Qu'est-ce que « Puissances, ordre d’un élément » ?

Exemple 7.15

Dans $(\C^*, \times)$ : $\iu$ est d’ordre $4$, avec $\langle \iu \rangle = \{1, \iu, -1, -\iu\} = \mathbb{U}_4$ ; plus généralement $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ est d’ordre $n$ et $\langle\omega\rangle = \mathbb{U}_n$. Dans $(\Z, +)$, tout $x \neq 0$ est d’ordre infini. Pourquoi les affirmations de la définition sont vraies : si $x$ est d’ordre $m$, effectuons la division euclidienne d’un $k$ quelconque par $m$ ($k = mq + r$, $0 \leq r < m$, Théorème 6.2) : $x^k = (x^m)^q x^r = x^r$, donc les puissances sont périodiques de période $m$, les éléments énumérés sont deux à deux distincts par minimalité de $m$, et $x^k = e$ force $r = 0$. Les ordres des permutations sont calculés dans le devoir maison ci-dessous.

Exemple 7.16 (Ordres dans $\mathbb U_{12}$)

Quel est l’ordre de $\omega^k$ dans $\mathbb U_n$, pour $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ ? On a $(\omega^k)^m = 1$ si et seulement si $n \mid km$, et en écrivant $d = \gcd(n, k)$, $n = dn'$, $k = dk'$ avec $\gcd(n', k') = 1$ : $n \mid km \iff n' \mid k'm \iff n' \mid m$ (lemme de Gauss, Théorème 6.8). Le plus petit tel $m \geq 1$ est $n' = \frac{n}{\gcd(n,k)}$. Dans $\mathbb U_{12}$ par exemple, $\omega^8$ est d’ordre $\frac{12}{\gcd(12,8)} = 3$ (en effet $\omega^8 = \eu^{4\iu\pi/3} \in \mathbb U_3$), tandis que $\omega^5$ est d’ordre $12$ : il engendre le groupe tout entier, bien qu’il ne soit pas le générateur « standard ». Compter les générateurs — les $k$ tels que $\gcd(k, n) = 1$ — redonne les dénombrements d’entiers premiers avec $n$ de l’Exemple 2.25 : théorie des groupes et dénombrement se rejoignent.

Exemple 7.6 (Les symétries d’un rectangle)

Un rectangle (non carré) admet exactement quatre isométries de lui-même sur lui-même : l’identité $e$, la symétrie d’axe horizontal $h$, la symétrie d’axe vertical $v$, et le demi-tour $r$ autour du centre. La composition fait de cet ensemble à quatre éléments un groupe : chaque élément est son propre inverse ($h^2 = v^2 = r^2 = e$), et le produit de deux éléments distincts autres que le neutre est le troisième ($hv = vh = r$ : composer les deux symétries axiales donne le demi-tour). La table est symétrique, donc le groupe est abélien — et pourtant ce n’est pas le même groupe que celui des rotations $\mathbb U_4$ de l’Exemple 7.15 : là, $\iu$ est d’ordre $4$, tandis qu’ici tout élément est d’ordre $\leq 2$. Deux groupes de même taille peuvent donc avoir des structures multiplicatives véritablement différentes — la figure ci-dessous affiche les deux tables côte à côte. Ce groupe à quatre éléments réapparaîtra sous la forme $\{\pm1\} \times \{\pm1\}$, et l’Exercice 7.7 explique pourquoi tout groupe dont tous les carrés sont triviaux est, comme celui-ci, nécessairement abélien.