ما معنى السطح الموسّم النظامي؟

مثال 19.2 (الأوصاف القياسية الثلاثة)

1. التمثيل البياني: $\sigma(u, v) = (u,\ v,\ f(u, v))$ من أجل $f \in \mathcal{C}^1(U)$. وهو نظامي دائما: فالمتجهتان $\sigma_u = (1, 0, f_u)$ و$\sigma_v = (0, 1, f_v)$ مستقلتان.

2. الكرة (بالإحداثيات الكروية): من أجل الكرة ذات نصف القطر $R$،

   $$\sigma(\theta, \varphi) = (R\cos\theta\cos\varphi,\ R\sin\theta\cos\varphi,\ R\sin\varphi), \qquad (\theta, \varphi) \in \R \times \bigl(-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2\bigr),$$

   حيث $\theta$ هو الطول و$\varphi$ هو العرض. ونتحقق من أن $\norm{\sigma_\theta \wedge \sigma_\varphi} = R^2\cos\varphi > 0$: فهو نظامي بعيدا عن القطبين (اللذين تهملهما هذه الخريطة).

3. مجموعة المستوى: $S = \{(x,y,z) : f(x, y, z) = c\}$ حيث $f$ من الصنف $\mathcal{C}^1$ و$\nabla f \neq 0$ على $S$. فبجوار كل نقطة، يمكن التعبير عن إحدى الإحداثيات بدلالة الأخريين بمبرهنة الدالة الضمنية (الفصل 15)، ومنه فإن $S$ تمثيل بياني محليا.

مثال 19.3 (من مجموعة المستوى إلى التمثيل البياني)

تستحق مبرهنة الدالة الضمنية في البند 3 تشغيلا صريحا واحدا. خذ الكرة $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ بجوار قطبها الشمالي $(0, 0, R)$: فهناك $\frac{\partial f}{\partial z} = 2z = 2R \neq 0$، والحل بدلالة $z$ يعطي خريطة التمثيل البياني

وهي نظامية في كل نقطة من مجالها (المفتوح) — بما فيها القطب الذي فوّتته الخريطة الكروية. وبجوار نقطة من خط الاستواء مثل $(R, 0, 0)$، تحل المبرهنة نفسها بدلالة $x$ بدلا من ذلك ($\frac{\partial f}{\partial x} = 2R \neq 0$). والقاعدة العملية: سطح المستوى تمثيل بياني فوق المستوي الإحداثي المتعامد مع أكبر مركبات التدرج، وبتغطية الكرة بست خرائط تمثيل بياني من هذا النوع نتحقق من ملاستها في كل نقطة دون أي حساب مثلثي البتة.