Apa itu Limit, kekontinuan? — Matematika

Definisi 4.5 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 4 — Topologi Ruang Metrik

Kita tulis $x_n \to x$ di $X$ apabila $d(x_n, x) \to 0$ . Pemetaan $f \colon X \to Y$ antara ruang metrik disebut kontinu di $a$ apabila

\forall \varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0,\quad d_X(x, a) \leq \delta \implies d_Y\bigl(f(x), f(a)\bigr) \leq \varepsilon ;

setara dengan itu (buktinya sama seperti pada $\R$ ), $f(x_n) \to f(a)$ untuk setiap barisan $x_n \to a$ . Adapun $f$ disebut Lipschitz dengan konstanta $k$ apabila selalu berlaku $d_Y(f(x), f(y)) \leq k\, d_X(x, y)$ — dan ketika itu ia kontinu seragam, jadi kontinu.

Contoh

Contoh 4.2

$\R$ dengan $\abs{x - y}$ ; $\R^n$ dengan salah satu dari

d_1(x,y) = \sum_i \abs{x_i - y_i}, \quad d_2(x,y) = \Bigl(\sum_i (x_i - y_i)^2\Bigr)^{1/2}, \quad d_\infty(x,y) = \max_i \abs{x_i - y_i};

himpunan $C(\intcc{a}{b})$ berisi fungsi kontinu dengan jarak supremum $d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{a}{b}} \abs{f - g}$ (yang hingga, sebab $f - g$ terbatas); sembarang himpunan dengan jarak diskret ( $d(x,y) = 1$ untuk $x \neq y$ ). Jarak yang berasal dari norma menjadi bahasan Bab 5.

Contoh 4.10 (Himpunan terbuka dan tertutup dikenali lewat kekontinuan)

Pencirian global (Teorema 4.6) adalah perkakas sehari-hari untuk pembukuan topologis. Di $\R^2$ : himpunan $\{(x, y) : x^2 + y^2 < 1,\ y > x^3\}$ terbuka — sebab ia $g^{-1}(\intoo{-\infty}{1}) \cap h^{-1}(\intoo{0}{+\infty})$ untuk $g(x,y) = x^2 + y^2$ dan $h(x, y) = y - x^3$ yang kontinu, yakni irisan dua prapeta terbuka. Di $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$ : himpunan semua fungsi dengan $f(0) = f(1)$ dan $\int_0^1 f = 0$ bersifat tertutup — sebab ia prapeta $\{(0,0)\}$ di bawah pemetaan kontinu $f \mapsto \bigl(f(0) - f(1),\ \int_0^1 f\bigr)$ ke $\R^2$ (tiap koordinatnya Lipschitz dengan konstanta $1$ , seperti pada Latihan 4.3). Metodenya tak pernah menggambar apa pun: tunjukkan sebuah pemetaan kontinu, bacalah himpunannya sebagai prapeta, lalu kutip teoremanya.

Contoh 4.11 (Himpunan tertutup yang ditetapkan oleh tak hingga banyak syarat)

Di $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$ , himpunan

L = \{f : \abs{f(x) - f(y)} \leq \abs{x - y} \ \text{untuk setiap } x, y\}

berisi fungsi Lipschitz berkonstanta $1$ bersifat tertutup, walaupun ia dipahat oleh tak terbilang banyak syarat: untuk tiap pasangan tetap $(x, y)$ , pemetaan $f \mapsto \abs{f(x) - f(y)} - \abs{x - y}$ bersifat kontinu (sebab evaluasi bersifat Lipschitz berkonstanta $1$ ), jadi tiap syarat tunggalnya menetapkan himpunan tertutup, dan $L$ adalah irisan keluarga itu — sedangkan irisan sembarang atas himpunan tertutup tetap tertutup. Pola yang sama menjamin ketertutupan bagi fungsi monoton, fungsi cembung, dan fungsi yang terbatas oleh $g$ tertentu: limit seragam mewarisi setiap sifat yang dapat diungkapkan sebagai keluarga kendala titik demi titik yang tertutup. Adapun apa yang tidak otomatis diwarisi limit seragam — keterdiferensialan, misalnya — justru itulah yang harus diperjuangkan Bab 10.

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait