Wat is Toestandsruimte, kets en haakjes? — Natuurkunde

Definitie 8.1 Universitaire natuurkunde — jaar 3 · Hoofdstuk 8 — Het formalisme van de kwantummechanica

De toestanden van een kwantumstelsel vormen een complexe vectorruimte met een inproduct — een hilbertruimte $\mathcal H$ (de wiskunde ervan wordt in het wiskundevolume van jaar 3 ontwikkeld). Een toestand is een vector, geschreven als een ket $\ket\psi$ , genormeerd: $\braket\psi\psi = 1$ . Het inproduct van twee toestanden is het complexe getal $\braket\varphi\psi$ , toegevoegd-lineair in het eerste vak, met $\braket\varphi\psi = \braket\psi\varphi^*$ . In een orthonormale basis $\{\ket{e_i}\}$ geldt

\ket\psi = \sum_i c_i\ket{e_i} , \qquad c_i = \braket{e_i}\psi , \qquad \sum_i|c_i|^2 = 1 .

De golffunctie van de vorige hoofdstukken is de familie componenten van $\ket\psi$ langs de positie: $\psi(x) = \braket{x}{\psi}$ ; er gaat niets verloren, en stelsels met eindige toestandsruimten — als golf ondenkbaar — worden beschrijfbaar.

Een polarisatietoestand als vector: haar gekwadrateerde componenten op de basis van een analysator zijn de kansen op de uitkomsten — meetkunde die kans wordt.

Voorbeelden

Voorbeeld 8.2 (De polarisatie van het foton: een tweedimensionale wereld)

Een foton dat langs de $z$ -as loopt draagt een polarisatietoestand in een tweedimensionale hilbertruimte, met basis $\ket H$ (horizontaal) en $\ket V$ (verticaal). Licht dat onder een hoek $\theta$ is gepolariseerd is de superpositie

\ket\theta = \cos\theta\,\ket H + \sin\theta\,\ket V ,

en circulaire polarisatie is de complexe combinatie $(\ket H \pm \iu\ket V)/\sqrt2$ : dat de coëfficiënten complex zijn is geen versiering maar natuurkunde. Elk kwantumstelsel met twee niveaus — spin, het ammoniakmolecuul, een supergeleidende qubit — is dezelfde vectorruimte in andere kleren.

Lees in het hoofdstuk →