Qu'est-ce que « groupe simple » ? — Mathématiques

Définition 1.31 Mathématiques universitaires — Licence 3 · Chapitre 1 — Théorie des groupes

Un groupe $G \neq \{e\}$ est simple si ses seuls sous-groupes normaux sont $\{e\}$ et $G$ . Un groupe simple non abélien n’est pas résoluble : $D(G) \trianglelefteq G$ n’est pas $\{e\}$ (sinon $G$ abélien), donc $D(G) = G$ et la suite dérivée est constante. Les groupes simples abéliens sont exactement les $\Z/p\Z$ , $p$ premier (un groupe abélien est simple ssi il n’a pas de sous-groupe propre non trivial, ssi il est cyclique d’ordre premier par Lagrange).

Les dix sous-groupes du groupe diédral D_4 = r, s r4 = s2 = e,\ srs-1 = r-1. Les trois sous-groupes d’indice 2 (rangée du milieu) sont normaux, de même que le centre r2 (mis en évidence) ; les quatre sous-groupes de réflexion se répartissent en deux classes de conjugaison de deux. Les chaînes du bas vers le haut donnent des suites de composition, p.ex. \e\ r2 r D_4 : facteurs ℤ/2ℤ, ℤ/2ℤ, ℤ/2ℤ — toujours le même multiensemble, comme l’exige Jordan–Hölder. — Les dix sous-groupes du groupe diédral $D_4 = \langle r, s \mid r^4 = s^2 = e,\ srs^{-1} = r^{-1}\rangle$ . Les trois sous-groupes d’indice $2$ (rangée du milieu) sont normaux, de même que le centre $\langle r^2\rangle$ (mis en évidence) ; les quatre sous-groupes de réflexion se répartissent en deux classes de conjugaison de deux. Les chaînes du bas vers le haut donnent des suites de composition, p.ex. $\{e\} \trianglelefteq \langle r^2\rangle \trianglelefteq \langle r\rangle \trianglelefteq D_4$ : facteurs $\Z/2\Z, \Z/2\Z, \Z/2\Z$ — toujours le même multiensemble, comme l’exige Jordan–Hölder.

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