O que é Espaço de estados, kets e produtos escalares? — Física

Definição 8.1 Física universitária — 3.º ano · Capítulo 8 — O formalismo da mecânica quântica

Os estados de um sistema quântico formam um espaço vetorial complexo com produto interno — um espaço de Hilbert $\mathcal H$ (a matemática é desenvolvida no volume de matemática do terceiro ano). Um estado é um vetor, escrito como um ket $\ket\psi$ , normalizado: $\braket\psi\psi = 1$ . O produto interno de dois estados é o número complexo $\braket\varphi\psi$ , antilinear na primeira posição, com $\braket\varphi\psi = \braket\psi\varphi^*$ . Numa base ortonormal $\{\ket{e_i}\}$ ,

\ket\psi = \sum_i c_i\ket{e_i} , \qquad c_i = \braket{e_i}\psi , \qquad \sum_i|c_i|^2 = 1 .

A função de onda dos capítulos anteriores é a família das componentes de $\ket\psi$ ao longo da posição: $\psi(x) = \braket{x}{\psi}$ ; nada se perde, e sistemas de espaço de estados finito — inimagináveis como ondas — tornam-se descritíveis.

Um estado de polarização como vetor: suas componentes ao quadrado na base de um analisador são as probabilidades dos resultados — a geometria tornada probabilidade.

Exemplos

Exemplo 8.2 (A polarização do fóton: um mundo bidimensional)

Um fóton que segue pelo eixo $z$ carrega um estado de polarização num espaço de Hilbert bidimensional, com base $\ket H$ (horizontal) e $\ket V$ (vertical). A luz polarizada num ângulo $\theta$ é a superposição

\ket\theta = \cos\theta\,\ket H + \sin\theta\,\ket V ,

e a polarização circular é a combinação complexa $(\ket H \pm \iu\ket V)/\sqrt2$ : o fato de os coeficientes serem complexos não é enfeite, é física. Todo sistema quântico de dois níveis — o spin, a molécula de amônia, um qubit supercondutor — é este mesmo espaço vetorial em outra roupagem.

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