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Física · Glossário

O que é Espaço de estados, kets e produtos escalares?

Definição 8.1 Física universitária — 3.º ano · Capítulo 8 — O formalismo da mecânica quântica

Os estados de um sistema quântico formam um espaço vetorial complexo com produto interno — um espaço de Hilbert H\mathcal H (a matemática é desenvolvida no volume de matemática do terceiro ano). Um estado é um vetor, escrito como um ket ∣ψ⟩\ket\psi, normalizado: ⟨ψ | ψ⟩=1\braket\psi\psi = 1. O produto interno de dois estados é o número complexo ⟨φ | ψ⟩\braket\varphi\psi, antilinear na primeira posição, com ⟨φ | ψ⟩=⟨ψ | φ⟩∗\braket\varphi\psi = \braket\psi\varphi^*. Numa base ortonormal {∣ei⟩}\{\ket{e_i}\},

∣ψ⟩=∑ici∣ei⟩,ci=⟨ei | ψ⟩,∑i∣ci∣2=1.\ket\psi = \sum_i c_i\ket{e_i} , \qquad c_i = \braket{e_i}\psi , \qquad \sum_i|c_i|^2 = 1 .

A função de onda dos capítulos anteriores é a família das componentes de ∣ψ⟩\ket\psi ao longo da posição: ψ(x)=⟨x | ψ⟩\psi(x) = \braket{x}{\psi}; nada se perde, e sistemas de espaço de estados finito — inimagináveis como ondas — tornam-se descritíveis.

Um estado de polarização como vetor: suas componentes ao quadrado na base de um analisador são as probabilidades dos resultados — a geometria tornada probabilidade.
Um estado de polarização como vetor: suas componentes ao quadrado na base de um analisador são as probabilidades dos resultados — a geometria tornada probabilidade.

Exemplos

Exemplo 8.2 (A polarização do fóton: um mundo bidimensional)

Um fóton que segue pelo eixo zz carrega um estado de polarização num espaço de Hilbert bidimensional, com base ∣H⟩\ket H (horizontal) e ∣V⟩\ket V (vertical). A luz polarizada num ângulo θ\theta é a superposição

∣θ⟩=cos⁡θ ∣H⟩+sin⁡θ ∣V⟩,\ket\theta = \cos\theta\,\ket H + \sin\theta\,\ket V ,

e a polarização circular é a combinação complexa (∣H⟩±i∣V⟩)/2(\ket H \pm \iu\ket V)/\sqrt2: o fato de os coeficientes serem complexos não é enfeite, é física. Todo sistema quântico de dois níveis — o spin, a molécula de amônia, um qubit supercondutor — é este mesmo espaço vetorial em outra roupagem.

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