¿Qué es Potencias, orden de un elemento?

Ejemplo 7.15

En $(\C^*, \times)$: $\iu$ tiene orden $4$, con $\langle \iu \rangle = \{1, \iu, -1, -\iu\} = \mathbb{U}_4$; more generally $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ has order $n$ and $\langle\omega\rangle = \mathbb{U}_n$. En $(\Z, +)$, todo $x \neq 0$ tiene orden infinito. Por qué valen las afirmaciones de la definición: si $x$ tiene orden $m$, divídase cualquier $k$ entre $m$ ($k = mq + r$, $0 \leq r < m$, Teorema 6.2): $x^k = (x^m)^q x^r = x^r$, de modo que las potencias se repiten con período $m$, los elementos enumerados son distintos dos a dos por minimalidad de $m$, y $x^k = e$ obliga a $r = 0$. Los órdenes de las permutaciones se calculan en el problema del fin de semana.

Ejemplo 7.16 (Órdenes dentro de $\mathbb U_{12}$)

¿Cuál es el orden de $\omega^k$ en $\mathbb U_n$, para $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$? Se tiene $(\omega^k)^m = 1$ si y solo si $n \mid km$ y, escribiendo $d = \gcd(n, k)$, $n = dn'$, $k = dk'$ con $\gcd(n', k') = 1$: $n \mid km \iff n' \mid k'm \iff n' \mid m$ (lema de Gauss, Teorema 6.8). El menor $m \geq 1$ así es $n' = \frac{n}{\gcd(n,k)}$. En $\mathbb U_{12}$, por ejemplo, $\omega^8$ tiene orden $\frac{12}{\gcd(12,8)} = 3$ (en efecto, $\omega^8 = \eu^{4\iu\pi/3} \in \mathbb U_3$), mientras que $\omega^5$ tiene orden $12$: genera todo el grupo, aunque no sea el generador «estándar». Contar los generadores — los $k$ con $\gcd(k, n) = 1$ — recupera los recuentos de coprimos del Ejemplo 2.25: la teoría de grupos y la combinatoria se encuentran.

Ejemplo 7.6 (Las simetrías de un rectángulo)

Un rectángulo (no cuadrado) admite exactamente cuatro isometrías en sí mismo: la identidad $e$, la simetría respecto del eje horizontal $h$, la simetría respecto del eje vertical $v$ y el giro de media vuelta $r$ alrededor del centro. La composición hace de este conjunto de cuatro elementos un grupo: cada elemento es su propio inverso ($h^2 = v^2 = r^2 = e$) y el producto de dos elementos distintos y distintos del neutro es el tercero ($hv = vh = r$: reflejar en los dos ejes es el giro de media vuelta). La tabla completa es simétrica, luego el grupo es abeliano — y, sin embargo, no es el mismo grupo que las rotaciones $\mathbb U_4$ del Ejemplo 7.15: allí $\iu$ tiene orden $4$, mientras que aquí todo elemento tiene orden $\leq 2$. Dos grupos del mismo tamaño pueden, pues, tener estructuras multiplicativas genuinamente distintas — la figura de más abajo muestra las dos tablas una al lado de la otra. Este grupo de cuatro elementos vuelve como $\{\pm1\} \times \{\pm1\}$, y el Ejercicio 7.7 explica por qué todo grupo con todos los cuadrados triviales debe ser, como este, abeliano.