नियमित प्राचलित पृष्ठ क्या है? — गणित

परिभाषा 19.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · अध्याय 19 — पृष्ठ

मान लीजिए $U \subseteq \R^2$ विवृत है। वर्ग $\mathcal{C}^k$ ( $k \geq 1$ ) का प्राचलित पृष्ठ वर्ग $\mathcal{C}^k$ का कोई प्रतिचित्रण $\sigma \colon U \to \R^3$ , $(u, v) \mapsto \sigma(u, v)$ , है। कोई बिंदु नियमित है यदि आंशिक अवकलज सदिश

\sigma_u(u, v) = \frac{\partial\sigma}{\partial u}(u,v), \qquad \sigma_v(u, v) = \frac{\partial\sigma}{\partial v}(u,v)

रैखिकतः स्वतंत्र हों, अर्थात् $\sigma_u \wedge \sigma_v \neq 0$ ; और पृष्ठ नियमित है यदि उसका हर बिंदु नियमित हो।

उदाहरण

उदाहरण 19.2 (तीन मानक वर्णन)

ग्राफ़: $f \in \mathcal{C}^1(U)$ के लिए $\sigma(u, v) = (u,\ v,\ f(u, v))$ । सदा नियमित: $\sigma_u = (1, 0, f_u)$ तथा $\sigma_v = (0, 1, f_v)$ स्वतंत्र हैं।
गोला (गोलीय निर्देशांक): त्रिज्या $R$ के गोले के लिए

$\sigma(\theta, \varphi) = (R\cos\theta\cos\varphi,\ R\sin\theta\cos\varphi,\ R\sin\varphi), \qquad (\theta, \varphi) \in \R \times \bigl(-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2\bigr),$

जहाँ $\theta$ देशांतर है और $\varphi$ अक्षांश। जाँचने पर $\norm{\sigma_\theta \wedge \sigma_\varphi} = R^2\cos\varphi > 0$ : अर्थात् ध्रुवों से दूर नियमित (जिन्हें यह चार्ट छोड़ देता है)।
स्तर समुच्चय: $S = \{(x,y,z) : f(x, y, z) = c\}$ , जहाँ $f$ $\mathcal{C}^1$ है और $S$ पर $\nabla f \neq 0$ । हर बिंदु के निकट अंतर्निहित फलन प्रमेय (अध्याय 15) से एक निर्देशांक शेष दो के फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, अतः $S$ स्थानीय रूप से कोई ग्राफ़ है।

उदाहरण 19.3 (स्तर समुच्चय से ग्राफ़ तक)

मद 3 का अंतर्निहित फलन प्रमेय एक बार खुलकर चलाए जाने का हक़दार है। गोला $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ उसके उत्तरी ध्रुव $(0, 0, R)$ के निकट लीजिए: वहाँ $\frac{\partial f}{\partial z} = 2z = 2R \neq 0$ , और $z$ के लिए हल करने पर ग्राफ़-चार्ट मिलता है

z = \sqrt{R^2 - x^2 - y^2}, \qquad x^2 + y^2 < R^2 ,

जो अपने (विवृत) प्रांत पर हर जगह नियमित है — उस ध्रुव पर भी, जिसे गोलीय चार्ट चूक गया था। $(R, 0, 0)$ जैसे किसी विषुवतीय बिंदु के निकट वही प्रमेय इसके बदले $x$ के लिए हल कर देती है ( $\frac{\partial f}{\partial x} = 2R \neq 0$ )। अंगूठे का नियम: कोई स्तर पृष्ठ उस निर्देशांक समतल के ऊपर ग्राफ़ होता है जो प्रवणक के सबसे बड़े घटक के लांबिक है; और गोले को ऐसे छह ग्राफ़-चार्टों से ढँककर उसकी चिकनाई हर जगह बिना ज़रा भी त्रिकोणमिति के जाँची जा सकती है।

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