Apa itu Pangkat, orde sebuah unsur?

Contoh 7.15

Dalam $(\C^*, \times)$: $\iu$ berorde $4$, dengan $\langle \iu \rangle = \{1, \iu, -1, -\iu\} = \mathbb{U}_4$; lebih umum $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ berorde $n$ dan $\langle\omega\rangle = \mathbb{U}_n$. Dalam $(\Z, +)$, setiap $x \neq 0$ berorde tak hingga. Mengapa klaim pada definisinya berlaku: jika $x$ berorde $m$, bagilah sebarang $k$ dengan $m$ ($k = mq + r$, $0 \leq r < m$, Teorema 6.2): maka $x^k = (x^m)^q x^r = x^r$, jadi pangkatnya berdaur dengan periode $m$, unsur yang didaftar itu berbeda dua-dua menurut keminimalan $m$, dan $x^k = e$ memaksa $r = 0$. Orde permutasi dihitung pada soal akhir pekan di bawah.

Contoh 7.16 (Orde di dalam $\mathbb U_{12}$)

Berapa orde $\omega^k$ di $\mathbb U_n$, untuk $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$? Kita punya $(\omega^k)^m = 1$ jika dan hanya jika $n \mid km$, dan dengan menulis $d = \gcd(n, k)$, $n = dn'$, $k = dk'$ dengan $\gcd(n', k') = 1$: $n \mid km \iff n' \mid k'm \iff n' \mid m$ (menurut lema Gauss, Teorema 6.8). Nilai $m \geq 1$ terkecil semacam itu adalah $n' = \frac{n}{\gcd(n,k)}$. Di $\mathbb U_{12}$ misalnya, $\omega^8$ berorde $\frac{12}{\gcd(12,8)} = 3$ (memang $\omega^8 = \eu^{4\iu\pi/3} \in \mathbb U_3$), sedangkan $\omega^5$ berorde $12$: ia membangkitkan seluruh grupnya, meskipun ia bukan pembangkit yang “baku”. Mencacah pembangkitnya — yaitu $k$ dengan $\gcd(k, n) = 1$ — memulihkan cacahan saling prima pada Contoh 2.25: jadi teori grup dan pencacahan bertemu.

Contoh 7.6 (Simetri sebuah persegi panjang)

Persegi panjang (yang bukan persegi) mempunyai tepat empat isometri pada dirinya sendiri: identitas $e$, pencerminan pada sumbu mendatar $h$, pencerminan pada sumbu tegak $v$, dan setengah putaran $r$ terhadap pusatnya. Komposisi menjadikan himpunan beranggota empat ini sebuah grup: setiap unsurnya menjadi inversnya sendiri ($h^2 = v^2 = r^2 = e$), dan hasil kali dua unsur tak identitas yang berbeda adalah unsur ketiganya ($hv = vh = r$: mencerminkan pada kedua sumbu sama dengan setengah putaran). Tabel lengkapnya simetris, jadi grupnya abelian — namun ia bukan grup yang sama dengan grup rotasi $\mathbb U_4$ pada Contoh 7.15: di sana $\iu$ berorde $4$, sedangkan di sini setiap unsurnya berorde $\leq 2$. Jadi dua grup berukuran sama dapat mempunyai struktur perkalian yang sungguh-sungguh berbeda — gambar di bawah menampilkan kedua tabelnya berdampingan. Grup beranggota empat ini kembali sebagai $\{\pm1\} \times \{\pm1\}$, dan Latihan 7.7 menjelaskan mengapa setiap grup yang semua kuadratnya sepele pastilah, seperti yang ini, abelian.