21Formes différentielles et théorème de Stokes

Démonstration. Engendrement. Soit $\alpha \in \Lambda^kE^*$ et $\beta = \sum_I\alpha(e_I)\,e_I^*$, où $\alpha(e_I)$ abrège $\alpha(e_{i_1}, \dots, e_{i_k})$. Les deux côtés sont $k$-linéaires et alternés, donc ils coïncident dès qu’ils coïncident sur tous les $k$-uplets $(e_{j_1}, \dots, e_{j_k})$ avec $j_1 < \dots < j_k$ (la multilinéarité réduit aux uplets de vecteurs de base, l’alternance aux uplets strictement croissants). Et $e_I^*(e_{j_1}, \dots, e_{j_k}) = \det(e_{i_r}^*(e_{j_s})) = \delta_{IJ}$ : pour $I = J$ la matrice est l’identité ; pour $I \neq J$ une ligne est nulle. Donc $\beta(e_J) = \alpha(e_J)$ pour tout $J$ : $\beta = \alpha$. Liberté. Si $\sum_I c_Ie_I^* = 0$, évaluer sur $(e_{j_1}, \dots, e_{j_k})$ donne $c_J = 0$. ∎

Démonstration. Les deux propriétés se vérifient sur les éléments de base et s’étendent par bilinéarité. Associativité : les deux parenthésages de $e_I^* \wedge e_J^* \wedge e_K^*$ égalent le wedge de la famille concaténée de $1$-formes, par la formule du déterminant de la Définition 21.3 (développement de Laplace par blocs). La règle des signes : faire passer chacun des $\ell$ facteurs de $\beta$ devant les $k$ facteurs de $\alpha$ coûte un signe par transposition adjacente (échange de deux lignes du déterminant), d’où $(-1)^{k\ell}$ au total. ∎

Démonstration. Les identités fonctorielles sont immédiates d’après les définitions (pour la règle du produit, vérifier sur les wedges de $1$-formes avec la formule du déterminant — $\det(\ell_i(uv_j)) = \det((u^*\ell_i)(v_j))$ — puis étendre bilinéairement). (1) $u^*$ envoie la droite $\Lambda^nE^*$ (la Proposition 21.4) dans elle-même, donc $u^*\alpha = c\,\alpha$ avec $c$ indépendant de $\alpha \neq 0$ ; tester sur $\alpha = e_1^* \wedge \dots \wedge e_n^*$ et $(v_j) = (e_j)$ donne $c = \det(e_i^*(ue_j)) = \det u$. (2) Pour $v_1, \dots, v_k \in E$, les vecteurs $u(v_1), \dots, u(v_k)$ vivent dans l’image de $u$, de dimension $< k$ : ils sont linéairement dépendants, et une forme alternée s’annule sur une famille liée (développer le vecteur lié le long des autres). ∎

Démonstration. (a) Par bilinéarité il suffit de traiter $\omega = a\,\dd x_I$, $\eta = b\,\dd x_J$. Alors $\omega \wedge \eta = ab\,\dd x_I \wedge \dd x_J$ et

et faire passer la $1$-forme $\dd b$ devant les $k$ facteurs de $\dd x_I$ coûte $(-1)^k$ (la Définition 21.5) : le second terme est $(-1)^k\,\omega \wedge \dd\eta$. (b) Pour une fonction : $\dd(\dd a) = \sum_{i,j} \frac{\partial^2a}{\partial x_j\partial x_i}\,\dd x_j \wedge \dd x_i$. Le coefficient est symétrique en $(i,j)$ par le théorème de Schwarz sur les dérivées partielles mixtes (prouvé dans le volume d’Année 2 ; $a$ est $\mathcal C^\infty$), tandis que $\dd x_j \wedge \dd x_i$ est antisymétrique : en appariant les termes $(i,j)$ et $(j,i)$, tout s’annule. Pour une $\omega = \sum a_I\dd x_I$ générale : $\dd\dd\omega = \sum\dd(\dd a_I \wedge \dd x_I) = \sum(\dd\dd a_I\wedge\dd x_I - \dd a_I\wedge\dd(\dd x_I))$ par (a), et les deux termes s’annulent ($\dd(\dd x_I) = 0$ car le coefficient est constant). ∎

Démonstration. (a) Énoncés ponctuels sur les images réciproques linéaires (la Proposition 21.6), plus la règle de chaîne $D(\psi\circ\varphi)(x) = D\psi(\varphi(x))\,D\varphi(x)$. (b) Pour une $0$-forme $f$ : $\varphi^*(\dd f) = \dd f \circ D\varphi = \dd(f \circ \varphi)$ est la règle de chaîne. Pour $\omega = a\,\dd y_I$ : en utilisant (a), $\varphi^*\omega = (a\circ\varphi)\,\dd\varphi_{i_1}\wedge\dots\wedge \dd\varphi_{i_k}$, donc par la règle de Leibniz (le Théorème 21.9(a)) et $\dd\dd\varphi_{i_r} = 0$ :

(c) Ponctuellement c’est exactement $u^*\alpha = (\det u)\alpha$ sur les formes de degré maximal (la Proposition 21.6(1) avec $u = D\varphi(x)$). ∎

Démonstration. On construit un opérateur d’homotopie linéaire $h\colon \Omega^k(U) \to \Omega^{k-1}(U)$ avec

si $\dd\omega = 0$, alors $\omega = \dd(h\omega)$ et on a fini. Pour $\omega = \sum_I a_I\,\dd x_I$ poser

(le chapeau supprime un facteur ; les intégrales sont lisses en $x$ par dérivation sous le signe intégral, le Théorème 10.15, toutes les dérivées étant dominées sur les compacts). Vérifier (21.1) est un calcul fait une fois dans une vie, donc on le fait en entier. Fixer $I$ et prendre $\omega = a\,\dd x_I$ (linéarité). D’abord,

le premier groupe rassemble les termes où $\dd$ frappe le facteur $x_{i_r}$ — le wedge $\dd x_{i_r}\wedge\dd x_{I\setminus i_r}$ réassemble $\dd x_I$ avec un signe $(-1)^{r-1}$ qui annule le préfacteur, et les $k$ valeurs de $r$ donnent le facteur $k$ — tandis que le second groupe rassemble les termes où $\dd$ frappe l’intégrale (la règle de chaîne sort $t\,\partial_ja(tx)$). Ensuite, $\dd\omega = \sum_j\partial_ja\,\dd x_j\wedge\dd x_I$, et en appliquant la définition de $h$ en degré $k+1$, l’indice $j$ occupant la première place :

Les doubles sommes s’annulent dans $\dd(h\omega) + h(\dd\omega)$, qui égale donc

par le théorème fondamental de l’analyse. L’étoilé est entré là où il devait : $tx \in U$ pour $t \in \intcc01$, de sorte que $a(tx)$ a un sens. ∎

Démonstration. (a) Soient $\gamma\colon V \to M$, $\delta\colon V' \to M$ des paramétrisations directes dont les images contiennent $\operatorname{supp}\omega\cap M$. La transition $\tau = \delta^{-1}\circ\gamma$ est un difféomorphisme entre les ouverts pertinents de $V, V'$ (lissité des transitions : le Théorème 20.3, via la description en graphe local), et $\gamma = \delta\circ\tau$ là, donc $\gamma^*\omega = \tau^*(\delta^*\omega)$ (le Théorème 21.11(a)). Écrire $\delta^*\omega = g\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$ ; alors (le Théorème 21.11(c)) $\tau^*(\delta^*\omega) = (g\circ\tau)\,\det(D\tau)\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$. Les deux repères étant directs, $D\tau$ envoie une base positive sur une base positive : $\det D\tau > 0$, donc $\det D\tau = \abs{\det D\tau}$ et le théorème de changement de variables (le Théorème 11.11) donne $\int(g\circ\tau)\abs{\det D\tau} = \int g$ : les deux intégrales coïncident. Voici toute la raison d’être de l’orientation : sans le contrôle du signe, le jacobien et sa valeur absolue diffèrent et l’intégrale est mal définie. (b) Si $(\chi_i)$ et $(\tilde\chi_j)$ sont deux partitions admissibles (recouvrements inclus), alors par (a) et l’additivité finie, $\sum_i\int\chi_i\omega = \sum_{i,j}\int\chi_i\tilde\chi_j\omega = \sum_j\int\tilde\chi_j\omega$, chaque double terme calculable dans l’une ou l’autre carte. Le dernier énoncé : si $\gamma$ parcourt les paramétrisations directes de $M$, alors $\Phi\circ\gamma$ parcourt les paramétrisations directes de $M'$ (la comparaison d’orientation est localement constante, et fixée en un point par composante), et $(\Phi\circ\gamma)^*\omega = \gamma^*(\Phi^*\omega)$. ∎

Démonstration. Chaque $x \in K$ vit dans un certain $W_{i(x)}$ avec une boule fermée $\bar B(x, 2r_x) \subseteq W_{i(x)}$ ; la compacité extrait $x_1, \dots, x_N$ avec les boules $B(x_s, r_{x_s})$ recouvrant $K$. Pour chaque $s$ prendre une bosse $\theta_s \in \mathcal C^\infty$, $0 \leq \theta_s \leq 1$, $\theta_s = 1$ sur $\bar B(x_s, r_{x_s})$, $\operatorname{supp}\theta_s \subseteq B(x_s, 2r_{x_s})$ (régulariser l’indicatrice de la boule de rayon $\frac32r_{x_s}$, le Théorème 12.9). Assigner chaque $s$ à un indice $i(s)$ avec $B(x_s, 2r_{x_s}) \subseteq W_{i(s)}$ et poser $\Theta_i = \sum_{i(s) = i}\theta_s$. Sur l’ouvert $\Omega_0 = \{\sum_j\Theta_j > \tfrac12\} \supseteq K$, les fonctions $\Theta_i/\sum_j\Theta_j$ font le travail mais ne sont définies que là ; pour globaliser, soit $\rho \in \mathcal C^\infty(\R^n)$ vérifiant $\rho = 0$ là où $\sum_j\Theta_j \geq 1$ et $\rho > 0$ là où $\sum_j\Theta_j \leq \tfrac12$ (régulariser une coupure convenable de $1 - \sum_j\Theta_j$), et poser

Le dénominateur est partout $> 0$ et égale $\sum_j\Theta_j$ sur $\{\sum_j\Theta_j \geq 1\}$, un voisinage ouvert de $K$ (chaque point de $K$ vit dans une boule $B(x_s, r_{x_s})$ où $\theta_s = 1$) ; là $\sum_i\chi_i = 1$. Supports et bornes sont clairs. ∎

Démonstration. D’abord la comptabilité d’orientation : la normale sortante le long de $\partial H^k$ est $-e_k$, et

le repère $(e_1, \dots, e_{k-1})$ de $\partial H^k$ est positif pour l’orientation induite exactement lorsque $k$ est pair, d’où la comparaison annoncée. Par linéarité prendre $\eta = f\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\widehat{\dd u_i}\wedge\dots\wedge\dd u_k$, $f \in \mathcal C^\infty_c(\R^k)$ ; alors $\dd\eta = (-1)^{i-1}\,\partial_if\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$ (placer $\dd u_i$ dans son créneau coûte $i - 1$ échanges). Deux cas, tous deux par Tonelli–Fubini (le Théorème 11.6) et le théorème fondamental à une variable.

Cas $i < k$. En intégrant d’abord en $u_i$ sur $\R$ : $\int_\R\partial_if\,\dd u_i = 0$ (support compact), donc $\int_{H^k}\dd\eta = 0$. Et la restriction de $\eta$ à $\{u_k = 0\}$ contient le facteur $\dd u_k$, qui se restreint à $0$ ($u_k$ y est constant) : $\int_{\partial H^k}\eta = 0$ aussi.

Cas $i = k$. En intégrant d’abord en $u_k$ sur $\intco0\infty$ :

Du côté du bord, $\eta$ se restreint à $f(u', 0)\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_{k-1}$, et l’orientation induite étant $(-1)^k$ fois l’orientation standard, $\int_{\partial H^k}\eta = (-1)^k\int_{\R^{k-1}}f(u',0)\,\dd u'$. Les deux côtés coïncident. ∎

Démonstration. Recouvrir le compact $M$ par un nombre fini d’images de cartes directes (intérieures ou de bord), et prendre une partition de l’unité $(\chi_i)$ subordonnée aux ouverts correspondants $W_i$ de $\R^n$ (le Lemme 21.20), avec $\sum\chi_i = 1$ sur un voisinage de $M$. Sur ce voisinage $\dd(\sum\chi_i) = 0$, donc

les deux côtés sont additifs, et il suffit de prouver le théorème pour une forme supportée dans l’image d’une seule carte.

Carte intérieure. Si $\operatorname{supp}\omega \cap M \subseteq \gamma(V)$ avec $V$ ouvert dans $\R^k$ : étendre $\eta = \gamma^*\omega$ par zéro à $\R^k$ (lisse, support compact dans $V$) et appliquer le Lemme 21.22 avec le support loin de $\partial H^k$ (translater $V$ dans le demi-espace supérieur ouvert — ou simplement répéter le calcul du cas $i < k$ sur tout $\R^k$) : $\int_M\dd\omega = \int_{\R^k}\dd\eta = 0$, et $\int_{\partial M}\omega = 0$ puisque $\omega$ s’annule près de $\partial M$.

Carte de bord. Si $\operatorname{supp}\omega\cap M \subseteq \gamma(V \cap H^k)$ : avec $\eta = \gamma^*\omega$ étendue par zéro, $\gamma^*(\dd\omega) = \dd\eta$ (le Théorème 21.11(b)), donc par la Définition 21.18 :

Il reste à identifier le second membre avec $\int_{\partial M}\omega$. Le bord est paramétré par $\beta(u') = \gamma(u', 0)$, et $\beta^*\omega$ est la restriction de $\eta$ à $\{u_k = 0\}$ (image réciproque sous l’inclusion $u' \mapsto (u', 0)$ composée avec $\gamma$). La comparaison d’orientation est le même $(-1)^k$ des deux côtés : le repère $(\partial_1\beta, \dots, \partial_{k-1}\beta)$ siège dans l’orientation induite de $\partial M$ avec le signe $\det(-e_k, e_1, \dots, e_{k-1}) = (-1)^k$ calculé dans la carte (le vecteur sortant se tire en arrière en $-e_k$), qui est exactement le signe reliant l’orientation induite de $\partial H^k$ à l’orientation standard de $\R^{k-1}$ (le Lemme 21.22). Les deux conventions de signe s’annulent : $\int_{\partial H^k}\eta = \int_{\partial M}\omega$. ∎