Qu'est-ce que « Espace des états, kets et crochets » ? — Physique

Définition 8.1 Physique universitaire — 3e année · Chapitre 8 — Le formalisme de la mécanique quantique

Les états d’un système quantique forment un espace vectoriel complexe muni d’un produit scalaire — un espace de Hilbert $\mathcal H$ (la théorie mathématique est développée dans le volume de mathématiques de troisième année). Un état est un vecteur, noté ket $\ket\psi$ , normé : $\braket\psi\psi = 1$ . Le produit scalaire de deux états est le nombre complexe $\braket\varphi\psi$ , antilinéaire à gauche, avec $\braket\varphi\psi = \braket\psi\varphi^*$ . Dans une base orthonormée $\{\ket{e_i}\}$ ,

\ket\psi = \sum_i c_i\ket{e_i} , \qquad c_i = \braket{e_i}\psi , \qquad \sum_i|c_i|^2 = 1 .

La fonction d’onde des chapitres précédents est la famille des composantes de $\ket\psi$ selon la position : $\psi(x) = \braket{x}{\psi}$ ; rien n’est perdu, et les systèmes à espace d’états fini — impensables comme ondes — deviennent descriptibles.

Un état de polarisation vu comme un vecteur : les carrés de ses composantes dans la base d’un analyseur sont les probabilités des issues — la géométrie devenue probabilité.

Exemples

Exemple 8.2 (La polarisation du photon : un monde à deux dimensions)

Un photon lancé selon l’axe $z$ porte un état de polarisation dans un espace de Hilbert à deux dimensions, de base $\ket H$ (horizontale) et $\ket V$ (verticale). Une lumière polarisée sous l’angle $\theta$ est la superposition

\ket\theta = \cos\theta\,\ket H + \sin\theta\,\ket V ,

et la polarisation circulaire est la combinaison complexe $(\ket H \pm \iu\ket V)/\sqrt2$ : que les coefficients soient complexes n’est pas un ornement mais de la physique. Tout système quantique à deux niveaux — spin, molécule d’ammoniac, bit quantique supraconducteur — est ce même espace vectoriel en habits différents.

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