Wat is Integraal van een vorm?

Zij $M$ een georiënteerde $k$-deelvariëteit en $\omega$ een $k$-vorm gedefinieerd op een omgeving van $M$, met $\operatorname{supp}\omega \cap M$ compact. (a) Is $\operatorname{supp}\omega \cap M \subseteq \gamma(V)$ voor één enkele directe parametrisering, stel dan

— waarbij het rechterlid de lebesgue-integraal over $V$ is (Hoofdstuk 11) van de coëfficiënt $g$ van $\gamma^*\omega = g\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$, die continu is met compacte drager. (b) Kies in het algemeen eindig veel directe parametriseringen $\gamma_i(V_i)$ die de compacte $\operatorname{supp}\omega \cap M$ overdekken en een ondergeschikte partitie van de eenheid $(\chi_i)$ (Lemma 21.20), en stel $\int_M\omega = \sum_i\int_M\chi_i\,\omega$, waarbij elke term met (a) wordt berekend. Voor een kromme ($k = 1$) geparametriseerd door $\gamma\colon\intcc ab\to\R^n$ schrijven we $\int_\gamma\omega = \int_a^b\gamma^*\omega$, zonder dat injectiviteit vereist is.