विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · Licence 3

1समूह सिद्धांत

दूसरे वर्ष के खंड में समूह लेखा-जोखा के उपकरण के रूप में मिले थे: लाग्राँज की प्रमेय, चक्रीय समूह, सममित समूह और उसका चिह्न। यह अध्याय समूह सिद्धांत को एक विधि में बदल देता है। इसकी चालक शक्ति यह धारणा है कि एक समूह किसी समुच्चय पर क्रिया करता है: कक्षाओं और स्थिर बिंदुओं की गणना से वर्ग समीकरण, कोशी की प्रमेय और तीनों सिलो प्रमेय निकलते हैं — परिमित समूह सिद्धांत का मूल स्थानीय-से-वैश्विक सिद्धांत। इसके बाद हम समूहों को जोड़ना (प्रत्यक्ष और अर्ध-प्रत्यक्ष गुणन) और उन्हें तोड़ना (संघटन श्रेणी, विलेय समूह) सीखते हैं, और वह प्रमेय सिद्ध करते हैं जो अध्याय 4 में बहुपद समीकरणों के बारे में तीन सदी पुराने प्रश्न को बंद कर देगी: एकांतर समूह $A_n$ $n \geq 5$ के लिए सरल है।

1.1 भागफल समूह और तुल्याकारिता प्रमेय

आगे सर्वत्र $G$ गुणनात्मक रूप में लिखा गया एक समूह है और $e$ उसका तत्समक। दूसरे वर्ष के खंड से स्मरण कीजिए: उपसमूह, सहसमुच्चय $gH$ , लाग्राँज की प्रमेय (परिमित $G$ के लिए $\abs G = [G:H]\,\abs H$ ), किसी अवयव का क्रम, चक्रीय समूह, तथा सममित समूह $S_n$ और उसकी चिह्न समाकारिता $\varepsilon \colon S_n \to \{\pm1\}$ ।

परिभाषा 1.1

$G$ का उपसमूह $N$ प्रसामान्य कहलाता है (लिखा जाता है $N \trianglelefteq G$ ) जब प्रत्येक $g \in G$ के लिए $gNg^{-1} = N$ हो — समतुल्य रूप से, जब बाएँ और दाएँ सहसमुच्चय एक ही हों: सभी $g$ के लिए $gN = Ng$ ।

प्रमेय 1.2 (भागफल समूह)

मान लीजिए $N \trianglelefteq G$ । सहसमुच्चयों का समुच्चय $G/N$ , गुणन $(gN)(hN) = ghN$ के साथ, एक सुपरिभाषित समूह है — भागफल समूह — और विहित प्रक्षेप $\pi \colon G \to G/N$ , $g \mapsto gN$ , एक आच्छादक समाकारिता है जिसकी अष्टि $N$ है। विलोमतः, किसी भी समूह समाकारिता की अष्टि प्रसामान्य होती है: प्रसामान्य उपसमूह ठीक अष्टियाँ ही हैं।

उपपत्ति. सारा मर्म सुपरिभाषितता में है। यदि $gN = g'N$ और $hN = h'N$ हों, तो $n, m \in N$ के साथ $g' = gn$ , $h' = hm$ लिखिए। तब $g'h' = gnhm = gh\,(h^{-1}nh)\,m \in ghN$ , क्योंकि प्रसामान्यता से $h^{-1}nh \in N$ : सहसमुच्चयों का गुणनफल प्रतिनिधियों पर निर्भर नहीं करता। साहचर्य, तत्समक $eN = N$ और प्रतिलोम $(gN)^{-1} = g^{-1}N$ $G$ से विरासत में मिलते हैं। स्पष्टतः $\pi$ एक आच्छादक समाकारिता है और $\pi(g) = N \iff g \in N$ ।

यदि $f \colon G \to H$ एक समाकारिता हो और $k \in \ker f$ , तो $f(gkg^{-1}) = f(g)f(k)f(g)^{-1} = e$ : अष्टियाँ प्रसामान्य होती हैं। ∎

प्रमेय 1.3 (सार्वत्रिक गुण; प्रथम तुल्याकारिता प्रमेय)

मान लीजिए $f \colon G \to H$ एक समाकारिता है और $N \trianglelefteq G$ ऐसा है कि $N \subseteq \ker f$ । तब $f = \bar f \circ \pi$ को संतुष्ट करने वाली एक अद्वितीय समाकारिता $\bar f \colon G/N \to H$ विद्यमान है। विशेष रूप से, $N = \ker f$ लेने पर:

G/\ker f \;\xrightarrow{\;\sim\;}\; \operatorname{im} f, \qquad gN \mapsto f(g).

उपपत्ति. अद्वितीयता: $\bar f(gN)$ को $f(g)$ होना ही चाहिए। अस्तित्व: यदि $gN = g'N$ तो $g^{-1}g' \in N \subseteq \ker f$ , अतः $f(g) = f(g')$ और $\bar f(gN) = f(g)$ सुपरिभाषित है; यह समाकारिता है क्योंकि $f$ समाकारिता है। $N = \ker f$ के लिए: $\bar f$ एकैकी है, क्योंकि $\bar f(gN) = e$ का अर्थ है $g \in \ker f$ , अर्थात् $gN = N$ ; और इसका प्रतिबिंब वही है जो $f$ का है। ∎

प्रमेय 1.4 (द्वितीय और तृतीय तुल्याकारिता प्रमेय)

मान लीजिए $H \leq G$ और $N \trianglelefteq G$ ।

$HN = \{hn : h \in H,\, n \in N\}$ एक उपसमूह है, $N \trianglelefteq HN$ , $H \cap N \trianglelefteq H$ , तथा

$H/(H \cap N) \;\cong\; HN/N .$
यदि इसके अतिरिक्त $N \subseteq K \trianglelefteq G$ हो, तो $K/N \trianglelefteq G/N$ और $(G/N)\big/(K/N) \cong G/K$ ।

उपपत्ति. (1) $HN$ एक उपसमूह है: $N$ की प्रसामान्यता का उपयोग करते हुए $(hn)(h'n') = hh'\,(h'^{-1}nh')n' \in HN$ तथा $(hn)^{-1} = h^{-1}(hn^{-1}h^{-1}) \in HN$ । $H \hookrightarrow HN \xrightarrow{\pi} HN/N$ का संयोजन कीजिए: यह समाकारिता आच्छादक है ( $hnN = hN$ ) और इसकी अष्टि $\{h \in H : h \in N\} = H \cap N$ है; अब प्रमेय 1.3 लगाइए।

(2) प्रक्षेप $G/N \to G/K$ , $gN \mapsto gK$ , सुपरिभाषित है ( $N \subseteq K$ ), आच्छादक है, और उसकी अष्टि $K/N$ है; पुनः प्रमेय 1.3 लगाइए। ∎

प्रमेय 1.5 (संगति प्रमेय)

मान लीजिए $N \trianglelefteq G$ । प्रतिचित्रण $H \mapsto H/N$ $N$ को अंतर्विष्ट करने वाले $G$ के उपसमूहों और $G/N$ के उपसमूहों के बीच एक एकैकी आच्छादक संगति है, जो (दोनों दिशाओं में) अंतर्वेशन, सूचकांक और प्रसामान्यता को सुरक्षित रखती है।

उपपत्ति. इसका प्रतिलोम $\bar H \mapsto \pi^{-1}(\bar H)$ है। दोनों प्रतिचित्रण उपसमूहों को उपसमूहों पर भेजते हैं और परस्पर प्रतिलोम हैं: $\pi^{-1}(H/N) = HN = H$ , क्योंकि $N \subseteq H$ , तथा $\pi$ की आच्छादकता से $\pi(\pi^{-1}(\bar H)) = \bar H$ । अंतर्वेशन स्पष्टतः सुरक्षित रहते हैं; $[G:H] = [G/N : H/N]$ , क्योंकि $gH \mapsto (gN)(H/N)$ सहसमुच्चय समष्टियों के बीच एक सुपरिभाषित एकैकी आच्छादक संगति है; और सभी $g$ के लिए $gHg^{-1} = H$ तभी और केवल तभी जब सभी $gN$ के लिए $(gN)(H/N)(gN)^{-1} = H/N$ — फिर से $\pi$ की आच्छादकता से। ∎

उदाहरण 1.6

$\varepsilon \colon S_n \to \{\pm 1\}$ से $S_n/A_n \cong \{\pm1\}$ मिलता है; $\det \colon GL_n(K) \to K^\times$ से $GL_n(K)/SL_n(K) \cong K^\times$ ; और $t \mapsto \eu^{2\iu\pi t}$ से $\R/\Z \cong \mathbb U$ , अर्थात् वृत्त समूह। व्यवहार में भागफल इसी प्रकार परिकलित किए जाते हैं: उपयुक्त अष्टि वाली एक आच्छादक समाकारिता ढूँढ़िए — यही प्रथम तुल्याकारिता प्रमेय का उपयोग है।

विधि 1.7

$N \trianglelefteq G$ सिद्ध करने के लिए, सुघड़ता के घटते क्रम में: $G$ पर परिभाषित किसी समाकारिता की अष्टि के रूप में $N$ को प्रस्तुत कीजिए; सभी $g$ के लिए $gNg^{-1} \subseteq N$ की जाँच कीजिए (यह पर्याप्त है: इसे $g^{-1}$ पर लगाकर और संयुग्मन करके विपरीत अंतर्वेशन मिल जाता है); सत्यापित कीजिए कि $N$ संयुग्मन वर्गों का सम्मिलन है; अथवा यह देखिए कि $[G:N] = 2$ (तब $gN = Ng$ अनिवार्य है — अभ्यास 1.1)।

1.2 समूह क्रियाएँ

परिभाषा 1.8

किसी समुच्चय $X$ पर $G$ की एक क्रिया $X$ के एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रणों के समूह में जाने वाली एक समाकारिता $\varphi \colon G \to \mathfrak{S}(X)$ है; $\varphi(g)(x)$ के लिए $g \cdot x$ लिखा जाता है। समतुल्य रूप से: एक ऐसा प्रतिचित्रण $G \times X \to X$ जिसके लिए $e \cdot x = x$ और $g \cdot (h \cdot x) = (gh) \cdot x$ । $x$ की कक्षा $\mathcal O_x = \{g \cdot x : g \in G\}$ है, उसका स्थायीकारी उपसमूह $G_x = \{g : g\cdot x = x\}$ है, और $X^G = \{x : \forall g,\ g \cdot x = x\}$ स्थिर बिंदुओं का समुच्चय है। क्रिया संक्रमणीय कहलाती है यदि ठीक एक कक्षा हो, निष्ठ यदि $\varphi$ एकैकी हो, और मुक्त यदि सभी स्थायीकारी तुच्छ हों।

उदाहरण 1.9

पाँच क्रियाएँ समूचे परिमित समूह सिद्धांत को चलाती हैं:

बायाँ स्थानांतरण $g \cdot x = gx$ द्वारा $G$ की अपने ही ऊपर क्रिया: मुक्त और संक्रमणीय।
संयुग्मन $g \cdot x = gxg^{-1}$ द्वारा $G$ की अपने ही ऊपर क्रिया: कक्षाएँ संयुग्मन वर्ग हैं, स्थायीकारी केंद्रक $Z_G(x) = \{g : gx = xg\}$ हैं, और स्थिर बिंदु केंद्र $Z(G)$ हैं।
सहसमुच्चय समष्टि $G/H$ पर $g \cdot xH = gxH$ द्वारा $G$ की क्रिया: संक्रमणीय, जिसमें सहसमुच्चय $H$ का स्थायीकारी $H$ है। प्रत्येक संक्रमणीय क्रिया इसी रूप की होती है (अभ्यास 1.8)।
संयुग्मन द्वारा $G$ की अपने उपसमूहों के समुच्चय पर क्रिया: $H$ का स्थायीकारी प्रसामान्यक $N_G(H) = \{g : gHg^{-1} = H\}$ है, अर्थात् $G$ का सबसे बड़ा उपसमूह जिसमें $H$ प्रसामान्य है।
$\intint{1}{n}$ पर $S_n$ की क्रिया: सब उदाहरणों की जननी।

प्रमेय 1.10 (कक्षा–स्थायीकारी)

प्रतिचित्रण $gG_x \mapsto g \cdot x$ एक सुपरिभाषित एकैकी आच्छादक संगति $G/G_x \to \mathcal O_x$ है। विशेष रूप से, परिमित $G$ के लिए,

\abs{\mathcal O_x} = [G : G_x] \quad\text{जो } \abs G \text{ का भाजक है,}

और, चूँकि कक्षाएँ $X$ का विभाजन करती हैं (वे तुल्यता $x \sim y \iff y \in \mathcal O_x$ के वर्ग हैं),

\abs X = \sum_{i} \,[G : G_{x_i}] \qquad (x_i\colon \text{प्रति कक्षा एक बिंदु}).

उपपत्ति. सुपरिभाषित और एकैकी: $gG_x = hG_x \iff h^{-1}g \in G_x \iff h^{-1}g \cdot x = x \iff g \cdot x = h \cdot x$ ; इस शृंखला को दोनों दिशाओं में पढ़िए। आच्छादकता कक्षा की परिभाषा ही है। गणना संबंधी कथन लाग्राँज की प्रमेय और $X$ के कक्षाओं में विभाजन से निकलते हैं। ∎

उपप्रमेय 1.11 (वर्ग समीकरण)

किसी परिमित समूह $G$ के लिए, एक से अधिक अवयव वाले प्रत्येक संयुग्मन वर्ग में से एक प्रतिनिधि $x_i$ चुनने पर:

\abs G = \abs{Z(G)} + \sum_i \,[G : Z_G(x_i)], \qquad\text{प्रत्येक } [G : Z_G(x_i)] > 1 \text{, जो } \abs G \text{ का भाजक है}.

उपपत्ति. संयुग्मन क्रिया पर प्रमेय 1.10 लगाइए: एकल-अवयवी कक्षाएँ ठीक $Z(G)$ के अवयव हैं। ∎

प्रमेय 1.12 ( $p$ -समूहों के स्थिर बिंदु)

मान लीजिए $p$ अभाज्य है। $p$ -समूह वह परिमित समूह है जिसका क्रम $p$ की कोई घात हो। यदि कोई $p$ -समूह $G$ किसी परिमित समुच्चय $X$ पर क्रिया करे, तो

\abs{X^G} \equiv \abs X \pmod p .

परिणाम: अतुच्छ $p$ -समूह का केंद्र अतुच्छ होता है, और क्रम $p^2$ का प्रत्येक समूह आबेली होता है।

उपपत्ति. प्रत्येक कक्षा की गणनीयता $[G:G_x]$ है, जो $p$ की एक घात है; यह घात ठीक स्थिर बिंदुओं पर $1$ होती है और अन्यथा $p$ से विभाज्य। कक्षाओं पर योग लेने से सर्वांगसमता मिल जाती है। केंद्र के लिए: $G$ की अपने ऊपर संयुग्मन क्रिया में $X^G = Z(G)$ है, अतः $\abs{Z(G)} \equiv \abs G \equiv 0 \pmod p$ , और $Z(G) \ni e$ से $\abs{Z(G)} \geq p$ अनिवार्य हो जाता है। क्रम $p^2$ : यदि $Z(G) \neq G$ हो तो $\abs{Z(G)} = p$ और $G/Z(G)$ क्रम $p$ का चक्रीय समूह है, जिससे $G$ का आबेली होना अनिवार्य हो जाता है (अभ्यास 1.2) — विरोधाभास। ∎

प्रमेय 1.13 (कोशी)

यदि कोई अभाज्य $p$ $\abs G$ को विभाजित करे, तो $G$ में क्रम $p$ का कोई अवयव विद्यमान है।

उपपत्ति (मैके). मान लीजिए $X = \{(g_1, \dots, g_p) \in G^p : g_1 g_2 \cdots g_p = e\}$ । $g_1, \dots, g_{p-1}$ को स्वतंत्र रूप से चुनने पर $g_p$ निर्धारित हो जाता है: $\abs X = \abs G^{p-1}$ , जो $p$ से विभाज्य है। चक्रीय समूह $\Z/p\Z$ चक्रीय विस्थापन $(g_1, \dots, g_p) \mapsto (g_2, \dots, g_p, g_1)$ द्वारा $X$ पर क्रिया करता है — यह $X$ को सुरक्षित रखता है, क्योंकि $g_2 \cdots g_p g_1 = g_1^{-1}(g_1 \cdots g_p)g_1 = e$ । प्रमेय 1.12 से, $\abs{X^{\Z/p\Z}} \equiv \abs X \equiv 0 \pmod p$ । स्थिर बिंदु वे अचर बहुक $(g, \dots, g)$ हैं जिनमें $g^p = e$ ; बहुक $(e, \dots, e)$ उनमें से एक है, अतः वे कम से कम $p$ हैं, और इसलिए $g^p = e$ वाला कम से कम एक $g \neq e$ है: उसका क्रम ठीक $p$ है। ∎

प्रमेय 1.14 (केली)

क्रम $n$ का प्रत्येक समूह $S_n$ में अंतःस्थापित हो जाता है।

उपपत्ति. बायाँ स्थानांतरण $\varphi \colon G \to \mathfrak S(G) \cong S_n$ एक समाकारिता है; $\varphi(g) = \mathrm{id}$ से $g = ge = e$ अनिवार्य हो जाता है: यह निष्ठ है। ∎

विधि 1.15

स्थिर बिंदुओं की गणना परिमित समूह सिद्धांत की सार्वत्रिक पहली चाल है। किसी वस्तु का अस्तित्व सिद्ध करने के लिए (कोई केंद्रीय अवयव, क्रम $p$ का अवयव, कोई प्रसामान्य उपसमूह, कोई स्थिर बिंदु) एक सुचुने हुए समूह को एक सुचुने हुए परिमित समुच्चय पर क्रिया कराइए, फिर $p$ के सापेक्ष $\abs{X^G}$ और $\abs X$ की तुलना कीजिए, अथवा कक्षाओं के आकारों को समूह के क्रम का भाजक बनने दीजिए। प्रमेय 1.12 और 1.13 की और नीचे दी गई तीनों सिलो प्रमेयों की उपपत्तियाँ इसी एक विचार के पाँच रूपांतर हैं।

1.3 सिलो प्रमेय

लाग्राँज की प्रमेय कहती है कि किसी उपसमूह का क्रम $\abs G$ को विभाजित करता है; इसका विलोम असत्य है ( $A_4$ , जिसका क्रम $12$ है, में क्रम $6$ का कोई उपसमूह नहीं है — अभ्यास 1.1)। सिलो प्रमेय अभाज्य घातों के लिए इस विलोम को बचा लेती हैं, और उनका गणना संबंधी अंश प्रसामान्य उपसमूह उत्पन्न करने का हमारा सबसे तीक्ष्ण सामान्य उपकरण है।

परिभाषा 1.16

$p \nmid m$ के साथ $\abs G = p^a m$ लिखिए। $G$ का सिलो $p$ -उपसमूह क्रम $p^a$ का उपसमूह है — अर्थात् संभवतम सबसे बड़े क्रम का $p$ -उपसमूह। $G$ के सिलो $p$ -उपसमूहों की संख्या $n_p$ से निरूपित की जाती है।

प्रमेयिका 1.17

यदि $p \nmid m$ के साथ $\abs G = p^a m$ हो, तो $\dbinom{p^a m}{p^a} \equiv m \pmod p$ ।

उपपत्ति. $\mathbb F_p[X]$ में, नौसिखिए का स्वप्न $(1+X)^p = 1 + X^p$ (गुणांक $\binom pk$ , $0<k<p$ , $p$ से विभाज्य हैं: $p$ $\frac{p!}{k!(p-k)!}$ के अंश को विभाजित करता है पर हर को नहीं) पुनरावृत्ति से $(1+X)^{p^a} = 1 + X^{p^a}$ बन जाता है, जिससे

(1+X)^{p^a m} = \bigl(1 + X^{p^a}\bigr)^m = \sum_{k=0}^{m} \binom mk X^{k p^a} \quad \mathbb F_p[X] \text{ में}.

अब $X^{p^a}$ के गुणांक की पहचान कीजिए: बाईं ओर $\binom{p^a m}{p^a} \bmod p$ , दाईं ओर $\binom m1 = m$ । ∎

प्रमेय 1.18 (सिलो I: अस्तित्व)

प्रत्येक अभाज्य $p$ के लिए $G$ के सिलो $p$ -उपसमूह विद्यमान हैं।

उपपत्ति (वीलांट). मान लीजिए $\Omega$ गणनीयता $p^a$ वाले $G$ के उपसमुच्चयों का समुच्चय है; $G$ बाएँ स्थानांतरण $g \cdot S = gS$ द्वारा $\Omega$ पर क्रिया करता है। प्रमेयिका 1.17 से $\abs\Omega = \binom{p^a m}{p^a} \equiv m \not\equiv 0 \pmod p$ , अतः किसी कक्षा $\mathcal O_S$ का आकार $p$ से सह-अभाज्य है (यदि $p$ हर कक्षा के आकार को विभाजित करता, तो वह $\abs\Omega$ को भी विभाजित करता)। ऐसे ही किसी $S$ का स्थायीकारी $H = G_S$ लीजिए। चूँकि $[G : H] = \abs{\mathcal O_S}$ $p$ से सह-अभाज्य है और $p^a \mid \abs G = [G:H]\,\abs H$ , हमें $p^a \mid \abs H$ मिलता है। विलोमतः, $s \in S$ को स्थिर कीजिए: प्रतिचित्रण $H \to S$ , $h \mapsto hs$ , एकैकी है और $S$ में उतरता है क्योंकि $hS = S$ ; अतः $\abs H \leq \abs S = p^a$ । इसलिए $\abs H = p^a$ । ∎

प्रमेय 1.19 (सिलो II: प्रभुत्व और संयुग्मता)

मान लीजिए $P$ एक सिलो $p$ -उपसमूह है और $Q$ $G$ का कोई भी $p$ -उपसमूह। तब किसी $g \in G$ के लिए $Q \subseteq gPg^{-1}$ । विशेष रूप से सभी सिलो $p$ -उपसमूह संयुग्म होते हैं, और $P \trianglelefteq G \iff n_p = 1$ ।

उपपत्ति. $Q$ को गणनीयता $m \not\equiv 0 \pmod p$ वाली सहसमुच्चय समष्टि $X = G/P$ पर क्रिया करने दीजिए। $p$ -समूह $Q$ पर प्रमेय 1.12 लगाने से $\abs{X^Q} \equiv m \not\equiv 0 \pmod p$ : कोई स्थिर सहसमुच्चय $gP$ है, अर्थात् $QgP = gP$ , अर्थात् $g^{-1}Qg \subseteq P$ । यदि $Q$ स्वयं एक सिलो उपसमूह हो, तो क्रमों की समानता $Q \subseteq gPg^{-1}$ को समता में बदल देती है। अंततः $P \trianglelefteq G$ तभी और केवल तभी जब उसके संयुग्म $\{gPg^{-1}\}$ — जो ऊपर के अनुसार समस्त सिलो $p$ -उपसमूह हैं — घटकर $\{P\}$ रह जाएँ। ∎

प्रमेय 1.20 (सिलो III: गणना)

$n_p \equiv 1 \pmod p$ , तथा $n_p = [G : N_G(P)]$ , जो $m$ को विभाजित करता है।

उपपत्ति. मान लीजिए $\mathrm{Syl}_p$ सिलो $p$ -उपसमूहों का समुच्चय है; $G$ उस पर संयुग्मन द्वारा संक्रमणीय रूप से क्रिया करता है (प्रमेय 1.19), और $P$ का स्थायीकारी प्रसामान्यक $N_G(P) \supseteq P$ है: $n_p = [G : N_G(P)]$ , और $m = [G:P] = [G:N_G(P)]\,[N_G(P):P]$ से $n_p \mid m$ सिद्ध हो जाता है।

अब क्रिया को $P$ तक सीमित कीजिए और स्थिर बिंदु गिनिए। यदि $Q \in \mathrm{Syl}_p$ $P$ द्वारा स्थिर हो, तो $P \subseteq N_G(Q)$ ; $P$ और $Q$ दोनों समूह $N_G(Q)$ के सिलो $p$ -उपसमूह हैं, अतः उसी में संयुग्म हैं ( $N_G(Q)$ पर प्रमेय 1.19 लगाइए); परंतु $Q \trianglelefteq N_G(Q)$ , इसलिए वहाँ $Q$ का एकमात्र संयुग्म वह स्वयं है: $P = Q$ । इस प्रकार एकमात्र स्थिर बिंदु $P$ स्वयं है, और प्रमेय 1.12 से $n_p = \abs{\mathrm{Syl}_p} \equiv \abs{\mathrm{Syl}_p^P} = 1 \pmod p$ मिल जाता है। ∎

विधि 1.21

दिए हुए क्रम $n = p^a m$ के समूह का विश्लेषण करने के लिए: $m$ के उन भाजकों की सूची बनाइए जो $p$ के सापेक्ष $1$ के सर्वांगसम हैं — ये $n_p$ के उम्मीदवार हैं। यदि एकमात्र उम्मीदवार $1$ हो, तो सिलो $p$ -उपसमूह प्रसामान्य है। यदि $n_p > 1$ का छोटा होना अनिवार्य हो, तो $\mathrm{Syl}_p$ पर संयुग्मन द्वारा क्रिया कराकर छोटी अष्टि वाली समाकारिता $G \to S_{n_p}$ प्राप्त कीजिए। और अवयव गिनिए: अभाज्य क्रम $p$ के भिन्न-भिन्न सिलो $p$ -उपसमूह तुच्छ रूप से प्रतिच्छेद करते हैं, अतः वे ठीक क्रम $p$ के $n_p(p-1)$ अवयव धारण करते हैं; भिन्न अभाज्यों के लिए ये गणनाएँ अतिव्यापी होकर प्रायः विरोधाभास पर विवश कर देती हैं (अभ्यास 1.7)।

उदाहरण 1.22

मान लीजिए $\abs G = pq$ है, जहाँ $p < q$ अभाज्य हैं और $p \nmid q - 1$ । तब $n_q \mid p$ और $n_q \equiv 1 \bmod q$ से $n_q = 1$ अनिवार्य हो जाता है (क्योंकि $p < q$ ); $n_p \mid q$ और $n_p \equiv 1 \bmod p$ से $n_p = 1$ (क्योंकि $q \not\equiv 1 \bmod p$ )। मान लीजिए $P, Q$ दोनों प्रसामान्य सिलो उपसमूह हैं: $P \cap Q = \{e\}$ (क्रम सह-अभाज्य हैं), अतः $\abs{PQ} = pq$ (अभ्यास 1.4) और नीचे दी गई प्रतिज्ञप्ति 1.24 से $G \cong P \times Q \cong \Z/p\Z \times \Z/q\Z \cong \Z/pq\Z$ । क्रम $15$ , $33$ , $35$ , … का प्रत्येक समूह चक्रीय है। अपवर्जित स्थिति $p \mid q - 1$ ठीक एक और समूह देती है, जो अनाबेली है — सप्ताहांत समस्या देखिए (समस्या 1.1)।

उदाहरण 1.23 (एक पूर्ण सिलो गणना: $S_4$ )

आइए इस विधि को $G = S_4$ , $\abs G = 24 = 2^3\cdot3$ पर चलाएँ। सिलो $3$ : $n_3 \mid 8$ , $n_3 \equiv 1 \bmod 3$ , अतः $n_3 \in \{1, 4\}$ ; और चूँकि $\langle(123)\rangle$ तथा $\langle(124)\rangle$ भिन्न हैं, $n_3 = 4$ — अर्थात् चार उपसमूह $\langle(abc)\rangle$ , प्रत्येक $3$ -अवयवी उपसमुच्चय $\{a, b, c\}$ के लिए एक, जो $8$ त्रि-चक्रों का लेखा-जोखा पूरा कर देते हैं। सिलो II से वे संयुग्म हैं, और यहाँ संयुग्मन समाकारिता $S_4 \to S_{\mathrm{Syl}_3} \cong S_4$ एक तुल्याकारिता है (उसकी अष्टि क्रम $24/4 = 6$ वाले $N = N_G(\langle(123)\rangle)$ में अंतर्विष्ट है, और $S_3$ जैसे $N$ के भीतर $S_4$ का प्रसामान्य उपसमूह तुच्छ ही हो सकता है: वह चारों सिलो उपसमूहों को स्थिर रखने वाले सम क्रमचयों से बनता, और ऐसा केवल $e$ करता है)। सिलो $2$ : $n_2 \mid 3$ , $n_2 \equiv 1 \bmod 2$ : $n_2 \in \{1, 3\}$ । उपसमूह $D = \langle(1234), (13)\rangle$ का क्रम $8$ है (एक द्विफलकी $D_4$ : शीर्षों $1, 2, 3, 4$ वाले वर्ग की सममितियाँ), वह प्रसामान्य नहीं है ( $(12)(1234)(12) = (2134)$ एक भिन्न $4$ -चक्र उपसमूह जनित करता है), अतः $n_2 = 3$ : $D_4$ की तीन प्रतियाँ $4$ बिंदुओं को एक “वर्ग” में युग्मित करने के तीन तरीकों के अनुरूप हैं। इस गणना का सार ध्यान देने योग्य है: $\abs{S_4} = 24$ में दोनों में से किसी भी सिलो उपसमूह के अप्रसामान्य होने की गुंजाइश बची रहती है, और दोनों ही अप्रसामान्य निकलते हैं — इसकी तुलना क्रम $12$ से कीजिए, जहाँ गणना उनमें से एक को प्रसामान्य होने पर विवश कर देती है (समस्या 1.1 का भाग IV)।

1.4 गुणन: प्रत्यक्ष और अर्ध-प्रत्यक्ष

प्रतिज्ञप्ति 1.24 (प्रत्यक्ष गुणन की पहचान)

मान लीजिए $H, K \trianglelefteq G$ के साथ $H \cap K = \{e\}$ और $HK = G$ । तब $(h,k) \mapsto hk$ एक तुल्याकारिता $H \times K \to G$ है।

उपपत्ति. $h \in H$ , $k \in K$ के लिए क्रमविनिमेयक $hkh^{-1}k^{-1}$ $K$ में है ( $K$ की प्रसामान्यता का उपयोग करते हुए इसे $(hkh^{-1})k^{-1}$ के रूप में पढ़िए) और $H$ में भी (इसे $h(kh^{-1}k^{-1})$ के रूप में पढ़िए): अतः वह $e$ है, इसलिए $H$ और $K$ अवयवशः क्रमविनिमेय हैं और प्रतिचित्रण समाकारिता है। यह आच्छादक है क्योंकि $HK = G$ , और एकैकी है क्योंकि $hk = e$ से $h = k^{-1} \in H \cap K = \{e\}$ मिलता है। ∎

दोनों गुणनखंडों की प्रसामान्यता ही सबसे अधिक बार विफल होती है: $S_3 = \langle (1\,2\,3)\rangle \,\langle(1\,2)\rangle$ में दोनों गुणनखंड तुच्छ रूप से प्रतिच्छेद करते हैं और मिलकर पूरा समूह जनित करते हैं, फिर भी $S_3 \not\cong \Z/3\Z \times \Z/2\Z$ । जब केवल एक ही गुणनखंड प्रसामान्य हो, तब उपयुक्त धारणा यह है:

परिभाषा 1.25

मान लीजिए $H$ , $K$ समूह हैं और $\varphi \colon K \to \operatorname{Aut}(H)$ एक समाकारिता है। अर्ध-प्रत्यक्ष गुणन $H \rtimes_\varphi K$ समुच्चय $H \times K$ है, जिस पर संक्रिया

(h, k)\,(h', k') = \bigl(h\,\varphi(k)(h'),\; kk'\bigr).

प्रतिज्ञप्ति 1.26

$H \rtimes_\varphi K$ एक समूह है; $H \times \{e\}$ $H$ के तुल्याकारी एक प्रसामान्य उपसमूह है और $\{e\} \times K$ $K$ के तुल्याकारी एक उपसमूह; वे तुच्छ रूप से प्रतिच्छेद करते हैं और मिलकर पूरा समूह जनित करते हैं। विलोमतः, यदि $N \trianglelefteq G$ , $K \leq G$ और $N \cap K = \{e\}$ के साथ $G = NK$ हो, तो $\varphi(k) = (n \mapsto knk^{-1})$ के लिए $G \cong N \rtimes_\varphi K$ ।

उपपत्ति. सीधा सत्यापन: साहचर्य $\varphi(kk') = \varphi(k)\circ\varphi(k')$ पर और प्रत्येक $\varphi(k)$ के समाकारिता होने पर सिमट जाता है; तत्समक $(e,e)$ है और $(h,k)^{-1} = \bigl(\varphi(k^{-1})(h^{-1}), k^{-1}\bigr)$ । प्रक्षेप $(h,k) \mapsto k$ $K$ पर एक आच्छादक समाकारिता है जिसकी अष्टि $H \times \{e\}$ है, अतः वह प्रसामान्य है। विलोम के लिए: प्रत्येक $g \in G$ $n \in N$ , $k \in K$ के साथ अद्वितीय रूप से $nk$ लिखा जाता है (अस्तित्व: $G = NK$ ; अद्वितीयता: $nk = n'k'$ से $n'^{-1}n = k'k^{-1} \in N \cap K$ मिलता है), और

(nk)(n'k') = n\,(kn'k^{-1})\;kk'

से पता चलता है कि $nk \mapsto (n, k)$ $G$ की संक्रिया को $N \rtimes_\varphi K$ की संक्रिया पर ले जाता है। ∎

उदाहरण 1.27

(क) किसी सम $n$ -भुज की $2n$ सममितियों का द्विफलकी समूह $D_n$ ( $n \geq 3$ ): घूर्णन सूचकांक $2$ का एक प्रसामान्य उपसमूह बनाते हैं, कोई भी परावर्तन एक पूरक जनित करता है, और किसी घूर्णन का परावर्तन द्वारा संयुग्मन उसे उलट देता है: $\varphi(1) = (x \mapsto -x)$ के साथ $D_n \cong \Z/n\Z \rtimes_\varphi \Z/2\Z$ । (ख) एक रेखा का आफ़ीन समूह, $\{x \mapsto ax + b : a \in K^\times,\, b \in K\} \cong K \rtimes K^\times$ : स्थानांतरण प्रसामान्य, समरूपण एक पूरक। (ग) $S_n \cong A_n \rtimes \Z/2\Z$ (पूरक: कोई भी स्थानांतरण)। (घ) क्वाटर्नियन समूह $Q_8$ उचित उपसमूहों का अर्ध-प्रत्यक्ष गुणन नहीं है: प्रत्येक अतुच्छ उपसमूह $-1$ को अंतर्विष्ट करता है (समस्या 1.1), अतः कोई भी दो उचित उपसमूह तुच्छ रूप से प्रतिच्छेद नहीं करते।

1.5 विलेय समूह; $A_n$ की सरलता

परिभाषा 1.28

$x, y \in G$ का क्रमविनिमेयक $[x,y] = xyx^{-1}y^{-1}$ है; व्युत्पन्न उपसमूह $D(G)$ समस्त क्रमविनिमेयकों से जनित उपसमूह है। व्युत्पन्न श्रेणी $D^0(G) = G$ , $D^{i+1}(G) = D(D^i(G))$ है, और $G$ विलेय कहलाता है यदि किसी $n$ के लिए $D^n(G) = \{e\}$ हो।

प्रतिज्ञप्ति 1.29

$D(G)$ प्रसामान्य है (वस्तुतः प्रत्येक स्वसमाकारिता के अंतर्गत स्थिर), $G/D(G)$ आबेली है, और $N \trianglelefteq G$ के लिए: $G/N$ आबेली $\iff D(G) \subseteq N$ । इसके अतिरिक्त $G$ विलेय है तभी और केवल तभी जब कोई ऐसी शृंखला $G = G_0 \trianglerighteq G_1 \trianglerighteq \dots \trianglerighteq G_n = \{e\}$ हो जिसमें प्रत्येक $G_{i+1} \trianglelefteq G_i$ और प्रत्येक भागफल $G_i/G_{i+1}$ आबेली हो। विलेय समूहों के उपसमूह और भागफल विलेय होते हैं; विलोमतः, यदि $N$ और $G/N$ विलेय हों, तो $G$ भी विलेय है।

उपपत्ति. कोई स्वसमाकारिता $\alpha$ $[x,y]$ को $[\alpha x, \alpha y]$ पर भेजती है: वह क्रमविनिमेयकों का क्रमचय करती है, अतः उनसे जनित उपसमूह को सुरक्षित रखती है; संयुग्मन स्वसमाकारिताएँ हैं, जिससे प्रसामान्यता सिद्ध हो जाती है। $G/D(G)$ में $\bar x\bar y \bar x^{-1}\bar y^{-1} = \overline{[x,y]} = \bar e$ : भागफल आबेली है। यदि $G/N$ आबेली हो तो प्रत्येक $[x,y] \in N$ , अतः $D(G) \subseteq N$ ; विलोमतः यदि $D(G) \subseteq N$ हो तो $G/N$ तृतीय तुल्याकारिता प्रमेय से आबेली $G/D(G)$ का भागफल होने के कारण आबेली है।

यदि $G$ विलेय हो, तो व्युत्पन्न श्रेणी ऐसी ही एक शृंखला है। विलोमतः, ऐसी शृंखला दी हो तो आगमन द्वारा $D^i(G) \subseteq G_i$ : $G_i/G_{i+1}$ के आबेली होने से $D(G_i) \subseteq G_{i+1}$ मिलता है, अतः $D^{i+1}(G) = D(D^i G) \subseteq D(G_i) \subseteq G_{i+1}$ ; इसलिए $D^n(G) = \{e\}$ ।

वंशानुक्रम: $H \leq G$ के लिए $D^i(H) \subseteq D^i(G)$ (आगमन), और $D^i(G/N) = \pi(D^i(G))$ , क्योंकि $\pi$ क्रमविनिमेयकों को क्रमविनिमेयकों पर आच्छादित करता है; इससे उपसमूहों और भागफलों संबंधी कथन मिल जाते हैं। विस्तार: यदि $D^m(G/N) = \{e\}$ हो तो $D^m(G) \subseteq N$ , और $D^n(N) = \{e\}$ से $D^{m+n}(G) = D^n(D^m(G)) \subseteq D^n(N) = \{e\}$ मिलता है। ∎

उदाहरण 1.30

आबेली समूह विलेय होते हैं। $p$ -समूह क्रम पर आगमन द्वारा विलेय होते हैं: $Z(G) \neq \{e\}$ और $G/Z(G)$ एक छोटा $p$ -समूह है। $S_3$ और $S_4$ विलेय हैं: $S_4 \trianglerighteq A_4 \trianglerighteq V \trianglerighteq \{e\}$ , जहाँ $V = \{e, (1\,2)(3\,4), (1\,3)(2\,4), (1\,4)(2\,3)\}$ द्विक स्थानांतरणों का क्लाइन समूह है ( $S_4$ में प्रसामान्य: वह संयुग्मन वर्गों का सम्मिलन है), और भागफल $\Z/2\Z$ , $\Z/3\Z$ , $V$ आबेली हैं। अध्याय 4 में “घात $n$ का व्यापक समीकरण मूलों द्वारा हल्य है” का शाब्दिक अर्थ ही होगा “ $S_n$ एक विलेय समूह है”। इसी से अगली परिभाषा का महत्त्व स्पष्ट होता है।

परिभाषा 1.31

कोई समूह $G \neq \{e\}$ सरल कहलाता है यदि उसके एकमात्र प्रसामान्य उपसमूह $\{e\}$ और $G$ हों। अनाबेली सरल समूह विलेय नहीं होता: $D(G) \trianglelefteq G$ $\{e\}$ नहीं है (अन्यथा $G$ आबेली होता), अतः $D(G) = G$ और व्युत्पन्न श्रेणी अचर रहती है। आबेली सरल समूह ठीक $\Z/p\Z$ हैं, जहाँ $p$ अभाज्य है (कोई आबेली समूह सरल है तभी और केवल तभी जब उसका कोई उचित अतुच्छ उपसमूह न हो, अर्थात् लाग्राँज से वह अभाज्य क्रम का चक्रीय समूह हो)।

प्रमेयिका 1.32

$n \geq 3$ के लिए $A_n$ $3$ -चक्रों से जनित है; और $n \geq 5$ के लिए समस्त $3$ -चक्र $A_n$ में संयुग्म हैं।

उपपत्ति. $A_n$ का कोई अवयव सम संख्या में स्थानांतरणों का गुणनफल है; उन्हें जोड़ों में बाँटिए और (दाएँ से बाएँ संयोजन लेते हुए)

(a\,b)(c\,d) = (a\,c\,b)(a\,c\,d), \qquad (a\,b)(b\,c) = (a\,b\,c), \qquad (a\,b)(a\,b) = e

का क्रमशः असंयुक्त, अतिव्यापी और समान जोड़ों के लिए उपयोग कीजिए: स्थानांतरणों का प्रत्येक जोड़ा $3$ -चक्रों का गुणनफल है।

संयुग्मता: $\sigma(a\,b\,c)\sigma^{-1} = (\sigma a\; \sigma b\; \sigma c)$ , अतः कोई भी दो $3$ -चक्र किसी $\sigma \in S_n$ द्वारा संयुग्म हैं। यदि $\sigma$ विषम हो, तो उसके स्थान पर $\sigma' = \sigma (d\,e)$ लीजिए, जहाँ $d, e$ $\{a, b, c\}$ के बाहर के दो बिंदु हैं — वे विद्यमान हैं क्योंकि $n \geq 5$ ; तब $\sigma'$ सम है और $\sigma'(a\,b\,c) \sigma'^{-1} = \sigma(a\,b\,c)\sigma^{-1}$ , क्योंकि $(d\,e)$ $(a\,b\,c)$ के साथ क्रमविनिमेय है। ∎

प्रमेय 1.33 (एकांतर समूह की सरलता)

$n \geq 5$ के लिए $A_n$ सरल है।

उपपत्ति. मान लीजिए $N \trianglelefteq A_n$ , $N \neq \{e\}$ । प्रमेयिका 1.32 से यह दिखाना पर्याप्त है कि $N$ में एक $3$ -चक्र है: तब $A_n$ में $3$ -चक्रों की प्रसामान्यता और संयुग्मता समस्त $3$ -चक्रों को $N$ में डाल देती है, अतः $N = A_n$ ।

$\rho \in S_n$ के लिए मान लीजिए $F(\rho) = \{x : \rho(x) \neq x\}$ उसका आलंब है और $f(\rho) = \abs{F(\rho)}$ । न्यूनतम $f(\sigma)$ वाला $\sigma \in N \setminus \{e\}$ चुनिए। ध्यान दीजिए कि किसी अतुच्छ सम क्रमचय के लिए $f \geq 3$ होता है, और $\sigma \in A_n$ के लिए $f(\sigma) = 4$ असंभव है जब तक $\sigma$ एक द्विक स्थानांतरण न हो ( $4$ -चक्र विषम होता है)। हम दिखाएँगे कि $\sigma$ एक $3$ -चक्र है।

स्थिति क: $\sigma$ असंयुक्त स्थानांतरणों का गुणनफल है, मान लीजिए $f(\sigma) \geq 4$ के साथ $\sigma = (a\,b)(c\,d)\cdots$ । $e' \notin \{a, b, c, d\}$ चुनिए (यह संभव है: $n \geq 5$ ), $\tau = (c\,d\,e')$ रखिए और

\sigma' = \tau\sigma\tau^{-1}\,\sigma^{-1} \in N \qquad (\tau\sigma\tau^{-1} \in N \text{, प्रसामान्यता से}).

चूँकि $\sigma\tau^{-1}\sigma^{-1} = (\sigma c\;\sigma e'\;\sigma d) = (d\;\sigma e'\;c)$ ( $\sigma c = d$ , $\sigma d = c$ का उपयोग करते हुए), हमें $\sigma' = (c\,d\,e')(d\;\sigma e'\;c)$ मिलता है।

यदि $\sigma e' = e'$ (जो विशेष रूप से तब होता है जब $f(\sigma) = 4$ , अर्थात् $\sigma = (a\,b)(c\,d)$ ): तब $(d\,e'\,c) = (c\,d\,e')$ और $\sigma' = (c\,d\,e')^2 = (c\,e'\,d)$ , जो $N$ में स्थित एक $3$ -चक्र है, जिसके लिए $f(\sigma') = 3 < 4 \leq f(\sigma)$ — यह न्यूनतमता का खंडन है।

यदि $\sigma e' \neq e'$ : तब $\sigma e' \notin \{a, b, c, d, e'\}$ ( $\sigma$ $a,b$ और $c,d$ की अदला-बदली करता है, और एकैकी $\sigma$ के साथ $e' \notin \{a,b,c,d\}$ ), अतः $\sigma$ छह बिंदुओं $a, b, c, d, e', \sigma e'$ को हिलाता है: $f(\sigma) \geq 6$ । दूसरी ओर $\sigma'$ , जो $\{c, d, e', \sigma e'\}$ में आलंब वाले दो $3$ -चक्रों का गुणनफल है, $f(\sigma') \leq 4$ को संतुष्ट करता है; और $\sigma' \neq e$ , क्योंकि $\sigma'(d) = \tau\sigma\tau^{-1}(c) = \tau\sigma(e') = \sigma e' \neq d$ ( $\tau$ $\sigma e' \notin \{c,d,e'\}$ को स्थिर रखता है)। अतः $f(\sigma') \leq 4 < f(\sigma)$ के साथ $\sigma' \in N \setminus\{e\}$ : न्यूनतमता का खंडन हो जाता है।

स्थिति ख: $\sigma$ के किसी चक्र की लंबाई $\geq 3$ है, मान लीजिए $\sigma(a) = b$ , जहाँ $a, b, c$ भिन्न हैं और $\sigma(b) = c$ । यदि $\sigma$ ठीक यही $3$ -चक्र हो, तो काम पूरा हुआ। अन्यथा $f(\sigma) \geq 5$ ( $\geq3$ -चक्र के साथ $f(\sigma) = 4$ वाली स्थिति विषम $4$ -चक्र है, जो अपवर्जित है), अतः हम $d, e' \in F(\sigma) \setminus \{a, b, c\}$ चुन सकते हैं। $\tau = (c\,d\,e')$ रखिए और $\sigma' = \tau\sigma\tau^{-1}\sigma^{-1} \in N$ । पहले की तरह $\sigma' = (c\,d\,e')\,(\sigma c\;\sigma e'\;\sigma d)$ केवल

M = \{c, d, e'\} \cup \{\sigma c, \sigma d, \sigma e'\} \subseteq F(\sigma)

के बिंदुओं को हिलाता है (हिले हुए बिंदुओं के प्रतिबिंब भी हिलते हैं: $\sigma(x) \ne x$ से $\sigma(\sigma x) \neq \sigma x$ मिलता है, क्योंकि $\sigma$ एकैकी है)। साथ ही $b \notin M$ : पाँच बिंदु $a, b, c, d, e'$ भिन्न हैं, अतः $b \notin \{c, d, e'\}$ ; और $b \in \{\sigma c, \sigma d, \sigma e'\}$ से $a \in \{c, d, e'\}$ अनिवार्य हो जाता ( $\sigma a = b$ का उपयोग करते हुए $\sigma^{-1}$ लगाइए), जो असत्य है। अतः $\sigma'$ $b$ को स्थिर रखता है, जबकि $\sigma$ $b$ को हिलाता है; और $F(\sigma') \subseteq F(\sigma)$ । अंततः $\sigma' \neq e$ : $\sigma^{-1}(c) = b$ , $\tau^{-1}(b) = b$ , $\sigma(b) = c$ , $\tau(c) = d$ , अतः $\sigma'(c) = d \neq c$ । इस प्रकार $f(\sigma') \leq f(\sigma) - 1$ के साथ $\sigma' \in N \setminus \{e\}$ , जो न्यूनतमता का खंडन करता है।

दोनों स्थितियाँ असंभव होने से $\sigma$ एक $3$ -चक्र है। ∎

उपप्रमेय 1.34

$n \geq 5$ के लिए: $A_n$ और $S_n$ विलेय नहीं हैं, और $S_n$ के एकमात्र प्रसामान्य उपसमूह $\{e\}$ , $A_n$ और $S_n$ हैं।

उपपत्ति. $A_n$ अनाबेली सरल है, अतः विलेय नहीं (परिभाषा 1.31); और अविलेय उपसमूह वाला समूह विलेय नहीं होता (प्रतिज्ञप्ति 1.29)। मान लीजिए $N \trianglelefteq S_n$ : तब $N \cap A_n \trianglelefteq A_n$ $\{e\}$ या $A_n$ के बराबर है। यदि $N \cap A_n = A_n$ हो, तो $A_n \subseteq N$ और सूचकांक से $N \in \{A_n, S_n\}$ । यदि $N \cap A_n = \{e\}$ हो, तो प्रक्षेप $S_n \to S_n/A_n \cong \Z/2\Z$ का $N$ पर प्रतिबंध एकैकी है, अतः $\abs N \leq 2$ ; और यदि $N = \{e, \sigma\}$ हो, तो प्रसामान्यता से $\sigma$ का संयुग्मन वर्ग $\{\sigma\}$ के बराबर हो जाता है, अर्थात् $\sigma \in Z(S_n)$ । परंतु $n \geq 3$ के लिए $Z(S_n) = \{e\}$ : यदि $\sigma \ne e$ $a$ को $b \neq a$ पर ले जाए, तो $c \notin \{a, b\}$ चुनिए; तब $(b\,c)\sigma(b\,c)^{-1}$ $a$ को $c \ne b$ पर भेजता है, अतः वह $\sigma$ से भिन्न है। अतः $N = \{e\}$ । ∎

प्रमेय 1.35 (जॉर्डन–होल्डर)

प्रत्येक परिमित समूह $G \neq \{e\}$ एक संघटन श्रेणी

\{e\} = G_0 \trianglelefteq G_1 \trianglelefteq \cdots \trianglelefteq G_r = G, \qquad G_{i}/G_{i-1} \text{ सरल},

स्वीकार करता है, और संघटन गुणनखंडों $G_i/G_{i-1}$ का बहुसमुच्चय, तुल्याकारिता तक, चुनी गई श्रेणी पर निर्भर नहीं करता। कोई परिमित समूह विलेय है तभी और केवल तभी जब उसके सभी संघटन गुणनखंड अभाज्य क्रम के चक्रीय समूह हों।

उपपत्ति. अस्तित्व: $\abs G$ पर आगमन। यदि $G$ सरल हो, तो $\{e\} \trianglelefteq G$ लीजिए। अन्यथा कोई महत्तम उचित प्रसामान्य उपसमूह $N$ चुनिए (उपसमूह परिमित संख्या में हैं); संगति प्रमेय से $G/N$ सरल है ( $G/N$ का कोई उचित अतुच्छ प्रसामान्य उपसमूह $N$ और $G$ के बीच कड़ाई से स्थित $G$ के प्रसामान्य उपसमूह तक उठ जाता)। $N$ की एक संघटन श्रेणी में $N \trianglelefteq G$ जोड़ दीजिए।

अद्वितीयता: $\abs G$ पर आगमन; $G$ के सरल होने की स्थिति स्पष्ट है। दो संघटन श्रेणियाँ लीजिए, जिनके उपांत्य पद $M \trianglelefteq G$ और $N \trianglelefteq G$ हैं (अतः $G/M$ , $G/N$ सरल हैं)। यदि $M = N$ हो, तो $M$ पर आगमन लगाकर निष्कर्ष निकल आता है। अन्यथा $MN$ , जो $G$ में प्रसामान्य है और $M$ को कड़ाई से अंतर्विष्ट करता है, $G$ के बराबर है ( $M$ महत्तम प्रसामान्य है: कोई भी प्रसामान्य $M \subsetneq L \subsetneq G$ सरल $G/M$ के एक उचित अतुच्छ प्रसामान्य उपसमूह पर जाता)। द्वितीय तुल्याकारिता प्रमेय से

G/M = MN/M \cong N/(M \cap N), \qquad G/N = MN/N \cong M/(M \cap N).

$K = M \cap N$ रखिए ( $\trianglelefteq G$ ) और $K$ की एक संघटन श्रेणी स्थिर कीजिए। तब $M$ पर दो संघटन श्रेणियाँ हैं: उसकी मूल श्रेणी, और $K$ की श्रेणी के बाद $K \trianglelefteq M$ (भागफल $M/K \cong G/N$ सरल है)। आगमन से ( $M$ पर लगाकर) $M$ की मूल श्रेणी के गुणनखंड $\{K \text{ के गुणनखंड}\} \cup \{G/N\}$ हैं; $N$ के लिए भी वैसा ही। अतः $G$ की दोनों श्रेणियों के गुणनखंड

\{K \text{ के गुणनखंड}\} \;\cup\; \{\,G/N,\; G/M\,\},

हैं — वही बहुसमुच्चय।

विलेयता: यदि सभी गुणनखंड $\Z/p_i\Z$ हों, तो श्रेणी आबेली भागफलों वाली एक शृंखला है, अतः $G$ विलेय है (प्रतिज्ञप्ति 1.29)। विलोमतः, विलेय समूह का संघटन गुणनखंड विलेय (किसी उपसमूह का भागफल) और सरल होता है; और विलेय सरल समूह आबेली होता है ( $D(G) \ne G$ से $D(G) = \{e\}$ अनिवार्य है), अतः वह कोई $\Z/p\Z$ है। ∎

टिप्पणी 1.36

जॉर्डन–होल्डर कहती है कि प्रत्येक परिमित समूह सरल समूहों से बना है, और उसकी पुर्जों की सूची सुनिश्चित है — समूहों का एक ऐसा अंकगणित जिसमें सरल समूह अभाज्यों की भूमिका निभाते हैं, और जहाँ साधारण गुणा की जगह यह प्रश्न ले लेता है कि पुर्जे किस प्रकार जोड़े गए हैं (विस्तार आँकड़े, जैसे अर्ध-प्रत्यक्ष गुणन में)। परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण — चक्रीय $\Z/p\Z$ , एकांतर $A_{n \geq 5}$ , ली प्रकार के सोलह कुल, और $26$ विरल समूह — बीसवीं शताब्दी के गणित के स्मारकों में से एक है; लगभग दस हजार शोध-पृष्ठों में फैली उसकी उपपत्ति इस पाठ्यक्रम से बहुत परे है।

द्विफलकी समूह D_4 = r, s r4 = s2 = e,\ srs-1 = r-1 के दस उपसमूह। सूचकांक 2 वाले तीन उपसमूह (बीच की पंक्ति) प्रसामान्य हैं, और केंद्र r2 (उभारा हुआ) भी। चार परावर्तन उपसमूह दो-दो के दो संयुग्मन वर्गों में बँटते हैं। नीचे से ऊपर तक की शृंखलाएँ संघटन श्रेणियाँ देती हैं, उदाहरणार्थ \e\ r2 r D_4: गुणनखंड ℤ/2ℤ, ℤ/2ℤ, ℤ/2ℤ — सदा वही बहुसमुच्चय, जैसा जॉर्डन–होल्डर माँगती है। — द्विफलकी समूह $D_4 = \langle r, s \mid r^4 = s^2 = e,\ srs^{-1} = r^{-1}\rangle$ के दस उपसमूह। सूचकांक $2$ वाले तीन उपसमूह (बीच की पंक्ति) प्रसामान्य हैं, और केंद्र $\langle r^2\rangle$ (उभारा हुआ) भी। चार परावर्तन उपसमूह दो-दो के दो संयुग्मन वर्गों में बँटते हैं। नीचे से ऊपर तक की शृंखलाएँ संघटन श्रेणियाँ देती हैं, उदाहरणार्थ $\{e\} \trianglelefteq \langle r^2\rangle \trianglelefteq \langle r\rangle \trianglelefteq D_4$ : गुणनखंड $\Z/2\Z, \Z/2\Z, \Z/2\Z$ — सदा वही बहुसमुच्चय, जैसा जॉर्डन–होल्डर माँगती है।

1.6 अभ्यास

अभ्यास 1.1 ★

(क) दर्शाइए कि सूचकांक $2$ का प्रत्येक उपसमूह प्रसामान्य होता है। (ख) दर्शाइए कि यदि $[G : H] = 2$ हो, तो प्रत्येक $x \in G$ के लिए $x^2 \in H$ । (ग) निष्कर्ष निकालिए कि $A_4$ में क्रम $6$ का कोई उपसमूह नहीं है: लाग्राँज का विलोम विफल हो जाता है। ( $3$ -चक्रों के वर्ग गिनिए।)

हल

हल — अभ्यास 1.1.

(क) मान लीजिए $[G:H] = 2$ । $g \in H$ के लिए $gH = H = Hg$ । $g \notin H$ के लिए: दोनों बाएँ सहसमुच्चय $H$ और $gH$ हैं, अतः $gH = G \setminus H$ ; इसी प्रकार $Hg = G \setminus H$ । अतः सभी $g$ के लिए $gH = Hg$ : अर्थात् $H \trianglelefteq G$ ।

(ख) (क) से $G/H$ क्रम $2$ का समूह है; और वर्ग $\bar x$ $\bar x^2 = \bar e$ संतुष्ट करता है, अर्थात् $x^2 \in H$ ।

(ग) मान लीजिए $\abs H = 6$ वाला $H \leq A_4$ है, अतः सूचकांक $2$ का। (ख) से प्रत्येक $\sigma \in A_4$ के लिए $\sigma^2 \in H$ । प्रत्येक $3$ -चक्र ऐसा ही वर्ग है: यदि $\sigma^3 = e$ हो तो $\sigma = \sigma^4 = (\sigma^2)^2$ । अतः $H$ में $A_4$ के सभी आठ $3$ -चक्र हैं: $\abs H \geq 8 > 6$ , जो विरोधाभास है। (लाग्राँज का विलोम पहले ही अवसर पर विफल हो जाता है: $6 \mid 12$ ।)

अभ्यास 1.2 ★

दर्शाइए कि यदि $G/Z(G)$ चक्रीय हो, तो $G$ आबेली है। इससे पुनः निष्कर्ष निकालिए कि क्रम $p^2$ का प्रत्येक समूह आबेली है, और प्रत्येक अभाज्य $p$ के लिए क्रम $p^3$ का एक अनाबेली समूह प्रस्तुत कीजिए। ( $\mathbb F_p$ पर इकाई विकर्ण वाले ऊपरी त्रिभुजाकार आव्यूहों के बारे में सोचिए।)

हल

हल — अभ्यास 1.2.

कहिए $G/Z(G) = \langle gZ(G) \rangle$ । तब प्रत्येक $x \in G$ $k \in \Z$ , $z \in Z(G)$ के साथ $x = g^k z$ लिखा जाता है। $x = g^kz$ के लिए $y = g^l z'$ :

xy = g^k z\, g^l z' = g^{k+l} z z' = g^l z'\, g^k z = yx,

अर्थात् केंद्रीय अवयव जो हर चीज़ के साथ क्रमविनिमेय हैं: अतः $G$ आबेली है।

क्रम $p^2$ : $Z(G) \neq \{e\}$ (प्रमेय 1.12), अतः $\abs{Z(G)} \in \{p, p^2\}$ । यदि वह $p$ होता, तो $G/Z(G)$ का क्रम $p$ होता, अतः वह चक्रीय होता, जिससे $G$ आबेली और $Z(G) = G$ क्रम $p^2$ का हो जाता — विरोधाभास। अतः $Z(G) = G$ ।

क्रम $p^3$ का अनाबेली: क्रम $p^3$ का हाइज़नबर्ग समूह

H_p = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & a & c\\ 0 & 1 & b\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} : a, b, c \in \mathbb F_p \right\} \leq GL_3(\mathbb F_p),

( $a, b, c$ का स्वतंत्र चयन; संवरण और प्रतिलोम सीधे परिकलन से)। वह अनाबेली है: दोनों प्रारंभिक आव्यूहों $I + E_{12}$ और $I + E_{23}$ का क्रमविनिमेयक $I + E_{13} \neq I$ है।

अभ्यास 1.3 ★

(क) दर्शाइए कि $\operatorname{Aut}(\Z/n\Z) \cong (\Z/n\Z)^\times$ । (ख) दर्शाइए कि अंतःस्थ स्वसमाकारिताएँ $\iota_g \colon x \mapsto gxg^{-1}$ एक प्रसामान्य उपसमूह $\operatorname{Inn}(G) \trianglelefteq \operatorname{Aut}(G)$ बनाती हैं, जिसके लिए $\operatorname{Inn}(G) \cong G/Z(G)$ ।

हल

हल — अभ्यास 1.3.

(क) कोई समाकारिता $f \colon \Z/n\Z \to \Z/n\Z$ $k = f(\bar 1)$ से निर्धारित होती है (तब $f(\bar m) = m\bar k$ ), और प्रत्येक $\bar k$ ऐसी एक समाकारिता परिभाषित करता है। वह एकैकी-आच्छादक है तभी और केवल तभी जब $\bar k$ $\Z/n\Z$ को जनित करे, तभी जब $\gcd(k,n) = 1$ , और तभी जब $\bar k \in (\Z/n\Z)^\times$ । संयोजन गुणन से मेल खाता है: $f_k \circ f_l = f_{kl}$ । अतः $\operatorname{Aut}(\Z/n\Z) \cong (\Z/n\Z)^\times$ ।

(ख) प्रतिचित्रण $\iota\colon G \to \operatorname{Aut}(G)$ , $g \mapsto \iota_g$ , एक समाकारिता है: $\iota_g \circ \iota_h = \iota_{gh}$ । उसका प्रतिबिंब $\operatorname{Inn}(G)$ है; और उसकी अष्टि $\{g : gxg^{-1} = x\ \forall x\} = Z(G)$ । प्रथम तुल्याकारिता प्रमेय $\operatorname{Inn}(G) \cong G/Z(G)$ दे देती है। $\operatorname{Aut}(G)$ में प्रसामान्यता: $\alpha \in \operatorname{Aut}(G)$ के लिए

(\alpha \circ \iota_g \circ \alpha^{-1})(x) = \alpha\bigl(g\,\alpha^{-1}(x)\,g^{-1}\bigr) = \alpha(g)\, x\, \alpha(g)^{-1} = \iota_{\alpha(g)}(x).

अभ्यास 1.4 ★★

मान लीजिए $H, K$ किसी परिमित समूह $G$ के उपसमूह हैं। (क) प्रतिचित्रण $H \times K \to HK$ , $(h,k) \mapsto hk$ , के तंतुओं की गणना करके गुणनफल सूत्र $\abs{HK}\,\abs{H\cap K} = \abs H\, \abs K$ सिद्ध कीजिए। (ख) दर्शाइए कि $HK$ उपसमूह है तभी और केवल तभी जब $HK = KH$ (जो दोनों में से एक के प्रसामान्य होने पर स्वतः सत्य है)। (ग) यदि $H, K \trianglelefteq G$ और $H \cap K = \{e\}$ हों, तो दर्शाइए कि सभी $h \in H$ , $k \in K$ के लिए $hk = kh$ ।

हल

हल — अभ्यास 1.4.

(क) $\mu \colon H \times K \to HK$ , $(h,k) \mapsto hk$ लीजिए, जो परिभाषा से आच्छादक है। $h_0k_0 \in HK$ स्थिर कीजिए: तब $hk = h_0k_0 \iff h_0^{-1}h = k_0 k^{-1} \in H \cap K$ । $u = h_0^{-1}h$ लिखने पर $h_0k_0$ का तंतु $\{(h_0u,\, u^{-1}k_0) : u \in H \cap K\}$ है, जिसकी गणनसंख्या $\abs{H \cap K}$ है। अतः $\abs H\,\abs K = \abs{H\times K} = \abs{HK}\,\abs{H \cap K}$ ।

(ख) यदि $HK$ उपसमूह हो: $KH \subseteq HK$ , क्योंकि $kh = \bigl(h^{-1}k^{-1}\bigr)^{-1} \in (HK)^{-1} = HK$ ; और $HK = (HK)^{-1} \subseteq (KH)^{-1}\dots$ में प्रतिलोम लेने से $HK \subseteq KH$ , अथवा अधिक सीधे, $hk \in HK$ , $(hk)^{-1} = k^{-1}h^{-1} \in KH$ के लिए $HK = (HK)^{-1} \subseteq KH$ ; दोनों अंतर्विष्टियाँ $HK = KH$ दे देती हैं। विलोमतः यदि $HK = KH$ हो: संवरण, $(hk)(h'k') = h(kh')k' \in h(HK)k' = (hH)(Kk') \subseteq HK$ ; प्रतिलोम, $(hk)^{-1} = k^{-1}h^{-1} \in KH = HK$ ; और $e \in HK$ : अतः उपसमूह। यदि, कहिए, $K \trianglelefteq G$ हो, तो सभी $h$ के लिए $hK = Kh$ , अतः $HK = KH$ स्वतः।

(ग) $h \in H$ , $k \in K$ के लिए क्रमविनिमेयक $[h,k] = hkh^{-1} k^{-1}$ $(hkh^{-1})k^{-1} \in K$ के बराबर है ( $K$ प्रसामान्य) और $h(kh^{-1}k^{-1}) \in H$ के भी ( $H$ प्रसामान्य), अतः वह $H \cap K = \{e\}$ में है: इसलिए $hk = kh$ ।

अभ्यास 1.5 ★★

(बर्नसाइड की गणना प्रमेयिका) कोई परिमित समूह $G$ किसी परिमित समुच्चय $X$ पर क्रिया करता है। समुच्चय $\{(g,x) : g\cdot x = x\}$ को दो प्रकार से गिनकर दर्शाइए कि कक्षाओं की संख्या स्थिर बिंदुओं की औसत संख्या है:

\#\{\text{कक्षाएँ}\} = \frac{1}{\abs G}\sum_{g \in G} \abs{\operatorname{Fix}(g)}, \qquad \operatorname{Fix}(g) = \{x \in X : g \cdot x = x\},

अनुप्रयोग: $\Z/p\Z$ ( $p$ अभाज्य) $a$ उपलब्ध रंगों वाले $p$ मनकों के हारों पर घूर्णन द्वारा क्रिया करता है; इससे फर्मा की लघु प्रमेय $a^p \equiv a \pmod p$ निष्कर्ष के रूप में निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 1.5.

$E = \{(g,x) \in G \times X : g \cdot x = x\}$ की गणना दो प्रकार से कीजिए:

\abs E = \sum_{g \in G} \abs{\operatorname{Fix}(g)} = \sum_{x \in X} \abs{G_x} = \sum_{x \in X} \frac{\abs G}{\abs{\mathcal O_x}} = \abs G \sum_{\mathcal O \text{ कक्षा}} \sum_{x \in \mathcal O} \frac{1}{\abs{\mathcal O}} = \abs G \cdot \#\{\text{कक्षाएँ}\},

जिसमें कक्षा–स्थायीकारी ( $\abs{G_x} = \abs G/\abs{\mathcal O_x}$ ) और कक्षाओं में विभाजन का उपयोग हुआ है।

मालाएँ: मान लीजिए $X$ प्रतिचित्रणों $\Z/p\Z \to \{1, \dots, a\}$ का समुच्चय है ( $p$ स्थानों का रंगन), $\abs X = a^p$ , जिस पर $\Z/p\Z$ घूर्णन से क्रिया करता है। तत्समक सभी $a^p$ रंगनों को स्थिर रखता है। कोई घूर्णन $\bar k \neq \bar 0$ $\Z/p\Z$ को जनित करता है ( $p$ अभाज्य), अतः जो रंगन उससे स्थिर रहता है वह सभी घूर्णनों के अंतर्गत निश्चर है, इसलिए अचर: $a$ स्थिर रंगन। बर्नसाइड:

\#\{\text{कक्षाएँ}\} = \frac{a^p + (p-1)a}{p} \in \N ,

अतः $p \mid a^p + (p-1)a$ , अर्थात् $p \mid a^p - a$ : यह फेर्मा की लघु प्रमेय है, विशुद्ध गणना से।

अभ्यास 1.6 ★

सिलो प्रमेयों का उपयोग करके दर्शाइए कि क्रम $15$ का प्रत्येक समूह चक्रीय है और क्रम $45$ का प्रत्येक समूह आबेली है।

हल

हल — अभ्यास 1.6.

क्रम $15 = 3 \cdot 5$ : $n_3 \mid 5$ और $n_3 \equiv 1 \pmod 3$ से $n_3 = 1$ अनिवार्य है; तथा $n_5 \mid 3$ और $n_5 \equiv 1 \pmod 5$ से $n_5 = 1$ । सिलो $P_3, P_5$ प्रसामान्य हैं, तुच्छ रूप से प्रतिच्छेद करते हैं (सहअभाज्य क्रम), और $\abs{P_3P_5} = 15$ (अभ्यास 1.4(क)): अतः प्रतिज्ञप्ति 1.24 से $G \cong \Z/3\Z \times \Z/5\Z \cong \Z/15\Z$ (चीनी शेषफल)।

क्रम $45 = 3^2 \cdot 5$ : $n_3 \mid 5$ , $n_3 \equiv 1 \pmod 3$ से $n_3 = 1$ मिलता है; और $n_5 \mid 9$ , $n_5 \equiv 1 \pmod 5$ से $n_5 = 1$ । अतः $\abs{P_3} = 9 = 3^2$ और $\abs{P_5} = 5$ के साथ $G \cong P_3 \times P_5$ : दोनों आबेली ( $p^2$ के लिए प्रमेय 1.12; और अभाज्य क्रम चक्रीय होता है), अतः $G$ भी।

अभ्यास 1.7 ★★

दर्शाइए कि क्रम $30$ का कोई समूह सरल नहीं है, और न ही क्रम $56$ का। ( $30$ के लिए: यदि $n_3 \neq 1$ और $n_5 \neq 1$ हों, तो क्रम $3$ और $5$ के अवयव गिनिए। $56$ के लिए: क्रम $7$ के अवयव गिनिए।)

हल

हल — अभ्यास 1.7.

क्रम $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ । $n_5 \mid 6$ , $n_5 \equiv 1 \pmod 5$ : $n_5 \in \{1, 6\}$ ; $n_3 \mid 10$ , $n_3 \equiv 1 \pmod 3$ : $n_3 \in \{1, 10\}$ । मान लीजिए $G$ सरल है, अतः $n_5 = 6$ और $n_3 = 10$ । अभाज्य क्रम $p$ के दो भिन्न उपसमूह तुच्छ रूप से प्रतिच्छेद करते हैं (प्रतिच्छेद $\Z/p\Z$ का उचित उपसमूह होता है), अतः छह सिलो $5$ -उपसमूह क्रम $5$ के $6 \times 4 = 24$ अवयव धारण करते हैं, और दस सिलो $3$ -उपसमूह क्रम $3$ के $10 \times 2 = 20$ अवयव: कुल $24 + 20 = 44 > 30 - 1$ अतत्समक अवयव — जो असंगत है। अतः $n_5 = 1$ या $n_3 = 1$ : कोई प्रसामान्य सिलो विद्यमान है।

क्रम $56 = 2^3 \cdot 7$ । $n_7 \mid 8$ , $n_7 \equiv 1 \pmod 7$ : $n_7 \in \{1, 8\}$ । यदि $n_7 = 8$ हो, तो सिलो $7$ -उपसमूह क्रम $7$ के $8 \times 6 = 48$ अवयव धारण करते हैं, और ठीक $56 - 48 = 8$ अन्य अवयव बचते हैं। किसी सिलो $2$ -उपसमूह का क्रम $8$ है और वह ऐसे ही अवयवों से बना है, अतः वह उन्हीं का समुच्चय है: इसलिए $n_2 = 1$ । अतः या तो $n_7 = 1$ या $n_2 = 1$ : कभी सरल नहीं।

अभ्यास 1.8 ★★

(क) मान लीजिए $H \leq G$ सूचकांक $n$ का है। दर्शाइए कि $G/H$ पर $G$ की क्रिया से एक समाकारिता $G \to S_n$ मिलती है, जिसकी अष्टि $\bigcap_{g \in G} gHg^{-1}$ $H$ में अंतर्विष्ट $G$ का सबसे बड़ा प्रसामान्य उपसमूह है। (ख) निष्कर्ष निकालिए: यदि $G$ परिमित हो और $p$ $\abs G$ का सबसे छोटा अभाज्य भाजक हो, तो सूचकांक $p$ का प्रत्येक उपसमूह प्रसामान्य है। (ग) दर्शाइए कि किसी समुच्चय $X$ पर $G$ की प्रत्येक संक्रमणीय क्रिया किसी सहसमुच्चय समष्टि पर की क्रिया के तुल्याकारी है: क्रियाओं के साथ क्रमविनिमेय एक एकैकी आच्छादक संगति $X \to G/G_x$ विद्यमान है।

हल

हल — अभ्यास 1.8.

(क) क्रिया $g \cdot xH = gxH$ कोई समाकारिता $\rho \colon G \to \mathfrak S(G/H) \cong S_n$ देती है। उसकी अष्टि

\ker\rho = \{g : \forall x \in G,\ gxH = xH\} = \{g : \forall x,\ x^{-1}gx \in H\} = \bigcap_{x \in G} xHx^{-1},

है, जो $H$ में अंतर्विष्ट एक प्रसामान्य उपसमूह (कोई अष्टि) है ( $x = e$ लीजिए)। यदि $N \trianglelefteq G$ और $N \subseteq H$ हो, तो प्रत्येक $x$ के लिए $N = xNx^{-1} \subseteq xHx^{-1}$ , अतः $N \subseteq \ker\rho$ : अर्थात् अष्टि ऐसों में सबसे बड़ी है।

(ख) मान लीजिए $[G:H] = p$ $\abs G$ को विभाजित करने वाला सबसे छोटा अभाज्य है और $K = \ker\rho \subseteq H$ । तब $G/K$ $S_p$ में अंतःस्थापित हो जाता है, अतः $[G:K]$ $p!$ को विभाजित करता है। साथ ही $[G:K] = [G:H]\,[H:K] = p\,[H:K]$ , अतः $[H:K]$ $(p-1)!$ को विभाजित करता है। पर $[H:K]$ $\abs G$ को विभाजित करता है, जिसके सभी अभाज्य विभाजक $\geq p$ हैं, जबकि $(p-1)!$ के सभी अभाज्य विभाजक $< p$ हैं: अतः $[H:K] = 1$ , अर्थात् $H = K = \ker \rho$ प्रसामान्य है।

(ग) मान लीजिए क्रिया संक्रमणीय है और $x \in X$ । प्रतिचित्रण $\Phi \colon G/G_x \to X$ , $gG_x \mapsto g \cdot x$ , सुपरिभाषित और एकैकी-आच्छादक है (कक्षा–स्थायीकारी; कक्षा समूचा $X$ है), और वह क्रियाओं को गूँथ देता है: $\Phi(h \cdot gG_x) = \Phi(hgG_x) = (hg) \cdot x = h \cdot \Phi(gG_x)$ ।

अभ्यास 1.9 ★★

(क) दर्शाइए कि $D(G)$ आबेली भागफल वाला $G$ का सबसे छोटा प्रसामान्य उपसमूह है, और यह कि $G$ से किसी आबेली समूह में जाने वाली प्रत्येक समाकारिता आबेलीकरण $G^{\mathrm{ab}} = G/D(G)$ से होकर अद्वितीय रूप से गुजरती है। (ख) $n \geq 2$ के लिए $D(S_n)$ और $S_n^{\mathrm{ab}}$ ज्ञात कीजिए, तथा $D(Q_8)$ और $Q_8^{\mathrm{ab}}$ भी।

हल

हल — अभ्यास 1.9.

(क) $D(G)$ आबेली भागफल के साथ प्रसामान्य है (प्रतिज्ञप्ति 1.29); और यदि $N \trianglelefteq G$ के लिए $G/N$ आबेली हो, तो वही प्रतिज्ञप्ति $D(G) \subseteq N$ दे देती है: अतः $D(G)$ सबसे छोटा है। सार्वत्रिक गुण: मान लीजिए $A$ आबेली के साथ $f \colon G \to A$ । तब $f([x,y]) = [f(x), f(y)] = e$ , अतः $D(G) \subseteq \ker f$ , और प्रमेय 1.3 $G^{\mathrm{ab}}$ के माध्यम से $f = \bar f \circ \pi$ गुणनखंडित हो जाता है, और अद्वितीय रूप से, क्योंकि $\pi$ आच्छादक है।

(ख) क्रमविनिमेयक सम क्रमचय हैं, अतः $D(S_n) \subseteq A_n$ । विलोमतः प्रत्येक $3$ -चक्र कोई क्रमविनिमेयक है:

\bigl[(a\,b),\,(a\,c)\bigr] = (a\,b)(a\,c)(a\,b)(a\,c) = (a\,b\,c),

( $a, b, c$ पर सीधी जाँच), और $3$ -चक्र $A_n$ को जनित करते हैं (प्रमेयिका 1.32): अतः $n \geq 3$ के लिए $D(S_n) = A_n$ , और $S_n^{\mathrm{ab}} \cong S_n/A_n \cong \Z/2\Z$ । ( $n = 2$ के लिए: $S_2$ आबेली है, $D(S_2) = \{e\}$ , $S_2^{\mathrm{ab}} = S_2 \cong \Z/2\Z$ — सूत्र $S_n^{\mathrm{ab}} \cong \Z/2\Z$ सभी $n \geq 2$ के लिए लागू होता है।)

$Q_8$ : भागफल $Q_8/\{\pm 1\}$ का क्रम $4$ है, अतः वह आबेली है, इसलिए $D(Q_8) \subseteq \{\pm 1\}$ ; और $[\mathrm i, \mathrm j] = \mathrm i \mathrm j \mathrm i^{-1}\mathrm j^{-1} = \mathrm i\mathrm j(-\mathrm i)(-\mathrm j) = (\mathrm i \mathrm j)^2 = \mathrm k^2 = -1$ , अतः $D(Q_8) = \{\pm 1\}$ तथा $Q_8^{\mathrm{ab}} \cong (\Z/2\Z)^2$ (क्रम $4$ , घातांक $2$ : $\mathrm i, \mathrm j$ के वर्ग $\bar 1$ हैं)।

अभ्यास 1.10 ★★

मान लीजिए $G$ एक $p$ -समूह है और $H \subsetneq G$ उसका उचित उपसमूह। दर्शाइए कि $H \subsetneq N_G(H)$ (“प्रसामान्यक बढ़ते हैं”), और इससे निष्कर्ष निकालिए कि किसी $p$ -समूह का प्रत्येक महत्तम उपसमूह सूचकांक $p$ का प्रसामान्य उपसमूह है। ( $Z(G) \neq \{e\}$ का उपयोग करते हुए $\abs G$ पर आगमन: $Z(G) \subseteq H$ और $Z(G) \not\subseteq H$ की स्थितियों को अलग-अलग लीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 1.10.

$\abs G$ पर आगमन; $\abs G = p$ के लिए एकमात्र उचित उपसमूह $H = \{e\}$ है, और $N_G(\{e\}) = G \supsetneq \{e\}$ । मान लीजिए $Z = Z(G) \neq \{e\}$ (प्रमेय 1.12)।

यदि $Z \not\subseteq H$ : $z \in Z \setminus H$ चुनिए; $z$ $H$ के साथ क्रमविनिमेय है, अतः $zHz^{-1} = H$ और $z \in N_G(H) \setminus H$ ।

यदि $Z \subseteq H$ : $\bar G = G/Z$ पर जाइए, जो छोटे क्रम का कोई $p$ -समूह है, और $\bar H = H/Z \subsetneq \bar G$ (संगति प्रमेय)। आगमन से $N_{\bar G}(\bar H) \supsetneq \bar H$ ; $\bar g \in N_{\bar G}(\bar H) \setminus \bar H$ और कोई उत्थापन $g$ चुनिए। तब $g \notin H$ , और $gHg^{-1} \subseteq HZ = H$ : वस्तुतः $\overline{ghg^{-1}} = \bar g \bar h \bar g^{-1} \in \bar H$ का अर्थ है $ghg^{-1} \in HZ = H$ (क्योंकि $Z \subseteq H$ )। अतः $g \in N_G(H)\setminus H$ ।

महत्तम उपसमूह: यदि $M$ महत्तम हो, तो $N_G(M) \supsetneq M$ से $N_G(M) = G$ अनिवार्य है: अर्थात् $M \trianglelefteq G$ । तब $G/M$ ऐसा $p$ -समूह है जिसका कोई उचित अतुच्छ उपसमूह नहीं (संगति + महत्तमता)। $G/M$ में $\bar x \neq \bar e$ लीजिए, जिसका क्रम $p^k$ है; तब $\bar x^{p^{k-1}}$ क्रम $p$ का उपसमूह जनित करता है, जो सब कुछ ही होना चाहिए: अतः $\abs{G/M} = p$ ।

अभ्यास 1.11 ★★★

( $A_5$ की सरलता, प्रत्यक्ष रूप से) (क) दर्शाइए कि $A_5$ के संयुग्मन वर्गों की गणनीयताएँ $1$ , $15$ , $20$ , $12$ , $12$ हैं। $5$ -चक्रों के $S_5$ -वर्ग के विभाजन पर ध्यान दीजिए: किसी $5$ -चक्र $\sigma$ के लिए $S_5$ और $A_5$ में $\sigma$ के केंद्रकों की तुलना कीजिए। (ख) निष्कर्ष निकालिए कि $A_5$ सरल है: कोई प्रसामान्य उपसमूह संयुग्मन वर्गों का सम्मिलन होता है, उसमें $e$ होता है, और उसकी गणनीयता $60$ को विभाजित करती है। (ग) दर्शाइए कि क्रम $60$ के किसी सरल समूह के लिए अनिवार्यतः $n_5 = 6$ होता है।

हल

हल — अभ्यास 1.11.

(क) $\abs{A_5} = 60$ । $A_5$ में चक्र प्रकार: $e$ ; द्विक स्थानांतरण, जिनकी संख्या $\frac{1}{2}\binom{5}{1}\binom{4}{2}\cdot 1 = 15$ है ( $5 \cdot 3$ प्रकार: स्थिर बिंदु चुनिए, फिर युग्म बनाइए); $3$ -चक्र, $\frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3} = 20$ ; $5$ -चक्र, $4! = 24$ ।

$A_5$ में अंतर्विष्ट $S_5$ का कोई वर्ग या तो एक ही $A_5$ -वर्ग बना रहता है या दो में बँट जाता है, इस पर निर्भर करते हुए कि किसी अवयव के $S_5$ -केंद्रक में कोई विषम क्रमचय है या नहीं ( $\abs{A_5 \text{ में वर्ग}} = 60/\abs{Z_{A_5}(\sigma)}$ और $Z_{A_5} = Z_{S_5} \cap A_5$ )। $\sigma = (1\,2)(3\,4)$ के लिए: $\abs{Z_{S_5}(\sigma)} = 120/15 = 8$ , और $(1\,2) \in Z_{S_5}(\sigma)$ विषम है, अतः $\abs{Z_{A_5}} = 4$ और वर्ग में $60/4 = 15$ अवयव हैं: कोई विभाजन नहीं। $\sigma = (1\,2\,3)$ के लिए: $Z_{S_5}(\sigma) \supseteq \langle \sigma \rangle \times \langle (4\,5)\rangle$ , जिसका क्रम $6 = 120/20$ है, अतः वे बराबर हैं; उसमें विषम $(4\,5)$ है: $60/3 = 20$ का वर्ग: कोई विभाजन नहीं। किसी $5$ -चक्र $\sigma$ के लिए: $Z_{S_5}(\sigma) = \langle \sigma\rangle$ (क्रम $120/24 = 5$ ), सभी सम: अतः $Z_{A_5}(\sigma) = \langle \sigma\rangle$ और $A_5$ -वर्ग में $60/5 = 12$ अवयव हैं — अर्थात् $24$ पाँच-चक्र $12$ के दो वर्गों में बँट जाते हैं। वर्ग-आकार: $1, 15, 20, 12, 12$ ।

(ख) कोई प्रसामान्य उपसमूह $N$ संयुग्मन वर्गों का संघ होता है जिसमें $\{e\}$ सम्मिलित है, और $\abs N \mid 60$ । संभव योग $1 + (\{15, 20, 12, 12\} \text{ का उपसमुच्चय})$ ये हैं:

1,\ 13,\ 13,\ 16,\ 21,\ 25,\ 28,\ 28,\ 33,\ 36,\ 40,\ 40,\ 45,\ 48,\ 48,\ 60 ;

और सूची में $60$ के एकमात्र विभाजक $1$ तथा $60$ हैं: अतः $N = \{e\}$ या $A_5$ ।

(ग) मान लीजिए $G$ $\abs G = 60$ के साथ सरल है। $n_5 \mid 12$ , $n_5 \equiv 1 \pmod 5$ : $n_5 \in \{1, 6\}$ । $n_5 = 1$ से सिलो $5$ -उपसमूह प्रसामान्य हो जाता, जो सरलता का खंडन करता है ( $1 < 5 < 60$ )। अतः $n_5 = 6$ ।

अभ्यास 1.12 ★★

(सिलो उपसमूहों के प्रसामान्यक स्वप्रसामान्यकारी होते हैं) मान लीजिए $P$ किसी परिमित समूह $G$ का सिलो $p$ -उपसमूह है और $H = N_G(P)$ । (क) दर्शाइए कि $P$ $H$ का अद्वितीय सिलो $p$ -उपसमूह है। (ख) इससे $N_G(H) = H$ निष्कर्ष निकालिए। ( $g \in N_G(H)$ के लिए: $gPg^{-1}$ $H$ का सिलो $p$ -उपसमूह है, अतः $gPg^{-1} = P$ ।) (ग) निष्कर्ष निकालिए कि कोई भी सिलो प्रसामान्यक $G$ के किसी उचित प्रसामान्य उपसमूह में अंतर्विष्ट नहीं होता, और यह कि $N_G(P)$ को अंतर्विष्ट करने वाला कोई भी महत्तम उपसमूह स्वप्रसामान्यकारी होता है।

हल

हल — अभ्यास 1.12.

(क) प्रसामान्यक की परिभाषा से $P$ $H = N_G(P)$ में प्रसामान्य है, और वह $H$ का सिलो $p$ -उपसमूह है (उसका क्रम पहले से ही $\abs G$ का, और अत एव $\abs H$ का भी, पूरा $p$ -भाग है)। कोई प्रसामान्य सिलो उपसमूह अद्वितीय होता है: कोई भी अन्य उसका संयुग्म होता ( $H$ में सिलो II), अतः उसी के बराबर।

(ख) मान लीजिए $g \in N_G(H)$ । तब $gPg^{-1} \subseteq gHg^{-1} = H$ $H$ का $P$ के ही क्रम वाला उपसमूह है: अर्थात् $H$ का कोई सिलो $p$ -उपसमूह, अतः (क) से $gPg^{-1} = P$ । इस प्रकार $g \in N_G(P) = H$ : $N_G(H) \subseteq H$ , और विपरीत अंतर्विष्टि तुच्छ है।

(ग) मान लीजिए उचित $N$ के साथ $H \subseteq N \trianglelefteq G$ । $P$ $N$ का सिलो $p$ -उपसमूह है; किसी भी $g \in G$ के लिए $gPg^{-1} \subseteq N$ एक और है, अतः किसी $n \in N$ के लिए $gPg^{-1} = nPn^{-1}$ ( $N$ में सिलो II), जिससे $n^{-1}g \in N_G(P) \subseteq N$ और $g \in N$ मिलते हैं: अर्थात् $N = G$ , जो विरोधाभास है (यही फ्राटीनी तर्क है)। किसी महत्तम उपसमूह $M \supseteq N_G(P)$ के लिए: $N_G(M) \supseteq M$ या तो $M$ है या $G$ ; यदि $G$ हो, तो $M \trianglelefteq G$ $N_G(P)$ को धारण करने वाला कोई उचित प्रसामान्य उपसमूह है — जो पिछले बिंदु से अपवर्जित है। अतः $N_G(M) = M$ ।

1.7 समस्या: अधिकतम 15 क्रम वाले समूह

समस्या 1.1

सप्ताहांत समस्या — छोटे समूहों का वर्गीकरण

लक्ष्य है तुल्याकारिता तक क्रम $\leq 15$ वाले समूहों का पूर्ण वर्गीकरण, पूरी उपपत्तियों सहित। क्रम $1, 2, 3, 5, 7, 11, 13$ लाग्राँज से तय हो जाते हैं (चक्रीय), और क्रम $4$ तथा $9$ प्रमेय 1.12 से एवं नीचे दिए गए $p^2$ के विश्लेषण से: शेष रह जाते हैं $6, 8, 10, 12, 14, 15$ ।

भाग I — साधन।

दर्शाइए कि जिस समूह में प्रत्येक अवयव $x^2 = e$ को संतुष्ट करता है वह आबेली है; इससे निष्कर्ष निकालिए कि ऐसे परिमित समूह का क्रम $2^k$ होता है और वह $(\Z/2\Z)^k$ के तुल्याकारी है। (इसे $\mathbb F_2$ पर एक सदिश समष्टि की तरह देखिए।)
दर्शाइए कि क्रम $p^2$ का समूह $\Z/p^2\Z$ या $(\Z/p\Z)^2$ के तुल्याकारी होता है। तुल्याकारिता तक क्रम $8$ के आबेली समूहों की सूची बनाइए: $\Z/8\Z$ , $\Z/4\Z \times \Z/2\Z$ , $(\Z/2\Z)^3$ — और अध्याय 3 की संरचना प्रमेय के बिना सिद्ध कीजिए कि यह सूची पूर्ण है और उसमें कोई पुनरुक्ति नहीं (किसी अवयव के महत्तम क्रम के अनुसार स्थितियाँ लीजिए)।
मान लीजिए $\varphi, \varphi' \colon K \to \operatorname{Aut}(H)$ दो क्रियाएँ हैं। दर्शाइए कि यदि $\alpha \in \operatorname{Aut}(K)$ के साथ $\varphi' = \varphi \circ \alpha$ हो, तो $H \rtimes_{\varphi} K \cong H \rtimes_{\varphi'} K$ ।
$n = 3, 4, 5, 7$ के लिए $\operatorname{Aut}(\Z/n\Z)$ स्पष्ट रूप से ज्ञात कीजिए, और $\operatorname{Aut}\bigl((\Z/2\Z)^2 \bigr) \cong S_3$ दर्शाइए।

भाग II — क्रम $2p$ ( $6$ , $10$ , $14$ ) और $pq$ ।

मान लीजिए $\abs G = 2p$ , जहाँ $p$ विषम अभाज्य है। दर्शाइए कि $G$ में क्रम $p$ का एक प्रसामान्य उपसमूह $N = \langle r \rangle$ है और $N$ के बाहर क्रम $2$ का एक अवयव $s$ ।
निष्कर्ष निकालिए कि $G \cong \Z/p\Z \rtimes_\varphi \Z/2\Z$ , जहाँ $\varphi(1) \in \operatorname{Aut}(\Z/p\Z)$ एक स्वप्रतिलोमी अवयव है, और यह भी: $G \cong \Z/2p\Z$ या $G \cong D_p$ ; जाँचिए कि ये दोनों तुल्याकारी नहीं हैं। इससे क्रम $6$ , $10$ , $14$ तय हो जाते हैं।
अधिक व्यापक रूप से, मान लीजिए $\abs G = pq$ , जहाँ $p < q$ अभाज्य हैं। दर्शाइए कि यदि $p \nmid q-1$ हो तो $G$ चक्रीय है (उदाहरण 1.22), और यह कि यदि $p \mid q - 1$ हो तो $\Z/pq\Z$ के अतिरिक्त तुल्याकारिता तक ठीक एक अनाबेली समूह $\Z/q\Z \rtimes \Z/p\Z$ होता है — इसके लिए प्रश्न 3 का और इस तथ्य का उपयोग कीजिए कि $\operatorname{Aut}(\Z/q\Z) \cong (\Z/q\Z)^\times$ क्रम $q - 1$ का चक्रीय समूह है, जिसे यहाँ स्वीकार किया गया है और अध्याय 4 में सिद्ध किया गया है ( $\mathbb F_q^\times$ की चक्रीयता)। क्रम $15$ के लिए निष्कर्ष निकालिए।

भाग III — क्रम $8$ । मान लीजिए $G$ क्रम $8$ का अनाबेली समूह है।

दर्शाइए कि $G$ में क्रम $4$ का एक अवयव $r$ है (प्रश्न 1 का उपयोग कीजिए) और यह कि $N = \langle r\rangle$ प्रसामान्य है।
मान लीजिए $s \notin N$ । दर्शाइए कि $s^2 \in N$ (अभ्यास 1.1(ख)), कि $srs^{-1} = r^{-1}$ (संयुग्मन के अंतर्गत $r$ के संभावित प्रतिबिंबों की जाँच कीजिए, जिनका क्रम 4 होना चाहिए, और $srs^{-1} = r$ को अपवर्जित कीजिए), और यह कि $s^2 \in \{e, r^2\}$ (यदि $s^2 = r$ या $r^3$ हो तो क्या होगा? और $s^2$ को $s$ के साथ क्रमविनिमेय क्यों होना चाहिए?)।
$s^2 = e$ की स्थिति में $G \cong D_4$ दर्शाइए।
$s^2 = r^2$ की स्थिति में दर्शाइए कि गुणन सारणी पूर्णतः निर्धारित हो जाती है; प्राप्त समूह क्वाटर्नियन समूह $Q_8 = \{\pm 1, \pm \mathrm i, \pm \mathrm j, \pm \mathrm k\}$ है, $\mathrm i^2 = \mathrm j^2 = \mathrm k^2 = \mathrm i\, \mathrm j\,\mathrm k = -1$ ( $r = \mathrm i$ , $s = \mathrm j$ रखिए)। सत्यापित कीजिए कि $Q_8$ विद्यमान है, उदाहरणार्थ $GL_2(\C)$ के भीतर

$\mathrm i \mapsto \begin{pmatrix} \iu & 0\\ 0 & -\iu \end{pmatrix}, \qquad \mathrm j \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}.$
दर्शाइए कि $Q_8$ का प्रत्येक अतुच्छ उपसमूह $-1$ को अंतर्विष्ट करता है; इससे निष्कर्ष निकालिए कि $Q_8$ का प्रत्येक उपसमूह प्रसामान्य है, कि $D_4 \not\cong Q_8$ (क्रम $2$ के अवयव गिनिए), और यह कि $Q_8$ दो उचित उपसमूहों का अर्ध-प्रत्यक्ष गुणन नहीं है।

भाग IV — क्रम $12$ । मान लीजिए $\abs G = 12$ , $P_3 \in \mathrm{Syl}_3(G)$ , $P_2 \in \mathrm{Syl}_2(G)$ ।

दर्शाइए कि $n_3 \in \{1, 4\}$ , $n_2 \in \{1, 3\}$ , और यह कि $n_3 = 4$ से $n_2 = 1$ अनिवार्य हो जाता है (क्रम $3$ के अवयव गिनिए)।
मान लीजिए $n_3 = 4$ । $\mathrm{Syl}_3$ पर संयुग्मन क्रिया से $\rho \colon G \to S_4$ मिलता है। दर्शाइए कि $\ker \rho$ , जो प्रत्येक $N_G(P_3)$ में अंतर्विष्ट है और इसलिए जिसका क्रम $3$ को विभाजित करता है, तुच्छ है (उसका क्रम $3$ क्यों नहीं हो सकता?); कि प्रतिबिंब, जो $S_4$ का क्रम $12$ वाला उपसमूह है, अनिवार्यतः $A_4$ है (सूचकांक 2 वाले उपसमूह प्रसामान्य होते हैं और सभी वर्गों को अंतर्विष्ट करते हैं — अभ्यास 1.1; $S_4$ में वर्ग गिनिए); और निष्कर्ष निकालिए कि $G \cong A_4$ ।
मान लीजिए $n_3 = 1$ , अतः $\varphi \colon P_2 \to \operatorname{Aut}(\Z/3\Z) \cong \Z/2\Z$ के साथ $G \cong \Z/3\Z \rtimes_\varphi P_2$ । स्थितियों की गणना कीजिए: $\varphi$ तुच्छ होने पर $\Z/12\Z$ और $\Z/6\Z \times \Z/2\Z$ मिलते हैं; आच्छादक $\varphi$ के साथ $P_2 = \Z/4\Z$ से द्विचक्रीय समूह $\mathrm{Dic}_3 = \Z/3\Z \rtimes \Z/4\Z$ मिलता है; आच्छादक $\varphi$ के साथ $P_2 = (\Z/2\Z)^2$ से, प्रश्न 3 की तुल्यता तक, एक ही समूह मिलता है — दर्शाइए कि वह $D_6$ है, उदाहरणार्थ क्रम $6$ का एक अवयव और परावर्तन जैसा एक स्वप्रतिलोमी अवयव प्रस्तुत करके।
दर्शाइए कि $\Z/12\Z$ , $\Z/6\Z \times \Z/2\Z$ , $D_6$ , $A_4$ , $\mathrm{Dic}_3$ जोड़े-जोड़े में अतुल्याकारी हैं (क्रम $2$ के अवयव गिनिए, अथवा $n_3$ का उपयोग कीजिए)। इससे क्रम $12$ तय हो जाता है।

भाग V — संश्लेषण।

वर्गीकरण सारणी संकलित कीजिए: प्रत्येक क्रम $n \leq 15$ के लिए तुल्याकारिता तक समूहों की पूरी सूची, गणनाओं $1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1$ सहित।

भाग VI — आगे: क्रम $p^3$ के समूह, जहाँ $p$ विषम है। भाग III के क्रम- $8$ विश्लेषण का एक सुंदर विषम-अभाज्य समरूप है, जिसमें एक सर्वथा नई परिघटना प्रकट होती है। मान लीजिए $p$ विषम अभाज्य है और $G$ क्रम $p^3$ का अनाबेली समूह।

दर्शाइए कि $\abs{Z(G)} = p$ , कि $G/Z(G) \cong (\Z/p\Z)^2$ (केंद्र द्वारा चक्रीय भागफल आबेलीयता पर विवश कर देता है: अभ्यास 1.2), और कि $D(G) = Z(G)$ ( $D(G) \subseteq Z(G)$ के लिए इसका उपयोग कीजिए कि $G/Z(G)$ आबेली है; समता के लिए, $G$ अनाबेली है और $D(G) \neq \{e\}$ )। निष्कर्ष निकालिए कि प्रत्येक क्रमविनिमेयक $[x, y] = xyx^{-1}y^{-1}$ केंद्रीय है और उसका क्रम $p$ को विभाजित करता है।
(मुख्य सर्वसमिका) मान लीजिए $x, y \in G$ और $z = [y, x]$ केंद्रीय है। $k$ पर आगमन द्वारा सिद्ध कीजिए:

$(xy)^k = x^k y^k z^{k(k-1)/2} .$

(प्रत्येक $y$ को प्रत्येक $x$ के पार ले जाइए; हर पारगमन एक केंद्रीय गुणनखंड $z$ की कीमत पर होता है।)
निष्कर्ष निकालिए कि विषम $p$ के लिए प्रतिचित्रण $\theta\colon x \mapsto x^p$ $G$ से $Z(G)$ में जाने वाली एक समूह समाकारिता है ( $x^p$ केंद्रीय क्यों है? $z^{p(p-1)/2} = e$ के लिए $p$ का विषम होना क्यों आवश्यक है?), और यह कि $G$ का घातांक $p$ या $p^2$ है, तथा ये दोनों स्थितियाँ इससे अलग होती हैं कि $\theta$ तुच्छ है या नहीं।
(घातांक $p$ ) मान लीजिए प्रत्येक अवयव $x^p = e$ को संतुष्ट करता है। ऐसे $x, y$ चुनिए जिनके वर्ग $G/Z(G)$ को जनित करें और $z = [y, x]$ रखिए। दर्शाइए कि $z \neq e$ , कि $G$ का प्रत्येक अवयव अद्वितीय रूप से $x^ay^bz^c$ है ( $0 \leq a, b, c < p$ ), और यह कि गुणन पूर्णतः संबंधों $x^p = y^p = z^p = e$ , $z$ केंद्रीय, $[y, x] = z$ से निर्धारित हो जाता है। सत्यापित कीजिए कि हाइजेनबर्ग समूह

$H_p = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & a & c\\ 0 & 1 & b\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} : a, b, c \in \mathbb F_p \right\} \subseteq GL_3(\mathbb F_p)$

इन संबंधों को साकार करता है और उसका घातांक $p$ है ( $N^3 = 0$ और $p \geq 3$ का उपयोग करते हुए कड़ाई से ऊपरी त्रिभुजाकार $N$ के साथ $(I + N)^p$ परिकलित कीजिए): क्रम $p^3$ का प्रत्येक घातांक- $p$ अनाबेली समूह $H_p$ के तुल्याकारी है।
(घातांक $p^2$ ) मान लीजिए किसी $r \in G$ का क्रम $p^2$ है, और $N = \langle r\rangle$ रखिए, जो प्रसामान्य है (सूचकांक $p$ : अभ्यास 1.10)। दर्शाइए कि $s^p = e$ वाला कोई $s \notin N$ विद्यमान है (कोई भी $t \notin N$ लीजिए; प्रश्न 20 का उपयोग करके उसे सुधारिए: $\theta(t) = t^p \in Z(G) \subseteq N$ — $Z(G) = \langle r^p\rangle$ को उचित ठहराइए — और $s^p = e$ को संतुष्ट करने वाला $s = tr^{a}$ लेकर $a$ चुनिए; $p$ का विषम होना कहाँ प्रयुक्त हुआ?)। दर्शाइए कि $s$ को किसी घात से बदलने तक $srs^{-1} = r^{1+p}$ , और निष्कर्ष निकालिए: क्रम $p^3$ और घातांक $p^2$ का ठीक एक अनाबेली समूह है, अर्थात् $\varphi(1)\colon r \mapsto r^{1+p}$ के साथ $\Z/p^2\Z \rtimes_\varphi \Z/p\Z$ (प्रश्न 3 का उपयोग कीजिए; $\operatorname{Aut}(\Z/p^2\Z)$ क्रम $p(p-1)$ का चक्रीय समूह है, जिसे यहाँ स्वीकार किया गया है, अतः उसका क्रम $p$ का अद्वितीय उपसमूह है)।
गणना का निष्कर्ष निकालिए: विषम $p$ के लिए क्रम $p^3$ के ठीक $5$ समूह हैं (तीन आबेली, दो अनाबेली), ठीक वैसे ही जैसे $p = 2$ के लिए — परंतु दोनों अनाबेली समूह अब $D_4$ और $Q_8$ नहीं रहे। ठीक-ठीक बताइए कि विषम- $p$ तर्क $p = 2$ के लिए कहाँ टूट जाता है: प्रश्न 19 की सर्वसमिका में $k = p = 2$ के लिए $z^{k(k-1)/2}$ $z^1 \neq e$ है, अतः वर्ग करना समाकारिता नहीं रह जाता — और वस्तुतः $Q_8$ में क्रम $2$ का अद्वितीय अवयव है, जबकि घातांक- $4$ $D_4$ में ऐसे पाँच अवयव हैं।

भाग VII — पूरक।

विषम $p$ के लिए क्रम $p^3$ के दोनों अनाबेली समूहों में क्रम $p$ के अवयव गिनिए: दर्शाइए कि $H_p$ में ठीक $p^3 - 1$ अवयव हैं, जबकि $M_p = \Z/p^2\Z \rtimes \Z/p\Z$ में ठीक $p^2 - 1$ (प्रश्न 20 की समाकारिता $\theta$ का उपयोग कीजिए: पहले उसका प्रतिबिंब पहचानिए, फिर उसकी अष्टि का क्रम)। $p = 3$ के लिए संख्यात्मक सत्यापन कीजिए: $26$ बनाम $8$ । समझाइए कि इस प्रकार का कोई भी वर्ग-समाकारिता संबंधी तर्क $D_4$ को $Q_8$ से अलग क्यों नहीं कर सकता, और कौन-सी गणना उन्हें अलग करती है।
किसी पूर्णांक $n \geq 1$ को चक्रीय कहिए यदि क्रम $n$ का प्रत्येक समूह चक्रीय हो। दर्शाइए कि यदि किसी अभाज्य $p$ के लिए $p^2 \mid n$ हो, अथवा यदि $n$ के ऐसे अभाज्य भाजक $p < q$ हों जिनके लिए $p \mid q - 1$ , तो $n$ चक्रीय नहीं है (दोनों स्थितियों में क्रम $n$ का एक अचक्रीय समूह प्रस्तुत कीजिए, दूसरी के लिए भाग II का उपयोग करते हुए)। निष्कर्ष निकालिए कि $n$ के चक्रीय होने से $\gcd(n, \varphi(n)) = 1$ अनिवार्य हो जाता है, जहाँ $\varphi$ ऑयलर का टोशेंट है; और प्रश्न 17 की सारणी से मिलान कीजिए: $n \leq 15$ में से एकमात्र समूह धारण करने वाले क्रम ठीक $n \in \{1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15\}$ हैं, अर्थात् ठीक वे जिनके लिए $\gcd(n, \varphi(n)) = 1$ ।

हल

हल — समस्या 1.1.

1. $x, y \in G$ के लिए: $(xy)^2 = e$ से $xy = (xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1} = yx$ मिलता है (प्रत्येक अवयव अपना ही प्रतिलोम है): अतः आबेली। ऐसा $G$ , योगात्मक रूप में लिखा जाए तो, $\mathbb F_2$ पर सदिश समष्टि है ( $2x = 0$ , और अभिगृहीत आबेली समूह के ही अभिगृहीत हैं); और यदि परिमित हो, तो उसका कोई परिमित आधार होता है: अतः $G \cong (\Z/2\Z)^k$ , जिसका क्रम $2^k$ है।

2. क्रम $p^2$ : $G$ आबेली है (प्रमेय 1.12)। यदि किसी अवयव का क्रम $p^2$ हो, तो $G$ चक्रीय है। अन्यथा सभी $x \neq e$ का क्रम $p$ है; तब योगात्मक रूप में $G$ $\mathbb F_p$ पर विमा $2$ ( $p^2$ अवयव) की सदिश समष्टि है ( $px = 0$ ): अतः $G \cong (\Z/p\Z)^2$ ।

क्रम $8$ का आबेली, किसी अवयव के महत्तम क्रम $m$ के अनुसार: $m = 8$ : चक्रीय $\Z/8\Z$ । $m = 2$ : प्रश्न 1 से $(\Z/2\Z)^3$ । $m = 4$ : मान लीजिए $x$ का क्रम $4$ है और $y \notin \langle x \rangle$ ; $y^2 \in \langle x\rangle$ (सूचकांक $2$ )। $y^2 \in \{x, x^3\}$ से $y$ का क्रम $8$ हो जाता; अतः $y^2 \in \{e, x^2\}$ । यदि $y^2 = x^2$ हो, तो $y$ के स्थान पर $xy$ लीजिए: $(xy)^2 = x^2y^2 = x^4 = e$ ( $G$ आबेली) और $xy \notin \langle x\rangle$ । अतः हम $y^2 = e$ मान सकते हैं: तब $\langle x \rangle \cap \langle y \rangle = \{e\}$ , दोनों प्रसामान्य (आबेली), $\abs{\langle x\rangle \langle y\rangle} = 8$ : प्रतिज्ञप्ति 1.24 से $G \cong \Z/4\Z \times \Z/2\Z$ मिलता है। अनावश्यक नहीं: तीनों समूहों में $x^2 = e$ के हलों की संख्याएँ $2, 4, 8$ हैं।

3. $\psi(h, k) = (h, \alpha(k))$ से $\psi \colon H \rtimes_{\varphi'} K \to H \rtimes_{\varphi} K$ परिभाषित कीजिए, जो एकैकी-आच्छादक है। समाकारिता:

\psi\bigl((h,k)(h',k')\bigr) = \bigl(h\,\varphi'(k)(h'),\, \alpha(kk')\bigr) = \bigl(h\,\varphi(\alpha k)(h'),\, \alpha(k)\alpha(k')\bigr) = \psi(h,k)\,\psi(h',k').

4. $\operatorname{Aut}(\Z/n\Z) \cong (\Z/n\Z)^\times$ (अभ्यास 1.3): $n = 3$ के लिए: $\{\pm 1\} \cong \Z/2\Z$ ; $n = 4$ : $\{\bar 1, \bar 3\} \cong \Z/2\Z$ ; $n = 5$ : $\{\bar 1, \bar 2, \bar 3, \bar 4\}$ , जो $\bar 2$ से जनित क्रम $4$ का चक्रीय है ( $2, 4, 3, 1$ ); $n = 7$ : $\bar 3$ से जनित क्रम $6$ का चक्रीय ( $3, 2, 6, 4, 5, 1$ )। $V = (\Z/2\Z)^2$ के लिए: कोई भी स्वसमाकारिता $\mathbb F_2$ -रैखिक है (वह योग को सुरक्षित रखती है, और अदिश $0, 1$ हैं), अतः $\operatorname{Aut}(V) = GL_2(\mathbb F_2)$ , जिसका क्रम $(4-1)(4-2) = 6$ है; वह $3$ शून्येतर सदिशों पर निष्ठ रूप से क्रिया करती है, जिससे क्रम $6$ के समूहों के बीच $S_3$ में कोई एकैकी समाकारिता मिलती है: अतः $\operatorname{Aut}(V) \cong S_3$ ।

5. कोशी क्रम $p$ का $r$ देते हैं; $N = \langle r \rangle$ का सूचकांक $2$ है, अतः वह प्रसामान्य है (अभ्यास 1.1)। कोशी क्रम $2$ का $s$ भी देते हैं, और $s \notin N$ ( $N$ के सभी अतत्समक अवयवों का क्रम विषम $p$ है)।

6. $N \cap \langle s \rangle = \{e\}$ और $\abs{N\langle s\rangle} = 2p$ (अभ्यास 1.4(क)): अतः प्रतिज्ञप्ति 1.26 से $G \cong \Z/p\Z \rtimes_\varphi \Z/2\Z$ , जहाँ $\varphi(1) = (x \mapsto sxs^{-1})$ $2$ को विभाजित करने वाले क्रम की स्वसमाकारिता है। $(\Z/p\Z)^\times$ में $k^2 = 1$ के केवल हल $k = \pm 1$ हैं (क्षेत्र $\mathbb F_p$ में $X^2 - 1$ के अधिक से अधिक दो मूल होते हैं)। यदि $\varphi(1) = \mathrm{id}$ हो: गुणन प्रत्यक्ष है, $G \cong \Z/p\Z \times \Z/2\Z \cong \Z/2p\Z$ । यदि $\varphi(1) = -\mathrm{id}$ हो: $G = \langle r, s \mid r^p = s^2 = e, \ srs^{-1} = r^{-1}\rangle \cong D_p$ (उदाहरण 1.27)। वे तुल्याकारी नहीं हैं: $p \geq 3$ के लिए $D_p$ अनाबेली है ( $srs^{-1} = r^{-1} \neq r$ )।

7. $n_q \equiv 1 \pmod q$ $p < q$ को विभाजित करता है: $n_q = 1$ , अतः $N \cong \Z/q\Z$ प्रसामान्य है। मान लीजिए $P \cong \Z/p\Z$ कोई सिलो $p$ -उपसमूह है: $N \cap P = \{e\}$ , $NP = G$ (क्रम $pq$ ), अतः $\varphi \colon \Z/p\Z \to \operatorname{Aut}(\Z/q\Z) \cong \Z/(q-1)\Z$ के साथ $G \cong \Z/q\Z \rtimes_\varphi \Z/p\Z$ (चक्रीय, स्वीकृत)। यदि $p \nmid q - 1$ हो: $\varphi$ के प्रतिबिंब का क्रम $p$ और $q-1$ दोनों को विभाजित करता है, अतः वह तुच्छ है, और $G \cong \Z/pq\Z$ (उदाहरण 1.22)। यदि $p \mid q - 1$ हो: तुच्छ $\varphi$ के अतिरिक्त कोई भी अतुच्छ $\varphi$ एकैकी है (उसकी अष्टि, जो $\Z/p\Z$ का उपसमूह है, तुच्छ है) जिसका प्रतिबिंब चक्रीय समूह $\Z/(q-1)\Z$ का क्रम $p$ वाला वही अद्वितीय उपसमूह $C$ है। तब दो अतुच्छ क्रियाएँ $\varphi, \varphi'$ दो तुल्याकारिताएँ $\Z/p\Z \to C$ हैं, अतः $\alpha = \varphi^{-1}\circ\varphi' \in \operatorname{Aut}(\Z/p\Z)$ $\varphi' = \varphi\circ\alpha$ संतुष्ट करता है: और प्रश्न 3 से दोनों अर्ध-प्रत्यक्ष गुणन तुल्याकारी हैं। अतः क्रम $pq$ का ठीक एक अनाबेली समूह (अनाबेली क्योंकि $\varphi \neq \mathrm{id}$ किसी संयुग्मन को अतुच्छ बना देता है)। क्रम $15$ : $p = 3$ , $q = 5$ , $3 \nmid 4$ : केवल चक्रीय।

8. प्रत्येक अवयव का क्रम $\leq 2$ नहीं है (अन्यथा प्रश्न 1 से आबेली), और किसी अवयव का क्रम $8$ नहीं है (अन्यथा चक्रीय, अतः आबेली): अतः किसी $r$ का क्रम $4$ है, और सूचकांक $2$ वाला $N = \langle r\rangle$ प्रसामान्य है।

9. अभ्यास 1.1(ख) से $s^2 \in N$ । संयुग्म $srs^{-1} \in N$ का क्रम $4$ है, अतः $srs^{-1} \in \{r, r^3\}$ ; यदि $srs^{-1} = r$ हो तो $r$ और $s$ क्रमविनिमेय हैं और $G = \langle r, s\rangle$ आबेली है — जो अपवर्जित है। अतः $srs^{-1} = r^{-1}$ । यदि $s^2 = r$ या $r^3$ हो, तो $s$ का क्रम $8$ हो जाता: अपवर्जित। (वैकल्पिक रूप से: $s^2$ $s$ के साथ क्रमविनिमेय है, पर $s r s^{-1} = r^{-1}$ और $s r^3 s^{-1} = r^{-3} = r$ : अतः $s$ से संयुग्मन के अंतर्गत न $r$ स्थिर है न $r^3$ ।) अतः $s^2 \in \{e, r^2\}$ ।

10. यदि $s^2 = e$ हो: $G = \langle r, s \mid r^4 = s^2 = e,\ srs^{-1} = r^{-1}\rangle$ । आठ अवयव $r^is^j$ ( $0 \leq i < 4$ , $0 \leq j < 2$ ) भिन्न हैं ( $s \notin \langle r\rangle$ ) और संबंध सभी गुणनफल निर्धारित कर देते हैं: नियतन $r \mapsto$ ( $\pi/2$ से घूर्णन), $s \mapsto$ (कोई परावर्तन) क्रम $8$ के समूहों के बीच $D_4$ पर कोई आच्छादक समाकारिता परिभाषित करता है: अर्थात् कोई तुल्याकारिता।

11. यदि $s^2 = r^2$ हो: फिर से $G = \{r^i s^j\}$ , और संबंध $r^4 = e$ , $s^2 = r^2$ , $srs^{-1} = r^{-1}$ समूची सारणी अनिवार्य कर देते हैं। $\mathrm i = r$ , $\mathrm j = s$ , $\mathrm k = rs$ , $-1 = r^2$ के साथ: $\mathrm i^2 = \mathrm j^2 = -1$ , $\mathrm k^2 = rsrs = r r^{-1} s s = s^2 = -1$ ( $sr = r^{-1}s$ का उपयोग करते हुए), और $\mathrm i \mathrm j \mathrm k = r\,s\,rs = r\,r^{-1}s\,s = s^2 = -1$ । अस्तित्व: आव्यूह

A = \begin{pmatrix} \iu & 0\\ 0 & -\iu \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}

$A^4 = I$ , $B^2 = -I = A^2$ और $BAB^{-1} = A^{-1}$ संतुष्ट करते हैं — अंतिम के लिए जाँचिए

BA = \begin{pmatrix} 0 & -\iu\\ -\iu & 0 \end{pmatrix} = A^{-1}B .

अतः $\{\pm I, \pm A, \pm B, \pm AB\}$ क्रम $8$ का वह समूह है जो इस सारणी को साकार करता है: इसलिए $Q_8$ विद्यमान है।

12. मान लीजिए $H \neq \{e\}$ कोई उपसमूह है और $x \in H \setminus \{e\}$ । यदि $x \neq -1$ हो तो $x \in \{\pm\mathrm i, \pm\mathrm j, \pm\mathrm k\}$ और $x^2 = -1 \in H$ । अतः सदैव $-1 \in H$ । उपसमूह $\{e\}$ , $\{\pm 1\}$ (केंद्र), $\langle \mathrm i\rangle, \langle \mathrm j\rangle, \langle \mathrm k\rangle$ (सूचकांक $2$ ) और $Q_8$ हैं: सभी प्रसामान्य ( $\{e\}$ और केंद्र तुच्छ रूप से, सूचकांक $2$ वाले अभ्यास 1.1 से, और $Q_8$ स्वयं)। $D_4$ में क्रम $2$ के पाँच अवयव हैं ( $r^2$ और चार परावर्तन), $Q_8$ में केवल एक ( $-1$ ): अतः तुल्याकारी नहीं। $H, K \neq \{e\}$ के साथ किसी अर्ध-प्रत्यक्ष गुणन $H \rtimes K$ के लिए $H \cap K = \{e\}$ आवश्यक है, जो असंभव है क्योंकि दोनों $-1$ धारण करते हैं।

13. $n_3 \mid 4$ , $n_3 \equiv 1 \pmod 3$ : $n_3 \in \{1, 4\}$ ; $n_2 \mid 3$ , विषम: $n_2 \in \{1, 3\}$ । यदि $n_3 = 4$ हो: चारों सिलो $3$ -उपसमूह युग्मशः तुच्छ रूप से प्रतिच्छेद करते हैं (अभाज्य क्रम), जिससे क्रम $3$ के $4 \times 2 = 8$ अवयव मिलते हैं; और शेष $4$ अवयवों को अद्वितीय सिलो $2$ -उपसमूह बनाना ही होगा: अतः $n_2 = 1$ ।

14. $\ker\rho$ प्रत्येक सिलो $3$ -उपसमूह का प्रसामान्यन करता है, अतः $\ker \rho \subseteq N_G(P_3)$ , जिसका सूचकांक $n_3 = 4$ है, अर्थात् क्रम $3$ : इसलिए $\abs{\ker\rho} \in \{1, 3\}$ । क्रम $3$ से $\ker\rho$ कोई प्रसामान्य सिलो $3$ -उपसमूह हो जाता, जो $n_3 = 4$ का खंडन करता है। अतः $\rho$ एकैकी है और उसके प्रतिबिंब $H \leq S_4$ का क्रम $12$ , सूचकांक $2$ है: अतः $H \trianglelefteq S_4$ और $H$ सभी वर्ग धारण करता है (अभ्यास 1.1(ख))। $S_4$ के वर्गों में $e$ और सभी आठ $3$ -चक्र सम्मिलित हैं (किसी $3$ -चक्र के लिए $\sigma = (\sigma^2)^2$ ), जो $A_4$ को जनित करते हैं (वे $A_4$ में हैं, और अपने गुणनफलों के साथ मिलकर सभी बारह अवयव दे देते हैं; अथवा: $n = 4$ के जनन वाले भाग के लिए प्रमेयिका 1.32, जिसके लिए केवल $n \geq 3$ चाहिए)। अतः $A_4 \subseteq H$ और $\abs{A_4} = \abs H$ : इसलिए $G \cong H = A_4$ ।

15. $P_3 \trianglelefteq G$ , $P_3 \cap P_2 = \{e\}$ , $P_3P_2 = G$ : $G \cong \Z/3\Z \rtimes_\varphi P_2$ (प्रतिज्ञप्ति 1.26), $\varphi \colon P_2 \to \operatorname{Aut}(\Z/3\Z) = \{\pm\mathrm{id}\} \cong \Z/2\Z$ ।

$\varphi$ तुच्छ: प्रत्यक्ष गुणन $\Z/3\Z \times \Z/4\Z \cong \Z/12\Z$ और $\Z/3\Z \times (\Z/2\Z)^2 \cong \Z/6\Z \times \Z/2\Z$ ।
$P_2 = \Z/4\Z$ , $\varphi$ आच्छादक: अनिवार्यतः $\varphi(1) = -\mathrm{id}$ (एकमात्र अतुच्छ चयन): एक समूह, $\mathrm{Dic}_3 = \Z/3\Z \rtimes \Z/4\Z$ ।
$P_2 = (\Z/2\Z)^2$ , $\varphi$ आच्छादक: $\ker\varphi$ क्रम $2$ के तीन उपसमूहों में से एक है; और परिणामी तीनों $\varphi$ $(\Z/2\Z)^2$ की उन स्वसमाकारिताओं से भिन्न हैं जो इन उपसमूहों का क्रमचय करती हैं (प्रश्न 4: $\operatorname{Aut} \cong S_3$ तीनों अंतर्वलनों पर संक्रमणीय रूप से क्रिया करता है), अतः प्रश्न 3 से वे एक ही तुल्याकारिता वर्ग देते हैं। वह $D_6$ है: $\ker\varphi$ को जनित करने वाला $t$ और $\Z/3\Z$ को जनित करने वाला $x$ चुनिए; अवयव $\rho = (x, t)$ $\rho^2 = (2x, 0)$ , $\rho^3 = (0, t)$ , $\rho^6 = e$ संतुष्ट करता है और कोई छोटी घात $e$ नहीं है: अतः क्रम $6$ ; और $u \notin \ker\varphi$ वाले $s = (0, u)$ के लिए: $s^2 = e$ तथा $s\rho s^{-1} = (-x, t) = \rho^{-1}$ । चूँकि $\langle \rho, s\rangle$ का क्रम $12$ है, $G \cong D_6$ ।

16. क्रम $2$ के अवयवों की गणना: $\Z/12\Z$ में $1$ हैं; $\Z/6\Z\times\Z/2\Z$ में $3$ ; $D_6$ में $7$ (छह परावर्तन और अर्ध-घूर्णन $\rho^3$ ); $A_4$ में $3$ ; $\mathrm{Dic}_3$ में $1$ (केवल $(0, 2)$ : $\Z/4\Z$ में क्रम $4$ वाले $k$ के साथ किसी अवयव $(h, k)$ का क्रम $4$ होता है)। इससे युग्मों $\{\Z/12\Z, \mathrm{Dic}_3\}$ और $\{\Z/6\Z\times\Z/2\Z, A_4\}$ को छोड़कर सब पृथक हो जाते हैं: इनमें पहले सदस्य आबेली हैं और दूसरे नहीं ( $\mathrm{Dic}_3$ : क्रिया अतुच्छ है; $A_4$ : $(1\,2\,3)$ और $(1\,2)(3\,4)$ क्रमविनिमेय नहीं हैं)। पाँच भिन्न समूह; और भाग II से IV तक दिखा देते हैं कि सूची पूर्ण है।

17. वर्गीकरण सारणी:

$n$	क्रम $n$ के समूह	संख्या
$1$	$\{e\}$	$1$
$2$	$\Z/2\Z$	$1$
$3$	$\Z/3\Z$	$1$
$4$	$\Z/4\Z$ , $(\Z/2\Z)^2$	$2$
$5$	$\Z/5\Z$	$1$
$6$	$\Z/6\Z$ , $S_3 = D_3$	$2$
$7$	$\Z/7\Z$	$1$
$8$	$\Z/8\Z$ , $\Z/4\Z{\times}\Z/2\Z$ , $(\Z/2\Z)^3$ , $D_4$ , $Q_8$	$5$
$9$	$\Z/9\Z$ , $(\Z/3\Z)^2$	$2$
$10$	$\Z/10\Z$ , $D_5$	$2$
$11$	$\Z/11\Z$	$1$
$12$	$\Z/12\Z$ , $\Z/6\Z{\times}\Z/2\Z$ , $D_6$ , $A_4$ , $\mathrm{Dic}_3$	$5$
$13$	$\Z/13\Z$	$1$
$14$	$\Z/14\Z$ , $D_7$	$2$
$15$	$\Z/15\Z$	$1$

क्रम $6, 10, 14$ $p = 3, 5, 7$ के साथ भाग II हैं; क्रम $15$ प्रश्न 7 है; क्रम $8$ प्रश्न 2 के साथ भाग III है; क्रम $12$ भाग IV है; अभाज्य क्रम लाग्राँज हैं; और क्रम $4$ तथा $9$ प्रश्न 2 हैं।

18. $Z = Z(G)$ अतुच्छ है (प्रमेय 1.12) और $Z \neq G$ (अनाबेली), अतः $\abs Z \in \{p, p^2\}$ । यदि $\abs Z = p^2$ हो, तो $G/Z$ क्रम $p$ का चक्रीय है और अभ्यास 1.2 $G$ को आबेली बना देता है: अपवर्जित, अतः $\abs Z = p$ और $\abs{G/Z} = p^2$ । प्रश्न 2 से $G/Z$ $\Z/p^2\Z$ या $(\Z/p\Z)^2$ है; और चक्रीय पुनः अभ्यास 1.2 से अपवर्जित है: अतः $G/Z \cong (\Z/p\Z)^2$ । चूँकि $G/Z$ आबेली है, प्रत्येक क्रमविनिमेयक $Z$ में है: $D(G) \subseteq Z$ ; और $D(G) \neq \{e\}$ ( $G$ अनाबेली), अतः $D(G) = Z$ ( $\abs Z = p$ कोई स्थान नहीं छोड़ता)। क्रमविनिमेयक $\abs Z = p$ को विभाजित करने वाले क्रम के केंद्रीय अवयव हैं।

19. $k$ पर आगमन, जिसमें स्थिति $k = 1$ तुच्छ है। $yx = xyz^{-1}\cdot$ का उपयोग करते हुए — ठीक-ठीक, $z = [y, x] = yxy^{-1}x^{-1}$ से $yx = zxy$ मिलता है, अर्थात् एक $y$ को एक $x$ के पार बाईं ओर ले जाने से एक गुणनखंड $z$ उत्पन्न होता है, जो केंद्रीय है और कहीं भी रखा जा सकता है। तब

(xy)^{k+1} = (xy)^k\,xy = x^ky^kz^{k(k-1)/2}\,xy = x^k\,(y^kx)\,y\,z^{k(k-1)/2} = x^{k+1}y^{k+1}\,z^{k(k-1)/2 + k},

क्योंकि $x$ को $y^k$ के पार ले जाने पर $z$ के $k$ गुणनखंड लगते हैं ( $y^kx = z^kxy^k$ , $yx = zxy$ के $k$ प्रयोगों से); और $k(k-1)/2 + k = k(k+1)/2$ ।

20. $k = p$ के साथ: $(xy)^p = x^py^pz^{p(p-1)/2}$ । विषम $p$ के लिए $(p-1)/2$ पूर्णांक है, अतः $z^{p(p-1)/2} = (z^p)^{(p-1)/2} = e$ (प्रश्न 18: $z$ का क्रम $p$ को विभाजित करता है): इसलिए $\theta(xy) = \theta(x)\theta(y)$ , जो एक समाकारिता है। उसके मान केंद्रीय हैं: $G/Z \cong (\Z/p\Z)^2$ में $x$ के वर्ग का क्रम $p$ को विभाजित करता है, अतः $x^p \in Z$ । यदि $\theta$ तुच्छ हो, तो प्रत्येक अवयव का क्रम $p$ को विभाजित करता है: घातांक $p$ ( $1$ नहीं: $G \neq \{e\}$ )। अन्यथा किसी $x^p \neq e$ के लिए, और $x$ का क्रम $p^2$ है (क्रम $p^3$ को विभाजित करता है, और $x$ का क्रम $p^3$ नहीं हो सकता: अन्यथा $G$ चक्रीय, अतः आबेली होता): घातांक $p^2$ ।

21. $G/Z$ को जनित करने वाले वर्ग $\bar x, \bar y$ : उनका क्रमविनिमेयक $z = [y, x]$ $\neq e$ है, अन्यथा $x, y, Z$ कोई आबेली $G$ जनित करता (उनके वर्ग भागफल को जनित करते हैं और $Z$ केंद्रीय है) — और $z$ $Z$ को जनित करता है ( $\abs Z = p$ )। प्रत्येक $g \in G$ का वर्ग अद्वितीय $0 \leq a, b < p$ के लिए $\bar x^a\bar y^b$ है, अतः अद्वितीय $0 \leq c < p$ के साथ $g = x^ay^bz^c$ : $p^3$ अवयव, सभी गिने गए। ऐसे प्रसामान्य रूपों के गुणनफल केवल $yx = zxy$ , $z$ केंद्रीय, और $x^p = y^p = z^p = e$ का उपयोग करके परिकलित होते हैं: अतः सारणी अनिवार्य है, इसलिए क्रम $p^3$ के किन्हीं भी दो घातांक- $p$ अनाबेली समूह तुल्याकारी हैं (जनकों का मिलान कीजिए)। हाइज़नबर्ग समूह इन संबंधों को साकार करता है: $X = I + E_{12}$ , $Y = I + E_{23}$ के साथ $[Y, X] = I - E_{13}$ परिकलित होता है ( $H_p$ में केंद्रीय), और किसी भी कड़ाई से ऊपरी त्रिकोणीय $N$ के लिए $N^3 = 0$

(I + N)^p = I + pN + \binom p2N^2 = I \qquad\text{अभिलक्षण } p \text{ में},\ p \geq 3,

दे देता है, क्योंकि $p \mid p$ और विषम $p$ के लिए $p \mid \binom p2$ : अतः घातांक $p$ । इसलिए घातांक- $p$ समूह $H_p$ है।

22. $Z(G) = \langle r^p\rangle$ : वस्तुतः $r^p$ केंद्रीय है (प्रश्न 20 वाला तर्क: घातांक- $p$ भागफल $G/Z$ में $r$ का वर्ग $r^p \in Z$ दे देता है) और $\neq e$ है, अतः वह क्रम- $p$ केंद्र को जनित करता है। कोई भी $t \notin N$ लीजिए। यदि $t^p = e$ हो, तो $s = t$ रखिए। अन्यथा $\theta(t) = t^p \in Z = \langle r^p\rangle$ , कहिए $t^p = r^{pb}$ ; $s = tr^{-b}$ रखिए: प्रश्न 20 से ( $\theta$ समाकारिता, $p$ विषम) $s^p = t^pr^{-pb} = e$ , और $s \notin N$ । संयुग्मन: $srs^{-1} \in N$ ( $N$ प्रसामान्य) का क्रम $p^2$ है, अतः $p \nmid m$ के साथ $srs^{-1} = r^m$ ; साथ ही $s^p = e$ से $m^p \equiv m \pmod{p^2}$ अनिवार्य है — $p$ बार संयुग्मन करने पर $r$ लौट आता है, अतः $m^p \equiv 1 \pmod {p^2}$ , और $m \equiv m^p \equiv 1 \pmod p$ (फेर्मा): इसलिए $m = 1 + ap$ । अतुच्छता ( $G$ अनाबेली) से $a \not\equiv 0$ मिलता है; और $s$ के स्थान पर $aa' \equiv 1 \pmod p$ वाली घात $s^{a'}$ रखने से क्रिया $r \mapsto r^{1+p}$ बन जाती है। इससे $G$ $\varphi(1)\colon r \mapsto r^{1+p}$ के साथ $\Z/p^2\Z\rtimes_\varphi\Z/p\Z$ के रूप में प्रस्तुत हो जाता है; और प्रश्न 3 से एक ही प्रतिबिंब वाली कोई भी दो अतुच्छ समाकारिताएँ $\Z/p\Z \to \operatorname{Aut}(\Z/p^2\Z)$ — और वह प्रतिबिंब चक्रीय $\operatorname{Aut}(\Z/p^2\Z)$ का क्रम $p$ वाला वही अद्वितीय उपसमूह है — तुल्याकारी अर्ध-प्रत्यक्ष गुणन देती हैं: अर्थात् अद्वितीयता।

23. आबेली: $\Z/p^3\Z$ , $\Z/p^2\Z\times\Z/p\Z$ , $(\Z/p\Z)^3$ (प्रश्न 2 का तर्क, एक घात ऊपर: महत्तम क्रम से वर्गीकरण)। अनाबेली: ठीक $H_p$ (घातांक $p$ , प्रश्न 21) और $\Z/p^2\Z\rtimes\Z/p\Z$ (घातांक $p^2$ , प्रश्न 22), जो अपने घातांकों से पृथक होते हैं। कुल: पाँच। $p = 2$ के लिए प्रश्न 20 का समाकारिता तर्क ढह जाता है: $z^{p(p-1)/2} = z^{1} = z \neq e$ , वर्ग करना समाकारिता नहीं है, और वस्तुतः क्रम $8$ के दोनों अनाबेली समूहों का घातांक $4$ है — वह निश्चर जो $D_4$ को $Q_8$ से पृथक करता है वह क्रम $2$ के अवयवों की संख्या है (पाँच बनाम एक), घातांक नहीं। विषम- $p$ की दुनिया, इस बार, अभिलक्षण $2$ से अधिक सुव्यवस्थित है।

24. $H_p$ में प्रत्येक अवयव $\neq e$ का क्रम $p$ है (घातांक $p$ , प्रश्न 21): अतः क्रम $p$ के $p^3 - 1$ अवयव। $M_p$ में प्रतिचित्रण $\theta \colon x \mapsto x^p$ कोई समाकारिता $M_p \to Z(M_p) = \langle r^p\rangle$ है (प्रश्न 20, $p$ विषम); $\theta(r) = r^p \neq e$ , अतः प्रतिबिंब समूचा क्रम- $p$ केंद्र है और $\ker\theta = \{x : x^p = e\}$ का क्रम $p^3/p = p^2$ है। क्रम $p$ के अवयव इस अष्टि के अतत्समक अवयव हैं: उनकी संख्या $p^2 - 1$ । $p = 3$ के लिए: $H_3$ में क्रम $3$ के $27 - 1 = 26$ अवयव हैं, और $M_3 = \Z/9\Z \rtimes \Z/3\Z$ में $9 - 1 = 8$ । $p = 2$ के लिए तर्क आरंभ में ही मर जाता है: क्रम $8$ के किसी अनाबेली समूह पर वर्ग करना समाकारिता नहीं है (प्रश्न 23), और वस्तुतः समुच्चय $\{x : x^2 = e\}$ में $D_4$ के $6$ अवयव हैं — जो $D_4$ के किसी उपसमूह का क्रम नहीं है। जो गणना इस युग्म को पृथक करती है वह क्रम $2$ के अवयवों की संख्या है: $D_4$ में पाँच, $Q_8$ में एक (प्रश्न 11)।

25. यदि $p^2 \mid n$ हो, तो समूह $\Z/p\Z \times \Z/(n/p)\Z$ का क्रम $n$ है और वह चक्रीय नहीं: प्रत्येक अवयव का क्रम $\operatorname{lcm}(p, n/p) = n/p < n$ को विभाजित करता है, क्योंकि $p \mid n/p$ । यदि $p \mid q - 1$ के साथ $n$ को विभाजित करने वाले अभाज्य $p < q$ हों, तो प्रश्न 7 क्रम $pq$ का कोई अनाबेली समूह $\Z/q\Z \rtimes \Z/p\Z$ देता है; तब $(\Z/q\Z \rtimes \Z/p\Z) \times \Z/(n/pq)\Z$ का क्रम $n$ है और वह अनाबेली, अतः चक्रीय नहीं। अब मान लीजिए $\gcd(n, \varphi(n)) > 1$ और दोनों को विभाजित करने वाला कोई अभाज्य $p$ चुनिए। $\varphi(n) = \prod_{q^a \parallel n} q^{a-1}(q - 1)$ लिखने पर विभाज्यता $p \mid \varphi(n)$ का अर्थ है या तो $p^2 \mid n$ ( $q = p$ , $a \geq 2$ के साथ गुणनखंड $q^{a-1}$ ) या किसी अभाज्य $q \mid n$ , $q \neq p$ के लिए $p \mid q - 1$ : दोनों स्थितियों में ऊपर के अनुसार $n$ चक्रीय नहीं है। प्रतिधनात्मकता से, $n$ का चक्रीय होना $\gcd(n, \varphi(n)) = 1$ अनिवार्य कर देता है। $n \leq 15$ के लिए जाँच: $n = 1, \dots, 15$ के लिए मान $\varphi(n)$ ये हैं: $1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8$ , और $\gcd(n, \varphi(n)) = 1$ ठीक $n = 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15$ के लिए — अर्थात् ठीक वही प्रविष्टियाँ जो प्रश्न 17 की सारणी में एक ही समूह के साथ हैं। शेष क्रम ऊपर के अनुसार अचक्रीय सिद्ध होते हैं: $4, 8, 9, 12$ किसी वर्ग गुणनखंड से, और $6, 10, 12, 14$ $2 \mid q - 1$ से। (विलोम — $\gcd(n, \varphi(n)) = 1$ से $n$ चक्रीय — भी सत्य है; प्रश्न 7 उसकी पहली अतुच्छ स्थिति, $p \nmid q - 1$ के साथ $n = pq$ , सिद्ध करता है।)