विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · Bachelor Year 2

21गणनीय समष्टियों पर प्रायिकता

अंतिम तीन अध्याय आधुनिक प्रायिकता सिद्धांत विकसित करते हैं: गणनीय प्रतिदर्श समष्टियों पर प्रायिकता माप, विविक्त यादृच्छिक चर, और जनक फलन। हाई स्कूल खंड का परिमित सिद्धांत यहाँ अपना पूरा ढाँचा पा लेता है: परिमित योज्यता की जगह $\sigma$ -योज्यता ले लेती है, और अध्याय 7 की योग्य-कुल मशीनरी ठीक वही है जो अपरिमित प्रतिदर्श समष्टियों को साधने योग्य बनाती है। यहाँ के केंद्रीय परिणाम घटनाओं के एकदिष्ट अनुक्रमों के अनुदिश प्रायिकता की संततता तथा बोरेल–कांतेली प्रमेयिका हैं।

21.1 प्रायिकता समष्टियाँ

परिभाषा 21.1 (गणनीय प्रायिकता समष्टि)

मान लीजिए $\Omega$ कोई अरिक्त परिमित या गणनीय समुच्चय है (प्रतिदर्श समष्टि)। $\Omega$ पर प्रायिकता माप $\Omega$ के सारे उपसमुच्चयों (घटनाओं) के समुच्चय $\mathcal{P}(\Omega)$ से $[0, 1]$ में कोई ऐसा प्रतिचित्रण $\P$ है कि:

$\P(\Omega) = 1$ ;
( $\sigma$ -योज्यता) जोड़े-जोड़े में असंयुक्त घटनाओं के हर अनुक्रम $(A_n)_{n\in\N}$ के लिए,

$\P\Bigl(\,\bigcup_{n \in \N} A_n\Bigr) = \sum_{n=0}^{\infty} \P(A_n) .$

युग्म $(\Omega, \P)$ कोई (गणनीय) प्रायिकता समष्टि है।

टिप्पणी 21.2

गणनीय $\Omega$ पर हम सारे उपसमुच्चय घटनाओं के रूप में ले सकते हैं; अगणनीय समष्टियों पर (जैसा वर्ष 3 के संतत प्रतिरूपों के लिए चाहिए) यह अब संभव नहीं रहता, और $\P$ को घटनाओं के किसी उपयुक्त संग्रह, किसी $\sigma$ -बीजगणित, तक सीमित कर दिया जाता है। इस अध्याय के सारे सूत्र उस व्यापकीकरण को अक्षरशः झेल जाते हैं।

प्रतिज्ञप्ति 21.3 (प्रारंभिक नियम)

घटनाओं $A, B$ तथा किसी प्रायिकता माप $\P$ के लिए: $\P(\emptyset) = 0$ ; $\P$ परिमित रूप से योज्य है; $\P(A^c) = 1 - \P(A)$ ; यदि $A \subseteq B$ हो तो $\P(A) \leq \P(B)$ ; और

\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B) - \P(A \cap B) .

उपपत्ति. $A_0 = \Omega$ , $A_n = \emptyset$ ( $n \geq 1$ ) पर $\sigma$ -योज्यता लगाने पर $1 = 1 + \sum_{n\geq1}\P(\emptyset)$ मिलता है, अतः $\P(\emptyset) = 0$ ; और किसी परिमित असंयुक्त संघ में रिक्त समुच्चय भर देने पर परिमित योज्यता मिल जाती है। शेष परिमित स्थिति की तरह ही निकलता है (हाई स्कूल खंड): $\Omega = A \sqcup A^c$ से $1 = \P(A) + \P(A^c)$ ; $A \subseteq B$ होने पर $\P(B) = \P(A) + \P(B \setminus A) \geq \P(A)$ ; और तीन असंयुक्त टुकड़ों में अपघटित करने पर,

\begin{align*} \P(A \cup B) &= \P(A \setminus B) + \P(B \setminus A) + \P(A \cap B)\\ &= \bigl(\P(A) - \P(A\cap B)\bigr) + \bigl(\P(B) - \P(A\cap B)\bigr) + \P(A \cap B), \end{align*}

जो समावेश–अपवर्जन है; व्यापक $n$ -समुच्चय रूप अभ्यास 21.4 है। ∎

प्रतिज्ञप्ति 21.4 (गणनीय समष्टि पर बंटन)

गणनीय $\Omega = \{\omega_0, \omega_1, \dots\}$ पर कोई प्रायिकता माप देना ठीक-ठीक $\sum_i p_i = 1$ वाले भार $p_i = \P(\{\omega_i\}) \geq 0$ देने के बराबर है; तब हर $A \subseteq \Omega$ के लिए

\P(A) = \sum_{\omega \in A} \P(\{\omega\}) ,

जो कुल $(p_i)$ का कोई (निरपेक्षतः अभिसारी) उप-योग है।

उपपत्ति. $\P$ दिया हो, तो एकल समुच्चय $\{\omega\}$ , $\omega \in A$ , $A$ का कोई गणनीय असंयुक्त आच्छादन बनाते हैं, अतः $\sigma$ -योज्यता बाध्य कर देती है कि

\P(A) = \sum_{\omega\in A}\P(\{\omega\}),

जो अऋणात्मक योग्य कुल $(p_i)$ का कोई अशर्त उप-योग है — पुनःक्रमण ठीक इसलिए हानिरहित है कि पद अऋणात्मक हैं (अध्याय 7); विशेष रूप से $\sum_ip_i = \P(\Omega) = 1$ । विलोमतः, कुल योग $1$ वाले अऋणात्मक भार दिए हों, तो $\P(A) = \sum_{\omega \in A}p_\omega$ परिभाषित कीजिए: कुल योग्य है, और $\sigma$ -योज्यता ठीक अध्याय 7 की पुलिंदों से योग वाली प्रमेय है, जो $\bigcup A_n$ के $A_n$ में विभाजन पर लगाई गई है। ∎

उदाहरण 21.5 (ज्यामितीय प्रतिरूप: पहले चित्त की प्रतीक्षा)

चित्त की प्रायिकता $p \in \intoo{0}{1}$ वाला कोई सिक्का बार-बार उछालिए, और मान लीजिए $\Omega = \N^* \cup \{\infty\}$ पहले चित्त की कोटि दर्ज करता है। स्वाभाविक भार हैं

\P(\{k\}) = (1 - p)^{k-1}p \quad (k \in \N^*), \qquad \P(\{\infty\}) = 0 ,

जो कोई प्रायिकता माप है, क्योंकि $\sum_{k\geq1}(1-p)^{k-1}p = \frac{p}{1 - (1-p)} = 1$ : अर्थात् प्रायिकता $1$ के साथ खेल समाप्त हो जाता है — पर प्रतिदर्श समष्टि में यह संभावना भी रहनी ही चाहिए कि वह समाप्त न हो। गणनीय योज्यता ही हमें $\P(\text{खेल समाप्त होता है}) = \sum_k \P(\{k\})$ कहने देती है।

प्रमेय 21.6 (एकदिष्ट संततता)

मान लीजिए $(A_n)$ घटनाओं का कोई अनुक्रम है।

यदि सब $n$ के लिए $A_n \subseteq A_{n+1}$ हो (वर्धमान), तो $\P\bigl(\bigcup_n A_n\bigr) = \lim_{n\to\infty} \P(A_n)$ ।
यदि सब $n$ के लिए $A_n \supseteq A_{n+1}$ हो (ह्रासमान), तो $\P\bigl(\bigcap_n A_n\bigr) = \lim_{n\to\infty} \P(A_n)$ ।

उपपत्ति. 1. असंयुक्त कीजिए: $B_0 = A_0$ तथा $B_n = A_n \setminus A_{n-1}$ रखिए। $B_n$ जोड़े-जोड़े में असंयुक्त हैं, जहाँ $\bigcup_{k \leq n} B_k = A_n$ और $\bigcup_n B_n = \bigcup_n A_n$ । $\sigma$ -योज्यता तथा परिमित योज्यता से,

\P\Bigl(\bigcup_n A_n\Bigr) = \sum_{n=0}^\infty \P(B_n) = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^N \P(B_n) = \lim_{N\to\infty}\P(A_N) .

2. पूरकों पर जाइए: $(A_n^c)$ वर्धमान है और उसका संघ $\bigl(\bigcap A_n\bigr)^c$ है; भाग 1 लगाइए: $1 - \P(\bigcap A_n) = \lim (1 - \P(A_n))$ । ∎

उपप्रमेय 21.7 (गणनीय उप-योज्यता)

घटनाओं के किसी भी अनुक्रम के लिए $\P\bigl(\bigcup_n A_n\bigr) \leq \sum_{n=0}^\infty \P(A_n)$ ।

उपपत्ति. परिमित उप-योज्यता $\P(A_0 \cup \dots \cup A_N) \leq \sum_0^N \P(A_n)$ आगमन से समावेश–अपवर्जन से निकलती है (अथवा असंयुक्त किए गए $B_n \subseteq A_n$ पर योज्यता से)। $N \to \infty$ रखिए: वर्धमान अनुक्रम $C_N = A_0 \cup \dots \cup A_N$ पर एकदिष्ट संततता लगाने से बायाँ पक्ष $\P(\bigcup_n A_n)$ तक अभिसरण करता है। ∎

उदाहरण 21.8 (संघ परिबंध: कच्चा, पर अटूट)

परिमित रूप से कई घटनाओं के साथ उप-योज्यता — अर्थात् संघ परिबंध — परिशुद्धता देकर सार्वभौमिकता ख़रीद लेती है। $23$ व्यक्तियों वाली जन्मदिन समस्या में टकराव की प्रायिकता को युग्मों पर योग से परिबद्ध करने पर सच्चे $0.507$ के सामने

\P(\text{टकराव}) \leq \binom{23}2\cdot\frac1{365} = \frac{253}{365} \approx 0.693 ,

मिलता है: काफ़ी दूर, क्योंकि टकराव आपस में अतिव्यापी होते हैं। फिर भी इस परिबंध को कोई स्वतंत्रता नहीं चाहिए, न कोई संयुक्त नियम, केवल युग्म-प्रायिकताएँ — और इसीलिए सप्ताहांत समस्या में तथा अध्याय 22 भर संघ परिबंध सबसे पहले निकाला जाने वाला औज़ार है: जब वह संयोग से छोटा निकल आए, तब बात बिना किसी और प्रतिरूपण के तय हो जाती है।

उदाहरण 21.9 (छक्का अंततः आता ही है)

कोई निष्पक्ष पासा सदा फेंकते रहिए और मान लीजिए $B_n = {}$ “पहले $n$ फेंकों में कम से कम एक छक्का” है, जो घटनाओं का कोई वर्धमान अनुक्रम है, जहाँ $\P(B_n) = 1 - (5/6)^n$ । एकदिष्ट संततता देती है

\P(\text{अंततः कोई छक्का आता है}) = \P\Bigl(\bigcup_nB_n\Bigr) = \lim_n\bigl(1 - (5/6)^n\bigr) = 1 .

बात (स्पष्ट) सीमा की नहीं, तार्किक पग की है: “अंततः” अपरिमित रूप से कई फेंकों के विषय में कोई घटना है, जो परिमित योज्यता की पहुँच से बाहर है, और एकदिष्ट संततता — यानी $\sigma$ -योज्यता — ठीक वही अभिगृहीत है जो उसे कोई प्रायिकता सौंपती है। इस पुस्तक के शेष भाग का हर लगभग-निश्चित कथन इसी सँकरे द्वार से गुज़रता है।

21.2 प्रतिबंधन और स्वतंत्रता

परिभाषा 21.10 (सप्रतिबंध प्रायिकता)

$\P(B) > 0$ वाली घटनाओं $A, B$ के लिए $B$ दिए जाने पर $A$ की सप्रतिबंध प्रायिकता है

\P(A \mid B) = \frac{\P(A \cap B)}{\P(B)} .

प्रतिचित्रण $A \mapsto \P(A \mid B)$ स्वयं $\Omega$ पर कोई प्रायिकता माप है।

टिप्पणी 21.11

$A \mapsto \pcond BA$ का फिर से प्रायिकता माप होना एक क्षण के ठहराव योग्य है: $\pcond B\Omega = 1$ तथा $\sigma$ -योज्यता विभाजन से पार निकल जाती हैं, क्योंकि $B$ के साथ प्रतिच्छेदन असंयुक्त संघों का आदर करता है। व्यावहारिक परिणाम: इस अध्याय की हर सर्वसमिका — समावेश–अपवर्जन, एकदिष्ट संततता, बोरेल–कांतेली — प्रतिबंधन के बाद भी लगाई जा सकती है, बिना किसी नई उपपत्ति के। प्रायिकतावादी ठीक इसी कारण लगातार “ $\pcond B{\cdot}$ के अंतर्गत” काम करते हैं।

उदाहरण 21.12 (प्रतिबंधन एकसमानता पैदा कर सकता है)

दो निष्पक्ष पासे फेंकिए और योग $7$ होने पर प्रतिबंधित कीजिए: हर $k \in \intint16$ के लिए

\pcond{\{S = 7\}}{X = k} = \frac{\P(X = k,\ Y = 7 - k)}{\P(S = 7)} = \frac{1/36}{6/36} = \frac16 :

अर्थात् योग $7$ दिया हो तो पहला पासा ठीक-ठीक एकसमान है — $7$ ही वह अकेला योग है जो हर फलक के अनुकूल है, अतः प्रतिबंधन $X$ के विषय में सारी सूचना मिटा देता है। और कोई भी दूसरा योग नियम को तिरछा कर देता है (योग $S = 4$ दिया हो तो पहला पासा केवल $\{1, 2, 3\}$ पर एकसमान है)। किसी सप्रतिबंध नियम का परिकलन प्रतिबंधन-घटना के अनुदिश संयुक्त भारों का पुनःसामान्यीकरण है, और कुछ नहीं।

उदाहरण 21.13 (दूसरी खींच पहली जितनी ही अच्छी है)

किसी कलश में $3$ सफ़ेद और $2$ काली गेंदें हैं; बिना प्रतिस्थापन दो खींचिए। सब मानते हैं कि $\P(W_1) = \frac35$ ; तो $\P(W_2)$ क्या है? पहली खींच के अनुदिश पूर्ण प्रायिकता:

\P(W_2) = \pcond{W_1}{W_2}\,\P(W_1) + \pcond{B_1}{W_2}\,\P(B_1) = \frac24\cdot\frac35 + \frac34\cdot\frac25 = \frac{12}{20} = \frac35 :

अर्थात् ठीक $\P(W_1)$ । किसी परिकलन की ज़रूरत नहीं थी: सममिति से हर गेंद के दूसरी खींची जाने की संभावना बराबर है, अतः दूसरी खींच का — बिना प्रतिबंधन के — वही नियम है जो पहली का। पहले परिणाम पर प्रतिबंधन संभावनाएँ बदल देता है; उसे न जानना नहीं बदलता। यह विनिमेयता तर्क अगले अध्याय में बिना प्रतिस्थापन प्रतिचयन के लिए लौटता है, जहाँ वह बिना किसी द्विपद सर्वसमिका के अतिज्यामितीय माध्य $np$ दे देता है।

प्रमेय 21.14 (संयुक्त प्रायिकताएँ, पूर्ण प्रायिकता, बेज़)

(शृंखला नियम) यदि $\P(A_1 \cap \dots \cap A_{n-1}) > 0$ , तो

$\P(A_1 \cap \dots \cap A_n) = \P(A_1)\,\P(A_2 \mid A_1)\cdots \P(A_n \mid A_1 \cap \dots \cap A_{n-1}) .$
(पूर्ण प्रायिकता) यदि $(B_i)_{i \in I}$ $\P(B_i) > 0$ वाला $\Omega$ का कोई परिमित या गणनीय विभाजन हो, तो हर घटना $A$ के लिए:

$\P(A) = \sum_{i \in I} \P(A \mid B_i)\,\P(B_i) .$
(बेज़) उन्हीं परिकल्पनाओं के अंतर्गत, यदि इसके अतिरिक्त $\P(A) > 0$ हो:

$\P(B_j \mid A) = \frac{\P(A \mid B_j)\,\P(B_j)} {\sum_{i \in I} \P(A \mid B_i)\,\P(B_i)} .$

उपपत्ति. 1. हर सप्रतिबंध प्रायिकता को किसी विभाग के रूप में लिखिए: दायाँ पक्ष

\P(A_1)\cdot\frac{\P(A_1 \cap A_2)}{\P(A_1)}\cdot \frac{\P(A_1 \cap A_2 \cap A_3)}{\P(A_1 \cap A_2)}\cdots \frac{\P(A_1 \cap \dots \cap A_n)}{\P(A_1 \cap \dots \cap A_{n-1})},

है, जो कोई दूरबीनी गुणनफल है: हर हर पिछले अंश को काट देता है, और $\P(A_1 \cap \dots \cap A_n)$ बचा रह जाता है। एकदिष्टता से सारे हर $\geq \P(A_1 \cap \dots \cap A_{n-1}) > 0$ हैं, अतः कुछ भी लुप्त नहीं होता। (परिकल्पना ठीक इसी की रखवाली करती है: शून्य प्रायिकता वाली घटना पर प्रतिबंधन अपरिभाषित है।) 2. समुच्चय $A \cap B_i$ जोड़े-जोड़े में असंयुक्त हैं और उनका संघ $A$ है; ( $\sigma$ -)योज्यता तथा प्रतिबंधन की परिभाषा लगाइए। 3. $\P(B_j \mid A)\P(A) = \P(A \mid B_j)\P(B_j)$ के दोनों पक्ष $\P(A \cap B_j)$ के बराबर हैं; $\P(A)$ से भाग दीजिए और $\P(A)$ को पूर्ण प्रायिकता से खोलिए। ∎

उदाहरण 21.15 (जन्मदिन का टकराव, शृंखला नियम से)

$n$ व्यक्तियों के जन्मदिन, जो स्वतंत्र हैं और $365$ दिनों पर एकसमान, लेकर मान लीजिए $D_n = {}$ “ $n$ जन्मदिन सब अलग-अलग हैं” है। व्यक्ति दर व्यक्ति प्रतिबंधन (शृंखला नियम):

\P(D_n) = \prod_{k=1}^{n-1}\Bigl(1 - \frac{k}{365}\Bigr),

जहाँ हर नए व्यक्ति को पहले से लिए गए $k$ दिनों से बचना पड़ता है। $n = 23$ के लिए: $\P(D_{23}) \approx 0.493$ — अर्थात् साझा जन्मदिन पहले ही न होने से अधिक संभावित है। $23$ के छोटेपन को समझाने वाला अंतर्ज्ञान: लघुगणक लेने पर $-\ln \P(D_n) \approx \sum_{k<n}\frac k{365} = \frac{\binom n2}{365}$ , और $\binom{23}2 = 253$ $253/365 \approx 0.693 \approx \ln 2$ दे देता है। जो मायने रखता है वह युग्मों की संख्या है, जो वर्गिक रूप से बढ़ती है: टकराव की समस्याएँ मापक्रम $n \sim \sqrt{365}$ पर जीती हैं, $n \sim 365$ पर नहीं — जन्मदिन का विरोधाभास भेस बदला हुआ वर्गमूल है।

उदाहरण 21.16 (मॉन्टी हॉल, बेज़ से)

कोई इनाम तीन दरवाज़ों में से एक के पीछे एकसमान रूप से छिपा है। आप दरवाज़ा $1$ चुनते हैं; मेज़बान, जो जानता है कि इनाम कहाँ है, बाक़ी दरवाज़ों में से एक खोल देता है, जो सदा ख़ाली होता है (चुनाव होने पर वह एकसमान रूप से चुनता है), कहिए दरवाज़ा $3$ । मान लीजिए $B_i = {}$ “इनाम दरवाज़ा $i$ के पीछे” और $A = {}$ “मेज़बान दरवाज़ा $3$ खोलता है”। तब $\pcond{B_1}{A} = \frac12$ , $\pcond{B_2}{A} = 1$ , $\pcond{B_3}{A} = 0$ , अतः बेज़ (प्रमेय 21.14) से

\P(B_2 \mid A) = \frac{1\cdot\frac13} {\frac12\cdot\frac13 + 1\cdot\frac13 + 0\cdot\frac13} = \frac23 :

अर्थात् दरवाज़ा बदलने पर तीन में से दो बार जीत होती है। यह परिकलन लोकप्रिय भ्रम को ठीक-ठीक पकड़ लेता है: मेज़बान की चाल सूचनापूर्ण है (यदि इनाम वहाँ होता तो वह दरवाज़ा $2$ खोल ही नहीं सकता था), और बेज़ का सूत्र वह लेखा-यंत्र है जो इस विषमता को $\frac23$ में बदल देता है। “जो सच है” पर नहीं, बल्कि “जो देखा गया” पर प्रतिबंधन ही इस सूत्र की पूरी कला है।

उदाहरण 21.17 (शेवालिये डी मेरे की दो बाज़ियाँ)

सत्रहवीं शताब्दी की दो बाज़ियाँ, जो स्वतंत्रता से तय होती हैं। पहली बाज़ी: किसी पासे के $4$ फेंकों में कम से कम एक छक्का,

\P = 1 - \Bigl(\frac56\Bigr)^{\!4} \approx 0.518 > \frac12 .

दूसरी बाज़ी: दो पासों के $24$ फेंकों में कम से कम एक दोहरा छक्का,

\P = 1 - \Bigl(\frac{35}{36}\Bigr)^{\!24} \approx 0.491 < \frac12 .

डी मेरे ने तर्क किया कि संभावना $\frac1{36}$ पर $24$ फेंक संभावना $\frac16$ पर $4$ फेंकों से मेल खाने चाहिए (वही अनुपात $\frac{24}{36} = \frac46$ ); इस समानुपातिकता की विफलता — संघों की प्रायिकताएँ रैखिक रूप से मापित नहीं होतीं — के बारे में कहा जाता है कि उसी ने उसे पास्काल को पत्र लिखने के लिए उकसाया, और इस तरह प्रायिकता सिद्धांत को जन्म दिया। सही तुलना लघुगणकों के द्वारा है: संभावना $p$ पर $n$ प्रयास प्रायिकता $1 - (1-p)^n \approx 1 - \eu^{-np}$ के साथ कम से कम एक बार सफल होते हैं, अतः ईमानदार निश्चर $np$ है: यहाँ $4\cdot\frac16 = \frac23$ बनाम $24\cdot\frac1{36} = \frac23$ — बराबर! दोनों बाज़ियाँ $p$ में केवल द्वितीय कोटि पर भिन्न हैं, और बस इतनी भिन्न कि एक को पचास-प्रतिशत की रेखा के पार खिसका दें: छोटी प्रायिकताएँ वह क्षेत्र हैं जहाँ अंतर्ज्ञान को पैमाना नहीं, चरघातांकी चाहिए।

टिप्पणी 21.18 (प्रतिबंधन के सामान्य भ्रम)

तीन बार-बार होने वाले भ्रम, जो सब ऊपर के उदाहरणों में दिखते हैं। (क) उलटाव: $\pcond BA$ और $\pcond AB$ गुणक $\P(A)/\P(B)$ से भिन्न हैं — कोई जाँच जो रोगियों पर $99\%$ सटीक हो, फिर भी किसी धनात्मक रोगी को लगभग निश्चित रूप से स्वस्थ छोड़ सकती है, बशर्ते रोग विरल हो (अभ्यास 21.3); जहाँ $\pcond{\text{धनात्मक}}{ \text{रोगी}}$ अभिप्रेत हो वहाँ $\pcond{\text{रोगी}}{ \text{धनात्मक}}$ कहना आधार-दर भ्रम है। (ख) ग़लत घटना पर प्रतिबंधन: मॉन्टी हॉल में सही प्रतिबंधन-घटना “मेज़बान ने दरवाज़ा $3$ खोला” है, “इनाम दरवाज़ा $3$ के पीछे नहीं है” नहीं; दोनों भिन्न सूचना ढोते हैं, और सारा $\frac23$ इसी अंतर पर टिका है। (ग) असंयुक्त बनाम स्वतंत्र: धनात्मक प्रायिकता वाली असंयुक्त घटनाएँ कभी स्वतंत्र नहीं होतीं ( $\P(A\cap B) = 0 \neq \P(A)\P(B)$ ) — स्वतंत्रता सूचना की अनुकूलता है, अतिव्यापन का अभाव नहीं।

परिभाषा 21.19 (स्वतंत्रता)

घटनाएँ $A$ तथा $B$ स्वतंत्र हैं यदि $\P(A \cap B) = \P(A)\P(B)$ हो। घटनाओं का कोई कुल $(A_i)_{i \in I}$ (परस्पर) स्वतंत्र है यदि हर परिमित उपसमुच्चय $J \subseteq I$ के लिए

\P\Bigl(\bigcap_{i \in J} A_i\Bigr) = \prod_{i \in J} \P(A_i) .

टिप्पणी 21.20

परस्पर स्वतंत्रता युग्मशः स्वतंत्रता से दृढ़ता से प्रबल है: दो निष्पक्ष सिक्का-उछालों के साथ घटनाएँ “पहला चित्त है”, “दूसरा चित्त है”, “दोनों समान हैं” युग्मशः स्वतंत्र हैं (हर युग्म का प्रतिच्छेदन प्रायिकता $\frac14 = \frac12\cdot\frac12$ रखता है), फिर भी त्रिक प्रतिच्छेदन की प्रायिकता $\frac14 \neq \frac18$ है। यह भी ध्यान दीजिए कि यदि $A, B$ स्वतंत्र हों तो $A, B^c$ भी हैं (परिकलन: $\P(A \cap B^c) = \P(A) - \P(A\cap B) = \P(A)(1 - \P(B))$ ), अतः $A^c, B^c$ भी।

उदाहरण 21.21 (किसी गुणनफल संरचना से पढ़ी गई स्वतंत्रता)

दो निष्पक्ष पासे फेंकिए: एकसमान भारों के साथ $\Omega = \intint16^2$ । मान लीजिए $A = {}$ “पहला पासा सम” और $B = {}$ “दूसरा पासा कम से कम $5$ ” है। गिनने पर: $\abs A = 3\cdot6 = 18$ , $\abs B = 6\cdot2 = 12$ , $\abs{A\cap B} = 3\cdot2 = 6$ , अतः

\P(A\cap B) = \frac6{36} = \frac{18}{36}\cdot\frac{12}{36} = \P(A)\,\P(B) :

अर्थात् स्वतंत्र, और तंत्र दिख भी रहा है — $A$ केवल पहले निर्देशांक को बाँधता है, $B$ केवल दूसरे को, और किसी गुणनफल समुच्चय पर एकसमान माप निर्देशांक-गणनाओं को गुणित कर देता है। “असंयुक्त उछाल-समूहों पर निर्भर घटनाएँ स्वतंत्र हैं” प्रकार का हर दावा (जिसका सप्ताहांत समस्या में भारी उपयोग होता है) यही परिकलन है, बस अधिक सूचकांक पहने हुए।

उदाहरण 21.22 (प्रथम-पग विश्लेषण)

उदाहरण 21.5 के ज्यामितीय प्रतिरूप के लिए वह प्रायिकता $u$ क्या है कि पहला चित्त किसी सम कोटि पर पड़े? पहले उछाल पर प्रतिबंधित कीजिए: प्रायिकता $p$ के साथ कोटि $1$ है (विषम); प्रायिकता $q = 1 - p$ के साथ खेल फिर से शुरू हो जाता है, पर सारी सम-विषमताएँ पलटी हुई, अतः

u = p\cdot0 + q\,(1 - u) \qquad\Longrightarrow\qquad u = \frac{q}{1 + q} .

एक पंक्ति, कोई श्रेणी नहीं — और यह अभ्यास 21.9 के सीधे योग से मेल खाता है, जो $1 - u = \frac1{1+q}$ देता है। यह “प्रथम-पग” तकनीक (पहले प्रयोग पर प्रतिबंधित कीजिए, समस्या की खिसकी हुई प्रतिलिपि पहचानिए) पुनरावृत्ति का प्रायिकतात्मक रूप है, और अभ्यास 21.6 के खेल-अवधि समीकरणों तथा सप्ताहांत समस्या के प्रथम-अभिगमन परिकलनों के पीछे का इंजन यही है।

21.3 बोरेल–कांतेली प्रमेयिका

परिभाषा 21.23 (घटनाओं का ऊपरी सीमांत)

घटनाओं के किसी अनुक्रम $(A_n)$ के लिए घटना

\limsup_n A_n = \bigcap_{N=0}^{\infty}\ \bigcup_{n \geq N} A_n = \{\omega \in \Omega : \omega \in A_n \text{ अपरिमित रूप से कई } n\}

वह घटना है कि “ $A_n$ अपरिमित बार घटित होती है”।

उदाहरण 21.24 (“अपरिमित बार” तथा “अंततः” का अनुवाद)

दे मोर्गन से $\limsup_nA_n$ का पूरक

\Bigl(\bigcap_N\bigcup_{n\geq N}A_n\Bigr)^{\!c} = \bigcup_N\bigcap_{n\geq N}A_n^c = \{\omega : \omega \notin A_n \text{ सभी बड़े }n\},

है, अर्थात् घटना “अंततः $A_n$ विफल हो जाती है” (जिसे $\liminf_nA_n^c$ लिखा जाता है)। अतः “ $A_n$ अपरिमित बार” और “ $A_n^c$ अंततः” परस्पर पूरक हैं — इस शब्दकोश को सीधा रखने से अधिकांश परिमाणक-दुर्घटनाएँ टल जाती हैं। सिक्का उछालने के नमूना अनुवाद: “अपरिमित रूप से कई चित्त” $\limsup\{X_n = H\}$ है; “ $100$ चित्तों की केवल परिमित रूप से कई कतारें” किसी ऊपरी सीमांत का पूरक है; “चालू बारंबारता $\frac12$ तक अभिसरण करती है” $\bigcap_j\bigcup_N\bigcap_{n\geq N}\{\abs{\widehat p_n - \tfrac12} < \tfrac1j\}$ है — सर्वत्र गणनीय संक्रियाएँ, अतः ये सब ईमानदार घटनाएँ हैं।

प्रमेय 21.25 (बोरेल–कांतेली)

यदि $\sum_{n} \P(A_n) < \infty$ , तो $\P\bigl(\limsup_n A_n\bigr) = 0$ ।
यदि घटनाएँ $A_n$ स्वतंत्र हों और $\sum_n \P(A_n) = \infty$ , तो $\P\bigl(\limsup_n A_n\bigr) = 1$ ।

उपपत्ति. 1. $C_N = \bigcup_{n \geq N}A_n$ रखिए; अनुक्रम $(C_N)$ ह्रासमान है और उसका प्रतिच्छेद $\limsup A_n$ है, और गणनीय उप-योज्यता (उपप्रमेय 21.7) से

\P(C_N) \leq \sum_{n \geq N}\P(A_n) \xrightarrow[N\to\infty]{} 0

(किसी अभिसारी श्रेणी की पुच्छ)। एकदिष्ट संततता (प्रमेय 21.6) निष्कर्ष दे देती है: $\P(\limsup A_n) = \lim_N \P(C_N) = 0$ ।

2. हर $N$ के लिए $\P\bigl(\bigcup_{n\geq N}A_n\bigr) = 1$ दिखाना पर्याप्त है: वस्तुतः, यदि घटनाओं $B_N$ सबकी प्रायिकता $1$ हो, तो गणनीय उप-योज्यता (उपप्रमेय 21.7) से

\P\Bigl(\Bigl(\bigcap_NB_N\Bigr)^{\!c}\Bigr) = \P\Bigl(\bigcup_NB_N^c\Bigr) \leq \sum_N\P(B_N^c) = 0

अतः गणनीय प्रतिच्छेद $\limsup A_n = \bigcap_N\bigcup_{n\geq N}A_n$ की प्रायिकता अब भी $1$ है। $N$ स्थिर कीजिए, और $M > N$ के लिए पूरक पर विचार कीजिए:

\P\Bigl(\bigcap_{n=N}^{M} A_n^c\Bigr) = \prod_{n=N}^{M}\bigl(1 - \P(A_n)\bigr) \leq \prod_{n=N}^{M} e^{-\P(A_n)} = \exp\Bigl(-\sum_{n=N}^M \P(A_n)\Bigr) ,

जहाँ पूरकों की स्वतंत्रता तथा उत्तलता परिबंध $1 - x \leq e^{-x}$ का उपयोग हुआ। $M \to \infty$ होने पर श्रेणी की अपसारिता से घातांक $-\infty$ की ओर जाता है, अतः एकदिष्ट संततता (ह्रासमान अनुक्रम) से $\P\bigl(\bigcap_{n \geq N}A_n^c\bigr) = 0$ , अर्थात् $\P\bigl(\bigcup_{n \geq N}A_n\bigr) = 1$ । ∎

उदाहरण 21.26 (चित्तों की अपरिमित कतारें)

कोई निष्पक्ष सिक्का सदा उछालते रहिए, और नियत $k$ के लिए मान लीजिए $A_n$ वह घटना है कि “उछाल $n, n+1, \dots, n + k - 1$ सब चित्त हैं” (समय $n$ से शुरू होने वाली $k$ चित्तों की कतार)। घटनाएँ $A_{jk}$ ( $j = 1, 2, \dots$ ), जो असंयुक्त उछाल-खंडों पर निर्भर हैं, स्वतंत्र हैं, हर एक की प्रायिकता $2^{-k}$ है, और $\sum_j 2^{-k} = \infty$ : अतः बोरेल–कांतेली 2 से प्रायिकता $1$ के साथ अपरिमित रूप से कई खंड पूरे चित्त हैं — अर्थात् हर नियत प्रतिरूप लगभग निश्चित रूप से अपरिमित बार लौटता है। विलोमतः, यदि हम कतार की लंबाई बढ़ने दें, तो $B_n = {}$ “ $n$ पर $2\log_2 n$ चित्तों की कतार शुरू होती है” के लिए $\P(B_n) = n^{-2}$ योग्य है, अतः लगभग निश्चित रूप से ऐसी लंबी कतारें केवल परिमित रूप से कई शुरू होती हैं: बोरेल–कांतेली ठीक-ठीक अंशांकित कर देती है कि सबसे लंबी कतारें कितनी लंबी हैं।

उदाहरण 21.27 (अपरिमित बंदर, परिमाणित)

कोई बंदर $26$ अक्षरों की वर्णमाला से स्वतंत्र एकसमान अक्षर टाइप करता है। टंकित पाठ को चार-चार अक्षरों के असंयुक्त खंडों में काटिए; घटनाएँ $A_j = {}$ “खंड $j$ में MATH बनता है” स्वतंत्र हैं, जहाँ $\P(A_j) = 26^{-4}$ , और $\sum_j\P(A_j) = \infty$ : अतः बोरेल–कांतेली 2 से बंदर लगभग निश्चित रूप से MATH अपरिमित बार टाइप करता है — और खंड समायोजित करके यही किसी भी लंबाई के किसी भी नियत पाठ के लिए टिकता है। परिमाणात्मक पादटिप्पणी चमत्कार की हवा निकाल देती है: $26^4 = 456\,976$ , अतः पहला MATH औसतन लगभग पाँच लाख कुंजी-आघातों में आता है, और $10^5$ वर्णों वाला कोई शेक्सपियर नाटक कोटि $26^{10^5}$ खंडों की प्रतीक्षा करता है — “लगभग निश्चित” क्षितिज $\infty$ के विषय में कथन है, किसी ऐसे क्षितिज के विषय में नहीं जिससे कोई बंदर मिलेगा। बोरेल–कांतेली सीमा प्रमाणित करती है; पदों का आकार मानवीय पैमानों पर कहानी सुनाता है।

टिप्पणी 21.28

उदाहरण 21.26 में अंतर्निहित प्रतिदर्श समष्टि (उछालों के अपरिमित अनुक्रम) अगणनीय है, अतः कड़े अर्थ में वह उदाहरण वर्ष 3 के माप-सैद्धांतिक ढाँचे में रहता है; पर परिकलन केवल इसी अध्याय में सिद्ध नियम बरतते हैं, जो परिमित रूप से कई उछालों से निर्धारित घटनाओं तथा उनके गणनीय संयोजनों पर लगाए गए हैं। इस स्तर पर मानक परंपरा यही है: सिद्धांत गणनीय समष्टियों पर कहा जाता है, और अपरिमित-खेल वाले उदाहरण उसी औज़ार-पेटी से साधे जाते हैं।

टिप्पणी 21.29 (इस खंड के भीतर के परिप्रेक्ष्य)

इस अध्याय की मशीनरी अगले दोनों अध्याय थोक में खा जाते हैं। सूचक घटनाओं को यादृच्छिक चर में बदल देते हैं, और $\sigma$ -योज्यता वही योग्यता बन जाती है जो प्रत्याशा को परिभाषित करती है (अध्याय 22); और बोरेल–कांतेली के साथ कोई योग्य पुच्छ-परिबंध ठीक वही है जिससे वहाँ सिक्कों के लिए बृहत् संख्याओं का प्रबल नियम सिद्ध होता है। अध्याय 23 में एकदिष्ट संततता निर्णायक क्षण पर फिर प्रकट होती है: किसी शाखन प्रक्रम की विलोपन प्रायिकता एकदिष्ट सीमा $\lim\P(Z_n = 0)$ के रूप में परिभाषित ही होती है, और वह जो अचल-बिंदु समीकरण पूरा करती है वह उसी वर्धमान अनुक्रम में सीमा लेकर मिलता है — पुस्तक की अंतिम प्रमेय इसी अध्याय की पहली प्रमेय पर खड़ी है।

टिप्पणी 21.30 (विधि: प्रायिकता एक तक पहुँचने के तीन रास्ते)

लगभग-निश्चित कथन तीन लीवरों से सिद्ध होते हैं, जो बढ़ती हुई शक्ति के क्रम में हैं। एकदिष्ट संततता: घटना को परिकलनीय प्रायिकताओं वाली परिमित-क्षितिज घटनाओं के किसी वर्धमान संघ (या ह्रासमान प्रतिच्छेद) के रूप में दिखाइए (उदाहरण 21.9)। शून्य संघ: शून्य-प्रायिकता वाली घटनाओं का गणनीय संघ शून्य है (गणनीय उप-योज्यता), अतः हर बुरी घटना को अलग-अलग मार देना पर्याप्त है — और इसी तरह “हर $j$ के लिए, अंततः $\abs{\widehat p_n - p} < 1/j$ ” अभिसरण में जुड़ जाता है। बोरेल–कांतेली: जब घटना कोई ऊपरी सीमांत हो, तब प्रायिकताएँ जोड़िए; अभिसरण उसे मार देता है (कोई स्वतंत्रता नहीं चाहिए), और अपसारिता के साथ स्वतंत्रता उसे प्रमाणित कर देती है। सही लीवर चुनना प्रायः पूरी उपपत्ति होती है; सप्ताहांत समस्या तीनों को एक ही तर्क में चलाती है।

टिप्पणी 21.31 (यह कहाँ काम आता है)

एकदिष्ट संततता तथा बोरेल–कांतेली हर “लगभग निश्चित” कथन के दो लीवर हैं: वे इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या में यादृच्छिक चहलक़दमी की पुनरावृत्ति, बृहत् संख्याओं के नियम का लगभग-निश्चित पक्ष (अध्याय 22), तथा शाखन प्रक्रमों का विलोपन विश्लेषण (अध्याय 23) चलाते हैं। वर्ष 3 का खंड सिद्धांत को $\sigma$ -बीजगणितों तथा लेबेग समाकलन पर फिर से खड़ा करता है, जहाँ यहाँ अनौपचारिक रूप से बरती गई अगणनीय प्रतिदर्श समष्टियाँ पूरी तरह कठोर बन जाती हैं।

21.4 अभ्यास

अभ्यास 21.1 ★

किसी कलश में $n$ अंकित गेंदें हैं। गेंदें बिना प्रतिस्थापन एक-एक करके खींची जाती हैं। यह प्रायिकता परिकलित कीजिए कि गेंद संख्या $1$ गेंद संख्या $2$ से पहले खींची जाती है। व्यापक कीजिए: यह प्रायिकता कि गेंद $1$ गेंदों $1, \dots, k$ में सबसे पहले खींची जाती है।

हल

हल — अभ्यास 21.1.

सममिति से: खींचने का क्रम गेंदों $1$ तथा $2$ पर कोई एकसमान यादृच्छिक सापेक्ष क्रम प्रेरित करता है, अतः $\P(1 \text{ पहले आती है, फिर } 2) = \frac12$ । औपचारिक रूप से: किसी खींच-अनुक्रम में गेंदों $1$ तथा $2$ की स्थितियाँ बदल देना (समसंभावी) परिणामों का कोई एकैकी आच्छादन है जो घटना को उसके पूरक से अदल-बदल देता है। गेंदों $1, \dots, k$ में: इन $k$ गेंदों का सापेक्ष क्रम $k!$ क्रमों में एकसमान है, और गेंद $1$ उनमें से $(k-1)!$ में पहली है: प्रायिकता $\frac{(k-1)!}{k!} = \frac1k$ ।

अभ्यास 21.2 ★

दिखाइए कि $\Omega = \N^*$ पर भार $p_k = \frac{1}{k(k+1)}$ कोई प्रायिकता माप परिभाषित करते हैं, और $\P(2\N^*)$ (सम परिणाम) किसी श्रेणी के रूप में परिकलित कीजिए; दिखाइए कि वह $1 - \ln 2$ के बराबर है। ( $\frac{1}{2j(2j+1)} = \frac{1}{2j} - \frac{1}{2j+1}$ को दूरबीन की तरह सिकोड़िए और एकांतर हरात्मक श्रेणी अध्याय 7 का उपयोग कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 21.2.

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac1k - \frac1{k+1}$ , अतः $\sum_{k\geq1} p_k$ दूरबीन की तरह सिकुड़कर $1$ हो जाता है: यानी कोई प्रायिकता माप। सम परिणाम:

\P(2\N^*) = \sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{2j(2j+1)} = \sum_{j=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{2j} - \frac{1}{2j+1}\Bigr) = \frac12 - \frac13 + \frac14 - \frac15 + \cdots

यह एकांतर हरात्मक श्रेणी ही है, जिसका पहला पद हटा दिया गया है और चिह्न पलट दिए गए हैं: चूँकि $\ln 2 = 1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \cdots$ (अध्याय 7),

\P(2\N^*) = -\bigl(\ln 2 - 1\bigr) = 1 - \ln 2 \approx 0.307 .

अभ्यास 21.3 ★

(मिथ्या धनात्मक) कोई रोग $10\,000$ में से एक व्यक्ति को होता है। कोई जाँच उसे रोगियों पर प्रायिकता $0.99$ के साथ पकड़ लेती है, और स्वस्थों पर प्रायिकता $0.01$ के साथ मिथ्या धनात्मक देती है। धनात्मक जाँच दिए जाने पर रोगी होने की प्रायिकता परिकलित कीजिए, और टिप्पणी कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 21.3.

मान लीजिए $S$ = रोगी, $+$ = धनात्मक जाँच। विभाजन $\{S, S^c\}$ के साथ बेज़ (प्रमेय 21.14):

\P(S \mid +) = \frac{0.99 \times 10^{-4}} {0.99 \times 10^{-4} + 0.01 \times 0.9999} = \frac{0.000099}{0.000099 + 0.009999} \approx 0.0098 ,

जो $1\%$ से नीचे है। यद्यपि जाँच “99% सटीक” है, धनात्मक परिणाम आपको लगभग $99\%$ संभावना के साथ स्वस्थ ही छोड़ देता है: विशाल स्वस्थ बहुमत में से मिथ्या धनात्मक अत्यल्प रोगी अल्पमत के सच्चे धनात्मकों को डुबो देते हैं। विरल स्थितियों के लिए छँटाई-जाँचें सदा इसी आधार-दर परिकलन के द्वारा पढ़ी जानी चाहिए।

अभ्यास 21.4 ★★

मान लीजिए $A_1, \dots, A_n$ घटनाएँ हैं। सर्वसमिका $1 - \prod_{i=1}^n(1 - \mathbf{1}_{A_i}) = \mathbf{1}_{\bigcup A_i}$ का $\Omega$ पर समाकलन करके (अर्थात् $\P(\{\omega\})$ से भारित योग लेकर) समावेश–अपवर्जन सूत्र

\P\Bigl(\bigcup_{i=1}^n A_i\Bigr) = \sum_{\emptyset \neq J \subseteq \{1,\dots,n\}} (-1)^{\abs J + 1}\,\P\Bigl(\bigcap_{i \in J}A_i\Bigr)

सिद्ध कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 21.4.

$\Omega$ पर बिंदुवार: $\omega \in \bigcup A_i$ तभी जब कोई गुणनखंड $1 - \mathbf{1}_{A_i}(\omega)$ लुप्त हो, अतः

\mathbf{1}_{\bigcup A_i} = 1 - \prod_{i=1}^n\bigl(1 - \mathbf{1}_{A_i}\bigr) = \sum_{\emptyset \neq J \subseteq \{1,\dots,n\}} (-1)^{\abs J + 1}\prod_{i \in J}\mathbf{1}_{A_i} ,

जो गुणनफल खोलकर और $1$ को पार ले जाकर मिलता है। अब $\prod_{i\in J}\mathbf{1}_{A_i} = \mathbf{1}_{\bigcap_{i \in J} A_i}$ , और भारों $\P(\{\omega\})$ के सामने योग लेने पर — जो वैध है: परिमित रूप से कई परिबद्ध पद, और हर कुल योग्य — हर सूचक अपनी घटना की प्रायिकता में बदल जाता है, जिससे सूत्र मिल जाता है।

अभ्यास 21.5 ★★

(मिलान समस्या, समावेश–अपवर्जन से) $n$ चिट्ठियाँ $n$ लिफ़ाफ़ों में एकसमान यादृच्छिक रूप से एक-एक करके डाली जाती हैं। अभ्यास 21.4 का उपयोग करते हुए दिखाइए कि कोई भी मिलान सही न होने की प्रायिकता $\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!} \to e^{-1}$ है, और ठीक एक मिलान की प्रायिकता निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 21.5.

मान लीजिए $A_i$ = “चिट्ठी $i$ सही लिफ़ाफ़े में है”। आकार $k$ के $J$ के लिए $\P\bigl(\bigcap_{i\in J}A_i\bigr) = \frac{(n-k)!}{n!}$ (जहाँ $k$ चिट्ठियाँ नियत कीजिए और बाक़ी का क्रमचय)। समावेश–अपवर्जन से,

\P\Bigl(\bigcup A_i\Bigr) = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}\binom nk \frac{(n-k)!}{n!} = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k!} ,

अतः

\P(\text{कोई मिलान नहीं}) = 1 - \P\Bigl(\bigcup A_i\Bigr) = \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!} \xrightarrow[n\to\infty]{} e^{-1} \approx 0.368 .

ठीक एक मिलान: ठीक एक अचल बिंदु वाला कोई क्रमचय नियत चिट्ठी के चुनाव ( $n$ तरीक़े) तथा शेष $n - 1$ के किसी विन्यास-भंग (कोई-मिलान-नहीं व्यवस्था) से निर्धारित होता है; विन्यास-भंगों की संख्या के लिए $D_{n-1} = (n-1)!\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^k}{k!}$ लिखने पर (जो पहला भाग है, $(n-1)!$ से मापित),

\P(\text{ठीक एक मिलान}) = \frac{n\,D_{n-1}}{n!} = \frac{D_{n-1}}{(n-1)!} = \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^k}{k!} \xrightarrow[n\to\infty]{} e^{-1} :

अर्थात् सीमा में “कोई मिलान नहीं” और “ठीक एक मिलान” समान रूप से संभावित हैं, और दोनों की प्रायिकता $e^{-1}$ है।

अभ्यास 21.6 ★★

कोई पक्षपाती सिक्का (चित्त की प्रायिकता $p \in \intoo{0}{1}$ ) तब तक उछाला जाता है जब तक लगातार दो चित्त न आ जाएँ। मान लीजिए $q_n$ वह प्रायिकता है कि खेल $n$ से अधिक उछालों तक चलता है। पहले उछाल (उछालों) पर प्रतिबंधित करके दिखाइए कि $n \geq 2$ के लिए $q_n = (1-p)\,q_{n-1} + p(1-p)\,q_{n-2}$ , और निकालिए कि खेल प्रायिकता $1$ के साथ समाप्त होता है। (किसी गुणोत्तर अनुक्रम से तुलना करके $q_n \to 0$ दिखाइए: अभिलक्षणिक समीकरण के दोनों मूल निरपेक्ष मान में $\intoo{0}{1}$ में पड़ते हैं।)

हल

हल — अभ्यास 21.6.

आरंभ पर प्रतिबंधित कीजिए (शृंखला नियम / प्रमेय 21.14):

पहला उछाल पट (प्रायिकता $1 - p$ ): खेल नए सिरे से शुरू हो जाता है; $n$ से अधिक चलने का अर्थ है वहाँ से $n - 1$ से अधिक चलना: योगदान $(1-p)\,q_{n-1}$ ;
पहले उछाल चिपट (प्रायिकता $p(1-p)$ ): दो उछालों के बाद फिर से आरंभ: योगदान $p(1-p)\,q_{n-2}$ ;
पहले उछाल चिचि: खेल समाप्त हो चुका है ( $n$ उछालों के भीतर, $n \geq 2$ ): योगदान $0$ ।

इसलिए $q_n = (1-p)q_{n-1} + p(1-p)q_{n-2}$ । अभिलक्षणिक समीकरण $r^2 = (1-p)r + p(1-p)$ के मूल

r_\pm = \frac{(1-p) \pm \sqrt{(1-p)^2 + 4p(1-p)}}{2},

हैं, जहाँ $\abs{r_\pm} < 1$ : वस्तुतः बहुपद $\chi(r) = r^2 - (1-p)r - p(1-p)$ $\chi(1) = 1 - (1-p) - p(1-p) = p^2 > 0$ तथा $\chi(-1) = 1 + (1-p) - p(1-p) > 0$ पूरा करता है, जबकि $\chi(0) = -p(1-p) < 0$ : अर्थात् एक मूल $\intoo{-1}{0}$ में, एक $\intoo{0}{1}$ में। अतः $q_n = \alpha r_+^n + \beta r_-^n \to 0$ । घटनाएँ “खेल $n$ से अधिक चलता है” घटकर “खेल कभी समाप्त नहीं होता” तक जाती हैं; एकदिष्ट संततता (प्रमेय 21.6) देती है $\P(\text{कभी समाप्त नहीं होता}) = \lim q_n = 0$ : अर्थात् खेल लगभग निश्चित रूप से समाप्त होता है।

अभ्यास 21.7 ★★★

(कीर्तिमान) निम्नलिखित साहचर्यिक अर्थ में स्वतंत्र एकसमान क्रमणों का कोई अपरिमित अनुक्रम खींचिए: हर $n$ के लिए पहली $n$ खींचों का सापेक्ष क्रम $n!$ संभावनाओं में एकसमान है, और $R_n = {}$ “ $n$ -वीं खींच कोई कीर्तिमान है (पिछली सबसे बड़ी)”। यह मानते हुए कि घटनाएँ $R_n$ स्वतंत्र हैं और $\P(R_n) = 1/n$ (कम से कम यह अंतिम समता सममिति से सिद्ध कीजिए), बोरेल–कांतेली का उपयोग करके दिखाइए कि लगभग निश्चित रूप से अपरिमित रूप से कई कीर्तिमान बनते हैं, पर लगातार समयों $n, n+1$ पर कीर्तिमान किस प्रायिकता के साथ अपरिमित बार बनते हैं — $\sum_n \P(R_n \cap R_{n+1})$ परिकलित कीजिए और बताइए कि बोरेल–कांतेली 1 क्या देती है।

हल

हल — अभ्यास 21.7.

$\P(R_n) = 1/n$ : पहली $n$ खींचों में अंतिम खींच की $n$ सापेक्ष स्थितियों में से हर एक समान रूप से संभावित है (सापेक्ष क्रम की एकसमानता), और $R_n$ वह घटना है कि वह सबसे बड़ी है: प्रायिकता $1/n$ ।

अपरिमित रूप से कई कीर्तिमान: $\sum_n \P(R_n) = \sum 1/n = \infty$ और $R_n$ स्वतंत्र हैं (मान लिया गया), अतः बोरेल–कांतेली 2 (प्रमेय 21.25) देती है $\P(\limsup R_n) = 1$ : कीर्तिमान लगभग निश्चित रूप से कभी बंद नहीं होते — पर वे लघुगणकीय रूप से विरल होते जाते हैं।

लगातार कीर्तिमान: स्वतंत्रता से,

\sum_n \P(R_n \cap R_{n+1}) = \sum_n \frac{1}{n(n+1)} < \infty ,

अतः बोरेल–कांतेली 1 लागू होती है: लगभग निश्चित रूप से केवल परिमित रूप से कई बार किसी कीर्तिमान के तुरंत बाद दूसरा कीर्तिमान आता है। प्रमेयिका के दोनों आधे भाग साथ-साथ काम करते हैं: अपरिमित रूप से कई कीर्तिमान, पर (लगभग निश्चित रूप से) अंततः कभी लगातार दो नहीं।

अभ्यास 21.8 ★★★

(कोखेन–स्टोन जैसा, सरल रूप) मान लीजिए $(A_n)$ $\P(A_n) = \frac{1}{n+1}$ वाली स्वतंत्र घटनाएँ हैं। दिखाइए कि $\P(\limsup A_n) = 1$ , यद्यपि $\P(A_n) \to 0$ : “अलग-अलग विरल, सामूहिक रूप से निश्चित”। विलोमतः, $\sum\P(A_n) = \infty$ तथा $\P(\limsup A_n) = 0$ वाली (परतंत्र) घटनाओं का कोई अनुक्रम दिखाइए, जिससे सिद्ध हो कि बोरेल–कांतेली 2 में स्वतंत्रता हटाई नहीं जा सकती।

हल

हल — अभ्यास 21.8.

पहला भाग: स्वतंत्रता के साथ $\sum \P(A_n) = \sum\frac{1}{n+1} = \infty$ : बोरेल–कांतेली 2 $\P(\limsup A_n) = 1$ देती है। हर अलग-अलग $A_n$ उत्तरोत्तर असंभावित है, फिर भी लगभग हर $\omega$ उनमें से अपरिमित रूप से कई में है।

स्वतंत्रता के बिना प्रतिउदाहरण: अभ्यास 21.2 के भारों $p_k = \frac{1}{k(k+1)}$ के साथ $\Omega = \N^*$ लीजिए, और $A_n = \{k \in \N^* : k \geq n\}$ । तब

\P(A_n) = \sum_{k \geq n}\Bigl(\frac1k - \frac1{k+1}\Bigr) = \frac1n , \qquad \sum_n \P(A_n) = \infty ,

पर $A_n$ ह्रासमान हैं, अतः $\limsup_n A_n = \bigcap_n A_n = \emptyset$ : $\P(\limsup A_n) = 0$ । जब घटनाएँ समष्टि के किसी सिकुड़ते भाग पर ढेर हो जाएँ, तब अकेली $\sum\P(A_n)$ की अपसारिता कुछ भी आश्वस्त नहीं करती — स्वतंत्रता ही वह है जो इस साज़िश को रोकती है।

अभ्यास 21.9 ★

चित्त की प्रायिकता $p \in \intoo01$ वाला कोई सिक्का पहले चित्त तक उछाला जाता है। यह प्रायिकता परिकलित कीजिए कि ऐसा किसी विषम कोटि पर होता है, और उसका मूल्यांकन किसी निष्पक्ष सिक्के के लिए कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 21.9.

$q = 1 - p$ के साथ पहला चित्त कोटि $2j + 1$ पर प्रायिकता $q^{2j}p$ के साथ गिरता है, अतः

\P(\text{विषम कोटि}) = \sum_{j\geq0}q^{2j}p = \frac{p}{1 - q^2} = \frac{1}{1 + q} .

निष्पक्ष सिक्के के लिए: $\frac1{1 + 1/2} = \frac23$ । (विश्वसनीयता जाँच: विषम कोटियाँ अधिक संभावित होनी चाहिए, क्योंकि कोटि $1$ पहले आती है — और वस्तुतः सदा $\frac1{1+q} > \frac12$ ।)

अभ्यास 21.10 ★★

मान लीजिए $(A_n)_{n\geq1}$ $\P(A_n) = p_n < 1$ वाली स्वतंत्र घटनाएँ हैं। दिखाइए कि

\P\Bigl(\bigcap_{n\geq1}A_n^c\Bigr) = \prod_{n\geq1}(1 - p_n) := \lim_{N\to\infty}\prod_{n=1}^N(1 - p_n),

और यह सीमा $> 0$ है तभी जब $\sum p_n < \infty$ । बोरेल–कांतेली से मेल बिठाइए: जब $\sum p_n = \infty$ , तब लगभग निश्चित रूप से कोई $A_n$ घटित होती ही नहीं — अपरिमित रूप से कई घटित होती हैं।

हल

हल — अभ्यास 21.10.

घटनाएँ $B_N = \bigcap_{n=1}^N A_n^c$ घटकर $\bigcap_nA_n^c$ तक जाती हैं, और पूरकों की स्वतंत्रता से $\P(B_N) = \prod_{n=1}^N(1 - p_n)$ ; एकदिष्ट संततता (प्रमेय 21.6) प्रदर्शित सीमा दे देती है। लघुगणक लेने पर, $\prod(1 - p_n) > 0$ तभी जब $\sum-\ln(1 - p_n) < \infty$ । यदि $\sum p_n < \infty$ हो, तो $p_n \to 0$ और $-\ln(1 - p_n) \sim p_n$ : लघु-श्रेणी अभिसरित होती है। और यदि $\sum p_n = \infty$ हो, तो $-\ln(1 - p_n) \geq p_n$ अपसारिता को बाध्य कर देता है, अतः गुणनफल $0$ है। यह बोरेल–कांतेली 2 से मेल खाता है: $\sum p_n = \infty$ के लिए न केवल $\P(\text{कोई }A_n\text{ घटित नहीं होती}) = 0$ , बल्कि लगभग निश्चित रूप से अपरिमित रूप से कई $A_n$ घटित होती हैं।

अभ्यास 21.11 ★★

(बानाख की दियासलाई) कोई धूम्रपान करने वाला हर जेब में $n$ तीलियों की एक डिब्बी रखता है और हर बार एकसमान यादृच्छिक जेब में हाथ डालता है। जब वह पहली बार कोई डिब्बी ख़ाली पाता है, तब यह प्रायिकता क्या है कि दूसरी डिब्बी में ठीक $k$ तीलियाँ हैं? दिखाइए कि उत्तर $\binom{2n-k}{n}2^{-(2n-k)}$ है और जाँचिए कि ये प्रायिकताएँ $n = 1$ के लिए $1$ तक जुड़ती हैं।

हल

हल — अभ्यास 21.11.

मान लीजिए पहली ख़ाली मिलने वाली डिब्बी $A$ है, और दूसरी डिब्बी में $k$ हैं। इसका अर्थ है: पहली $2n - k$ पहुँचों में ठीक $n$ $A$ तक गईं और $n - k$ $B$ तक (किसी क्रम में), और पहुँच संख्या $2n - k + 1$ फिर $A$ तक गई, जहाँ वह ख़ाली मिली। पहुँचें स्वतंत्र निष्पक्ष चुनाव हैं, अतः इस घटना की प्रायिकता $\binom{2n-k}{n}2^{-(2n-k)}\cdot\frac12$ है; दुगुना करने पर (ख़ाली डिब्बी कोई भी हो सकती है)

\P(\text{दूसरी डिब्बी में }k) = \binom{2n-k}{n}\,2^{-(2n-k)} .

$n = 1$ के लिए: $k = 1$ $\binom11 2^{-1} = \frac12$ देता है और $k = 0$ $\binom21 2^{-2} = \frac12$ देता है: कुल $1$ , जैसा होना ही चाहिए।

अभ्यास 21.12 ★★★

( $\sigma$ -योज्यता सचमुच एक अभिगृहीत है) (क) दिखाइए कि $(\N, \mathcal P(\N))$ पर ऐसा कोई प्रायिकता माप नहीं है जो सारे एकल समुच्चयों को एक ही भार दे। (ख) $A \subseteq \N^*$ के लिए, जब सीमा विद्यमान हो तब $d(A) = \lim_n\frac{\abs{A\cap\intint1n}}{n}$ रखिए (प्राकृतिक घनत्व)। दिखाइए कि $d$ उन युग्मों पर परिमित रूप से योज्य है जहाँ तीनों घनत्व विद्यमान हैं, हर एकल समुच्चय को घनत्व $0$ देता है और $\N^*$ को घनत्व $1$ — और निष्कर्ष निकालिए कि $d$ $\sigma$ -योज्य नहीं है। (ग) ऐसा कोई समुच्चय दिखाइए जिसका घनत्व नहीं है। (खंडों $\intint{2^{2k}}{2^{2k+1}-1}$ को बारी-बारी से भीतर और बाहर रखिए।)

हल

हल — अभ्यास 21.12.

(क) यदि सब $n$ के लिए $\P(\{n\}) = c$ हो, तो $\sigma$ -योज्यता $1 = \sum_nc$ को बाध्य कर देती है: जो असंभव है, चाहे $c = 0$ हो (योग $0$ ) या $c > 0$ (योग अपरिमित)। $\N$ पर कोई एकसमान प्रायिकता नहीं है।

(ख) यदि $A \cap B = \emptyset$ तथा $d(A)$ , $d(B)$ विद्यमान हों, तो $\abs{(A \sqcup B)\cap\intint1n} = \abs{A\cap\intint1n} + \abs{B\cap\intint1n}$ , अतः $d(A \sqcup B) = d(A) + d(B)$ : अर्थात् ऐसे युग्मों पर परिमित योज्यता। हर एकल समुच्चय का गणना-फलन अंततः अचर है, अतः घनत्व $0$ , जबकि $d(\N^*) = 1$ । यदि $d$ $\sigma$ -योज्य होता, तो $\N^* = \bigsqcup_k\{k\}$ $1 = \sum_k 0 = 0$ देता: घनत्व परिमित रूप से योज्य है पर $\sigma$ -योज्य नहीं — अभिगृहीत में सार है।

(ग) $A = \bigcup_{k\geq0}\intint{4^k}{2\cdot4^k - 1}$ लीजिए ( $4^k$ से $2\cdot4^k - 1$ तक के खंड)। $n = 2\cdot4^K - 1$ पर गणना $\sum_{k\leq K}4^k \sim \frac43 4^K$ है, जो अनुपात $\to \frac23$ देती है; $n = 4^{K+1} - 1$ पर गणना अपरिवर्तित रहती है, जो अनुपात $\to \frac13$ देती है। अनुपात सीमाओं $\frac13$ तथा $\frac23$ के बीच दोलन करता है: कोई घनत्व नहीं।

21.5 समस्या: $\Z$ पर सरल यादृच्छिक चहलक़दमी पुनरावर्ती है

किसी सरल यादृच्छिक चहलक़दमी के चौबीस पग; लाल बिंदु मूल बिंदु पर वापसियाँ अंकित करते हैं। समस्या दिखाती है कि प्रायिकता 1 के साथ ये बिंदु कभी दिखना बंद नहीं करते — फिर भी उनके बीच प्रतीक्षा-समय का माध्य अपसारी है। — किसी सरल यादृच्छिक चहलक़दमी के चौबीस पग; लाल बिंदु मूल बिंदु पर वापसियाँ अंकित करते हैं। समस्या दिखाती है कि प्रायिकता $1$ के साथ ये बिंदु कभी दिखना बंद नहीं करते — फिर भी उनके बीच प्रतीक्षा-समय का माध्य अपसारी है।

समस्या 21.1

सप्ताहांत समस्या — $\Z$ पर पोया की पुनरावृत्ति प्रमेय, रास्ते में मतपत्र समस्या तथा चापज्या का स्वाद

कोई निष्पक्ष सिक्का सदा उछालते रहिए; मान लीजिए $X_i = \pm1$ $i$ -वाँ पग है और $S_n = X_1 + \dots + X_n$ $\Z$ पर सरल यादृच्छिक चहलक़दमी है, $S_0 = 0$ । उदाहरण 21.26 की तरह, नीचे की सारी घटनाएँ परिमित रूप से कई उछालों से निर्धारित हैं या ऐसी घटनाओं के गणनीय संयोजन हैं, और असंयुक्त उछाल-खंडों पर निर्भर घटनाओं की स्वतंत्रता प्रतिरूप का ही भाग है। हम $u_n = \P(S_{2n} = 0)$ लिखते हैं, और $0$ से $k$ तक लंबाई $n$ के $\pm1$ -पथों की संख्या के लिए $N_n(k)$ ।

भाग I — पथ गिनना।

दिखाइए कि जब $n + k$ सम हो और $\abs k \leq n$ , तब $N_n(k) = \binom{n}{(n+k)/2}$ , और अन्यथा $0$ ; निकालिए $\P(S_n = k) = N_n(k)\,2^{-n}$ । लंबाई $n$ का हर अलग-अलग पथ समान रूप से संभावित क्यों है?
दिखाइए $S_{2n+1} \neq 0$ , $u_n = \binom{2n}{n}4^{-n}$ , और $u_1, u_2, u_3$ परिकलित कीजिए।
$u_n = \frac{2n-1}{2n}\,u_{n-1}$ सिद्ध कीजिए; निकालिए कि $(u_n)$ घटकर $0$ तक जाता है, और उदाहरण 6.14 से कि

$u_n \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}, \qquad\text{अतः}\qquad \sum_n u_n = \infty .$
(परावर्तन सिद्धांत) $k \geq 1$ के लिए दिखाइए कि $1$ से $k$ तक लंबाई $n$ के जो पथ $0$ को छूते हैं वे $-1$ से $k$ तक के पथों के साथ एकैकी संगति में हैं; निकालिए कि $0$ से $k$ तक के उन पथों की संख्या जो समय $0$ के बाद $> 0$ बने रहते हैं $N_{n-1}(k-1) - N_{n-1}(k+1)$ है।
(मतपत्र प्रमेय) निकालिए कि

$\P\bigl(S_1 > 0, \dots, S_{n-1} > 0 \bigm| S_n = k\bigr) = \frac kn \qquad (k \geq 1) :$

अर्थात् जिस गणना में विजेता $n$ मतपत्रों में से $k$ से आगे रहता है, उसमें विजेता के पूरी गणना भर आगे रहने की प्रायिकता $k/n$ है। $n = 3$ , $k = 1$ के लिए हाथ से सत्यापित कीजिए।

भाग II — मूल बिंदु पर वापसी।

मुख्य सर्वसमिका

$\P(S_1 \neq 0,\ S_2 \neq 0,\ \dots,\ S_{2n} \neq 0) = u_n$

सिद्ध कीजिए (पहले पग पर प्रतिबंधित कीजिए, प्रश्न 4 की गणनाओं को अंत्यबिंदु पर जोड़िए, और दूरबीन की तरह सिकोड़िए; $2\binom{2n-1}{n} = \binom{2n}{n}$ से समाप्त कीजिए)।
एकदिष्ट संततता (प्रमेय 21.6) से निकालिए कि चहलक़दमी प्रायिकता $1$ के साथ $0$ पर कम से कम एक बार लौटती है, और यह कि $f_n := \P(\text{पहली वापसी समय }2n)$ पूरा करता है

$f_n = u_{n-1} - u_n = \frac{u_n}{2n-1}, \qquad \sum_{n\geq1}f_n = 1 .$
दिखाइए कि $\sum_n 2n\,f_n = \infty$ : वापसी निश्चित है, पर जो श्रेणी माध्य प्रतीक्षा-समय परिकलित करती वह अपसरित हो जाती है (अध्याय 22 की शब्दावली में, वापसी-समय की प्रत्याशा अपरिमित है)।
सिद्ध कीजिए कि हर $k \geq 1$ के लिए $\P(\text{कम से कम } k\text{ वापसियाँ }0) = 1$ (पहली $k$ वापसियों के समयों पर अपघटित कीजिए: संगत उछाल-खंड असंयुक्त हैं, अतः प्रायिकताएँ गुणित होकर $(\sum_nf_n)^k$ तक जुड़ जाती हैं); एकदिष्ट संततता से निष्कर्ष निकालिए:

$\P(S_n = 0 \text{ अपरिमित रूप से कई } n) = 1 :$

अर्थात् $\Z$ पर सरल यादृच्छिक चहलक़दमी पुनरावर्ती है।
दिखाइए कि चहलक़दमी लगभग निश्चित रूप से हर स्थल $k \in \Z$ पर जाती है, अतः (पुनरावृत्ति से, पहली भेंट पर फिर आरंभ करके) अपरिमित बार। ( $0$ से क्रमागत भ्रमणों के चिह्न स्वतंत्र निष्पक्ष सिक्के हैं; कोई धनात्मक भ्रमण $1$ पर जाता है।)

भाग III — बोरेल–कांतेली और पक्षपाती चहलक़दमी।

घटनाएँ $A_n = \{S_{2n} = 0\}$ $\sum\P(A_n) = \infty$ पूरा करती हैं; समझाइए कि उन पर बोरेल–कांतेली 2 क्यों लागू नहीं होती, और यदि श्रेणी अभिसरित होती तो बोरेल–कांतेली 1 क्या देती। (पूरे भाग की रणनीति यही है।)
अब सिक्के का पक्षपात $p \neq \frac12$ , $q = 1 - p$ लीजिए। $4pq < 1$ के साथ $\P(S_{2n} = 0) = \binom{2n}n(pq)^n = u_n\,(4pq)^n$ दिखाइए, $\sum_n\P(S_{2n} = 0) < \infty$ निकालिए, और बोरेल–कांतेली 1 से निष्कर्ष निकालिए कि पक्षपाती चहलक़दमी लगभग निश्चित रूप से $0$ पर केवल परिमित रूप से कई बार लौटती है।
अब भी $p \neq \frac12$ के लिए: हर नियत $k$ के लिए $\P(S_n = k) \leq \binom{n}{\floor{n/2}}\,(pq)^{n/2}\,(p/q)^{k/2}$ दिखाइए, निकालिए कि लगभग निश्चित रूप से हर स्थल पर परिमित बार जाया जाता है, और निष्कर्ष निकालिए कि लगभग निश्चित रूप से $\abs{S_n} \to \infty$ : अर्थात् पक्षपाती चहलक़दमी क्षणिक है।
निष्पक्ष सिक्के पर लौटिए: प्रश्न 6 का उपयोग करते हुए यह प्रायिकता परिकलित कीजिए कि $200$ उछालों में कोई बराबरी न हो ( $1 \leq n \leq 200$ के लिए $S_n \neq 0$ ), संख्यात्मक रूप से $u_{100} \approx 0.056$ । धीमे $1/\sqrt{\pi n}$ क्षय पर टिप्पणी कीजिए: लंबे में बराबरियाँ निश्चित हैं, पर अंतर्ज्ञान के सुझाव से अधिक विरल।
(प्रथम अभिगमन) मान लीजिए $T_1$ वह पहला समय है जब चहलक़दमी $1$ पर पहुँचती है। अधिकतम $M_n = \max_{i\leq n}S_i$ के लिए परावर्तन सिद्धांत का उपयोग करते हुए (जो प्रश्न 16 में सिद्ध है और इस पर निर्भर नहीं करता), अथवा सीधे प्रश्न 7 से पहले पग पर प्रतिबंधित करके, $\P(T_1 = 2n - 1) = f_n$ दिखाइए; निकालिए $\P(T_1 < \infty) = 1$ , जबकि माध्य-समय श्रेणी $\sum(2n-1)f_n$ अपसरित हो जाती है।

भाग IV — अधिकतम, अंतिम शून्य, लंबी बढ़तें।

(अधिकतम के लिए परावर्तन) $k \geq 1$ के लिए पथ को स्तर $k$ की उसकी पहली भेंट के बाद परावर्तित करके

$\P(M_n \geq k) = 2\,\P(S_n > k) + \P(S_n = k)$

सिद्ध कीजिए।
$\P(M_{2n} \geq 1) = 1 - u_n$ निकालिए, अर्थात् $\P(S_i \leq 0 \text{ सभी } i \leq 2n) = u_n$ : कभी आगे न होने की प्रायिकता कभी शून्य पर न होने की प्रायिकता (प्रश्न 6) के बराबर है — दो भिन्न घटनाएँ, एक ही प्रायिकता।
(अंतिम शून्य) मान लीजिए $L_{2n} = \max\{k \leq 2n : S_k = 0\}$ (सम)। प्रश्न 6 को असंयुक्त उछाल-खंडों की स्वतंत्रता के साथ जोड़कर दिखाइए

$\P(L_{2n} = 2k) = u_k\,u_{n-k} \qquad (0 \leq k \leq n),$

और बिना किसी और परिकलन के द्विपद सर्वसमिका $\sum_{k=0}^n u_ku_{n-k} = 1$ निकालिए।
दिखाइए कि $L_{2n}$ का नियम सममित है ( $\P(L = 2k) = \P(L = 2n - 2k)$ ) और $u_j \sim 1/\sqrt{\pi j}$ का उपयोग करते हुए कि उसके छोर ही उसके सर्वाधिक संभावित मान हैं। $n = 5$ के लिए सारणी बनाइए: $\P(L_{10} = 0) = u_5 \approx 0.246$ बनाम $\P(L_{10} = 4) = u_2u_3 \approx 0.117$ । व्याख्या कीजिए: किसी लंबे निष्पक्ष खेल में अंतिम बराबरी बहुत जल्दी या बहुत देर से होती है — लंबी बढ़तें नियम हैं, अपवाद नहीं।
प्रश्न 16 से 19 को निष्पक्ष चहलक़दमी के उतार-चढ़ाव-चित्र पर एक अनुच्छेद में जोड़िए: प्रश्न 3 द्वारा सुझाया गया विसरणीय मापक्रम, अपसारी माध्य प्रतीक्षा-समय के सामने वापसी की निश्चितता, और बढ़तों की चापज्या-स्वाद वाली दृढ़ता।

भाग V — नवीकरण सर्वसमिका और पोया की प्रमेय।

पहली वापसी के समय पर $\{S_{2n} = 0\}$ का विभाजन करके नवीकरण सर्वसमिका

$u_n = \sum_{k=1}^n f_k\,u_{n-k} \quad (n \geq 1), \qquad\text{अतः}\qquad U(x)\bigl(1 - F(x)\bigr) = 1 \quad (0 \leq x < 1),$

सिद्ध कीजिए, जहाँ $U(x) = \sum_{n\geq0}u_nx^n$ तथा $F(x) = \sum_{n\geq1}f_nx^n$ (त्रिज्याएँ तथा अध्याय 11 के साथ श्रेणियों का गुणनफल न्यायसंगत ठहराइए)।
पुनरावृत्ति द्विभाजन निकालिए: $x \to 1^-$ लेकर (अऋणात्मक गुणांकों वाली श्रेणियों की एकदिष्ट सीमाएँ),

$\sum_n u_n = \infty \iff \sum_n f_n = 1 ,$

और इसे प्रश्न 3, 7 (निष्पक्ष चहलक़दमी) तथा 12 (पक्षपाती चहलक़दमी) के सामने जाँचिए।
(विमा $2$ ) $\Z^2$ पर सरल चहलक़दमी पग $(\pm1, 0)$ , $(0, \pm1)$ , एकसमान रूप से लेती है। दिखाइए कि घुमाए गए निर्देशांक $U_n = X_n + Y_n$ तथा $V_n = X_n - Y_n$ $\Z$ पर स्वतंत्र निष्पक्ष चहलक़दमियाँ करते हैं, निकालिए

$\P\bigl(S^{(2)}_{2n} = (0,0)\bigr) = u_n^2 \sim \frac1{\pi n}, \qquad \sum_n u_n^2 = \infty ,$

और प्रश्न 21 से 22 के साथ (जिनकी उपपत्तियाँ अक्षरशः स्थानांतरित हो जाती हैं) निष्कर्ष निकालिए कि $\Z^2$ पर चहलक़दमी पुनरावर्ती है।
(विमा $3$ ) $\Z^3$ पर सरल चहलक़दमी के लिए स्थानीय आकलन $\P(S^{(3)}_{2n} = 0) \leq C\,n^{-3/2}$ मान लीजिए (जो वर्ष 3 के खंड में स्थानीय सीमा प्रमेय से सिद्ध होता है)। बोरेल–कांतेली 1 से निकालिए कि $\Z^3$ पर चहलक़दमी क्षणिक है, और पूरा परिणाम कहिए: पोया की प्रमेय — सरल यादृच्छिक चहलक़दमी विमा $1$ तथा $2$ में पुनरावर्ती है, और विमा $3$ तथा उससे ऊपर क्षणिक।
संश्लेषण। इनकी ठीक-ठीक भूमिका सूचीबद्ध कीजिए: पथ गिनना और परावर्तन; एकदिष्ट संततता; असंयुक्त उछाल-खंडों की स्वतंत्रता; बोरेल–कांतेली 1; नवीकरण सर्वसमिका। कौन सा अकेला वैश्लेषिक तथ्य ( $u_n \sim 1/\sqrt{\pi n}$ , अतः $\sum u_n = \infty$ पर परंतु $\sum u_n^2 = \infty$ तथा $\sum n^{-3/2} < \infty$ ) हर विमा में पुनरावृत्ति और क्षणिकता के बीच निर्णय कर देता है?

हल

हल — समस्या 21.1.

1. लंबाई $n$ का कोई पथ अपने ऊपर-पगों के समुच्चय से निर्धारित होता है; $k$ पर समाप्त होने का अर्थ है $u - (n - u) = k$ वाले $u$ ऊपर-पग तथा $n - u$ नीचे-पग, अर्थात् $u = \frac{n+k}2$ : यह तभी संभव है जब $n + k$ सम हो और $\abs k \leq n$ , और $\binom{n}{(n+k)/2}$ तरीक़ों से। हर विशिष्ट पथ $n$ उछालों पर निष्पक्ष गुणनफल माप का एक बिंदु है: प्रायिकता $2^{-n}$ । इसलिए $\P(S_n = k) = N_n(k)2^{-n}$ ।

2. $S_n$ की सम-विषमता $n$ जैसी है, अतः $S_{2n+1} \neq 0$ ; और $u_n = N_{2n}(0)4^{-n} = \binom{2n}n4^{-n}$ । मान: $u_1 = \frac12$ , $u_2 = \frac6{16} = \frac38$ , $u_3 = \frac{20}{64} = \frac5{16}$ ।

3. $\dfrac{u_n}{u_{n-1}} = \dfrac{\binom{2n}n}{4\binom{2n-2}{n-1}} = \dfrac{(2n)(2n-1)}{4n^2} = \dfrac{2n-1}{2n} < 1$ : ह्रासमान। उदाहरण 6.14 से $\binom{2n}n \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$ , अतः $u_n \sim \frac1{\sqrt{\pi n}} \to 0$ , और $\sum n^{-1/2}$ से तुलना करने पर $\sum u_n$ अपसरित हो जाता है।

4. $0$ को छूने वाला $1$ से $k$ तक का कोई पथ दिया हो, तो उसके आरंभिक खंड को ( $0$ की पहली भेंट तक) क्षैतिज अक्ष से परावर्तित कीजिए: परिणाम $-1$ से $k$ तक का कोई पथ है, और यह संक्रिया अंतर्वलन है — $-1$ से $k \geq 1$ तक के हर पथ को $0$ पार करना ही पड़ता है, और उसके आरंभिक खंड को वापस परावर्तित करने पर मूल पथ पुनः मिल जाता है। इसलिए छूने वाले पथों की संख्या $N_{n-1}(k + 1)$ है ( $-1$ से $k$ तक विस्थापन $k + 1$ है)। $0$ से $k$ तक का कोई पथ जो समय $0$ के बाद $> 0$ बना रहता है, किसी ऊपर-पग से शुरू होता है और फिर $0$ को छुए बिना $n - 1$ पगों में $1$ से $k$ तक जाता है: ऐसे $N_{n-1}(k-1) - N_{n-1}(k+1)$ पथ हैं।

5. $\binom{n-1}{m-1} = \frac mn\binom nm$ तथा $\binom{n-1}{m} = \frac{n-m}n\binom nm$ का उपयोग करते हुए $m = \frac{n+k}2$ के साथ:

\frac{N_{n-1}(k-1) - N_{n-1}(k+1)}{N_n(k)} = \frac{\binom{n-1}{m-1} - \binom{n-1}{m}}{\binom nm} = \frac{m - (n - m)}{n} = \frac kn .

$n = 3$ , $k = 1$ के लिए: $N_3(1) = 3$ पथ ( $++-$ , $+-+$ , $-++$ ), जिनमें से केवल $++-$ धनात्मक बना रहता है ( $+-+$ समय $2$ पर $0$ पर लौट आता है): तीन में से एक, और $\frac kn = \frac13$ ।

6. सममिति से प्रायिकता $2\P(S_i > 0\ \forall i \leq 2n)$ है। अंत्यबिंदु $2k$ पर योग लेकर और प्रश्न 4 का उपयोग करके ( $n$ की जगह $2n$ रखकर):

\P(S_i > 0\ \forall i) = 2^{-2n}\sum_{k\geq1} \bigl(N_{2n-1}(2k-1) - N_{2n-1}(2k+1)\bigr) = 2^{-2n}\,N_{2n-1}(1),

जो कोई दूरबीनी योग है। अब $N_{2n-1}(1) = \binom{2n-1}{n}$ तथा $2\binom{2n-1}n = \binom{2n}n$ (पास्काल), अतः प्रदर्शित प्रायिकता $2\cdot2^{-2n}\binom{2n-1}n = \binom{2n}n4^{-n} = u_n$ है।

7. घटनाएँ $D_n = \{S_i \neq 0,\ i \leq 2n\}$ घटती हैं, और उनका प्रतिच्छेद “कभी कोई वापसी नहीं” है; एकदिष्ट संततता तथा प्रश्न 6 से $\P(\text{कोई वापसी नहीं}) = \lim u_n = 0$ : अर्थात् चहलक़दमी लगभग निश्चित रूप से लौटती है। इसके अतिरिक्त $f_n = \P(D_{n-1}) - \P(D_n) = u_{n-1} - u_n$ , और प्रश्न 3 से

u_{n-1} - u_n = u_n\Bigl(\frac{2n}{2n-1} - 1\Bigr) = \frac{u_n}{2n-1}; \qquad \sum_{n\geq1}f_n = u_0 - \lim u_n = 1 .

8. $2n\,f_n = \frac{2n}{2n-1}u_n \geq u_n$ , और $\sum u_n = \infty$ (प्रश्न 3): अतः श्रेणी $\sum 2nf_n$ अपसरित हो जाती है। पहली वापसी निश्चित है पर उसका कोई परिमित माध्य प्रतीक्षा-समय नहीं — अर्थात् चहलक़दमी शून्य पुनरावर्ती है, उस शब्दावली में जो अध्याय 22 देगा।

9. घटना “कम से कम $k$ वापसियाँ” उन घटनाओं का $0 < n_1 < \dots < n_k$ पर असंयुक्त गणनीय संघ है कि “पहली $k$ वापसियाँ ठीक समयों $2n_1, \dots, 2n_k$ पर होती हैं”। ऐसी कोई घटना असंयुक्त उछाल-खंडों $\intint1{2n_1}$ , $\intint{2n_1+1}{2n_2}$ , …पर निर्भर $k$ घटनाओं का प्रतिच्छेद है, जहाँ हर खंड किसी नई चहलक़दमी से माँगता है कि वह ठीक निर्धारित पगों के बाद अपनी पहली वापसी करे; खंडों की स्वतंत्रता से उसकी प्रायिकता $f_{n_1}f_{n_2-n_1}\cdots f_{n_k-n_{k-1}}$ है। पुलिंदों से योग लेने पर (अध्याय 7, और सारे पद अऋणात्मक):

\P(\text{कम से कम }k\text{ वापसियाँ}) = \Bigl(\sum_{n\geq1}f_n\Bigr)^{\!k} = 1^k = 1 .

घटनाएँ $k$ में घटती हैं, अतः एकदिष्ट संततता से $\P(\text{अपरिमित रूप से कई वापसियाँ}) = 1$ : यानी पुनरावृत्ति।

10. प्रश्न 9 से चहलक़दमी $0$ से दूर अपरिमित रूप से कई भ्रमण करती है। हर भ्रमण का पहला पग कोई नया सिक्का है, जो उससे पहले की हर चीज़ से स्वतंत्र है: पहले $m$ भ्रमणों के नीचे की ओर शुरू होने की प्रायिकता $2^{-m}$ है। $1$ तक पहुँचने के लिए चहलक़दमी को केवल एक ऊपर की ओर शुरू होने वाला भ्रमण चाहिए ( $<0$ से उसे $1$ तक पहुँचने से पहले $0$ से गुज़रना ही पड़ता है, क्योंकि पग $\pm1$ हैं), अतः हर $m$ के लिए $\P(\text{कभी नहीं पहुँचती }1) \leq 2^{-m}$ : अर्थात् चहलक़दमी लगभग निश्चित रूप से $1$ पर पहुँचती है। (लगभग निश्चित रूप से परिमित) पहुँच-समय पर अपघटन करने पर वहाँ से फिर आरंभ की गई चहलक़दमी $1$ से शुरू होने वाली कोई नई चहलक़दमी है: अतः आगमन से वह लगभग निश्चित रूप से हर $k \geq 1$ पर पहुँचती है, और सममिति से हर $k \leq -1$ पर। अंत में, $k$ की पहली भेंट पर फिर आरंभ करने पर उस नई चहलक़दमी पर प्रश्न 9 लागू होता है: अर्थात् लगभग निश्चित रूप से हर स्थल पर अपरिमित बार जाया जाता है।

11. घटनाएँ $A_n = \{S_{2n} = 0\}$ स्वतंत्रता से बहुत दूर हैं (समय $2n$ पर $0$ पर होना समय $2n + 2$ पर $0$ पर होने को $u_{n+1}$ से कहीं अधिक संभावित बना देता है), अतः बोरेल–कांतेली 2 उपलब्ध नहीं है, और वस्तुतः भाग II का सारा काम उसकी जगह लेना ही था। दूसरी दिशा को कोई स्वतंत्रता नहीं चाहिए: यदि $\sum\P(A_n)$ अभिसरित हो, तो बोरेल–कांतेली 1 लगभग निश्चित रूप से परिमित रूप से कई वापसियाँ दे देती है। नीचे की हर क्षणिकता उपपत्ति का इंजन यही निष्पत्ति है।

12. समय $2n$ पर वापसी के लिए $n$ ऊपर- तथा $n$ नीचे-पग चाहिए: $\P(S_{2n} = 0) = \binom{2n}np^nq^n = u_n(4pq)^n$ , और $p \neq \frac12$ के लिए $4pq = 1 - (p - q)^2 < 1$ । चूँकि $u_n \leq 1$ , श्रेणी $\sum\P(S_{2n} = 0)$ गुणोत्तर $\sum(4pq)^n$ से प्रभावित है: अर्थात् अभिसारी। बोरेल–कांतेली 1 से $\P(S_{2n} = 0 \text{ अपरिमित बार}) = 0$ : अर्थात् लगभग निश्चित रूप से परिमित रूप से कई वापसियाँ।

13. सम $n + k$ के लिए $\P(S_n = k) = \binom{n}{\frac{n+k}2}p^{\frac{n+k}2}q^{\frac{n-k}2}$ ; द्विपद गुणांक अधिक से अधिक केंद्रीय गुणांक जितना है, और $p^{\frac{n+k}2}q^{\frac{n-k}2} = (pq)^{n/2}(p/q)^{k/2}$ , जिससे बताया गया परिबंध $\leq 2^n(pq)^{n/2}(p/q)^{k/2} = (4pq)^{n/2}(p/q)^{k/2}$ मिलता है, जो $n$ में योग्य है क्योंकि $\sqrt{4pq} < 1$ । बोरेल–कांतेली 1: स्थल $k$ पर लगभग निश्चित रूप से परिमित बार जाया जाता है; और $k \in \Z$ पर अपवाद-रूप शून्य घटनाओं का संघ भी शून्य है (गणनीय उप-योज्यता)। अतः लगभग निश्चित रूप से हर स्थल पर परिमित बार जाया जाता है, इसलिए पूर्णांक अनुक्रम $(S_n)$ हर परिबद्ध खिड़की को सदा के लिए छोड़ देता है: $\abs{S_n} \to \infty$ ।

14. $\P(S_n \neq 0,\ 1 \leq n \leq 200) = u_{100} = \binom{200}{100}4^{-100} \approx \frac1{\sqrt{100\pi}} \approx 0.056$ : अर्थात् बीस में से एक से अधिक संभावना कि $200$ निष्पक्ष उछाल कभी बराबरी पर न आएँ। क्षय $1/\sqrt{\pi n}$ कष्टदायक रूप से धीमा है: बराबरी की निश्चितता (प्रश्न 7) बहुत लंबे बराबरी-रहित खिंचावों के अनुकूल है — भाग IV की चापज्या परिघटनाओं का पहला स्वाद।

15. पहले पग पर प्रतिबंधित कीजिए। यदि $X_1 = +1$ , तो $T_1 = 1$ , और $f_1 = \frac12$ मेल खाता है। यदि $X_1 = -1$ , तो चहलक़दमी को $-1$ से $1$ तक चढ़ना पड़ता है; खंड-अपघटन से, समय $2n$ पर पहली बार $0$ पर लौटना इस प्रकार बँटता है: एक पग नीचे, फिर $-1$ से शुरू होने वाली कोई नई चहलक़दमी जो $2n - 1$ पगों में पहली बार $0$ तक पहुँचे — तुल्य रूप से कोई नई चहलक़दमी जो पहली बार $+1$ तक पहुँचे — अथवा ऊपर की ओर वाली सममित घटना। दोनों चिह्न बराबर योगदान देते हैं:

f_n = 2\cdot\tfrac12\,\P(T_1 = 2n - 1) = \P(T_1 = 2n-1) .

इसलिए $\P(T_1 < \infty) = \sum f_n = 1$ , जबकि प्रश्न 7 से $\sum_n(2n - 1)f_n = \sum_n u_n = \infty$ : अर्थात् चहलक़दमी लगभग निश्चित रूप से $1$ तक पहुँचती है, पर अपरिमित माध्य समय में।

16. $\{M_n \geq k\}$ का अंतिम मान $S_n = m$ के अनुसार विभाजन कीजिए। $m \geq k$ के लिए शर्त $M_n \geq k$ स्वतः पूरी है। $m < k$ के लिए पथ को स्तर $k$ की उसकी पहली भेंट के बाद परावर्तित कीजिए: यह $\{M_n \geq k, S_n = m\}$ तथा $\{S_n = 2k - m\}$ के बीच कोई एकैकी आच्छादन है ( $2k - m > k$ पर समाप्त होने वाला हर पथ $k$ पर जाता है; वापस परावर्तित करना प्रतिलोम है)। इसलिए

\P(M_n \geq k) = \sum_{m > k}\P(S_n = m) + \P(S_n = k) + \sum_{m < k}\P(S_n = 2k - m) = 2\P(S_n > k) + \P(S_n = k).

17. $k = 1$ वाले सम समय $2n$ पर: $\P(S_{2n} = 1) = 0$ तथा $\P(S_{2n} > 1) = \P(S_{2n} \geq 2)$ , अतः

\P(M_{2n} \geq 1) = 2\P(S_{2n} \geq 2) = \P(S_{2n} \geq 2) + \P(S_{2n} \leq -2) = 1 - u_n .

इस प्रकार $\P(S_i \leq 0\ \forall i \leq 2n) = u_n$ : अर्थात् चहलक़दमी पहले $2n$ पगों में उतनी ही बार आगे नहीं होती जितनी बार वह बराबरी पर नहीं आती (प्रश्न 6) — दो बिलकुल भिन्न घटनाएँ, जिन्हें एक ही $u_n$ ढो रहा है।

18. $\{L_{2n} = 2k\} = \{S_{2k} = 0\} \cap \{\text{उछालों } 2k+1, \dots, 2n \text{ की चहलक़दमी में कोई शून्य नहीं}\}$ । दोनों घटनाएँ असंयुक्त उछाल-खंडों पर निर्भर हैं, अतः वे स्वतंत्र हैं; पहली की प्रायिकता $u_k$ है, और दूसरी की $u_{n-k}$ , जो नई $(2n-2k)$ -पग चहलक़दमी पर प्रश्न 6 लगाने से मिलती है। इसलिए $\P(L_{2n} = 2k) = u_ku_{n-k}$ । चूँकि $L_{2n}$ ठीक मान $0, 2, \dots, 2n$ लेता है, ये प्रायिकताएँ $1$ तक जुड़ती हैं: $\sum_{k=0}^nu_ku_{n-k} = 1$ , यानी किसी प्रायिकतात्मक विभाजन से मिली एक द्विपद सर्वसमिका।

19. सममिति तत्काल है: $u_ku_{n-k} = u_{n-k}u_k$ । चूँकि $u_j$ $j$ में घटता है, गुणनफल $u_ku_{n-k}$ केंद्रीय $k$ के लिए सबसे छोटा और छोरों $k \in \{0, n\}$ पर सबसे बड़ा है, जहाँ वह $u_n$ के बराबर है; परिमाणात्मक रूप से बीच में $u_ku_{n-k} \approx \frac1{\pi\sqrt{k(n-k)}}$ , जबकि किनारों पर $u_n \approx \frac1{\sqrt{\pi n}}$ । $n = 5$ के लिए: $\P(L_{10} = 0) = \P(L_{10} = 10) = u_5 = \frac{63}{256} \approx 0.246$ , जबकि $\P(L_{10} = 4) = u_2u_3 = \frac38\cdot\frac5{16} = \frac{15}{128} \approx 0.117$ । किसी लंबे निष्पक्ष खेल में अंतिम बराबरी सबसे अधिक संभावना से बिलकुल आरंभ में या बिलकुल अंत में होती है: सिक्के में कोई पक्षपात न होने पर भी प्रायः एक खिलाड़ी विशाल खिंचावों तक आगे रहता है।

20. चित्र यह है: समय $n$ पर चहलक़दमी मापक्रम $\sqrt n$ पर जीती है (प्रश्न 3 का द्विपद फैलाव — $u_n \sim 1/\sqrt{\pi n}$ केंद्रीय शिखर की ऊँचाई है); वह प्रायिकता $1$ के साथ $0$ पर अपरिमित बार लौटती है (भाग II), फिर भी वापसियों के बीच के प्रतीक्षा-समय का माध्य अपसारी है (प्रश्न 8), और इसीलिए अकेले भ्रमण किसी भी क्षितिज का धनात्मक अंश घेर सकते हैं; इसके अनुरूप किसी $2n$ -पग खेल की अंतिम बराबरी फैली हुई है और उसके चरम मान सर्वाधिक संभावित हैं (प्रश्न 18 तथा 19), और कभी आगे न होने की प्रायिकता वही धीरे-धीरे क्षय होती $u_n$ है जो कभी बराबरी न होने की है (प्रश्न 17)। सीमा में निश्चितता, हर परिमित क्षितिज पर दृढ़ता: निष्पक्ष चहलक़दमी यही है।

21. $\{S_{2n} = 0\}$ ( $n \geq 1$ ) का पहली वापसी-समय $2k$ , $1 \leq k \leq n$ , के अनुसार विभाजन कीजिए: पहले $2k$ उछालों का खंड कोई पहली वापसी साकार करता है, शेष $2n - 2k$ उछाल किसी नई चहलक़दमी की वापसी साकार करते हैं, और दोनों खंड स्वतंत्र हैं: $u_n = \sum_{k=1}^nf_ku_{n-k}$ । दोनों श्रेणियों $U(x) = \sum u_nx^n$ , $F(x) = \sum f_nx^n$ की त्रिज्या $\geq 1$ है (गुणांक $\intcc01$ में हैं), और कोशी गुणनफल (अध्याय 11) $0 \leq x < 1$ के लिए देता है

U(x) - 1 = \sum_{n\geq1}\Bigl(\sum_{k=1}^n f_ku_{n-k}\Bigr)x^n = F(x)\,U(x), \qquad\text{अर्थात्}\qquad U(x)\bigl(1 - F(x)\bigr) = 1 .

22. $x \uparrow 1$ होने पर $U(x)$ तथा $F(x)$ बढ़ते हैं (अऋणात्मक गुणांक); हर आंशिक योग $\sum_{n\leq N}u_n$ $\sum_{n\leq N}u_nx^n \leq U(x)$ की कोई सीमा है, अतः $U(x) \uparrow \sum u_n \in \intoc0{+\infty}$ , और इसी प्रकार $F(x) \uparrow f = \sum f_n$ । यदि $\sum u_n = \infty$ : $1 - F(x) = 1/U(x) \to 0$ , अतः $f = 1$ । यदि $\sum u_n = S < \infty$ : $1 - f = 1/S > 0$ , अतः $f < 1$ । जाँचें: निष्पक्ष चहलक़दमी, $\sum u_n = \infty$ तथा $f = 1$ (प्रश्न 3, 7); पक्षपाती चहलक़दमी, $\sum u_n(4pq)^n < \infty$ और उसके अनुरूप $f = 1 - 1/\sum_{n\geq0}u_n(4pq)^n < 1$ , जो वापसियों की संख्या के लगभग निश्चित परिमित होने (प्रश्न 12) से संगत है।

23. $\Z^2$ चहलक़दमी के चारों पगों $(\pm1, 0), (0, \pm1)$ के लिए $U = X + Y$ तथा $V = X - Y$ की वृद्धियाँ ये हैं: $(1,0)$ के लिए $(+,+)$ , $(0,1)$ के लिए $(+,-)$ , $(0,-1)$ के लिए $(-,+)$ , $(-1,0)$ के लिए $(-,-)$ — और चिह्नों का हर युग्म प्रायिकता $\frac14 = \frac12\cdot\frac12$ के साथ: अर्थात् दोनों निर्देशांक चहलक़दमियाँ $(U_n)$ तथा $(V_n)$ $\Z$ पर स्वतंत्र निष्पक्ष चहलक़दमियाँ हैं। चूँकि $S^{(2)}_{2n} = (0,0)$ तभी जब $U_{2n} = 0$ तथा $V_{2n} = 0$ ,

\P\bigl(S^{(2)}_{2n} = (0,0)\bigr) = u_n^2 \sim \frac1{\pi n}, \qquad \sum_nu_n^2 = \infty .

प्रश्न 21 की नवीकरण सर्वसमिका तथा प्रश्न 22 का द्विभाजन कुछ भी एकविमीय नहीं बरतते (केवल पहली वापसी पर अपघटन तथा असंयुक्त-खंड स्वतंत्रता), अतः $\sum u_n^{(2)} = \infty$ $f^{(2)} = 1$ दे देता है, और प्रश्न 9 का तर्क उसे और आगे बढ़ा देता है: $\Z^2$ पर चहलक़दमी लगभग निश्चित रूप से मूल बिंदु पर अपरिमित बार लौटती है।

24. मान लिए गए परिबंध $\P(S^{(3)}_{2n} = 0) \leq Cn^{-3/2}$ के साथ श्रेणी अभिसरित होती है, और बोरेल–कांतेली 1 लगभग निश्चित रूप से परिमित रूप से कई वापसियाँ दे देती है: अर्थात् $\Z^3$ पर चहलक़दमी क्षणिक है (और घातांक $-d/2$ वाला वही परिबंध हर $d \geq 3$ को साध लेता है)। कुल मिलाकर: पोया की प्रमेय — सरल यादृच्छिक चहलक़दमी $\Z$ तथा $\Z^2$ पर पुनरावर्ती है, और $d \geq 3$ के लिए $\Z^d$ पर क्षणिक। कोई पिया हुआ आदमी घर का रास्ता पा लेता है; कोई पिया हुआ पक्षी शायद न पाए।

25. पथ गिनने तथा परावर्तन ने ठीक-ठीक नियम उत्पन्न किए ( $u_n$ , मतपत्र प्रमेय, $f_n$ , अधिकतम, अंतिम शून्य); एकदिष्ट संततता ने हर सीमांत कथन (“कम से कम एक बार लौटती है”, “अपरिमित बार”) को परिमित-क्षितिज प्रायिकताओं की किसी सीमा में बदल दिया; असंयुक्त-खंड स्वतंत्रता ने नवीकरण अपघटन चलाए (प्रश्न 9, 18, 21) — वह मार्कोव गुणधर्म का गणनीय कंकाल है; बोरेल–कांतेली 1 क्षणिकता का हथियार रही (प्रश्न 12 से 13, 24), जिसे कोई स्वतंत्रता नहीं चाहिए थी; और नवीकरण सर्वसमिका ने सब कुछ द्विभाजन $\sum u_n = \infty \iff$ पुनरावृत्ति में व्यवस्थित कर दिया। अकेला वैश्लेषिक निवेश स्थानीय आकलन $u_n \sim 1/\sqrt{\pi n}$ है: उसका वर्ग $1/(\pi n)$ अब भी अपसरित होता है (विमा $2$ , पुनरावर्ती), जबकि $n^{-3/2}$ अभिसरित होता है (विमा $3$ , क्षणिक) — अंततः पोया की प्रमेय $\sum n^{-d/2}$ की अपसारिता के विषय में एक कथन है।