ما معنى ليبشيتزية محليًّا؟

تكون $f$ ليبشيتزية محليًّا في $x$ إذا كان لكل نقطة من $U$ جوارٌ $V$ وثابتٌ $L$ يحققان $\norm{f(t, x_1) - f(t, x_2)} \leq L\norm{x_1 - x_2}$ من أجل $(t, x_1), (t, x_2) \in V$. وإذا كانت $f$ من الصنف $\mathcal C^1$ (أو مجرّد وجود $\partial_xf$ واتصالها)، كانت ليبشيتزية محليًّا في $x$: أي على جوار محدّب متراص، بمتراجحة القيم المتوسطة مع $L = \sup\vertiii{\partial_xf}$.