O que é Integral de uma forma?

Sejam $M$ uma $k$-subvariedade orientada e $\omega$ uma $k$-forma definida em uma vizinhança de $M$, com $\operatorname{supp}\omega \cap M$ compacto. (a) Se $\operatorname{supp}\omega \cap M \subseteq \gamma(V)$ para uma única parametrização direta, ponha

— sendo o lado direito a integral de Lebesgue em $V$ (Capítulo 11) do coeficiente $g$ de $\gamma^*\omega = g\,\dd u_1\wedge\dots\wedge\dd u_k$, que é contínuo de suporte compacto. (b) No caso geral, escolha um número finito de parametrizações diretas $\gamma_i(V_i)$ cobrindo o compacto $\operatorname{supp}\omega \cap M$ e uma partição da unidade subordinada $(\chi_i)$ (Lema 21.20), e ponha $\int_M\omega = \sum_i\int_M\chi_i\,\omega$, cada termo calculado por (a). Para uma curva ($k = 1$) parametrizada por $\gamma\colon\intcc ab\to\R^n$, escrevemos $\int_\gamma\omega = \int_a^b\gamma^*\omega$, sem exigir injetividade.