O que é Limites, continuidade? — Matemática

Definição 4.5 Matemática universitária — Graduação 2 · Capítulo 4 — Topologia dos espaços métricos

$x_n \to x$ em $X$ quando $d(x_n, x) \to 0$ . Uma aplicação $f \colon X \to Y$ entre espaços métricos é contínua em $a$ quando

\forall \varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0,\quad d_X(x, a) \leq \delta \implies d_Y\bigl(f(x), f(a)\bigr) \leq \varepsilon ;

equivalentemente (mesma demonstração que em $\R$ ), $f(x_n) \to f(a)$ para toda sequência $x_n \to a$ . $f$ é lipschitziana de constante $k$ quando $d_Y(f(x), f(y)) \leq k\, d_X(x, y)$ sempre — e então é uniformemente contínua, logo contínua.

Exemplos

Exemplo 4.2

$\R$ com $\abs{x - y}$ ; $\R^n$ com qualquer uma das distâncias

d_1(x,y) = \sum_i \abs{x_i - y_i}, \quad d_2(x,y) = \Bigl(\sum_i (x_i - y_i)^2\Bigr)^{1/2}, \quad d_\infty(x,y) = \max_i \abs{x_i - y_i};

o conjunto $C(\intcc{a}{b})$ das funções contínuas com a distância do sup $d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{a}{b}} \abs{f - g}$ (finita: $f - g$ é limitada); qualquer conjunto com a distância discreta ( $d(x,y) = 1$ para $x \neq y$ ). As distâncias provenientes de normas são o assunto do Capítulo 5.

Exemplo 4.10 (Abertos e fechados reconhecidos pela continuidade)

A caracterização global (Teorema 4.6) é a ferramenta cotidiana da contabilidade topológica. Em $\R^2$ : o conjunto $\{(x, y) : x^2 + y^2 < 1,\ y > x^3\}$ é aberto — é $g^{-1}(\intoo{-\infty}{1}) \cap h^{-1}(\intoo{0}{+\infty})$ para a função contínua $g(x,y) = x^2 + y^2$ e $h(x, y) = y - x^3$ , uma interseção de duas imagens inversas de abertos. Em $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$ : o conjunto das funções com $f(0) = f(1)$ e $\int_0^1 f = 0$ é fechado — é a imagem inversa de $\{(0,0)\}$ pela aplicação contínua $f \mapsto \bigl(f(0) - f(1),\ \int_0^1 f\bigr)$ com valores em $\R^2$ (cada coordenada é $1$ -lipschitziana, como no Exercício 4.3). O método nunca desenha figura: exiba uma aplicação contínua, leia o conjunto como imagem inversa, cite o teorema.

Exemplo 4.11 (Um fechado definido por uma infinidade de condições)

Em $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$ , o conjunto

L = \{f : \abs{f(x) - f(y)} \leq \abs{x - y} \ \text{para todos } x, y\}

das funções $1$ -lipschitzianas é fechado, embora seja recortado por uma quantidade não enumerável de condições: para cada par fixo $(x, y)$ , a aplicação $f \mapsto \abs{f(x) - f(y)} - \abs{x - y}$ é contínua (as avaliações são $1$ -lipschitzianas), de modo que cada condição isolada define um fechado, e $L$ é a interseção dessa família — e uma interseção arbitrária de fechados é fechada. O mesmo molde certifica que são fechados os conjuntos de funções monótonas, de funções convexas, de funções limitadas por um $g$ fixo: os limites uniformes herdam toda propriedade que se exprima como família de restrições pontuais fechadas. O que os limites uniformes não herdam automaticamente — a derivabilidade, por exemplo — é exatamente aquilo pelo que o Capítulo 10 terá de penar.

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Exemplos

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