Alle boeken

Professioneel

Apps Over Coach Inloggen Begin met lezen

Natuurkunde · Begrippenlijst

Wat is Toestandsruimte, kets en haakjes?

Definitie 8.1 Universitaire natuurkunde — jaar 3 · Hoofdstuk 8 — Het formalisme van de kwantummechanica

De toestanden van een kwantumstelsel vormen een complexe vectorruimte met een inproduct — een hilbertruimte H\mathcal H (de wiskunde ervan wordt in het wiskundevolume van jaar 3 ontwikkeld). Een toestand is een vector, geschreven als een ket ∣ψ⟩\ket\psi, genormeerd: ⟨ψ | ψ⟩=1\braket\psi\psi = 1. Het inproduct van twee toestanden is het complexe getal ⟨φ | ψ⟩\braket\varphi\psi, toegevoegd-lineair in het eerste vak, met ⟨φ | ψ⟩=⟨ψ | φ⟩∗\braket\varphi\psi = \braket\psi\varphi^*. In een orthonormale basis {∣ei⟩}\{\ket{e_i}\} geldt

∣ψ⟩=∑ici∣ei⟩,ci=⟨ei | ψ⟩,∑i∣ci∣2=1.\ket\psi = \sum_i c_i\ket{e_i} , \qquad c_i = \braket{e_i}\psi , \qquad \sum_i|c_i|^2 = 1 .

De golffunctie van de vorige hoofdstukken is de familie componenten van ∣ψ⟩\ket\psi langs de positie: ψ(x)=⟨x | ψ⟩\psi(x) = \braket{x}{\psi}; er gaat niets verloren, en stelsels met eindige toestandsruimten — als golf ondenkbaar — worden beschrijfbaar.

Een polarisatietoestand als vector: haar gekwadrateerde componenten op de basis van een analysator zijn de kansen op de uitkomsten — meetkunde die kans wordt.
Een polarisatietoestand als vector: haar gekwadrateerde componenten op de basis van een analysator zijn de kansen op de uitkomsten — meetkunde die kans wordt.

Voorbeelden

Voorbeeld 8.2 (De polarisatie van het foton: een tweedimensionale wereld)

Een foton dat langs de zz-as loopt draagt een polarisatietoestand in een tweedimensionale hilbertruimte, met basis ∣H⟩\ket H (horizontaal) en ∣V⟩\ket V (verticaal). Licht dat onder een hoek θ\theta is gepolariseerd is de superpositie

∣θ⟩=cos⁡θ ∣H⟩+sin⁡θ ∣V⟩,\ket\theta = \cos\theta\,\ket H + \sin\theta\,\ket V ,

en circulaire polarisatie is de complexe combinatie (∣H⟩±i∣V⟩)/2(\ket H \pm \iu\ket V)/\sqrt2: dat de coëfficiënten complex zijn is geen versiering maar natuurkunde. Elk kwantumstelsel met twee niveaus — spin, het ammoniakmolecuul, een supergeleidende qubit — is dezelfde vectorruimte in andere kleren.

Lees in het hoofdstuk →