सीमाएँ, संततता क्या है?

उदाहरण 4.2

$\abs{x - y}$ सहित $\R$; $\R^n$ निम्नलिखित में से किसी भी दूरी के साथ

संतत फलनों का समुच्चय $C(\intcc{a}{b})$ उच्चतम दूरी $d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{a}{b}} \abs{f - g}$ के साथ (जो परिमित है: $f - g$ परिबद्ध होता है); और कोई भी समुच्चय विविक्त दूरी के साथ ($x \neq y$ के लिए $d(x,y) = 1$)। मानदंडों से आने वाली दूरियाँ अध्याय 5 का विषय हैं।

उदाहरण 4.10 (संततता से पहचाने गए विवृत और संवृत समुच्चय)

वैश्विक अभिलक्षण (प्रमेय 4.6) सांस्थितिक लेखा-जोखा का रोज़मर्रा का औज़ार है। $\R^2$ में: समुच्चय $\{(x, y) : x^2 + y^2 < 1,\ y > x^3\}$ विवृत है — वह संतत $g(x,y) = x^2 + y^2$ और $h(x, y) = y - x^3$ के लिए $g^{-1}(\intoo{-\infty}{1}) \cap h^{-1}(\intoo{0}{+\infty})$ है, अर्थात् दो विवृत पूर्वप्रतिबिंबों का प्रतिच्छेदन। $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$ में: $f(0) = f(1)$ और $\int_0^1 f = 0$ वाले फलनों का समुच्चय संवृत है — वह $\R^2$ में जाने वाले संतत प्रतिचित्रण $f \mapsto \bigl(f(0) - f(1),\ \int_0^1 f\bigr)$ के अंतर्गत $\{(0,0)\}$ का पूर्वप्रतिबिंब है (हर निर्देशांक $1$-लिप्शिट्स है, जैसा अभ्यास 4.3 में)। यह विधि कभी चित्र नहीं बनाती: कोई संतत प्रतिचित्रण दिखाइए, समुच्चय को पूर्वप्रतिबिंब की तरह पढ़िए, और प्रमेय उद्धृत कीजिए।

उदाहरण 4.11 (अनंत शर्तों से परिभाषित एक संवृत समुच्चय)

$\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$ में $1$-लिप्शिट्स फलनों का समुच्चय

संवृत है, यद्यपि वह अगणनीय रूप से अनेक शर्तों से काटा गया है: प्रत्येक स्थिर युग्म $(x, y)$ के लिए प्रतिचित्रण $f \mapsto \abs{f(x) - f(y)} - \abs{x - y}$ संतत है (मूल्यांकन $1$-लिप्शिट्स होते हैं), अतः हर एकल शर्त कोई संवृत समुच्चय परिभाषित करती है, और $L$ इसी कुल का प्रतिच्छेदन है — और संवृत समुच्चयों का कोई भी प्रतिच्छेदन संवृत होता है। यही खाका एकदिष्ट फलनों, उत्तल फलनों तथा किसी स्थिर $g$ से परिबद्ध फलनों के लिए भी संवृतता प्रमाणित कर देता है: एकसमान सीमाएँ हर वह गुणधर्म विरासत में पाती हैं जो बिंदुवार संवृत प्रतिबंधों के किसी कुल के रूप में व्यक्त हो सके। और एकसमान सीमाएँ जो अपने आप विरासत में नहीं पातीं — जैसे अवकलनीयता — ठीक वही अध्याय 10 को मेहनत करके साधना पड़ता है।