什么是 एकैकी, आच्छादक, एकैकी आच्छादक？

उदाहरण 1.25 (व्यवहार में प्रतिलोम की संगणना)

मान लीजिए $f \colon \R \to \intoo0{+\infty}$, $f(x) = \eu^{2x+1}$। प्रतिलोम निकालने के लिए दिए हुए $y > 0$ के लिए $y = f(x)$ हल कीजिए:

घोषित प्रांतों पर हर पद उत्क्रमणीय है। यह संगणना एक साथ सब कुछ दे देती है: सहप्रांत के प्रत्येक $y$ के लिए ठीक एक हल $x$ है, अतः $f$ एकैकी आच्छादक है, और

दोनों संयोजनों की त्वरित जाँच ($f^{-1}(f(x)) = \frac{(2x+1) - 1}2 = x$ और $f(f^{-1}(y)) = \eu^{\ln y} = y$) प्रमेय 1.24 की कसौटी की पुष्टि करती है। सार: “$x$ के लिए हल कीजिए और तुल्यताओं पर दृष्टि रखिए” एक ही साथ अस्तित्व की उपपत्ति, अद्वितीयता की उपपत्ति और सूत्र है — पर यह तभी काम करता है जब सहप्रांत सही घोषित किया गया हो ($f$ $\R$ पर आच्छादक नहीं है)।

उदाहरण 1.27 (बिंदु (2) तीक्ष्ण है)

प्रतिज्ञप्ति 1.26 (2) में निष्कर्षों को और आगे नहीं बढ़ाया जा सकता: $g \circ f$ का एकैकी आच्छादक होना $f$ को आच्छादक या $g$ को एकैकी होने के लिए बाध्य नहीं करता। लीजिए $E = G = \{1\}$, $F = \{1, 2\}$, जिनमें $f(1) = 1$ और $g(1) = g(2) = 1$: तब $g \circ f = \mathrm{id}_E$ एकैकी आच्छादक है, फिर भी $f$ अवयव $2$ तक नहीं पहुँचता और $g$ दोनों अवयवों को एक में मिला देता है। इसका उपदेश एक सुनिश्चित लेखा-नियम है: संयोजन की सूचना एकैकीयता के लिए भीतरी प्रतिचित्रण की ओर बहती है और आच्छादकता के लिए बाहरी प्रतिचित्रण की ओर, कभी उलटी दिशा में नहीं। (अभ्यास 1.9 इसी परिघटना को अनंत समुच्चयों के साथ बनाता है, जहाँ यही एकपक्षीय प्रतिलोमों का इंजन है।)

उदाहरण 1.28

$f \colon \R \to \R$, $x \mapsto x^2$ न तो एकैकी है ($f(-1) = f(1)$) और न आच्छादक ($-1$ का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं)। प्रांत और सहप्रांत को सीमित करने पर $f \colon \R_+ \to \R_+$, $x \mapsto x^2$ एकैकी आच्छादक है, जिसका प्रतिलोम $y \mapsto \sqrt y$ है। किसी प्रतिचित्रण की एकैकीयता या आच्छादकता घोषित प्रांत और सहप्रांत पर निर्भर करती है, केवल सूत्र पर नहीं।