Qu'est-ce que « Surface paramétrée régulière » ?

Exemple 19.2 (Les trois descriptions standard)

1. Graphe : $\sigma(u, v) = (u,\ v,\ f(u, v))$ pour $f \in \mathcal{C}^1(U)$. Toujours régulière : $\sigma_u = (1, 0, f_u)$ et $\sigma_v = (0, 1, f_v)$ sont indépendants.

2. Sphère (coordonnées sphériques) : pour la sphère de rayon $R$,

   $$\sigma(\theta, \varphi) = (R\cos\theta\cos\varphi,\ R\sin\theta\cos\varphi,\ R\sin\varphi), \qquad (\theta, \varphi) \in \R \times \bigl(-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2\bigr),$$

   avec $\theta$ la longitude et $\varphi$ la latitude. On vérifie $\norm{\sigma_\theta \wedge \sigma_\varphi} = R^2\cos\varphi > 0$ : régulière hors des pôles (que cette carte omet).

3. Ensemble de niveau : $S = \{(x,y,z) : f(x, y, z) = c\}$ où $f$ est $\mathcal{C}^1$ et $\nabla f \neq 0$ sur $S$. Au voisinage de chaque point, une coordonnée peut s’exprimer en fonction des deux autres par le théorème des fonctions implicites (Chapitre 15), donc $S$ est localement un graphe.

Exemple 19.3 (De l’ensemble de niveau au graphe)

Le théorème des fonctions implicites du point 3 mérite une mise en œuvre explicite. Prenons la sphère $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ au voisinage de son pôle nord $(0, 0, R)$ : là $\frac{\partial f}{\partial z} = 2z = 2R \neq 0$, et la résolution en $z$ donne la carte-graphe

régulière partout sur son domaine (ouvert) — y compris le pôle que la carte sphérique manquait. Au voisinage d’un point de l’équateur comme $(R, 0, 0)$, le même théorème résout en $x$ à la place ($\frac{\partial f}{\partial x} = 2R \neq 0$). La règle empirique : une surface de niveau est un graphe au-dessus du plan de coordonnées orthogonal à la plus grande composante du gradient, et en recouvrant la sphère par six telles cartes-graphes on vérifie sa régularité partout sans aucune trigonométrie.