ما معنى النهايات والاتصال؟ — الرياضيات

تعريف 4.5 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · الفصل 4 — طوبولوجيا الفضاءات المترية

نكتب $x_n \to x$ في $X$ إذا كان $d(x_n, x) \to 0$ . ويكون التطبيق $f \colon X \to Y$ بين فضاءين مترين متصلًا عند $a$ إذا كان

\forall \varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0,\quad d_X(x, a) \leq \delta \implies d_Y\bigl(f(x), f(a)\bigr) \leq \varepsilon ;

وبكيفية مكافئة (بالبرهان نفسه المستعمل على $\R$ )، $f(x_n) \to f(a)$ من أجل كل متتالية $x_n \to a$ . ويكون $f$ ليبشيتزيًا بالثابت $k$ إذا كان $d_Y(f(x), f(y)) \leq k\, d_X(x, y)$ دائمًا — ويكون عندئذٍ متصلًا بانتظام، ومن ثم متصلًا.

أمثلة

مثال 4.2

$\R$ مع $\abs{x - y}$ ؛ و $\R^n$ مع أي من المسافات

d_1(x,y) = \sum_i \abs{x_i - y_i}, \quad d_2(x,y) = \Bigl(\sum_i (x_i - y_i)^2\Bigr)^{1/2}, \quad d_\infty(x,y) = \max_i \abs{x_i - y_i};

ومجموعة الدوال المتصلة $C(\intcc{a}{b})$ مع مسافة النهاية العليا $d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{a}{b}} \abs{f - g}$ (وهي منتهية لأن $f - g$ محدودة)؛ وأي مجموعة مع المسافة المتقطعة ( $d(x,y) = 1$ من أجل $x \neq y$ ). أما المسافات الآتية من المعايير فهي موضوع الفصل 5.

مثال 4.10 (المفتوحات والمغلقات تُعرَف بالاتصال)

التوصيف الشمولي (المبرهنة 4.6) هو الأداة اليومية لمسك الدفاتر الطوبولوجي. ففي $\R^2$ : المجموعة $\{(x, y) : x^2 + y^2 < 1,\ y > x^3\}$ مفتوحة — إذ هي $g^{-1}(\intoo{-\infty}{1}) \cap h^{-1}(\intoo{0}{+\infty})$ من أجل الدالتين المتصلتين $g(x,y) = x^2 + y^2$ و $h(x, y) = y - x^3$ ، أي تقاطع صورتين عكسيتين مفتوحتين. وفي $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$ : مجموعة الدوال التي $f(0) = f(1)$ و $\int_0^1 f = 0$ مغلقة — إذ هي الصورة العكسية للمجموعة $\{(0,0)\}$ بالتطبيق المتصل $f \mapsto \bigl(f(0) - f(1),\ \int_0^1 f\bigr)$ نحو $\R^2$ (وكل إحداثية ليبشيتزية بالثابت $1$ ، كما في التمرين 4.3). ولا ترسم هذه الطريقة أي شكل: أبرِز تطبيقًا متصلًا، واقرأ المجموعة بوصفها صورة عكسية، ثم استشهد بالمبرهنة.

مثال 4.11 (مجموعة مغلقة معرَّفة بعدد غير منته من الشروط)

في $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$ ، تكون المجموعة

L = \{f : \abs{f(x) - f(y)} \leq \abs{x - y} \ \text{من أجل كل } x, y\}

المكوَّنة من الدوال الليبشيتزية بالثابت $1$ مغلقةً، رغم أنها مقتطَعة بشروط غير قابلة للعد: فمن أجل كل زوج ثابت $(x, y)$ ، يكون التطبيق $f \mapsto \abs{f(x) - f(y)} - \abs{x - y}$ متصلًا (فالتقييمات ليبشيتزية بالثابت $1$ )، ومن ثم يعرّف كل شرط منفرد مجموعة مغلقة، وتكون $L$ تقاطع هذه العائلة — وأي تقاطع لمغلقات مغلق. ويصدّق القالب نفسه انغلاقَ مجموعات الدوال الرتيبة والدوال المحدبة والدوال المحدودة بعدد ثابت $g$ : فالنهايات المنتظمة ترث كل خاصية يمكن التعبير عنها بعائلة من القيود النقطية المغلقة. أما ما لا ترثه النهايات المنتظمة تلقائيًا — كقابلية الاشتقاق — فهو بالضبط ما يجب أن يكدح الفصل 10 من أجله.

اقرأ في الفصل ←