Qu'est-ce que « Intégrale d’une forme » ?

Soit $M$ une $k$-sous-variété orientée et $\omega$ une $k$-forme définie sur un voisinage de $M$, avec $\operatorname{supp}\omega \cap M$ compact. (a) Si $\operatorname{supp}\omega \cap M \subseteq \gamma(V)$ pour une seule paramétrisation directe, poser

— le second membre étant l’intégrale de Lebesgue sur $V$ (le Chapitre 11) du coefficient $g$ de $\gamma^*\omega = g\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$, qui est continue à support compact. (b) En général, choisir un nombre fini de paramétrisations directes $\gamma_i(V_i)$ recouvrant le compact $\operatorname{supp}\omega \cap M$ et une partition de l’unité subordonnée $(\chi_i)$ (le Lemme 21.20), et poser $\int_M\omega = \sum_i\int_M\chi_i\,\omega$, chaque terme calculé par (a). Pour une courbe ($k = 1$) paramétrée par $\gamma\colon\intcc ab\to\R^n$ on écrit $\int_\gamma\omega = \int_a^b\gamma^*\omega$, sans exiger l’injectivité.