Wat is Limieten, continuïteit? — Wiskunde

Definitie 4.5 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Hoofdstuk 4 — Topologie van metrische ruimten

$x_n \to x$ in $X$ wanneer $d(x_n, x) \to 0$ . Een afbeelding $f \colon X \to Y$ tussen metrische ruimten heet continu in $a$ wanneer

\forall \varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0,\quad d_X(x, a) \leq \delta \implies d_Y\bigl(f(x), f(a)\bigr) \leq \varepsilon ;

gelijkwaardig (met hetzelfde bewijs als op $\R$ ): $f(x_n) \to f(a)$ voor elke rij $x_n \to a$ . En $f$ heet Lipschitz met constante $k$ wanneer altijd $d_Y(f(x), f(y)) \leq k\, d_X(x, y)$ — dan is $f$ uniform continu, en dus continu.

Voorbeelden

Voorbeeld 4.2

$\R$ met $\abs{x - y}$ ; $\R^n$ met elk van

d_1(x,y) = \sum_i \abs{x_i - y_i}, \quad d_2(x,y) = \Bigl(\sum_i (x_i - y_i)^2\Bigr)^{1/2}, \quad d_\infty(x,y) = \max_i \abs{x_i - y_i};

de verzameling $C(\intcc{a}{b})$ van de continue functies met de supafstand $d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{a}{b}} \abs{f - g}$ (eindig, want $f - g$ is begrensd); en elke verzameling met de discrete afstand ( $d(x,y) = 1$ voor $x \neq y$ ). Afstanden die uit normen voortkomen zijn het onderwerp van Hoofdstuk 5.

Voorbeeld 4.10 (Open en gesloten verzamelingen herkend via continuïteit)

De globale karakterisering (Stelling 4.6) is het dagelijkse gereedschap voor topologische boekhouding. In $\R^2$ is de verzameling $\{(x, y) : x^2 + y^2 < 1,\ y > x^3\}$ open — zij is $g^{-1}(\intoo{-\infty}{1}) \cap h^{-1}(\intoo{0}{+\infty})$ voor de continue $g(x,y) = x^2 + y^2$ en $h(x, y) = y - x^3$ , een doorsnede van twee open originelen. In $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$ is de verzameling van de functies met $f(0) = f(1)$ en $\int_0^1 f = 0$ gesloten — het origineel van $\{(0,0)\}$ onder de continue afbeelding $f \mapsto \bigl(f(0) - f(1),\ \int_0^1 f\bigr)$ naar $\R^2$ (elke coördinaat is $1$ -Lipschitz, zoals in Oefening 4.3). De methode tekent nooit een plaatje: geef een continue afbeelding, lees de verzameling als origineel, en beroep je op de stelling.

Voorbeeld 4.11 (Een gesloten verzameling met oneindig veel voorwaarden)

In $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$ is de verzameling

L = \{f : \abs{f(x) - f(y)} \leq \abs{x - y} \ \text{voor alle } x, y\}

van de $1$ -Lipschitz-functies gesloten, hoewel zij door overaftelbaar veel voorwaarden wordt uitgesneden: voor elk vast paar $(x, y)$ is de afbeelding $f \mapsto \abs{f(x) - f(y)} - \abs{x - y}$ continu (evaluaties zijn $1$ -Lipschitz), dus definieert elke afzonderlijke voorwaarde een gesloten verzameling, en $L$ is de doorsnede van deze familie — en een willekeurige doorsnede van gesloten verzamelingen is gesloten. Hetzelfde sjabloon bewijst de geslotenheid voor monotone functies, convexe functies of functies die door een vaste $g$ worden begrensd: uniforme limieten erven elke eigenschap die als een familie van gesloten puntsgewijze voorwaarden te schrijven is. Wat uniforme limieten niet vanzelf erven — differentieerbaarheid bijvoorbeeld — is juist waarvoor Hoofdstuk 10 moet zwoegen.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen