un ensemble à points d’accumulation dans le connexe $\C$ : le Théorème 16.13 donne $g \equiv f$ , c’est-à-dire $f(\bar z) = \overline{f(z)}$ (de façon équivalente : tous les $c_n$ sont réels). Pour un polynôme réel $P$ : $P(\bar\alpha) = \overline{P(\alpha)} = 0$ , et la même identité appliquée aux dérivées réelles $P', P'', \dots$ préserve les multiplicités : les racines non réelles s’apparient — l’appariement de la question 8, reprouvé analytiquement.

22. L’échelle, assemblée : bornée $\Rightarrow$ constante (11) ; dominée par $A + B\abs z^m$ $\Rightarrow$ polynôme (12) ; partie réelle bornée supérieurement $\Rightarrow$ constante (13) ; doublement périodique $\Rightarrow$ constante (14) ; image manquant un disque $\Rightarrow$ constante (15) ; propre $\Rightarrow$ polynôme (16). Chaque barreau est la formule de Cauchy : la valeur en un point est une moyenne de cercle, donc tous les coefficients de Taylor sont tarifés par la taille de $f$ sur de grands cercles, et un plafond de croissance anéantit les coefficients en masse. Rien de tel ne contraint les fonctions réelles $\mathcal C^\infty$ : une fonction bosselée (le Théorème 12.9) est bornée, à support compact et sauvagement non constante, et ses dérivées en tout point hors du support s’annulent toutes sans que la fonction s’annule nulle part à proximité. La régularité ne couple pas du tout les dérivées en des points distincts ; l’holomorphie enchaîne chaque dérivée à une seule intégrale sur un cercle lointain. Une condition locale avec un informateur global — voilà pourquoi les fonctions entières obéissent à la loi et à l’ordre.

23. En développant $\abs{P(\eu^{\iu\theta})}^2 = \sum_{k,l}a_k\bar a_l \eu^{\iu(k-l)\theta}$ et en moyennant on tue tout terme $k \neq l$ : la moyenne est $\sum_k\abs{a_k}^2 =: N$ . Supposons d’abord que $P$ n’a pas de zéro sur le cercle unité, donc $\theta \mapsto \log\abs{P(\eu^{\iu\theta})}$ est continue. La borne $\log t \leq t - 1$ appliquée à $t = \abs P^2/N$ donne, après moyenne,

\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\abs{P(\eu^{\iu\theta})}^2 \dd\theta - \log N \;\leq\; \frac1N\cdot N - 1 = 0,

donc la moyenne géométrique de $\abs P$ est au plus $\sqrt N$ ; la question 19 identifie cette moyenne géométrique comme $\abs c\prod_i\max(1, \abs{\alpha_i})$ : l’inégalité de Landau. Racines sur le cercle : choisir $r > 1$ distinct de tout $\abs{\alpha_i}$ ; le polynôme $P(rX)$ , de racines $\alpha_i/r$ hors du cercle unité et de coefficients $a_kr^k$ , satisfait l’inégalité ; les deux membres sont continus en $r$ , et faire $r \to 1^+$ donne le cas général. Sur $X^2 - X$ : racines $0$ et $1$ , donc le membre de gauche est $1$ , et le membre de droite est $\sqrt{1 + 1} = \sqrt2$ : vrai, avec de la marge.

24. Écrire $\eu^z - 1 = z\,g(z)$ avec $g(z) = \sum_{k\geq0}\frac{z^k}{(k+1)!}$ entière, $g(0) = 1$ . Comme $\eu^z = 1$ exactement sur $2\pi\iu\Z$ , $g$ n’a pas de zéro dans $D(0, 2\pi)$ (pour $0 < \abs z < 2\pi$ car $\eu^z - 1 \neq 0$ , en $0$ par $g(0) = 1$ ), donc $h = 1/g$ est holomorphe sur $D(0,2\pi)$ et sa série de Taylor en $0$ — par définition $\sum\frac{B_n}{n!}z^n$ — converge sur tout le disque : $\rho \geq 2\pi$ . Si $\rho > 2\pi$ , la somme $S$ serait holomorphe sur $D(0,\rho)$ , et elle coïncide avec $z \mapsto z/(\eu^z - 1)$ sur $0 < \abs z < 2\pi$ ; les deux sont holomorphes sur l’ouvert connexe $D(0,\rho) \setminus 2\pi\iu\Z$ , donc par le théorème d’identité elles coïncident là. Mais quand $z \to 2\pi\iu$ , $\abs{z/(\eu^z - 1)} \to \infty$ (numérateur $\to 2\pi$ , dénominateur $\to 0$ ) tandis que $S$ est continue en $2\pi\iu$ : contradiction. D’où $\rho = 2\pi$ exactement, et la formule de Hadamard donne $\limsup_n\abs{B_n/n!}^{1/n} = \frac1{2\pi}$ ; les coefficients impairs étant nuls à partir de $n = 3$ , le $\limsup$ est porté par les indices pairs, ce qui est la formule énoncée avec $n = 2k$ . Numériquement en $k = 6$ : $(2\pi)^{12} \approx 3{,}7858\cdot10^9$ et $2\cdot12! = 958\,003\,200$ , donc $2\,(2k)!/(2\pi)^{2k} \approx 0{,}25305$ , contre $\abs{B_{12}} = \frac{691}{2730} \approx 0{,}25311$ . Le rapport, $1{,}00025$ , est exactement $\zeta(12)$ aux chiffres affichés : la formule de calcul des résidus $\zeta(2k) = (-1)^{k+1}\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2\,(2k)!}$ du Chapitre 17 explique à la fois le facteur $2$ et le petit excès.

25. Borne de Cauchy : si $\abs z > 1 + M$ avec $M = \max_k\abs{q_k}$ , alors

\Bigl|\sum_{k<n}q_kz^k\Bigr| \leq M\,\frac{\abs z^n - 1}{\abs z - 1} < \frac{M}{\abs z - 1}\,\abs z^n \leq \abs z^n,

donc $\abs{Q(z)} > 0$ : toutes les racines sont dans $\overline D(0, 1+M)$ . Les coefficients des $P_j$ convergent, donc sont bornés par un certain $M$ : toutes les racines de tous les $P_j$ (et de $P$ ) sont dans le compact $K = \overline D(0, 1 + M)$ . Soit $v_j \in K^n$ un vecteur listant les racines de $P_j$ avec multiplicité (question 7). Toute sous-suite de $(v_j)$ a une sous-sous-suite convergeant vers un certain $(\beta_1, \dots, \beta_n)$ ; les coefficients de $\prod_i(X - \alpha_i^{(j)})$ sont, au signe près, les fonctions symétriques élémentaires de $v_j$ — continues — donc le long de cette sous-suite ils convergent vers les coefficients de $\prod_i(X - \beta_i)$ ; mais ils convergent vers ceux de $P$ par hypothèse, donc $\prod_i(X - \beta_i) = P$ : toute limite sous-séquentielle de $(v_j)$ est une permutation du vecteur de racines de $P$ . Si la distance d’appariement $\delta_j = \min_\sigma\max_i\,\abs{\alpha_i^{(j)} - \alpha_{\sigma(i)}}$ ne tendait pas vers $0$ , une sous-suite garderait $\delta_j \geq \varepsilon$ tandis que ses vecteurs de racines convergent vers une permutation des racines de $P$ — forçant $\delta_j \to 0$ le long d’elle : contradiction. Donc les multi-ensembles de racines convergent. Netteté : $P_\varepsilon = (X - 1)^2 + \varepsilon$ a pour racines $1 \pm \iu\sqrt\varepsilon$ : la racine double bouge de $\sqrt\varepsilon$ , p. ex. de $10^{-2}$ pour $\varepsilon = 10^{-4}$ . En général, si $\alpha$ est une racine $m$ -uple, alors près de $\alpha$ on a $\abs{P(z)} \asymp \abs{z - \alpha}^m$ , donc une perturbation de taille $\varepsilon$ déplace le cluster de racines d’environ $\varepsilon^{1/m}$ : continuité de Hölder d’exposant $\frac1m$ et pas mieux — voilà pourquoi un solveur numérique près d’une racine double ne retient que la moitié des chiffres de travail.