¿Qué es Límites, continuidad? — Matemáticas

Definición 4.5 Matemáticas universitarias — Grado 2 · Capítulo 4 — Topología de los espacios métricos

$x_n \to x$ en $X$ cuando $d(x_n, x) \to 0$ . Una aplicación $f \colon X \to Y$ entre espacios métricos es continua en $a$ cuando

\forall \varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0,\quad d_X(x, a) \leq \delta \implies d_Y\bigl(f(x), f(a)\bigr) \leq \varepsilon ;

equivalentemente (misma demostración que en $\R$ ), $f(x_n) \to f(a)$ para toda sucesión $x_n \to a$ . $f$ es lipschitziana de constante $k$ cuando $d_Y(f(x), f(y)) \leq k\, d_X(x, y)$ siempre; entonces es uniformemente continua y, en particular, continua.

Ejemplos

Ejemplo 4.2

$\R$ con $\abs{x - y}$ ; $\R^n$ con cualquiera de las distancias

d_1(x,y) = \sum_i \abs{x_i - y_i}, \quad d_2(x,y) = \Bigl(\sum_i (x_i - y_i)^2\Bigr)^{1/2}, \quad d_\infty(x,y) = \max_i \abs{x_i - y_i};

el conjunto $C(\intcc{a}{b})$ de las funciones continuas con la distancia del supremo $d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{a}{b}} \abs{f - g}$ (finita, pues $f - g$ está acotada); cualquier conjunto con la distancia discreta ( $d(x,y) = 1$ para $x \neq y$ ). Las distancias procedentes de normas son el objeto del Capítulo 5.

Ejemplo 4.10 (Abiertos y cerrados reconocidos por continuidad)

La caracterización global (Teorema 4.6) es la herramienta cotidiana para la contabilidad topológica. En $\R^2$ : el conjunto $\{(x, y) : x^2 + y^2 < 1,\ y > x^3\}$ es abierto, pues es $g^{-1}(\intoo{-\infty}{1}) \cap h^{-1}(\intoo{0}{+\infty})$ para las funciones continuas $g(x,y) = x^2 + y^2$ y $h(x, y) = y - x^3$ : intersección de dos imágenes recíprocas abiertas. En $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$ : el conjunto de las funciones con $f(0) = f(1)$ y $\int_0^1 f = 0$ es cerrado, pues es la imagen recíproca de $\{(0,0)\}$ por la aplicación continua $f \mapsto \bigl(f(0) - f(1),\ \int_0^1 f\bigr)$ con valores en $\R^2$ (cada coordenada es $1$ -lipschitziana, como en el Ejercicio 4.3). El método no dibuja nunca: se exhibe una aplicación continua, se lee el conjunto como imagen recíproca y se invoca el teorema.

Ejemplo 4.11 (Un cerrado definido por infinitas condiciones)

En $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$ , el conjunto

L = \{f : \abs{f(x) - f(y)} \leq \abs{x - y} \ \text{para todos } x, y\}

de las funciones $1$ -lipschitzianas es cerrado, pese a estar recortado por una cantidad no numerable de condiciones: para cada par fijo $(x, y)$ , la aplicación $f \mapsto \abs{f(x) - f(y)} - \abs{x - y}$ es continua (las evaluaciones son $1$ -lipschitzianas), de modo que cada condición aislada define un cerrado, y $L$ es la intersección de esa familia; y una intersección arbitraria de cerrados es cerrada. La misma plantilla certifica el carácter cerrado del conjunto de funciones monótonas, del de funciones convexas y del de funciones acotadas por una $g$ fija: los límites uniformes heredan toda propiedad expresable como familia de restricciones puntuales cerradas. Lo que los límites uniformes no heredan automáticamente —la derivabilidad, por ejemplo— es justamente lo que al Capítulo 10 le costará trabajo.

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Ejemplos

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