घातें, अवयव की कोटि क्या है?

उदाहरण 7.15

$(\C^*, \times)$ में: $\iu$ की कोटि $4$ है, जहाँ $\langle \iu \rangle = \{1, \iu, -1, -\iu\} = \mathbb{U}_4$; और अधिक व्यापक रूप से $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ की कोटि $n$ है और $\langle\omega\rangle = \mathbb{U}_n$। $(\Z, +)$ में प्रत्येक $x \neq 0$ की कोटि अनंत है। परिभाषा के दावे क्यों सत्य हैं: यदि $x$ की कोटि $m$ है, तो किसी भी $k$ को $m$ से भाग दीजिए ($k = mq + r$, $0 \leq r < m$, प्रमेय 6.2): $x^k = (x^m)^q x^r = x^r$, अतः घातें आवर्तकाल $m$ के साथ चक्कर लगाती हैं, सूचीबद्ध अवयव $m$ की लघुतमता से जोड़ों में भिन्न हैं, और $x^k = e$ $r = 0$ पर बाध्य कर देता है। क्रमचयों की कोटियाँ नीचे दी गई सप्ताहांत समस्या में संगणित की गई हैं।

उदाहरण 7.16 ($\mathbb U_{12}$ के भीतर कोटियाँ)

$\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ के लिए $\mathbb U_n$ में $\omega^k$ की कोटि क्या है? $(\omega^k)^m = 1$ तभी जब $n \mid km$, और $\gcd(n', k') = 1$ के साथ $d = \gcd(n, k)$, $n = dn'$, $k = dk'$ लिखने पर $n \mid km \iff n' \mid k'm \iff n' \mid m$ (गाउस की प्रमेयिका, प्रमेय 6.8)। ऐसा लघुतम $m \geq 1$ $n' = \frac{n}{\gcd(n,k)}$ है। उदाहरण के लिए $\mathbb U_{12}$ में $\omega^8$ की कोटि $\frac{12}{\gcd(12,8)} = 3$ है (वस्तुतः $\omega^8 = \eu^{4\iu\pi/3} \in \mathbb U_3$), जबकि $\omega^5$ की कोटि $12$ है: वह पूरे समूह को जनता है, यद्यपि वह “मानक” जनक नहीं है। जनकों को गिनना — अर्थात् $\gcd(k, n) = 1$ वाले $k$ गिनना — उदाहरण 2.25 की सहअभाज्य गणनाओं को फिर से दे देता है: समूह सिद्धांत और गणना यहाँ मिल जाते हैं।

उदाहरण 7.6 (आयत की सममितियाँ)

(वर्ग न होने वाला) आयत स्वयं अपने पर ठीक चार सममितियाँ स्वीकार करता है: तत्समक $e$, क्षैतिज अक्ष में परावर्तन $h$, ऊर्ध्वाधर अक्ष में परावर्तन $v$, और केंद्र के परितः अर्ध-घुमाव $r$। संयोजन इस चार-अवयवी समुच्चय को समूह बना देता है: हर अवयव अपना ही प्रतिलोम है ($h^2 = v^2 = r^2 = e$), और किन्हीं दो भिन्न अतत्समक अवयवों का गुणनफल तीसरा होता है ($hv = vh = r$: दोनों अक्षों में परावर्तन ही अर्ध-घुमाव है)। पूरी सारणी सममित है, अतः समूह आबेली है — फिर भी वह उदाहरण 7.15 के घूर्णनों $\mathbb U_4$ वाला समूह नहीं है: वहाँ $\iu$ की कोटि $4$ है, जबकि यहाँ हर अवयव की कोटि $\leq 2$ है। अतः एक ही आकार के दो समूहों की गुणन-संरचनाएँ सचमुच भिन्न हो सकती हैं — नीचे का चित्र दोनों सारणियाँ साथ-साथ दिखाता है। यह चार-अवयवी समूह $\{\pm1\} \times \{\pm1\}$ के रूप में लौटता है, और अभ्यास 7.7 समझाता है कि जिस समूह में सभी वर्ग तुच्छ हों वह, इसी की भाँति, आबेली क्यों होना चाहिए।