Mathématiques universitaires — Licence 3 · Bachelor Year 3

19Équations différentielles ordinaires

L’année 2 a résolu les équations différentielles linéaires et énoncé le théorème de Cauchy–Lipschitz ; ce chapitre le démontre — deux fois plutôt qu’une : existence et unicité par le point fixe de Banach, structure globale par la théorie des solutions maximales et le théorème d’échappement des compacts. La théorie linéaire est ensuite reconstruite sur des fondations honnêtes (résolvante, wronskien, exponentielle de matrice, Duhamel), et la seconde moitié du chapitre ouvre la théorie qualitative — flots, équilibres, fonctions de Lyapunov et stabilité par linéarisation : comment comprendre des solutions qu’on ne calculera jamais. Le pendule, dans le problème de week-end, en est l’étude de cas éternelle. Tout au long du chapitre, $U \subseteq \R\times\R^d$ est ouvert et $f \colon U \to \R^d$ est continue ; une solution de $x' = f(t, x)$ est une application $\mathcal C^1$ $x \colon I \to \R^d$ ( $I$ un intervalle) de graphe contenu dans $U$ et vérifiant l’équation.

19.1 Cauchy–Lipschitz

Définition 19.1

$f$ est localement lipschitzienne en $x$ si tout point de $U$ admet un voisinage $V$ et une constante $L$ tels que $\norm{f(t, x_1) - f(t, x_2)} \leq L\norm{x_1 - x_2}$ pour $(t, x_1), (t, x_2) \in V$ . Si $f$ est $\mathcal C^1$ (ou simplement si $\partial_xf$ existe et est continue), elle est localement lipschitzienne en $x$ : sur un voisinage convexe compact, l’inégalité des accroissements finis donne $L = \sup\vertiii{\partial_xf}$ .

Théorème 19.2 (Cauchy–Lipschitz, version locale)

Soient $f$ continue et localement lipschitzienne en $x$ , et $(t_0, x_0) \in U$ . Il existe $T > 0$ tel que le problème de Cauchy

x' = f(t, x), \qquad x(t_0) = x_0

admet exactement une solution sur $[t_0 - T, t_0 + T]$ .

Démonstration. Choisissons $a, b > 0$ tels que $Q = [t_0 - a, t_0 + a]\times\bar B(x_0, b) \subseteq U$ , sur lequel $\norm f \leq M$ et $f$ est $L$ -lipschitzienne en $x$ . Une fonction $\mathcal C^1$ est solution si et seulement si elle satisfait l’équation intégrale

x(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t}f\bigl(s, x(s)\bigr)\,\dd s

(théorème fondamental de l’analyse, dans les deux sens). Soient $T = \min\bigl(a, \frac bM, \frac1{2L}\bigr)$ , $I = [t_0 - T, t_0 + T]$ , et

\mathcal E = \{x \in \mathcal C(I, \R^d) : \norm{x(t) - x_0} \leq b\ \text{sur } I\},

un fermé de l’espace de Banach $(\mathcal C(I, \R^d), \norm\cdot_\infty)$ : complet (Définition 7.1). Définissons $\Phi(x)(t) = x_0 + \int_{t_0}^tf(s, x(s))\dd s$ : pour $x \in \mathcal E$ , $\norm{\Phi(x)(t) - x_0} \leq M\abs{t - t_0} \leq MT \leq b$ — $\Phi$ envoie $\mathcal E$ dans lui-même — et pour $x, y \in \mathcal E$ :

\norm{\Phi(x)(t) - \Phi(y)(t)} \leq \Bigl|\int_{t_0}^t L\,\norm{x(s) - y(s)}\,\dd s\Bigr| \leq LT\,\norm{x - y}_\infty \leq \tfrac12\norm{x - y}_\infty :

une contraction. Le point fixe de Banach (Théorème 7.4) fournit un unique point fixe dans $\mathcal E$ : existence, et unicité parmi les solutions restant dans $\bar B(x_0, b)$ — mais toute solution sur $I$ y demeure ( $\norm{x(t) - x_0} \leq M\abs{t - t_0} \leq b$ tant que le graphe reste dans $Q$ , argument de continuité) : unicité sur $I$ . ∎

Lemme 19.3 (Gronwall)

Soit $u \colon I \to \intco0\infty$ continue, $t_0 \in I$ , et supposons

u(t) \leq \alpha + \beta\,\Bigl|\int_{t_0}^{t}u(s)\,\dd s\Bigr| \qquad (t \in I)

avec $\alpha \geq 0$ , $\beta > 0$ . Alors $u(t) \leq \alpha\,\eu^{\beta\abs{t - t_0}}$ sur $I$ .

Démonstration. Pour $t \geq t_0$ : posons $v(t) = \alpha + \beta\int_{t_0}^tu(s)\dd s$ , de sorte que $u \leq v$ , $v' = \beta u \leq \beta v$ , et $(v\eu^{-\beta(t - t_0)})' \leq 0$ : $v(t) \leq v(t_0)\eu^{\beta(t-t_0)} = \alpha\eu^{\beta(t - t_0)}$ . Pour $t \leq t_0$ , on applique le même argument à $\tilde u(t) = u(2t_0 - t)$ . ∎

Corollaire 19.4 (Unicité et dépendance continue)

Sous les hypothèses du Théorème 19.2, deux solutions de $x' = f(t,x)$ qui coïncident en un point coïncident sur leur intervalle commun de définition. Quantitativement, si $x, y$ sont deux solutions de graphes contenus dans une région où $f$ est $L$ -lipschitzienne en $x$ , alors

\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x(t_0) - y(t_0)}\,\eu^{L\abs{t - t_0}} .

Démonstration. L’estimée : $u = \norm{x - y}$ vérifie $u(t) \leq u(t_0) + L\abs{\int_{t_0}^tu}$ (soustraction des équations intégrales) ; Gronwall. Unicité globale : l’ensemble d’accord $\{t : x(t) = y(t)\}$ est fermé dans l’intervalle commun, non vide, et ouvert — autour de tout point d’accord, on recouvre un morceau compact du graphe commun par un nombre fini de boîtes lipschitziennes et on applique l’estimée avec $u(t_1) = 0$ sur chacune : localement $x \equiv y$ . Une partie non vide, ouverte et fermée d’un intervalle est l’intervalle tout entier. ∎

19.2 Solutions maximales

Théorème 19.5 (Solutions maximales ; échappement des compacts)

On suppose $f$ continue, localement lipschitzienne en $x$ .

Tout problème de Cauchy admet une unique solution maximale $x \colon \intoo{T_-}{T_+} \to \R^d$ : toute autre solution passant par $(t_0, x_0)$ en est la restriction. L’intervalle est ouvert.
(Échappement) Pour tout compact $K \subseteq U$ il existe $\varepsilon > 0$ tel que $(t, x(t)) \notin K$ pour tout $t \in \intoo{T_+ - \varepsilon}{T_+}$ (et symétriquement en $T_-$ ) : le graphe d’une solution maximale finit par quitter tout sous-ensemble compact de $U$ . En particulier, pour $U = \R\times\R^d$ et $T_+ < +\infty$ : $\norm{x(t)} \to +\infty$ quand $t \to T_+^-$ (explosion).

Démonstration. (1) Soit $\mathcal S$ l’ensemble de toutes les solutions passant par $(t_0, x_0)$ ; d’après le Corollaire 19.4 deux d’entre elles coïncident sur l’intersection de leurs intervalles, donc se recollent : sur $J = \bigcup_{y \in \mathcal S}I_y$ , on définit $x(t) = y(t)$ pour tout $y$ défini en $t$ : solution bien définie, manifestement maximale et unique. $J$ est ouvert : une solution définie en une extrémité pourrait être prolongée par le Théorème 19.2 en cette extrémité.

(2) Supposons que l’affirmation échoue en $T_+$ : il existe $t_n \to T_+$ avec $(t_n, x(t_n)) \in K$ ; cela force $T_+ < \infty$ , sinon si $T_+ = \infty$ il n’y a rien à prouver ( $K$ est borné en temps). On suppose donc $T_+ < \infty$ . Compacité : des constantes uniformes $M, L, a, b$ fonctionnent pour toutes les données de Cauchy dans un voisinage de $K$ — concrètement, on recouvre $K$ par un nombre fini de boîtes $Q_i$ comme dans la preuve du théorème local et on prend $T^* > 0$ minimum des temps d’existence correspondants : toute donnée de Cauchy dans $K$ lance une solution vivant au moins $T^*$ au-delà de son instant initial. Appliqué en $(t_n, x(t_n))$ avec $t_n > T_+ - T^*/2$ , cela prolonge $x$ au-delà de $T_+$ (le prolongement coïncide avec $x$ par unicité, puis le prolonge) : contradiction avec la maximalité. Donc le graphe quitte $K$ définitivement avant $T_+$ . Pour $U = \R\times\R^d$ : si $\norm{x(t)}\not\to\infty$ , une suite $t_n \to T_+$ maintient $(t_n, x(t_n))$ dans le compact $[t_0, T_+]\times\bar B(0, R)$ : exclu. ∎

Corollaire 19.6 (Existence globale sous croissance linéaire)

Si $U = I\times\R^d$ ( $I$ intervalle ouvert) et $\norm{f(t, x)} \leq \alpha(t)\norm x + \beta(t)$ avec $\alpha, \beta$ continues, alors toute solution maximale est définie sur tout $I$ .

Démonstration. Sur un compact $[t_0, T] \subseteq I$ : $\norm{x(t)} \leq \norm{x_0} + \int_{t_0}^t(\alpha\norm x + \beta)$ , donc par Gronwall (avec $\alpha, \beta$ bornées par $A, B$ là) $\norm{x(t)} \leq (\norm{x_0} + B(T - t_0))\eu^{A(T - t_0)}$ : bornée. Si $T_+ < \sup I$ , le graphe reste dans un compact de $I\times\R^d$ près de $T_+$ : contredit l’échappement (Théorème 19.5). ∎

19.3 Systèmes linéaires

Dans toute cette section $A \colon I \to M_d(\R)$ et $b \colon I \to \R^d$ sont continues ; le système est $x' = A(t)x + b(t)$ — croissance linéaire : toutes les solutions maximales vivent sur tout $I$ (Corollaire 19.6).

Théorème 19.7 (Structure)

Les solutions du système homogène $x' = A(t)x$ forment un espace vectoriel $S_H$ de dimension $d$ ; pour chaque $t_0$ , l’évaluation $x \mapsto x(t_0)$ est un isomorphisme $S_H \to \R^d$ . La résolvante $R(t, s) \in GL_d(\R)$ , définie par : $t \mapsto R(t, s)v$ est la solution de valeur $v$ en $s$ , vérifie

R(s,s) = I,\quad R(t, u)R(u, s) = R(t, s),\quad \partial_tR(t,s) = A(t)R(t,s),

et le problème inhomogène est résolu par la formule de Duhamel :

x(t) = R(t, t_0)\,x_0 + \int_{t_0}^{t}R(t, s)\,b(s)\,\dd s .

Enfin le wronskien $w(t) = \det R(t, s)$ obéit à la formule de Liouville $w' = \operatorname{tr}A(t)\,w$ , donc $w(t) = \exp\bigl(\int_s^t\operatorname{tr}A\bigr) > 0$ .

Démonstration. La linéarité de l’équation fait des solutions un espace vectoriel ; l’évaluation est linéaire, injective (unicité : une solution s’annulant en $t_0$ est $\equiv 0$ ) et surjective (existence) : dimension $d$ . Les propriétés de la résolvante rephrasent l’unicité (les deux côtés de chaque identité résolvent le même problème de Cauchy) ; l’inversibilité vient de $R(s,t)R(t,s) = I$ . Duhamel : on dérive la formule — $x'(t) = A(t)R(t,t_0)x_0 + R(t,t)b(t) + \int_{t_0}^tA(t)R(t,s)b(s)\dd s = A(t)x(t) + b(t)$ (la dérivation sous le signe d’intégration est légitime : l’intégrande est $\mathcal C^1$ en $t$ à dérivée continue en $(t,s)$ ; ou bien on vérifie via l’équation intégrale). Liouville : $w(t + h) = \det\bigl(R(t+h, t)\bigr)w(t)$ et $R(t + h, t) = I + hA(t) + o(h)$ (par l’équation intégrale), donc $\det = 1 + h\operatorname{tr}A(t) + o(h)$ (développement de $\det$ en $I$ ) : $w'(t) = \operatorname{tr}A(t)\,w(t)$ ; on intègre l’EDO scalaire linéaire. ∎

Théorème 19.8 (Exponentielle de matrice)

Pour $A \in M_d(\C)$ , la série $\eu^{A} = \sum_{n\geq0}\frac{A^n}{n!}$ converge (absolument, dans toute norme sous-multiplicative), $\eu^{A+B} = \eu^A\eu^B$ dès que $AB = BA$ , et $t \mapsto \eu^{tA}$ est la résolvante du système constant : $R(t,s) = \eu^{(t-s)A}$ ; elle est $\mathcal C^\infty$ avec $\frac{\dd}{\dd t}\eu^{tA} = A\eu^{tA}$ . De plus : si $\operatorname{Re}\lambda < -\alpha < 0$ pour toute valeur propre $\lambda$ de $A$ , alors $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ pour $t \geq 0$ .

Démonstration. Convergence : $\vertiii{A^n/n!} \leq \vertiii A^n/n!$ , sommable (Exercice 7.1(b) dans l’algèbre de Banach $M_d$ ). Pour $A, B$ qui commutent : le produit de Cauchy des deux séries absolument convergentes se réarrange, via le binôme de Newton (valable quand $AB = BA$ ), en $\sum_n\frac{(A+B)^n}{n!}$ . Dérivabilité, directement : $\frac{\eu^{(t+h)A} - \eu^{tA}}h = \eu^{tA}\frac{\eu^{hA} - I}{h} \to \eu^{tA}A$ car $\norm{\frac{\eu^{hA} - I}h - A} \leq \sum_{n\geq2}\frac{\abs h^{n-1}\vertiii A^n}{n!} = O(h)$ . Donc $t \mapsto \eu^{(t - s)A}v$ résout le problème de Cauchy définissant $R(t,s)v$ . Borne spectrale : par la forme de Jordan (Théorème 3.18), $A = P(D + N)P^{-1}$ avec $D$ diagonale portant les valeurs propres, $N$ nilpotente, et $DN = ND$ . Alors $\eu^{tA} = P\,\eu^{tD}\eu^{tN}P^{-1}$ avec $\vertiii{\eu^{tD}} \leq \eu^{-(\alpha + \delta)t}$ pour un certain $\delta > 0$ ( $t \geq 0$ ) et $\eu^{tN}$ polynomiale en $t$ (nilpotence) : le produit est $\leq C\eu^{-\alpha t}$ (polynôme battu par $\eu^{-\delta t}$ ). ∎

Exemple 19.9 (Le plan, classifié)

Pour $x' = Ax$ avec $A \in M_2(\R)$ inversible, le portrait de phase près de $0$ est décidé par $\tau = \operatorname{tr}A$ et $\delta = \det A$ , via les valeurs propres $\lambda_\pm = \frac{\tau \pm \sqrt{\tau^2 - 4\delta}}2$ :

$\delta < 0$ : valeurs propres réelles de signes opposés — un col ; deux trajectoires entrent, deux sortent, toutes les autres passent. Toujours instable.
$\delta > 0$ , $\tau^2 \geq 4\delta$ : valeurs propres réelles de même signe ( $= \operatorname{sign}\tau$ ) — un nœud, stable ssi $\tau < 0$ ; les trajectoires sont tangentes à la direction propre lente.
$\delta > 0$ , $\tau^2 < 4\delta$ , $\tau \neq 0$ : valeurs propres complexes conjuguées $\frac\tau2 \pm \iu\omega$ — une spirale (foyer), stable ssi $\tau < 0$ ; les solutions sont $\eu^{\tau t/2}\times$ rotations de période $\frac{2\pi}\omega$ .
$\tau = 0$ , $\delta > 0$ : valeurs propres purement imaginaires — un centre : orbites fermées (ellipses), stabilité sans stabilité asymptotique, exactement la frontière que le Théorème 19.12 ne peut trancher pour les systèmes non linéaires (l’équilibre bas du pendule, Problème 19.1, se situe ici).

La parabole frontière $\tau^2 = 4\delta$ porte les nœuds dégénérés (blocs de Jordan : trajectoires à une seule direction tangente). Tout se lit sur deux nombres — d’où le premier réflexe avant tout portrait de phase plan : calculer $\operatorname{tr}$ et $\det$ ; p.ex. $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & -c\end{smallmatrix}\bigr)$ (oscillateur amorti) : $\delta = 1 > 0$ , $\tau = -c$ : spirale stable pour $0 < c < 2$ , nœud stable pour $c \geq 2$ — sous-amortissement contre sur-amortissement, d’un coup d’œil.

19.4 Flots, équilibres, stabilité

Considérons maintenant l’équation autonome $x' = F(x)$ , $F \colon \Omega \to \R^d$ localement lipschitzienne sur l’ouvert $\Omega \subseteq \R^d$ . On note $\varphi_t(x_0) = x(t)$ la solution maximale avec $x(0) = x_0$ (le flot) ; l’autonomie donne la propriété de groupe $\varphi_{t+s} = \varphi_t\circ\varphi_s$ là où c’est défini (les deux côtés résolvent le même problème à l’instant $s$ ).

Définition 19.10

Un équilibre est un point $\bar x$ tel que $F(\bar x) = 0$ (donc $\varphi_t(\bar x) = \bar x$ ). Il est stable si pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $\delta > 0$ tel que $\norm{x_0 - \bar x} < \delta$ implique que la solution existe pour tout $t \geq 0$ avec $\norm{\varphi_t(x_0) - \bar x} < \varepsilon$ ; asymptotiquement stable si de plus $\varphi_t(x_0) \to \bar x$ pour tout $x_0$ voisin de $\bar x$ .

Théorème 19.11 (Fonctions de Lyapunov)

Soit $\bar x$ un équilibre et $V \colon \mathcal V \to \R$ une fonction $\mathcal C^1$ sur un voisinage de $\bar x$ telle que :

V(\bar x) = 0,\qquad V(x) > 0 \text{ pour } x \neq \bar x, \qquad \dot V(x) = \nabla V(x)\cdot F(x) \leq 0 .

Alors $\bar x$ est stable. Si de plus $\dot V < 0$ hors de $\bar x$ , alors $\bar x$ est asymptotiquement stable.

Démonstration. Le long d’une solution, $\frac{\dd}{\dd t}V(x(t)) = \dot V(x(t)) \leq 0$ : $V$ décroît. Étant donné $\varepsilon$ (assez petit pour que $\bar B(\bar x, \varepsilon) \subseteq \mathcal V$ ), soit $m = \min\{V(x) : \norm{x - \bar x} = \varepsilon\} > 0$ (compacité, positivité) et choisissons $\delta < \varepsilon$ avec $V < m$ sur $B(\bar x, \delta)$ (continuité). Une solution partant de $B(\bar x, \delta)$ a $V(x(t)) < m$ pour tous les temps ultérieurs, donc ne peut jamais atteindre la sphère $\norm{x - \bar x} = \varepsilon$ (où $V \geq m$ ) : elle reste dans la boule — et existe alors pour tout $t \geq 0$ : la solution demeure dans le compact $\bar B$ , donc le Théorème 19.5(2) (échappement des compacts) force $T_+ = +\infty$ . Stabilité.

Cas asymptotique : soit $x(t)$ partant de $B(\bar x, \delta)$ ; $V(x(t))$ décroît vers un $c \geq 0$ . Si $c > 0$ : la trajectoire reste dans $K = \{x \in \bar B(\bar x, \varepsilon): V(x) \geq c\}$ , un compact qui exclut un voisinage de $\bar x$ ( $V$ est continue avec $V(\bar x) = 0 < c$ ). Sur $K$ , la fonction $\dot V$ est continue, strictement négative, d’où $\mu = \max_K\dot V < 0$ (compacité) ; alors $V(x(t)) \leq V(x(0)) + \mu t \to -\infty$ : absurde, $V \geq 0$ . Donc $c = 0$ , et $x(t) \to \bar x$ (les points à distance $\geq \rho$ de $\bar x$ dans la boule ont $V \geq m_\rho > 0$ ). ∎

Théorème 19.12 (Stabilité par linéarisation)

Soit $F$ de classe $\mathcal C^1$ , $F(\bar x) = 0$ , $A = DF(\bar x)$ . Si toute valeur propre de $A$ vérifie $\operatorname{Re}\lambda < 0$ , alors $\bar x$ est asymptotiquement stable.

Démonstration. On translate $\bar x$ en $0$ et on écrit $F(x) = Ax + g(x)$ avec $g(x) = o(\norm x)$ (différentiabilité $\mathcal C^1$ ). Choisissons $\alpha > 0$ avec $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ ( $t \geq 0$ ; Théorème 19.8) et $r > 0$ avec $\norm{g(x)} \leq \frac{\alpha}{2C}\norm x$ pour $\norm x \leq r$ . Duhamel avec $b(s) = g(x(s))$ :

x(t) = \eu^{tA}x_0 + \int_0^t\eu^{(t-s)A}g(x(s))\,\dd s,

valable tant que $\norm{x(s)} \leq r$ . Alors $u(t) = \eu^{\alpha t}\norm{x(t)}$ vérifie

u(t) \leq C\norm{x_0} + \int_0^{t}C\,\frac{\alpha}{2C}\,u(s)\,\dd s ,

donc Gronwall donne $u(t) \leq C\norm{x_0}\eu^{\alpha t/2}$ , c’est-à-dire $\norm{x(t)} \leq C\norm{x_0}\eu^{-\alpha t/2}$ . Si $\norm{x_0} < r/C$ , la borne a priori maintient $\norm{x(t)} < r$ pour tout $t$ (argument de continuité/bootstrap : l’ensemble des temps où $\norm x \leq r$ est ouvert et fermé dans $\intco0{T_+}$ compte tenu de l’estimée stricte), la solution est globale, et elle converge vers $0$ exponentiellement : stabilité asymptotique. ∎

Méthode 19.13

Face à une EDO : (1) existence/unicité — vérifier le caractère localement lipschitzien (souvent $\mathcal C^1$ ) ; (2) globalité — croissance linéaire, bornitude, ou un compact invariant via une fonction de Lyapunov ou une intégrale première ; à défaut, soupçonner une explosion et tester sur la caricature scalaire $x' = x^2$ ; (3) systèmes linéaires — résolvante, Duhamel, et pour les coefficients constants la structure propre de $A$ ; (4) questions qualitatives — équilibres, linéariser, et chercher une fonction de Lyapunov (énergie, quand le système est mécanique) ou une intégrale première dont les niveaux piègent les trajectoires. Le problème de week-end déroule toute la méthode sur le pendule.

Portrait de phase du pendule x'' = - x dans le plan (x, x') : courbes de niveau de l’énergie E = x'22 - x. Courbes fermées (bleu) : oscillations, E < 1 ; courbes courantes (orange) : rotations complètes, E > 1 ; entre elles la séparatrice (rouge), E = 1, reliant les équilibres instables (±π, 0). Le problème de week-end démontre tout ce que cette figure suggère. — Portrait de phase du pendule $x'' = -\sin x$ dans le plan $(x, x')$ : courbes de niveau de l’énergie $E = \frac{x'^2}2 - \cos x$ . Courbes fermées (bleu) : oscillations, $E < 1$ ; courbes courantes (orange) : rotations complètes, $E > 1$ ; entre elles la *séparatrice* (rouge), $E = 1$ , reliant les équilibres instables $(\pm\pi, 0)$ . Le problème de week-end démontre tout ce que cette figure suggère.

19.5 Exercices

Exercice 19.1 ★

Résoudre explicitement et déterminer l’intervalle maximal : (a) $x' = x^2$ , $x(0) = 1$ ; (b) $x' = 1 + x^2$ , $x(0) = 0$ ; (c) $x' = x(1-x)$ , $x(0) = \frac12$ . Réconcilier chaque réponse avec le Théorème 19.5(2) et le Corollaire 19.6.

Solution

Solution de Exercice 19.1.

(a) Séparation des variables : $x(t) = \frac1{1 - t}$ sur $\intoo{-\infty}1$ : explosion en $T_+ = 1$ , avec $x(t) \to +\infty$ — exactement le Théorème 19.5(2). (b) $x(t) = \tan t$ sur $\intoo{-\pi/2}{\pi/2}$ : explosion aux deux extrémités. (c) $x(t) = \frac{1}{1 + \eu^{-t}}$ , globale : la solution reste dans $\intoo01$ , ensemble borné, donc le graphe ne peut quitter tout compact de $\R\times\R$ en temps fini — $T_\pm = \pm\infty$ . Noter que (a), (b) ne contredisent pas le Corollaire 19.6 : $x^2$ et $1 + x^2$ ont une croissance superlinéaire.

Exercice 19.2 ★

Soient $x, y$ solutions de $x' = f(t,x)$ avec $f$ globalement $L$ -lipschitzienne en $x$ sur $\R\times\R^d$ . (a) Montrer $\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x(0) - y(0)}\eu^{L\abs t}$ , et montrer par un exemple (linéaire !) que le facteur $\eu^{L\abs t}$ est atteint. (b) En déduire que l’application de flot $x_0 \mapsto x(t; x_0)$ est continue, en fait lipschitzienne sur les ensembles bornés.

Solution

Solution de Exercice 19.2.

(a) C’est l’estimée du Corollaire 19.4 avec $t_0 = 0$ . Optimalité : pour $x' = Lx$ (globalement $L$ -lipschitzienne), deux solutions diffèrent exactement de $(x_0 - y_0)\eu^{Lt}$ . (b) L’estimée se lit : l’application de flot au temps $t$ est $\eu^{L\abs t}$ -lipschitzienne en la condition initiale — continuité, uniformément pour $t$ dans les compacts ; sur les ensembles bornés pour un $f$ non globalement lipschitzien, on rejoue le même argument dans un tube compact autour des trajectoires avec la constante locale.

Exercice 19.3 ★★

Montrer que chacun des suivants a toutes ses solutions maximales globales sur $\R$ , en citant le bon théorème : (a) $x' = \sin(tx)$ ; (b) $x' = \frac{t\,x}{1 + x^2}$ ; (c) $x'' + q(t)x = 0$ avec $q$ continue (convertir en un système du premier ordre) ; (d) $x' = A(t)x$ avec $A$ continue et bornée — et donner la borne de Gronwall sur $\norm{x(t)}$ .

Solution

Solution de Exercice 19.3.

(a) $\abs{\sin(tx)} \leq 1$ : borné, c’est-à-dire croissance linéaire avec $\alpha = 0$ , $\beta = 1$ : le Corollaire 19.6 sur $U = \R\times\R$ . (b) $\abs{tx/(1 + x^2)} \leq \abs t\cdot\frac12$ : encore sous-linéaire (en fait bornée sur les compacts de temps) : globale. (c) $X = (x, x')$ : $X' = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -q(t) & 0\end{smallmatrix}\bigr)X$ : linéaire à coefficients continus : globale (cadre du Théorème 19.7). (d) Globale ; Gronwall comme dans le Corollaire 19.6 : $\norm{x(t)} \leq \norm{x(t_0)}\,\eu^{M\abs{t - t_0}}$ avec $M = \sup\vertiii{A}$ .

Exercice 19.4 ★★

(a) Calculer $\eu^{tA}$ pour $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ , $\bigl(\begin{smallmatrix}\lambda & 1\\ 0 & \lambda\end{smallmatrix}\bigr)$ , et $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ . (b) Résoudre l’oscillateur forcé $x'' + x = \cos(\omega t)$ par Duhamel (forme système), pour $\omega \neq 1$ et $\omega = 1$ : la résonance apparaît comme le terme séculaire $t\sin t$ .

Solution

Solution de Exercice 19.4.

(a) $A^2 = -I$ pour la première : $\eu^{tA} = \cos t\,I + \sin t\,A = \bigl(\begin{smallmatrix}\cos t & -\sin t\\ \sin t & \cos t\end{smallmatrix}\bigr)$ . Bloc de Jordan : $\lambda I$ et $N$ commutent : $\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}\bigl(\begin{smallmatrix}1 & t\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ . Troisième : $A^2 = I$ : $\eu^{tA} = \cosh t\,I + \sinh t\,A$ .

(b) Système $X' = \bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0 \end{smallmatrix}\bigr)X + \bigl(\begin{smallmatrix}0\\ \cos\omega t\end{smallmatrix}\bigr)$ ; Duhamel avec la résolvante de rotation donne les solutions particulières : pour $\omega \neq 1$ , $x_p(t) = \frac{\cos(\omega t)}{1 - \omega^2}$ (vérifier directement) ; pour $\omega = 1$ l’intégrale $\int_0^t\sin(t - s)\cos s\,\dd s = \frac t2\sin t$ produit la croissance séculaire $x_p = \frac t2\sin t$ : résonance — le forçage pompe de l’énergie à la fréquence naturelle et l’amplitude croît linéairement.

Exercice 19.5 ★★

Pour l’équation scalaire $x'' + p(t)x' + q(t)x = 0$ : (a) Montrer que le wronskien $w = x_1x_2' - x_1'x_2$ de deux solutions vérifie $w' = -p\,w$ (Abel), et en déduire que deux solutions avec $w \neq 0$ quelque part forment une base. (b) Étant donnée une solution non nulle $x_1$ , trouver la solution générale par réduction de l’ordre : poser $x_2 = x_1\int \frac{\eu^{-\int p}}{x_1^2}$ et vérifier. Appliquer à $t^2x'' - 2x = 0$ sur $\intoo0{+\infty}$ avec $x_1(t) = t^2$ .

Solution

Solution de Exercice 19.5.

(a) $w' = x_1x_2'' - x_1''x_2 = x_1(-px_2' - qx_2) - (-px_1' - qx_1)x_2 = -p\,w$ : $w(t) = w(t_0)\eu^{-\int_{t_0}^tp}$ , jamais nulle ou identiquement nulle. Si $w \neq 0$ , les vecteurs $(x_i, x_i')(t_0)$ sont indépendants dans $\R^2$ , et comme l’espace des solutions est de dimension $2$ (Théorème 19.7 pour le système), $(x_1, x_2)$ est une base.

(b) Avec $u = \int\frac{\eu^{-\int p}}{x_1^2}$ : $x_2 = x_1u$ , $x_2' = x_1'u + \frac{\eu^{-\int p}}{x_1}$ , et

x_2'' + px_2' + qx_2 = u\,(x_1'' + px_1' + qx_1) + \Bigl(-\,p\frac{\eu^{-\int p}}{x_1} + p\frac{\eu^{-\int p}}{x_1}\Bigr) = 0

(les termes croisés s’annulent exactement ; développer avec soin). Pour $t^2x'' - 2x = 0$ , c’est-à-dire $x'' - \frac2{t^2}x = 0$ ( $p = 0$ ) avec $x_1 = t^2$ : $u = \int t^{-4} = -\frac1{3t^3}$ , donc $x_2 = -\frac1{3t}$ : solution générale $at^2 + \frac bt$ .

Exercice 19.6 ★★

(Logistique) Pour $x' = x(1 - x)$ : déterminer tous les équilibres et leur stabilité (par le Théorème 19.12 et directement) ; montrer que toute solution avec $x(0) \in \intoo01$ est croissante, globale, de limites $0$ et $1$ en $\mp\infty$ ; et résoudre explicitement pour confirmer. Montrer plus généralement que les solutions autonomes scalaires sont monotones, et conclure : pas de solutions périodiques non constantes en dimension $1$ .

Solution

Solution de Exercice 19.6.

Équilibres $0, 1$ ; $f'(x) = 1 - 2x$ : $f'(0) = 1 > 0$ (instable — les solutions voisines s’éloignent, comme le montre la forme explicite), $f'(1) = -1 < 0$ : asymptotiquement stable (Théorème 19.12 en dimension $1$ ). Pour $x(0) \in \intoo01$ : $f > 0$ là, donc tant que la solution reste dans $\intoo01$ elle croît ; elle ne peut jamais atteindre $0$ ni $1$ (unicité : ce sont des trajectoires), donc elle y reste, est bornée — d’où globale — et croît vers une limite $L \in \intoc{x(0)}1$ . Si $f(L) \neq 0$ , alors $x' \geq c > 0$ près de la limite, forçant $x$ au-delà de $L$ : donc $f(L) = 0$ , $L = 1$ ; symétriquement $x \to 0$ en $-\infty$ . Explicitement $x(t) = \frac1{1 + C\eu^{-t}}$ confirme tout. En général : si une solution autonome scalaire avait $x'(t_0) = 0$ , alors $x(t_0)$ est un équilibre et l’unicité force $x$ constante ; sinon $f(x(t))$ garde un signe fixe (elle ne s’annule jamais, et $t \mapsto f(x(t))$ est continue) : $x$ est strictement monotone — donc une solution périodique non constante est impossible.

Exercice 19.7 ★★

(Intégrales premières) Soit $H \colon \Omega \to \R$ de classe $\mathcal C^1$ et considérons le système hamiltonien plan $x' = \partial_yH$ , $y' = -\partial_xH$ . (a) Montrer que $H$ est constante le long des solutions. (b) Pour $H = \frac{y^2}2 + \frac{x^4}4$ : montrer que toutes les solutions sont globales et bornées, et que l’origine est stable (Lyapunov : $H$ ) bien que la linéarisation ( $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}\bigr)$ ) ne soit pas asymptotiquement stable : la linéarisation peut être non concluante.

Solution

Solution de Exercice 19.7.

(a) $\frac{\dd}{\dd t}H(x,y) = H_xx' + H_yy' = H_xH_y + H_y(-H_x) = 0$ . (b) Les ensembles de niveau de $H = \frac{y^2}2 + \frac{x^4}4$ sont compacts ( $H$ coercive), donc les solutions sont piégées dans des compacts : globales et bornées (Théorème 19.5). Stabilité de $(0,0)$ : $V = H$ est définie positive ( $H = 0$ seulement à l’origine) avec $\dot V = 0$ : Théorème 19.11. La linéarisation $x' = y$ , $y' = 0$ a la matrice nilpotente non diagonalisable de valeur propre $0$ : le Théorème 19.12 est muet (son hypothèse $\operatorname{Re}\lambda < 0$ échoue), et de fait le système linéarisé est instable ( $y_0 \ne 0$ dérive) tandis que le non linéaire est stable : la linéarisation en un équilibre non hyperbolique ne prouve rien.

Exercice 19.8 ★★★

(Pendule amorti) $x'' + cx' + \sin x = 0$ , $c > 0$ ; système : $x' = y$ , $y' = -\sin x - cy$ . (a) Montrer que $V(x, y) = \frac{y^2}2 + 1 - \cos x$ vérifie $\dot V = -cy^2 \leq 0$ : l’origine est stable. (b) $\dot V$ s’annule sur tout l’axe $y = 0$ : le critère strict de Lyapunov échoue. Prouver quand même la stabilité asymptotique, par linéarisation (Théorème 19.12) : calculer les valeurs propres de la matrice linéarisée en $(0,0)$ et vérifier $\operatorname{Re} < 0$ pour tout $c > 0$ . (c) Que se passe-t-il à l’équilibre $(\pi, 0)$ ? Calculer la linéarisation et conclure (une valeur propre positive : instabilité — on peut utiliser l’énoncé d’instabilité de façon informelle ou produire une solution s’échappant explicite du système linéaire).

Solution

Solution de Exercice 19.8.

(a) $\dot V = y\,y' + \sin x\cdot x' = y(-\sin x - cy) + y\sin x = -cy^2 \leq 0$ , et $V = \frac{y^2}2 + (1 - \cos x)$ est définie positive sur $\{\abs x < 2\pi\}$ autour de l’origine : stable (Théorème 19.11). (b) La matrice linéarisée en $(0,0)$ est $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & -c\end{smallmatrix}\bigr)$ , de polynôme caractéristique $\lambda^2 + c\lambda + 1$ : racines $\frac{-c \pm \sqrt{c^2 - 4}}2$ — toutes deux réelles négatives si $c \geq 2$ , complexes de partie réelle $-\frac c2 < 0$ si $0 < c < 2$ . Dans tous les cas $\operatorname{Re}\lambda < 0$ : le Théorème 19.12 donne la stabilité asymptotique (malgré le $\dot V$ dégénéré). (c) En $(\pi, 0)$ : $\sin(\pi + u) = -\sin u$ , linéarisation $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\1&-c\end{smallmatrix}\bigr)$ , caractéristique $\lambda^2 + c\lambda - 1$ : racines de signes opposés ( $\lambda_+\lambda_- = -1$ ). Le long du vecteur propre instable, le système linéaire a la solution explicitement s’échappant $\eu^{\lambda_+t}v_+$ avec $\lambda_+ > 0$ : le pendule inversé est instable pour tout amortissement.

Exercice 19.9 ★★

(Frontière d’unicité) Pour $\alpha \in \intoo01$ , montrer que le problème $x' = \abs x^{\alpha}$ , $x(0) = 0$ a une infinité de solutions (adapter Problème 7.1, Partie III). Montrer au contraire que pour $\alpha = 1$ (c’est-à-dire $x' = \abs x$ ) la solution passant par $0$ est unique, et identifier précisément quelle hypothèse du Théorème 19.2 distingue les deux cas.

Solution

Solution de Exercice 19.9.

Pour $\alpha \in \intoo01$ : outre $x \equiv 0$ , chaque

x_c(t) = \begin{cases}0 & t \leq c,\\ \bigl((1-\alpha)(t - c)\bigr)^{1/(1-\alpha)} & t \geq c, \end{cases}

est $\mathcal C^1$ et résout l’équation (l’exposant $\frac1{1-\alpha} > 1$ fait s’annuler la dérivée en $c$ ) : un continuum de solutions passant par $(0,0)$ . Pour $\alpha = 1$ : $x \mapsto \abs x$ est globalement $1$ -lipschitzienne ( $\abs{\abs a - \abs b} \leq \abs{a - b}$ ), donc le Théorème 19.2 s’applique et la seule solution passant par $0$ est $x \equiv 0$ . La frontière est exactement la condition de Lipschitz locale en $0$ : $\abs x^\alpha$ a des quotients de différences non bornés là pour $\alpha < 1$ .

Exercice 19.10 ★★★

(Les bornes a priori piègent les solutions) Soit $F \colon \R^d \to \R^d$ localement lipschitzienne avec $\langle F(x), x\rangle \leq 0$ dès que $\norm x \geq R$ . (a) Montrer que la boule fermée $\bar B(0, R)$ est positivement invariante : les solutions partant de l’intérieur y restent pour $t \geq 0$ . (Si $\norm{x(t_2)} > R$ , considérer le dernier instant $t_1 < t_2$ avec $\norm{x(t_1)} = R$ et étudier $\frac{\dd}{\dd t}\norm{x(t)}^2$ sur $\intcc{t_1}{t_2}$ .) (b) En déduire l’existence globale vers l’avant pour les données dans la boule. Traiter ensuite le système de gradient $x' = -\nabla G(x)$ , $G \in \mathcal C^2$ avec $G(x) \to +\infty$ quand $\norm x \to \infty$ : montrer que $G$ décroît le long des solutions, que chaque solution reste dans le sous-niveau (borné) $\{G \leq G(x_0)\}$ , et conclure l’existence globale vers l’avant.

Solution

Solution de Exercice 19.10.

(a) Supposons $\norm{x(t_2)} > R$ pour un $t_2 > 0$ avec $\norm{x(0)} \leq R$ , et soit $t_1 = \sup\{t \leq t_2 : \norm{x(t)} \leq R\}$ : alors $\norm{x(t_1)} = R$ et $\norm{x(t)} > R$ sur $\intoc{t_1}{t_2}$ . Sur cet intervalle $g(t) = \norm{x(t)}^2$ a $g'(t) = 2\langle x(t), F(x(t))\rangle \leq 0$ (l’hypothèse s’applique : $\norm{x(t)} \geq R$ ), donc $g(t_2) \leq g(t_1) = R^2$ : contradiction. La boule est positivement invariante. (b) Une solution piégée dans la boule compacte ne peut avoir $T_+ < \infty$ (Théorème 19.5(2)) : globale vers l’avant. Système de gradient : $\frac{\dd}{\dd t}G(x(t)) = \langle\nabla G, -\nabla G\rangle = -\norm{\nabla G(x(t))}^2 \leq 0$ : $G$ décroît, donc la solution reste dans $\{G \leq G(x_0)\}$ , qui est borné (coercivité : hors d’une grande boule, $G > G(x_0)$ ) et fermé : compact. L’échappement est impossible : toute solution d’un système de gradient coercif est globale vers l’avant, glissant indéfiniment vers le bas.

Exercice 19.11 ★★

(Explosion par comparaison) Considérer $x' = x^2 + t^2$ , $x(0) = 1$ . (a) Montrer que la solution maximale existe sur un certain $\intco0{T_+}$ avec $T_+ < \infty$ : comparer avec $y' = y^2$ , $y(0) = 1$ (prouver le lemme de comparaison nécessaire : si $x' \geq F(x)$ et $y' = F(y)$ avec $x(0) \geq y(0)$ , alors $x \geq y$ là où les deux vivent), et en déduire $T_+ \leq 1$ . (b) Borner $T_+$ par en bas : sur $\intcc01$ , $x' \leq x^2 + 1$ ; comparer avec la supersolution $z' = z^2 + 1$ , $z(0) = 1$ , résolue par $z(t) = \tan\bigl(t + \frac\pi4\bigr)$ , et conclure $T_+ \geq \frac\pi4$ . (c) Assembler $\frac\pi4 \leq T_+ \leq 1$ et formuler la morale : c’est la croissance superlinéaire du second membre qui tue l’existence globale (l’Exercice 19.3 en étant le contrepoint), la frontière étant la convergence de $\int^{\infty}\frac{\dd s}{F(s)}$ .

Solution

Solution de Exercice 19.11.

(a) Lemme de comparaison : soit $w = x - y$ sur l’intervalle commun ; $w(0) \geq 0$ et $w' = x' - y' \geq F(x) - F(y) = c(t)w$ avec $c(t) = \frac{F(x) - F(y)}{x - y}$ bornée sur les intervalles de temps compacts ( $F$ localement lipschitzienne) ; alors $(w\eu^{-\int c})' \geq 0$ , donc $w \geq 0$ partout. Avec $F(x) = x^2$ : $y(t) = \frac1{1 - t}$ explose en $1$ , et $x \geq y$ tant que $x$ vit ; si $T_+ > 1$ , alors $x$ serait finie en $t = 1$ tout en dominant $y \to \infty$ : absurde. $T_+ \leq 1$ .

(b) La comparaison inversée (même lemme, rôles échangés) : sur $\intcc01\cap\intco0{T_+}$ , $t^2 \leq 1$ donne $x' \leq x^2 + 1$ , tandis que $z(t) = \tan(t + \frac\pi4)$ vérifie $z' = z^2 + 1$ , $z(0) = 1 = x(0)$ : d’où $x \leq z$ tant que les deux sont définies. Comme $z$ est finie sur $\intco0{\frac\pi4}$ , $x$ ne peut exploser avant $\frac\pi4$ : $T_+ \geq \frac\pi4$ .

(c) Ensemble : $\frac\pi4 \leq T_+ \leq 1$ (numériquement $T_+ \approx 0.96$ ). Morale : pour $x' = F(t, x)$ avec $F$ superlinéaire en $x$ , les solutions explosent en temps fini dès que $\int^\infty\frac{\dd s}{F(s)} < \infty$ (la solution de comparaison atteint l’infini en ce temps fini) ; la croissance linéaire, où l’intégrale diverge, force l’existence globale (Exercice 19.3). C’est la même intégrale d’Osgood que dans Problème 7.1, qui gouverne maintenant l’échappement à l’infini plutôt que l’échappement depuis zéro.

Exercice 19.12 ★★★

(Théorème de comparaison de Sturm) Soient $q_1 \leq q_2$ continues sur un intervalle $I$ , et $u \neq 0$ solution de $u'' + q_1u = 0$ , $v \neq 0$ solution de $v'' + q_2v = 0$ . (a) Établir l’identité du wronskien : avec $W = uv' - u'v$ , $W' = (q_1 - q_2)\,uv$ . (b) (Sturm) Montrer qu’entre deux zéros consécutifs $a < b$ de $u$ , soit $v$ s’annule quelque part dans $\intoo ab$ , soit $q_1 = q_2$ et $v \propto u$ là (supposer $u > 0$ sur $\intoo ab$ et $v > 0$ aussi ; intégrer (a) de $a$ à $b$ et inspecter les signes des termes de bord $W(a), W(b)$ ). (c) En déduire : les solutions de $u'' + qu = 0$ avec $q \geq m > 0$ s’annulent au moins une fois dans tout intervalle de longueur $\pi/\sqrt m$ (comparer avec $v'' + mv = 0$ ) ; les solutions avec $q \leq 0$ s’annulent au plus une fois sur $\R$ . Tester les deux sur $q \equiv \pm1$ .

Solution

Solution de Exercice 19.12.

(a) $W' = uv'' - u''v = u(-q_2v) - (-q_1u)v = (q_1 - q_2)\,uv$ .

(b) Soient $a < b$ zéros consécutifs de $u$ ; normalisons $u > 0$ sur $\intoo ab$ (donc $u'(a) > 0$ , $u'(b) < 0$ — non nuls par unicité, car $u(a) = u'(a) = 0$ forcerait $u \equiv 0$ ). Supposons que $v$ n’a pas de zéro dans $\intoo ab$ ; normalisons $v > 0$ là (d’où $v(a), v(b) \geq 0$ par continuité). Intégrons (a) :

W(b) - W(a) = \int_a^b(q_1 - q_2)\,uv \;\leq\; 0 .

Mais $W(a) = u(a)v'(a) - u'(a)v(a) = -u'(a)v(a) \leq 0$ et $W(b) = -u'(b)v(b) \geq 0$ : donc $W(b) - W(a) \geq 0$ . Égalité partout : $\int(q_1 - q_2)uv = 0$ avec $uv > 0$ sur l’intervalle ouvert force $q_1 = q_2$ là ; et $W(a) = W(b) = 0$ force $v(a) = v(b) = 0$ ; alors $W \equiv 0$ sur $\intcc ab$ (sa dérivée s’annule), c’est-à-dire $(v/u)' = -W/u^2 = 0$ sur $\intoo ab$ : $v \propto u$ .

(c) Prendre $q_1 = m$ et $u = \sin(\sqrt m(t - t_0))$ , dont les zéros consécutifs sont distants de $\pi/\sqrt m$ , et $q_2 = q \geq m$ : par (b), toute solution $v$ de $v'' + qv = 0$ s’annule dans chaque intervalle ouvert de longueur $\pi/\sqrt m$ (dans l’alternative dégénérée $q \equiv m$ , $v \propto u$ s’annule aussi). Si au contraire $q \leq 0$ : appliquer (b) avec $q_1 = q$ , $u = v$ , et $q_2 = 0$ avec la solution sans zéro $\mathbf 1$ de $v'' = 0$ . Si $v$ avait deux zéros consécutifs, (b) forcerait soit un zéro de $\mathbf 1$ entre eux, soit le cas dégénéré $\mathbf 1 \propto v$ — tous deux absurdes : $v$ s’annule au plus une fois. Tests : pour $q = 1$ , $\sin t$ s’annule tous les $\pi = \pi/\sqrt1$ , comme prédit ; pour $q = -1$ , $\sinh t$ s’annule exactement une fois et $\eu^t$ jamais — au plus un zéro, comme prédit.

19.6 Problème : le pendule, complètement résolu

Problème 19.1

Problème de week-end — oscillations, rotations, séparatrice, et la période

L’équation du pendule $x'' = -\sin x$ — comme système : $x' = y$ , $y' = -\sin x$ sur $\R^2$ — est la drosophile de la dynamique : simple à écrire, impossible à résoudre par des formules élémentaires, et pourtant complètement compréhensible par la méthode qualitative. Soit $E(x, y) = \frac{y^2}2 - \cos x$ (l’énergie).

Partie I — Structure globale.

Montrer que toutes les solutions maximales sont globales (définies sur $\R$ ) : utiliser $\dot E = 0$ et le Théorème 19.5. Équilibres : $(k\pi, 0)$ ; classifier leurs linéarisations (type centre pour $k$ pair, col pour $k$ impair).
Montrer que les trajectoires sont contenues dans les ensembles de niveau $\{E = E_0\}$ , et les esquisser/décrire selon la valeur de $E_0 \in \intco{-1}{+\infty}$ : $E_0 = -1$ (équilibres), $-1 < E_0 < 1$ (courbes fermées autour de $(2k\pi, 0)$ ), $E_0 = 1$ (la séparatrice passant par $(\pm\pi, 0)$ ), $E_0 > 1$ (graphes au-dessus de $x$ : rotations).
Prouver que l’équilibre bas $(0,0)$ est stable mais pas asymptotiquement stable. (Lyapunov avec $V = E + 1$ ; non asymptotique : la conservation de l’énergie piège les orbites sur des courbes de niveau éloignées de l’origine.)

Partie II — Oscillations et leur période. Fixons $-1 < E_0 < 1$ et écrivons $E_0 = -\cos a$ avec $a \in \intoo0\pi$ (l’amplitude).

Montrer que la solution avec $x(0) = a$ , $y(0) = 0$ oscille : $x(t) \in \intcc{-a}a$ , et l’orbite est la courbe fermée $y^2 = 2(\cos x - \cos a)$ . Justifier que la solution est périodique : l’orbite est une courbe compacte sans équilibre, parcourue à vitesse minorée — en faire un argument (la solution revient à son point initial en temps fini, puis l’unicité force la périodicité).
Établir la formule de la période

$T(a) = 4\int_0^{a}\frac{\dd x}{\sqrt{2(\cos x - \cos a)}}$

(sur un quart d’orbite, $y = \frac{\dd x}{\dd t} > 0$ et séparer les variables ; justifier la convergence impropre en $x = a$ ).
(Petites oscillations) Substituer $\sin\frac x2 = \sin\frac a2\,\sin\varphi$ et montrer

$T(a) = 4\int_0^{\pi/2}\frac{\dd\varphi}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\varphi}}, \qquad k = \sin\frac a2$

(une intégrale elliptique complète). En déduire par convergence dominée que $T(a) \to 2\pi$ quand $a \to 0^+$ : la limite harmonique, indépendante de l’amplitude — l’isochronisme approximatif de Galilée, avec sa correction exacte $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{k^2}4 + O(k^4)\bigr)$ (développer l’intégrande et intégrer terme à terme, en justifiant par convergence normale).
Montrer que $T(a) \to +\infty$ quand $a \to \pi^-$ (minorer l’intégrande près de $\varphi = \frac\pi2$ quand $k \to 1$ , ou appliquer la convergence monotone) : en approchant la séparatrice, le pendule ralentit sans borne.

Partie III — La séparatrice.

Pour $E_0 = 1$ , $y = 2\cos\frac x2$ sur la branche supérieure : séparer les variables et intégrer pour trouver la solution explicite

$x(t) = 4\arctan\bigl(\eu^{t}\bigr) - \pi$

(avec $x(0) = 0$ , $y(0) = 2$ ). Vérifier directement qu’elle résout l’équation du pendule, et calculer ses limites et les limites de $y(t)$ quand $t \to \pm\infty$ .
Conclure : l’orbite séparatrice relie le col $(-\pi, 0)$ (quand $t \to -\infty$ ) au col $(\pi, 0)$ (quand $t \to +\infty$ ) mais n’atteint ni l’un ni l’autre en temps fini — cohérent avec l’unicité (pourquoi atteindre un col en temps fini contredirait-il le Corollaire 19.4 ?).

Partie IV — Rotations, et le tableau complet.

Pour $E_0 > 1$ : montrer que $y$ ne s’annule jamais, que $x$ est strictement monotone et globale avec $x(t) \to \pm\infty$ , et que $t \mapsto y(t)$ est périodique de période

$\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} .$
Assembler le portrait de phase complet (la figure du chapitre) avec justification pleine de chaque trait, et écrire un résumé en dix lignes de la méthode : énergie, ensembles de niveau, compacité, unicité — comment chaque théorème du chapitre est entré en jeu. Où a-t-on jamais eu besoin d’une formule pour la solution générale ?

Partie V — La fonction période sous la loupe.

Prouver les moments de Wallis

$W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^{2n}\varphi\,\dd\varphi = \frac\pi2\cdot\frac{(2n)!}{4^n\,(n!)^2}$

par récurrence (intégration par parties), développer l’intégrande de la question 6 par la série du binôme, et justifier l’intégration terme à terme pour obtenir la série complète

$T(a) = 2\pi\sum_{n\geq0} \Bigl(\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\Bigr)^{\!2}k^{2n} = 2\pi\Bigl(1 + \frac{k^2}4 + \frac{9k^4}{64} + O(k^6)\Bigr), \qquad k = \sin\frac a2 .$
Passer à l’amplitude :

$T(a) = 2\pi\Bigl(1 + \frac{a^2}{16} + \frac{11\,a^4}{3072} + O(a^6)\Bigr)$

(substituer le développement de $\sin\frac a2$ et collecter). L’isochronisme échoue à l’ordre $a^2$ , et l’échec est maintenant quantifié jusqu’à l’ordre $a^4$ .
Montrer que $a \mapsto T(a)$ est continue et strictement croissante sur $\intoo0\pi$ , et conclure avec les questions 6–7 que $T$ est une bijection de $\intoo0\pi$ sur $\intoo{2\pi}{+\infty}$ : toute période supercritique est réalisée par exactement une amplitude.
(Arithmétique d’horloger) Un pendule réglé à amplitude nulle garde le temps idéal ; montrer que lancé à l’amplitude $a$ il retarde de la fraction $\frac{a^2}{16} + O(a^4)$ du temps idéal, et calculer la dérive pour $a = 0.2$ rad : environ $216$ secondes par jour. (Les joues cycloïdales de Huygens et les petites amplitudes constantes des échappements sont l’une et l’autre des réponses à ce nombre.)
Revenir à la période de rotation $\tau$ de la question 10 : montrer que $\tau$ est strictement décroissante sur $\intoo1{+\infty}$ , que $\tau(E_0) \to +\infty$ quand $E_0 \to 1^+$ (convergence monotone), et que $\sqrt{2E_0}\,\tau(E_0) \to 2\pi$ quand $E_0 \to +\infty$ (convergence dominée) : le tournoiement rapide est asymptotiquement une rotation libre à la vitesse angulaire $\sqrt{2E_0}$ .

Partie VI — La méthode exportée : Lotka–Volterra. La recette du pendule — intégrale première, courbes de niveau compactes, unicité — résout un écosystème. Fixons $\alpha, \beta, \gamma, \delta > 0$ et considérons, sur le quadrant ouvert $Q = \intoo0{+\infty}\times\intoo0{+\infty}$ ,

x' = x\,(\alpha - \beta y), \qquad y' = y\,(\delta x - \gamma)

( $x$ proies, $y$ prédateurs).

Montrer que $Q$ est invariant — les axes sont des unions d’orbites, explicitement calculables, qu’aucune solution ne peut croiser (Corollaire 19.4) — et que l’unique équilibre dans $Q$ est $(x_*, y_*) = \bigl(\frac\gamma\delta, \frac\alpha\beta\bigr)$ .
Montrer que

$H(x, y) = \delta x - \gamma\ln x + \beta y - \alpha\ln y$

est une intégrale première, que $H = f(x) + g(y)$ avec $f, g$ strictement convexes et propres sur $\intoo0{+\infty}$ avec minima en $x_*$ , $y_*$ , et en déduire que toutes les solutions maximales dans $Q$ sont globales.
Montrer que pour $h > h_* = H(x_*, y_*)$ l’ensemble de niveau $\{H = h\}\cap Q$ est une courbe fermée autour de l’équilibre : deux branches continues $y_\pm(x)$ sur un intervalle compact $\intcc{x_-}{x_+} \ni x_*$ , recollées aux extrémités — l’analogue des ovales du pendule.
Prouver que toute orbite non d’équilibre dans $Q$ est périodique : établir la circulation dans le sens antihoraire à travers les quatre régions découpées par les droites $x = x_*$ et $y = y_*$ , borner le temps de traversée de chaque arc par une intégrale à singularité en racine carrée convergente (comme à la question 5), et conclure par l’unicité (comme à la question 4).
(Loi des moyennes de Volterra) Si $T$ est la période d’une telle orbite, montrer que

$\frac1T\int_0^Tx(t)\,\dd t = \frac\gamma\delta, \qquad \frac1T\int_0^Ty(t)\,\dd t = \frac\alpha\beta :$

les moyennes temporelles égalent les valeurs d’équilibre, quelle que soit l’amplitude (intégrer $(\ln x)' = \alpha - \beta y$ sur une période).
(Le paradoxe de la pêche) Récolter les deux espèces au taux $\varepsilon \in \intoo0\alpha$ : le système garde sa forme avec $\alpha - \varepsilon$ et $\gamma + \varepsilon$ à la place de $\alpha$ et $\gamma$ . Que deviennent les populations moyennes ? Expliquer l’observation de d’Ancona (1914–1918) : quand la pêche adriatique diminua pendant la guerre, la proportion de prédateurs (requins) dans les prises augmenta — et pourquoi une pêche modérée favorise les proies.
Écrire la morale en dix lignes : quels théorèmes du chapitre alimentent chaque étape, ce qui remplace l’énergie du pendule, et pourquoi ni l’un ni l’autre système n’a eu besoin — ni n’admet — d’une solution élémentaire en forme fermée.
(Modulation de vitesse) Dans le régime de rotation $E_0 > 1$ , montrer que $y = x'$ oscille entre $\sqrt{2(E_0 - 1)}$ (en $x \equiv \pi \bmod 2\pi$ ) et $\sqrt{2(E_0 + 1)}$ (en $x \equiv 0$ ), que la moyenne temporelle de $y$ sur une période vaut exactement $\frac{2\pi}{\tau(E_0)}$ , et que le rapport de modulation $\sqrt{\frac{E_0 + 1}{E_0 - 1}} \to 1$ quand $E_0 \to \infty$ : la rotation rapide est asymptotiquement uniforme.
(Monotonie de la période de rotation) Montrer que $\tau(E_0)$ est $\mathcal C^1$ et strictement décroissante sur $\intoo1{+\infty}$ (dériver sous le signe d’intégration, avec domination sur tout $\intco{1 + \delta}\infty$ ), avec $\tau \to \infty$ quand $E_0 \to 1^+$ et $\tau \to 0$ quand $E_0 \to \infty$ . Assembler le tableau de bifurcation complet du pendule le long de l’axe d’énergie : équilibres en $E_0 = -1$ , librations de période croissante de $2\pi$ à $\infty$ sur $-1 < E_0 < 1$ , la séparatrice en $E_0 = 1$ , et rotations de période décroissante de $\infty$ à $0$ au-delà.

Solution

Solution de Problème 19.1.

1. $\dot E = yy' + \sin x\cdot x' = -y\sin x + y\sin x = 0$ : l’énergie est une intégrale première. Sur une solution maximale, $y^2 = 2(E_0 + \cos x) \leq 2(E_0 + 1)$ : $y$ est bornée ; alors $\abs{x(t)} \leq \abs{x(0)} + t\sup\abs y$ croît au plus linéairement : sur tout intervalle de temps fini la trajectoire reste dans un compact de $\R^2$ , donc le Théorème 19.5(2) force $T_\pm = \pm\infty$ . Équilibres $(k\pi, 0)$ ; linéarisation $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\ \mp1&0\end{smallmatrix}\bigr)$ avec $-\cos(k\pi) = \mp1$ : valeurs propres $\pm\iu$ pour $k$ pair (type centre, non concluant en soi) et $\pm1$ pour $k$ impair (col).

2. $E$ constante le long des solutions confine chaque trajectoire à un ensemble de niveau $\{y^2 = 2(E_0 + \cos x)\}$ . Pour $E_0 = -1$ : seulement les points $(2k\pi, 0)$ . Pour $-1 < E_0 < 1$ : en écrivant $E_0 = -\cos a$ , l’ensemble est une union disjointe de courbes fermées $y = \pm\sqrt{2(\cos x - \cos a)}$ sur $x \in [2k\pi - a, 2k\pi + a]$ , une autour de chaque équilibre stable. Pour $E_0 = 1$ : les courbes $y = \pm2\cos\frac x2$ joignant les cols consécutifs — la séparatrice — avec les cols eux-mêmes. Pour $E_0 > 1$ : deux graphes $y = \pm\sqrt{2(E_0 + \cos x)}$ , définis pour tout $x$ , ne touchant jamais $y = 0$ .

3. $V = E + 1 = \frac{y^2}2 + (1 - \cos x)$ s’annule en $(0,0)$ , est positive sur un voisinage épointé ( $\abs x < 2\pi$ ), et $\dot V = 0 \leq 0$ : le Théorème 19.11 donne la stabilité. Pas asymptotique : la solution passant par $(a, 0)$ ( $0 < a$ petit) reste sur la courbe de niveau $E = -\cos a$ , dont la distance à l’origine est positive (la courbe ne rencontre l’axe des $x$ qu’en $\pm a$ ) : $\varphi_t(a, 0) \not\to (0,0)$ .

4. Sur la courbe de niveau $C_a$ : pas d’équilibre ( $y = 0$ force $x = \pm a$ avec $\sin(\pm a) \neq 0$ pour $0 < a < \pi$ ), donc la vitesse $\norm{(y, -\sin x)}$ a un minimum strictement positif $m$ sur le compact $C_a$ . Suivons la solution depuis $(a, 0)$ : dans le demi-plan inférieur $x' = y < 0$ , donc $x$ décroît de $a$ à $-a$ en temps fini (les intégrales de quart/demi-période convergent : analyse de la question 5), atteignant $(-a, 0)$ ; par la symétrie $(x, y) \mapsto (x, -y)$ , $t \mapsto -t$ de l’équation, le demi-plan supérieur est parcouru en retour en le même temps $\frac T2$ : la solution revient en $(a, 0)$ au temps $T$ . L’unicité (Corollaire 19.4) propage alors : $x(t + T) = x(t)$ pour tout $t$ : périodique.

5. Sur la branche où $y > 0$ : $y = \sqrt{2(\cos x - \cos a)}$ et $\dd t = \frac{\dd x}{y}$ ; intégrer $x$ de $-a$ à $a$ donne la demi-période, et la symétrie $x \mapsto -x$ divise encore l’intégrale par deux :

T(a) = 4\int_0^a\frac{\dd x}{\sqrt{2(\cos x - \cos a)}} .

Convergence en $x = a^-$ : $\cos x - \cos a = \sin(a)(a - x) + O((a-x)^2)$ avec $\sin a > 0$ : l’intégrande se comporte comme $\bigl(2\sin a\,(a - x)\bigr)^{-1/2}$ , intégrable.

6. Avec $\sin\frac x2 = k\sin\varphi$ , $k = \sin\frac a2$ : $\cos x - \cos a = 2(k^2 - \sin^2\frac x2) = 2k^2\cos^2\varphi$ et $\frac12\cos\frac x2\,\dd x = k\cos\varphi\,\dd\varphi$ , donc

T(a) = 4\int_0^{\pi/2} \frac{\dd\varphi}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\varphi}} .

Quand $a \to 0^+$ , $k \to 0$ : pour $k \leq k_0 < 1$ l’intégrande est dominée par $(1 - k_0^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$ , continue sur $\intcc0{\pi/2}$ : la convergence dominée donne $T \to 4\cdot\frac\pi2 = 2\pi$ . Développement de $(1 - u)^{-1/2} = 1 + \frac u2 + \frac{3u^2}8 + \cdots$ avec $u = k^2\sin^2\varphi$ (convergence normale pour $k < 1$ ) et $\int_0^{\pi/2}\sin^2 = \frac\pi4$ :

T(a) = 2\pi\Bigl(1 + \frac{k^2}{4} + O(k^4)\Bigr) :

l’isochronisme ne tient qu’au premier ordre ; la période croît avec l’amplitude.

7. Quand $k \uparrow 1$ les intégrandes croissent vers $(1 - \sin^2\varphi)^{-1/2} = \frac1{\cos\varphi}$ , dont l’intégrale diverge : par convergence monotone, $T(a) \to +\infty$ quand $a \to \pi^-$ .

8. Sur la branche $y = 2\cos\frac x2$ ( $\abs x < \pi$ ) : $\frac{\dd x}{2\cos(x/2)} = \dd t$ ; avec $u = \frac x2$ , $\int\frac{\dd u}{\cos u} = \ln\tan\bigl(\frac u2 + \frac\pi4\bigr)$ , donc $t = \ln\tan\bigl(\frac x4 + \frac\pi4\bigr)$ , c’est-à-dire

x(t) = 4\arctan(\eu^t) - \pi, \qquad y(t) = x'(t) = \frac{4\eu^t}{1 + \eu^{2t}} = \frac{2}{\cosh t} .

Vérification via l’énergie : avec $\theta = \arctan\eu^t$ , $\sin2\theta = \frac1{\cosh t}$ , donc $\cos x = -\cos4\theta = -1 + \frac{2}{\cosh^2t}$ et $E = \frac{y^2}2 - \cos x = \frac2{\cosh^2t} + 1 - \frac2{\cosh^2t} = 1$ : la trajectoire est sur la séparatrice, et dériver $y^2 = 2(1 + \cos x)$ où $y > 0$ reproduit $y' = -\sin x$ . Limites : $x \to \pm\pi$ et $y \to 0$ quand $t \to \pm\infty$ .

9. L’orbite tend vers le col $(\pi, 0)$ vers l’avant et $(-\pi, 0)$ vers l’arrière mais n’arrive jamais : si elle atteignait $(\pi, 0)$ en un temps fini $t^*$ , deux solutions maximales distinctes — la solution séparatrice et la solution constante au col — passeraient par le même point $(t^*, (\pi, 0))$ , contredisant le Corollaire 19.4. Les cols ne sont approchés qu’asymptotiquement.

10. Pour $E_0 > 1$ : $y^2 = 2(E_0 + \cos x) \geq 2(E_0 - 1) > 0$ : $y$ garde son signe, et $\abs{x'} = \abs y \geq \sqrt{2(E_0 - 1)}$ : $x$ est strictement monotone, globale (question 1), avec $x(t) \to \pm\infty$ . Comme $y(t) = \pm\sqrt{2(E_0 + \cos x(t))}$ et $\cos$ est $2\pi$ -périodique, $y$ reprend sa valeur chaque fois que $x$ avance de $2\pi$ ; le temps nécessaire est

\tau(E_0) = \int_{x_0}^{x_0 + 2\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}

(substitution ; périodicité) : $y$ est $\tau$ -périodique — le pendule tourne avec un taux de rotation asymptotiquement constant $2\pi/\tau \approx \sqrt{2E_0}$ pour les grandes énergies.

11. La méthode, dans l’ordre : l’énergie ( $\dot E = 0$ ) réduit le flot bidimensionnel à des courbes de niveau unidimensionnelles ; la bornitude de $y$ sur chaque niveau plus l’échappement des compacts donne l’existence globale ; la compacité des niveaux fermés donne des bornes de vitesse et donc la périodicité ; l’unicité convertit le premier retour en périodicité exacte, interdit l’arrivée en temps fini aux cols, et sépare les types d’orbites ; la linéarisation et Lyapunov classent les équilibres ; l’intégrale de période est analysée avec les théorèmes de convergence du Chapitre 10. À aucun moment n’avons-nous possédé — ni eu besoin — d’une solution générale en forme fermée : la théorie qualitative a extrait chaque trait du mouvement de l’équation elle-même.

12. Parties : $W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^{2n-1}\varphi \cdot\sin\varphi\,\dd\varphi = (2n-1)\int_0^{\pi/2} \sin^{2n-2}\varphi\cos^2\varphi\,\dd\varphi = (2n-1)(W_{n-1} - W_n)$ , donc $W_n = \frac{2n-1}{2n}W_{n-1}$ ; avec $W_0 = \frac\pi2$ et $\prod_{j=1}^n\frac{2j-1}{2j} = \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}$ (scinder $(2n)! = 2^nn!\prod(2j-1)$ ), la récurrence donne la valeur affichée. Série du binôme : $(1 - u)^{-1/2} = \sum_{n\geq0}c_nu^n$ avec $c_n = \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2} \in \intoc01$ , rayon $1$ . Pour $k \leq k_0 < 1$ et $u = k^2\sin^2\varphi$ , la série $\sum c_nk^{2n}\sin^{2n}\varphi$ converge normalement en $\varphi$ ( $c_nk^{2n} \leq k_0^{2n}$ ), donc l’intégration terme à terme dans la formule de la question 6 est légitime :

T(a) = 4\sum_{n\geq0}c_nk^{2n}W_n = 4\cdot\frac\pi2\sum_{n\geq0}c_n^2\,k^{2n} = 2\pi\sum_{n\geq0} \Bigl(\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\Bigr)^{\!2}k^{2n} .

Avec $c_0 = 1$ , $c_1 = \frac12$ , $c_2 = \frac38$ : $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{k^2}4 + \frac{9k^4}{64} + O(k^6)\bigr)$ , le reste uniforme pour $k \leq k_0$ (queue dominée par une série géométrique).

13. $k = \sin\frac a2 = \frac a2 - \frac{a^3}{48} + O(a^5)$ , donc

k^2 = \frac{a^2}4 - \frac{a^4}{48} + O(a^6), \qquad k^4 = \frac{a^4}{16} + O(a^6) ,

\frac{T(a)}{2\pi} = 1 + \frac14\Bigl(\frac{a^2}4 - \frac{a^4}{48}\Bigr) + \frac9{64}\cdot\frac{a^4}{16} + O(a^6) = 1 + \frac{a^2}{16} + \frac{11\,a^4}{3072} + O(a^6) ,

puisque $-\frac1{192} + \frac9{1024} = \frac{-16 + 27}{3072} = \frac{11}{3072}$ .

14. Dans la forme elliptique de la question 6, $a \mapsto k = \sin\frac a2$ est une bijection continue strictement croissante de $\intoo0\pi$ sur $\intoo01$ , et pour chaque $\varphi \in \intoc0{\pi/2}$ l’intégrande $(1 - k^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$ est strictement croissante en $k$ : $T$ est strictement croissante. Continuité : sur $k \leq k_0 < 1$ l’intégrande est dominée par la continue $(1 - k_0^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$ , donc la convergence dominée s’applique le long de $k' \to k$ . Avec les limites $T \to 2\pi$ quand $a \to 0^+$ (question 6) et $T \to +\infty$ quand $a \to \pi^-$ (question 7), la stricte monotonie et le théorème des valeurs intermédiaires font de $T$ une bijection de $\intoo0\pi$ sur $\intoo{2\pi}{+\infty}$ .

15. Une horloge compte les oscillations ; réglée à amplitude nulle, elle comptabilise la période harmonique $2\pi$ par oscillation (dans l’unité de temps du pendule). Lancée à l’amplitude $a$ , la période vraie est $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{a^2}{16} + O(a^4)\bigr)$ : l’horloge comptabilise $2\pi$ tandis que $T(a)$ s’écoule réellement, donc elle retarde de la fraction

\frac{T(a) - 2\pi}{T(a)} = \frac{a^2}{16} + O(a^4) .

Pour $a = 0.2$ rad (environ $11.5$ degrés) : $\frac{a^2}{16} = \frac{0.04}{16} = \frac1{400}$ , et un jour a $86400$ s : l’horloge perd $86400/400 = 216$ secondes — quelque trois minutes et demie — par jour. D’où les deux remèdes historiques : imposer une amplitude constante minuscule (l’échappement), ou cintrer la contrainte pour que la période soit exactement indépendante de l’amplitude (les joues cycloïdales de Huygens, 1657).

16. Dans $\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}$ l’intégrande est, pour chaque $x$ fixé, strictement décroissante en $E_0$ : $\tau$ est strictement décroissante. Quand $E_0 \downarrow 1$ les intégrandes croissent point par point vers $\bigl(2(1 + \cos x)\bigr)^{-1/2} = \frac1{2\abs{\cos\frac x2}}$ , dont l’intégrale sur $\intoo{-\pi}\pi$ diverge ( $\cos\frac x2$ s’annule à l’ordre un en $\pm\pi$ ) : la convergence monotone donne $\tau(E_0) \to +\infty$ . Quand $E_0 \to +\infty$ :

\sqrt{2E_0}\,\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\dd x}{\sqrt{1 + \cos x/E_0}} \longrightarrow 2\pi

par convergence dominée (pour $E_0 \geq 2$ l’intégrande est au plus $\sqrt2$ ). Donc $\tau \approx 2\pi/\sqrt{2E_0}$ : un tour prend le temps d’une rotation libre à la vitesse $\sqrt{2E_0}$ , le potentiel réduit à une ride — en accord avec le taux de rotation de la question 10.

17. Les axes portent les solutions explicites $t \mapsto (x_0\eu^{\alpha t}, 0)$ et $t \mapsto (0, y_0\eu^{-\gamma t})$ , avec l’équilibre $(0, 0)$ : ce sont des unions d’orbites. Le champ est $\mathcal C^1$ , donc localement lipschitzien ; une solution partant de $Q$ qui toucherait un axe passerait par un point de l’une de ces orbites et, par le Corollaire 19.4, coïnciderait avec elle — impossible, l’une vivant sur l’axe et l’autre non. Donc $Q$ est invariant dans les deux sens du temps. Équilibres dans $Q$ : $x > 0$ force $\alpha - \beta y = 0$ et $y > 0$ force $\delta x - \gamma = 0$ : le point unique $(x_*, y_*) = \bigl(\frac\gamma\delta, \frac\alpha\beta\bigr)$ .

18. Le long d’une solution,

\dot H = \Bigl(\delta - \frac\gamma x\Bigr)x' + \Bigl(\beta - \frac\alpha y\Bigr)y' = (\delta x - \gamma)(\alpha - \beta y) + (\beta y - \alpha)(\delta x - \gamma) = 0 .

$f(x) = \delta x - \gamma\ln x$ a $f'' = \gamma/x^2 > 0$ , $f'$ s’annulant seulement en $x_*$ , et $f \to +\infty$ en $0^+$ et en $+\infty$ : strictement convexe et propre, minimum $f(x_*)$ ; de même $g(y) = \beta y - \alpha\ln y$ , minimum $g(y_*)$ . Donc $H \geq h_*$ avec égalité seulement en $(x_*, y_*)$ , et chaque sous-niveau $\{H \leq h\}\cap Q$ est compact : $f(x) \leq h - g(y_*)$ confine $x$ à un intervalle compact de $\intoo0{+\infty}$ par propreté, de même $y$ , et l’ensemble est fermé dans $\R^2$ car $H \to +\infty$ au bord de $Q$ . Une solution maximale reste sur son ensemble de niveau compact, donc ne peut quitter tout compact en temps fini : le Théorème 19.5 la rend globale.

19. Fixons $h > h_*$ et posons $c = h - g(y_*) > f(x_*)$ . Comme $f$ décroît strictement de $+\infty$ à $f(x_*)$ sur $\intoc0{x_*}$ et croît strictement de nouveau vers $+\infty$ sur $\intco{x_*}{+\infty}$ , l’équation $f(x) = c$ a exactement deux racines $x_- < x_* < x_+$ , et $\{f \leq c\} = \intcc{x_-}{x_+}$ . Pour $x \in \intoo{x_-}{x_+}$ : $g(y) = h - f(x) > g(y_*)$ a exactement deux racines $y_-(x) < y_* < y_+(x)$ , continues en $x$ (inverses des restrictions continues strictement monotones de $g$ de chaque côté de $y_*$ ), avec $y_\pm(x) \to y_*$ quand $x \to x_\pm$ ; en $x = x_\pm$ l’unique solution est $y = y_*$ . Donc $\{H = h\}\cap Q$ est l’union des graphes de $y_+$ et $y_-$ sur $\intcc{x_-}{x_+}$ , recollés en $(x_\pm, y_*)$ : une courbe fermée autour de $(x_*, y_*)$ — l’analogue des ovales du pendule.

20. Soit $C_h = \{H = h\}\cap Q$ avec $h > h_*$ : le seul équilibre de $Q$ est hors de $C_h$ , donc le champ ne s’annule jamais dessus. Signes : $x' = \beta x(y_* - y)$ , $y' = \delta y(x - x_*)$ : le mouvement va à droite sous la droite $y = y_*$ , vers le haut à droite de $x = x_*$ , à gauche au-dessus, vers le bas à gauche — circulation antihoraire. Suivons la solution depuis un point $(x_0, y_-(x_0))$ de la branche inférieure ouverte, où $x' > 0$ : le temps pour atteindre le coin droit $B = (x_+, y_*)$ est

\int_{x_0}^{x_+}\frac{\dd x}{\beta x\,\bigl(y_* - y_-(x)\bigr)} .

Près de $x_+$ , choisissons $x' \in \intoo{x_*}{x_+}$ ; pour $x \in \intcc{x'}{x_+}$ , $f(x_+) - f(x) \geq f'(x')\,(x_+ - x)$ ( $f'$ croissante et positive au-delà de $x_*$ ), tandis que la relation de niveau et l’inégalité de Taylor donnent $g(y_-(x)) - g(y_*) \leq \frac12\,\bigl(\max g''\bigr)\,(y_* - y_-(x))^2$ sur la plage compacte en $y$ de $C_h$ : d’où $y_* - y_-(x) \geq c\,\sqrt{x_+ - x}$ avec $c > 0$ , et l’intégrande est $O\bigl((x_+ - x)^{-1/2}\bigr)$ : intégrable — la convergence de la question 5, transposée. Ailleurs sur la branche l’intégrande est continue. Donc $B$ est atteint en temps fini ; là $y' = \delta y_*(x_+ - x_*) > 0$ , l’orbite entre dans la région $x > x_*$ , $y > y_*$ , grimpe au coin supérieur $(x_*, y_+)$ par l’estimée symétrique (rôles de $f$ et $g$ échangés), et ainsi de suite autour des quatre arcs : après un temps fini $T > 0$ la solution revient à son point de départ. Par le Corollaire 19.4 elle est $T$ -périodique — l’argument de la question 4, mot pour mot.

21. Sur une orbite $T$ -périodique dans $Q$ , $t \mapsto \ln x(t)$ est $\mathcal C^1$ et $T$ -périodique, donc

0 = \int_0^T(\ln x)'\,\dd t = \int_0^T(\alpha - \beta y)\,\dd t = \alpha T - \beta\int_0^Ty\,\dd t ,

donnant $\frac1T\int_0^Ty = \frac\alpha\beta$ ; de même $0 = \int_0^T(\ln y)' = \delta\int_0^Tx\,\dd t - \gamma T$ donne $\frac1T\int_0^Tx = \frac\gamma\delta$ . Les moyennes temporelles sont les valeurs d’équilibre, pour toute orbite quelle que soit l’amplitude — une loi de conservation que personne n’a introduite à la main.

22. Avec la récolte le système est encore de forme Lotka–Volterra, avec paramètres $\alpha - \varepsilon$ , $\beta$ , $\gamma + \varepsilon$ , $\delta$ (l’équilibre intérieur persiste car $\varepsilon < \alpha$ ). La question 21 appliquée au nouveau système :

\bar x = \frac{\gamma + \varepsilon}{\delta} \ \ (\text{moyenne des proies croît}), \qquad \bar y = \frac{\alpha - \varepsilon}{\beta} \ \ (\text{moyenne des prédateurs décroît}) :

une récolte indifférenciée déplace l’équilibre vers les proies. Les données de d’Ancona se lisent à l’envers : la guerre a réduit la pêche, $\varepsilon$ a chuté, donc la moyenne des prédateurs $(\alpha - \varepsilon)/\beta$ a monté et celle des proies a baissé — une plus grande fraction de requins dans les prises, exactement ce que les marchés adriatiques ont enregistré. C’est le principe de Volterra, le même mécanisme derrière les paradoxes des pesticides : abattre les deux niveaux trophiques profite au niveau mangé.

23. La recette, les deux fois : (i) une intégrale première — $E$ pour le pendule, $H$ ici, trouvée en séparant $\dd y/\dd x$ — effondre le plan sur des courbes ; (ii) propreté et compacité des ensembles de niveau donnent l’existence globale via le Théorème 19.5 ; (iii) la géométrie des niveaux — ovales, de la forme de $\cos$ là-bas et de la stricte convexité de $f$ et $g$ ici — se lit sur l’intégrale, non sur le flot ; (iv) un champ non nul sur un ovale compact plus des singularités de coin intégrables force un temps de retour fini ; (v) l’unicité (Corollaire 19.4) convertit le retour en périodicité et interdit l’arrivée en temps fini aux équilibres ; (vi) les dividendes — développements de la période, lois des moyennes — viennent des théorèmes de convergence appliqués aux intégrales résultantes. Ni $x'' = -\sin x$ ni Lotka–Volterra n’admettent de solution élémentaire en forme fermée (intégrales elliptiques dans un cas, courbes de niveau transcendantes dans l’autre), et à aucun moment on n’en a eu besoin : l’équation elle-même, interrogée qualitativement, a livré le mouvement tout entier.

24. Sur un niveau d’énergie $E_0 > 1$ , $y^2 = 2(E_0 + \cos x) > 0$ : extrêmes de $y^2$ en $\cos x = \pm1$ , donnant les bornes énoncées, atteintes en $x \equiv 0, \pi$ . Moyenne temporelle sur une période $\tau = \tau(E_0)$ : $x$ avance de exactement $2\pi$ , donc

\frac1\tau\int_0^\tau y\,\dd t = \frac{x(\tau) - x(0)}{\tau} = \frac{2\pi}\tau .

Le rapport des vitesses extrêmes est $\sqrt{\frac{E_0 + 1}{E_0 - 1}} = 1 + O(E_0^{-1}) \to 1$ : à haute énergie la ride $\pm1$ du potentiel est négligeable face à $E_0$ , et le pendule tourne presque uniformément — la planche à laver s’aplatit.

25. Sur $E_0 \geq 1 + \delta$ , l’intégrande de $\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}$ est dominée par $(2\delta)^{-1/2}$ et sa dérivée en $E_0$

\partial_{E_0}\frac1{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} = -\frac{1}{\bigl(2(E_0 + \cos x)\bigr)^{3/2}}

par $(2\delta)^{-3/2}$ , toutes deux intégrables sur le compact $\intcc{-\pi}\pi$ : la dérivation sous le signe d’intégration (Théorème 10.15) s’applique et donne $\tau'(E_0) < 0$ (l’intégrande est strictement négative) : strictement décroissante, $\mathcal C^1$ . Limites : quand $E_0 \to \infty$ , $\tau \leq \frac{2\pi}{\sqrt{2(E_0 - 1)}} \to 0$ ; quand $E_0 \to 1^+$ : écrire $E_0 + \cos x = (E_0 - 1) + 2\cos^2\frac x2$ ; l’intégrande croît quand $E_0$ décroît, donc par convergence monotone

\tau(E_0) \;\nearrow\; \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{2\,\abs{\cos\frac x2}} = +\infty,

l’intégrale limite divergeant en $x = \pm\pi$ (là $\abs{\cos\frac x2} \sim \frac{\abs{x \mp \pi}}2$ , un $\frac1{\abs\cdot}$ non intégrable) : la période explose en approchant la séparatrice, en accord avec $T(a) \to \infty$ de la Partie II du côté libration. L’axe d’énergie se lit : repos en $E_0 = -1$ ; librations, $2\pi \nearrow \infty$ , sur $\intoo{-1}1$ ; la séparatrice infiniment lente en $E_0 = 1$ ; rotations, $\infty \searrow 0$ , au-delà. Une intégrale, toute la vie du pendule.