Qu'est-ce que « localement lipschitzienne » ?

$f$ est localement lipschitzienne en $x$ si tout point de $U$ admet un voisinage $V$ et une constante $L$ tels que $\norm{f(t, x_1) - f(t, x_2)} \leq L\norm{x_1 - x_2}$ pour $(t, x_1), (t, x_2) \in V$. Si $f$ est $\mathcal C^1$ (ou simplement si $\partial_xf$ existe et est continue), elle est localement lipschitzienne en $x$ : sur un voisinage convexe compact, l’inégalité des accroissements finis donne $L = \sup\vertiii{\partial_xf}$.