11Mesures produit, Fubini, changement de variables

Démonstration. (a) Bons ensembles : $\{E : E_x \in \mathcal B\ \forall x\}$ est une $\sigma$-algèbre (les sections commutent avec les complémentaires et les unions dénombrables) contenant les rectangles. Pour $f$ : $(f_x)^{-1}(B) = (f^{-1}(B))_x$. (b) ($\subseteq$) Rectangles de boréliens : il suffit que les boîtes ouvert$\times$ouvert soient boréliennes dans $\R^{m+n}$ (elles sont ouvertes) et que les rectangles boréliens généraux soient des limites — bons ensembles encore : $\{A : A\times\R^n \in \mathcal B(\R^{m+n})\}$ est une $\sigma$-algèbre contenant les ouverts ; intersecter deux telles. ($\supseteq$) Tout ouvert de $\R^{m+n}$ est une union dénombrable de boîtes ouvertes rationnelles $U\times V$ : contenu dans la $\sigma$-algèbre produit. ∎

Démonstration. Mesurabilité de $x \mapsto \nu(E_x)$. D’abord $\nu$ finie. La classe $\mathcal D$ des $E$ pour lesquels l’application est mesurable contient les rectangles ($\nu((A\times B)_x) = \nu(B)\mathbf 1_A(x)$) et est un $\lambda$-système : pour $E \subseteq F$ dans $\mathcal D$, $\nu((F\setminus E)_x) = \nu(F_x) - \nu(E_x)$ (finitude) ; pour $E_n \uparrow E$, $\nu((E_n)_x) \uparrow \nu(E_x)$ (continuité par en bas), et les limites monotones de fonctions mesurables sont mesurables. Les rectangles forment un $\pi$-système : Dynkin (Théorème 9.4) donne $\mathcal D = \mathcal A\otimes\mathcal B$. Si $\nu$ est $\sigma$-finie, écrire $Y = \bigcup Y_k$, $Y_k \uparrow$, $\nu(Y_k) < \infty$ : $\nu(E_x) = \lim_k\nu_k(E_x)$ avec $\nu_k = \nu(\cdot\cap Y_k)$ finie.

Mesure. La $\sigma$-additivité de $E \mapsto \int\nu(E_x)\dd\mu$ suit du Corollaire 10.7 (les sections d’ensembles disjoints sont disjointes). Sur les rectangles elle donne $\mu(A)\nu(B)$. Unicité : deux candidates coïncident sur le $\pi$-système des rectangles ; la $\sigma$-finitude fournit des rectangles $X_k\times Y_k \uparrow X\times Y$ de mesure finie : Théorème 9.7. Symétrie : la construction dans l’autre ordre est aussi une mesure coïncidant sur les rectangles — unique, donc la même. ∎

Démonstration. La machine standard. Pour $f = \mathbf 1_E$ c’est le Théorème 11.3 (et sa forme symétrique). Par linéarité cela tient pour $f \geq 0$ simple. Pour $f \geq 0$ générale : prendre des simples $s_n \nearrow f$ (Théorème 10.4) ; alors $\int_Y(s_n)_x \dd\nu \nearrow \int_Y f_x\dd\nu$ pour chaque $x$ (TCM en $Y$), donc les membres de gauche convergent par TCM en $X$, tandis que $\int s_n\,\dd(\mu\otimes\nu) \nearrow \int f$ par TCM sur le produit. ∎

Démonstration. Tonelli appliqué à $\abs f$ montre que $\varphi(x) = \int\abs{f_x} \dd\nu$ a une intégrale finie, donc est finie p.p. : $f_x \in L^1(\nu)$ pour p.t. $x$. Scinder $f = f^+ - f^-$ (cas réel ; complexe par composantes) : Tonelli calcule chaque intégrale itérée de $f^\pm$ comme $\int f^\pm\dd(\mu\otimes\nu) < \infty$, et la différence définie p.p. s’intègre en la différence. Symétriquement pour l’autre ordre. ∎

Démonstration. Appliquer Tonelli à $\mathbf 1_{\{(x,t) : 0 < t < f(x)\}}$ sur $X \times \intoo0{+\infty}$ (mesurable : c’est $\{(x,t): f(x) - t > 0\}\cap\{t > 0\}$, une combinaison de type borélien de la $(x,t)\mapsto f(x) - t$ mesurable) : en intégrant d’abord en $t$ on obtient $\int f\,\dd\mu$ ; d’abord en $x$, $\int_0^\infty\mu(f > t)\dd t$. Pour $f^p$ : substituer $t = s^p$ dans $\int\mu(f^p > t) \dd t$, c.-à-d. appliquer la première formule à $f^p$ et changer de variable dans l’intégrale unidimensionnelle ($\{f^p > s^p\} = \{f > s\}$). ∎

Démonstration. $(x, y) \mapsto f(x-y)g(y)$ est mesurable ($(x,y)\mapsto x - y$ est continue ; composer et multiplier). Tonelli :

(invariance par translation de $\lambda_d$ dans l’intégrale intérieure). Donc l’intégrale double est finie ; Fubini donne la convergence absolue p.p. et la borne de norme $\norm{f*g}_1 \leq \norm f_1\norm g_1$. Commutativité : substituer $y \mapsto x - y$ (invariance par translation et réflexion — l’invariance par réflexion tient sur les boîtes, donc partout par unicité). Associativité : Tonelli–Fubini sur une intégrale triple. ∎

Démonstration. La mesure $\mu_T(A) = \lambda_d(T(A))$ est une mesure borélienne (les homéomorphismes préservent les boréliens, Problème 9.1), invariante par translation ($T(A + x) = T(A) + Tx$), finie sur la boîte unité : par la caractérisation de la mesure de Lebesgue (Exercice 9.6, dont la preuve fonctionne mot pour mot en $\R^d$ avec des cubes dyadiques), $\mu_T = c(T)\lambda_d$ avec $c(T) = \lambda_d(T(\intco01^d))$. L’application $T \mapsto c(T)$ est multiplicative ($c(ST) = c(S)c(T)$, par composition), donc il suffit de calculer $c$ sur des générateurs de $GL_d$ : les matrices élémentaires. Diagonale $\operatorname{diag}(a, 1, \dots, 1)$ : envoie le cube unité sur une boîte de volume $\abs a$ : $c = \abs a = \abs\det$. Transposition de coordonnées : permute le cube : $c = 1 = \abs\det$. Transvection $T(x) = x + \alpha x_2e_1$ : l’image du cube unité est un prisme cisaillé ; par Tonelli sa mesure est $\int\lambda_1(\text{section})\dd x_2 \cdots \dd x_d = 1$, chaque $x_1$-section étant un intervalle de longueur $1$ : $c = 1 = \abs{\det}$. Toute matrice inversible est un produit de celles-ci (élimination de Gauss), et $c$ comme $\abs\det$ sont multiplicatives : $c(T) = \abs{\det T}$. La formule d’intégrale suit par la machine standard (indicateurs, simples, TCM). ∎

Démonstration. Écrire $J(x) = \abs{\det D\Phi(x)}$. Le cœur de la preuve est l’inégalité

l’étape 4 ci-dessous promeut $(*)$ — appliquée à $\Phi$ et à $\Phi^{-1}$ — en l’égalité du théorème. Noter que $\Phi^{-1}$ est lui-même un difféomorphisme $\mathcal C^1$ avec jacobien $\abs{\det D\Phi^{-1}(y)} = J(\Phi^{-1}y)^{-1}$ (règle de la chaîne sur $\Phi\circ\Phi^{-1} = \mathrm{id}$).

Étape 1 : $(*)$ pour des cubes avec un facteur de distorsion. Fixer un cube fermé $Q \subseteq U$ de centre $x_0$ et de côté $2r$ (boule pour la norme sup). Affirmation : pour tout $\varepsilon > 0$, si $\Phi$ est dérivable sur $Q$ avec $\norm{D\Phi(x) - D\Phi(x_0)} \leq \varepsilon$ sur $Q$ (norme d’opérateur pour la norme sup), alors

car pour $x \in Q$, l’inégalité des accroissements finis appliquée à $\Phi(x) - \Phi(x_0) - D\Phi(x_0)(x - x_0)$ donne $\norm{\Phi(x) - \Phi(x_0) - D\Phi(x_0)(x-x_0)}_\infty \leq \varepsilon\norm{x - x_0}_\infty \leq \varepsilon r$, et $D\Phi(x_0)^{-1}$ tire ce défaut en un agrandissement de $\varepsilon\norm{D\Phi(x_0)^{-1}}\,r$ du cube. Par le Théorème 11.10,

Étape 2 : $(*)$ pour des cubes compacts, par subdivision. Soit $Q \subseteq U$ un cube compact et $\varepsilon > 0$. Sur $Q$, $D\Phi$ est uniformément continue et $\norm{D\Phi^{-1}}$ bornée (compacité) ; subdiviser $Q$ en $2^{kd}$ sous-cubes $Q_i$ assez petits pour que l’oscillation de $D\Phi$ sur chacun soit $\leq \varepsilon$. Étape 1 sur chaque sous-cube (centre $x_i$) :

la dernière étape car $\sum_i\abs{\det D\Phi(x_i)}\mathbf 1_{Q_i} \to J$ uniformément sur $Q$ (continuité de $\det D\Phi$) — comparaison avec sommes de Riemann. Faire $\varepsilon \to 0$ : $(*)$ tient pour les cubes compacts.

Étape 3 : $(*)$ pour tout borélien $A$. La fonction d’ensembles $A \mapsto \lambda_d(\Phi(A))$, sur les sous-ensembles boréliens de $U$, est une mesure ($\Phi$ est une bijection sur $V$ préservant les boréliens et la disjonction dénombrable), et de même $A \mapsto \int_AJ$. Tout ouvert de $U$ est une union dénombrable de cubes compacts dyadiques presque disjoints (décomposition dyadique standard : prendre les cubes dyadiques maximaux contenus dans l’ouvert), et les deux mesures sont additives à travers eux (les bords des cubes sont $\lambda_d$-nuls, et leurs $\Phi$-images sont nuls par l’étape 2 appliquée à des recouvrements minces des faces) : $(*)$ passe des cubes aux ouverts. Borélien général $A$ : épuiser $U$ par des compacts $K_m \uparrow U$ avec $K_m \subseteq \mathring K_{m+1}$, et fixer $m$ ; sur $\mathring K_{m+1}$, $J$ est bornée par un certain $M_m$. Par régularité extérieure de $\lambda_d$ (preuve comme au Théorème 9.13, avec des boîtes), choisir des ouverts $O_n$ avec $A \cap K_m \subseteq O_n \subseteq \mathring K_{m+1}$ et $\lambda_d\bigl(O_n \setminus (A\cap K_m)\bigr) \to 0$. Alors

Faire $m \to \infty$ : continuité par en bas à gauche, TCM à droite. Cela établit $(*)$.

Étape 4 : égalité et formule d’intégrale. D’abord étendre $(*)$ des ensembles aux intégrales : pour toute $g \geq 0$ mesurable sur $V$,

En effet, pour $g = \mathbf 1_B$ c’est $(*)$ avec $A = \Phi^{-1}(B)$ ; la linéarité l’étend aux $g$ simples, et le TCM à toutes les $g \geq 0$ (la machine standard). Maintenant appliquer $(**)$ deux fois : d’abord à $g$, puis — pour le difféomorphisme $\Phi^{-1}$ — à la fonction $x \mapsto g(\Phi(x))J(x)$ :

puisque $J(\Phi^{-1}y)\abs{\det D\Phi^{-1}(y)} = \abs{\det\bigl( D\Phi(\Phi^{-1}y)\,D\Phi^{-1}(y)\bigr)} = 1$ (règle de la chaîne sur $\Phi\circ\Phi^{-1} = \mathrm{id}$). Toutes les inégalités sont des égalités : la formule tient pour $g \geq 0$, et pour les fonctions $L^1$ par décomposition. ∎

Démonstration. Calculer $I = \int_{\R^d}\eu^{-\norm x_2^2}\dd\lambda_d$ de deux façons. Par Tonelli elle se factorise : $I = G^d = \pi^{d/2}$. Par la formule des couches (Proposition 11.8) avec $f = \eu^{- \norm x^2}$, dont les ensembles de niveau sont des boules : $\{f > t\} = B\bigl(0, \sqrt{-\ln t}\bigr)$ pour $0 < t < 1$, de mesure $v_d(-\ln t)^{d/2}$ (la dilatation par $\rho$ échelle $\lambda_d$ par $\rho^d$ : Théorème 11.10), donc

Égaler. (Les valeurs : $\Gamma(\frac32) = \frac{\sqrt\pi}2$, $\Gamma(2) = 1$, etc.) Noter $v_d \to 0$ lorsque $d \to \infty$ — le problème du week-end quantifie à quelle vitesse, via Stirling. ∎