ما معنى النهايات والاتصال؟

مثال 4.2

$\R$ مع $\abs{x - y}$؛ و$\R^n$ مع أي من المسافات

ومجموعة الدوال المتصلة $C(\intcc{a}{b})$ مع مسافة النهاية العليا $d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{a}{b}} \abs{f - g}$ (وهي منتهية لأن $f - g$ محدودة)؛ وأي مجموعة مع المسافة المتقطعة ($d(x,y) = 1$ من أجل $x \neq y$). أما المسافات الآتية من المعايير فهي موضوع الفصل 5.

مثال 4.10 (المفتوحات والمغلقات تُعرَف بالاتصال)

التوصيف الشمولي (المبرهنة 4.6) هو الأداة اليومية لمسك الدفاتر الطوبولوجي. ففي $\R^2$: المجموعة $\{(x, y) : x^2 + y^2 < 1,\ y > x^3\}$ مفتوحة — إذ هي $g^{-1}(\intoo{-\infty}{1}) \cap h^{-1}(\intoo{0}{+\infty})$ من أجل الدالتين المتصلتين $g(x,y) = x^2 + y^2$ و$h(x, y) = y - x^3$، أي تقاطع صورتين عكسيتين مفتوحتين. وفي $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$: مجموعة الدوال التي $f(0) = f(1)$ و$\int_0^1 f = 0$ مغلقة — إذ هي الصورة العكسية للمجموعة $\{(0,0)\}$ بالتطبيق المتصل $f \mapsto \bigl(f(0) - f(1),\ \int_0^1 f\bigr)$ نحو $\R^2$ (وكل إحداثية ليبشيتزية بالثابت $1$، كما في التمرين 4.3). ولا ترسم هذه الطريقة أي شكل: أبرِز تطبيقًا متصلًا، واقرأ المجموعة بوصفها صورة عكسية، ثم استشهد بالمبرهنة.

مثال 4.11 (مجموعة مغلقة معرَّفة بعدد غير منته من الشروط)

في $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$، تكون المجموعة

المكوَّنة من الدوال الليبشيتزية بالثابت $1$ مغلقةً، رغم أنها مقتطَعة بشروط غير قابلة للعد: فمن أجل كل زوج ثابت $(x, y)$، يكون التطبيق $f \mapsto \abs{f(x) - f(y)} - \abs{x - y}$ متصلًا (فالتقييمات ليبشيتزية بالثابت $1$)، ومن ثم يعرّف كل شرط منفرد مجموعة مغلقة، وتكون $L$ تقاطع هذه العائلة — وأي تقاطع لمغلقات مغلق. ويصدّق القالب نفسه انغلاقَ مجموعات الدوال الرتيبة والدوال المحدبة والدوال المحدودة بعدد ثابت $g$: فالنهايات المنتظمة ترث كل خاصية يمكن التعبير عنها بعائلة من القيود النقطية المغلقة. أما ما لا ترثه النهايات المنتظمة تلقائيًا — كقابلية الاشتقاق — فهو بالضبط ما يجب أن يكدح الفصل 10 من أجله.