Wat is Machten, orde van een element?

Voorbeeld 7.15

In $(\C^*, \times)$ heeft $\iu$ orde $4$, met $\langle \iu \rangle = \{1, \iu, -1, -\iu\} = \mathbb{U}_4$; algemener heeft $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ orde $n$ met $\langle\omega\rangle = \mathbb{U}_n$. In $(\Z, +)$ heeft elke $x \neq 0$ oneindige orde. Waarom de beweringen in de definitie kloppen: heeft $x$ orde $m$, deel dan een willekeurige $k$ door $m$ ($k = mq + r$ met $0 \leq r < m$, Stelling 6.2): dan is $x^k = (x^m)^q x^r = x^r$, zodat de machten met periode $m$ rondgaan; de opgesomde elementen zijn twee aan twee verschillend wegens de minimaliteit van $m$, en $x^k = e$ dwingt $r = 0$ af. De ordes van permutaties worden in de weekendopgave hieronder berekend.

Voorbeeld 7.16 (Ordes binnen $\mathbb U_{12}$)

Wat is de orde van $\omega^k$ in $\mathbb U_n$, met $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$? Er geldt $(\omega^k)^m = 1$ precies wanneer $n \mid km$, en met $d = \gcd(n, k)$, $n = dn'$, $k = dk'$ en $\gcd(n', k') = 1$ is $n \mid km \iff n' \mid k'm \iff n' \mid m$ (lemma van Gauss, Stelling 6.8). De kleinste zulke $m \geq 1$ is $n' = \frac{n}{\gcd(n,k)}$. In $\mathbb U_{12}$ bijvoorbeeld heeft $\omega^8$ orde $\frac{12}{\gcd(12,8)} = 3$ (inderdaad is $\omega^8 = \eu^{4\iu\pi/3} \in \mathbb U_3$), terwijl $\omega^5$ orde $12$ heeft: die brengt de hele groep voort, hoewel het niet de “standaard” voortbrenger is. De voortbrengers tellen — de $k$ met $\gcd(k, n) = 1$ — geeft de tellingen van relatief prieme getallen uit Voorbeeld 2.25 terug: groepentheorie en telkunde ontmoeten elkaar.

Voorbeeld 7.6 (De symmetrieën van een rechthoek)

Een rechthoek die geen vierkant is, laat precies vier isometrieën op zichzelf toe: de identiteit $e$, de spiegeling $h$ in de horizontale as, de spiegeling $v$ in de verticale as, en de halve draai $r$ om het middelpunt. Samenstelling maakt van die verzameling met vier elementen een groep: elk element is zijn eigen inverse ($h^2 = v^2 = r^2 = e$), en het product van twee verschillende elementen ongelijk aan $e$ is het derde ($hv = vh = r$: in beide assen spiegelen is de halve draai). De volledige tabel is symmetrisch, dus de groep is abels — en toch is het niet dezelfde groep als de draaiingen $\mathbb U_4$ van Voorbeeld 7.15: daar heeft $\iu$ orde $4$, terwijl hier elk element orde $\leq 2$ heeft. Twee groepen van dezelfde grootte kunnen dus werkelijk verschillende vermenigvuldigingsstructuren hebben — de figuur hieronder zet beide tabellen naast elkaar. Deze groep met vier elementen keert terug als $\{\pm1\} \times \{\pm1\}$, en Oefening 7.7 legt uit waarom elke groep waarin alle kwadraten triviaal zijn, net als deze, abels moet zijn.