Qu'est-ce que « Limites, continuité » ?

Exemple 4.2

$\R$ avec $\abs{x - y}$ ; $\R^n$ avec l’une des distances

l’ensemble $C(\intcc{a}{b})$ des fonctions continues avec la distance sup $d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{a}{b}} \abs{f - g}$ (finie : $f - g$ est bornée) ; tout ensemble muni de la distance discrète ($d(x,y) = 1$ pour $x \neq y$). Les distances issues de normes font l’objet du Chapitre 5.

Exemple 4.10 (Ouverts et fermés reconnus par la continuité)

La caractérisation globale (Théorème 4.6) est l’outil quotidien de la comptabilité topologique. Dans $\R^2$ : l’ensemble $\{(x, y) : x^2 + y^2 < 1,\ y > x^3\}$ est ouvert — c’est $g^{-1}(\intoo{-\infty}{1}) \cap h^{-1}(\intoo{0}{+\infty})$ pour les fonctions continues $g(x,y) = x^2 + y^2$ et $h(x, y) = y - x^3$, une intersection de deux images réciproques d’ouverts. Dans $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$ : l’ensemble des fonctions avec $f(0) = f(1)$ et $\int_0^1 f = 0$ est fermé — l’image réciproque de $\{(0,0)\}$ par l’application continue $f \mapsto \bigl(f(0) - f(1),\ \int_0^1 f\bigr)$ à valeurs dans $\R^2$ (chaque coordonnée est $1$-lipschitzienne, comme dans le Exercice 4.3). La méthode ne dessine jamais : exhiber une application continue, lire l’ensemble comme une image réciproque, invoquer le théorème.

Exemple 4.11 (Un fermé défini par une infinité de conditions)

Dans $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$, l’ensemble

des fonctions $1$-lipschitziennes est fermé, bien qu’il soit découpé par une infinité non dénombrable de conditions : pour chaque couple fixé $(x, y)$, l’application $f \mapsto \abs{f(x) - f(y)} - \abs{x - y}$ est continue (les évaluations sont $1$-lipschitziennes), donc chaque condition prise seule définit un fermé, et $L$ est l’intersection de cette famille — une intersection quelconque de fermés est fermée. Le même modèle certifie la fermeture pour les fonctions monotones, les fonctions convexes, les fonctions majorées par une $g$ fixée : les limites uniformes héritent de toute propriété exprimable comme une famille de contraintes ponctuelles fermées. Ce dont les limites uniformes n’héritent pas automatiquement — la dérivabilité, par exemple — est exactement ce pour quoi le Chapitre 10 devra peiner.