15अवकल कलन

हल — अभ्यास 15.1.

$J_f = \begin{pmatrix} 2x & -2y\\ 2y & 2x\end{pmatrix}$, $\det J_f = 4(x^2 + y^2)$: मूल बिंदु से दूर प्रतिलोमनीय। (यह $f$ सम्मिश्र भेस में $z \mapsto z^2$ है।)

$J_\Phi = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0\\ \sin\theta & r\cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$, $\det = r$: $r \neq 0$ के लिए प्रतिलोमनीय (बेलनीय निर्देशांक)।

हल — अभ्यास 15.2.

$v = (a, b) \neq 0$ के लिए: $\frac{f(tv) - 0}{t} = \frac{t^3a^3}{t\cdot t^2(a^2+b^2)} = \frac{a^3}{a^2 + b^2}$: अर्थात् हर दिशिक अवकलज विद्यमान है और उसका मान $D_v = \frac{a^3}{a^2+b^2}$ है। परंतु $v \mapsto D_v$ रैखिक नहीं है ($D_{(1,0)} = 1$, $D_{(0,1)} = 0$, $D_{(1,1)} = \frac12 \neq 1$): कोई भी रैखिक प्रतिचित्रण ये मान नहीं दे सकता, अतः $f$ $0$ पर अवकलनीय नहीं है (अवकल को $v \mapsto D_v$ होना पड़ता)।

हल — अभ्यास 15.3.

$f = x^3 + y^3 - 3xy$: क्रांतिक बिंदु $(0,0)$ और $(1,1)$ (प्रथम वर्ष का परिकलन)। हेस्सियन: $H = \begin{pmatrix} 6x & -3\\ -3 & 6y\end{pmatrix}$। $(0,0)$ पर: अभिलक्षणिक चिह्न मिश्रित ($\det = -9 < 0$): अर्थात् काठी। $(1,1)$ पर: $\det = 27 > 0$, अनुरेख $> 0$: अतः धनात्मक निश्चित, यथार्थ स्थानीय न्यूनतम — और अब यह प्रमेय 15.11 से न्यायोचित है, केवल घोषित नहीं।

$g = x^4 + y^4 - 2(x-y)^2$: $\nabla g = (4x^3 - 4(x - y),\; 4y^3 + 4(x-y))$; क्रांतिक बिंदु $(0,0)$, $(\sqrt2, -\sqrt2)$, $(-\sqrt2, \sqrt2)$ (प्रथम वर्ष)। $(\pm\sqrt2, \mp\sqrt2)$ पर: $H = \begin{pmatrix} 12\cdot2 - 4 & 4\\ 4 & 20\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 & 4\\ 4 & 20\end{pmatrix}$: धनात्मक निश्चित (विकर्ण-प्रधान; अभिलक्षणिक मान $24, 16$): अतः यथार्थ स्थानीय न्यूनतम। और $(0,0)$ पर: $H = \begin{pmatrix} -4 & 4\\ 4 & -4\end{pmatrix}$, अपभ्रष्ट ऋणात्मक अर्धनिश्चित: जाँच चुप है; और दिशिक अध्ययन ($g(x,x) = 2x^4 > 0$, छोटा $g(x,-x) = 2x^4 - 8x^2 < 0$) काठी जैसा बिंदु दिखा देता है — अर्थात् कोई चरम मान नहीं।

हल — अभ्यास 15.4.

$t = 1$ पर $t \mapsto f(tx)$ का अवकलन कीजिए: शृंखला नियम से $\langle \nabla f(x), x\rangle$; और समघातता से वही फलन $t^pf(x)$ है, जिसका $t = 1$ पर अवकलज $pf(x)$ है: अर्थात् ऑयलर की सर्वसमिका।

विलोम: $x \neq 0$ स्थिर कीजिए और $t > 0$ पर $\varphi(t) = f(tx) - t^p f(x)$ लीजिए। तब $\varphi'(t) = \langle\nabla f(tx), x\rangle - pt^{p-1}f(x) = \frac1t\bigl(\langle \nabla f(tx), tx\rangle - p\,t^pf(x)\bigr)$। और परिकल्पना — अर्थात् बिंदु $tx$ पर ऑयलर की सर्वसमिका — कोष्ठक का मान $p\,f(tx) - p\,t^pf(x) = p\,\varphi(t)$ दे देती है। अतः $\varphi(1) = 0$ सहित $\varphi' = \frac{p}{t}\varphi$: और इस रैखिक अवकल समीकरण का अद्वितीय हल $\varphi \equiv 0$ है (प्रथम वर्ष की अद्वितीयता), अर्थात् $f(tx) = t^pf(x)$।

हल — अभ्यास 15.5.

$f(x + h) - f(x) = \langle Ax - b, h\rangle + \frac12\langle Ah, h\rangle$ को खोलने पर ($A$ की सममितता): सर्वत्र $\nabla f(x) = Ax - b$ और $H_f = A$। $f$ उत्तल है तभी जब $A$ धनात्मक अर्धनिश्चित हो (हेस्सियन जाँच, जो यहाँ वैश्विक है क्योंकि $H$ अचर है: द्वितीय-कोटि टेलर सूत्र यथार्थ है)। और यदि $A$ धनात्मक निश्चित हो: तो अद्वितीय क्रांतिक बिंदु $x^* = A^{-1}b$ है, और $h \neq 0$ के लिए $f(x^* + h) - f(x^*) = \frac12\langle Ah, h\rangle \geq \frac{\lambda_{\min}}{2}\norm h^2 > 0$: अर्थात् यथार्थ वैश्विक न्यूनतम।

हल — अभ्यास 15.6.

चूँकि $\nabla g(a) \neq 0$, कोई एक आंशिक अवकलज, मान लीजिए $\frac{\partial g}{\partial y}(a) \neq 0$: तब अंतर्निहित फलन प्रमेय (प्रमेय 15.14 की साथी) $a = (a_1, a_2)$ के पास $\{g = 0\}$ का प्राचलन $y$ $C^1$, $y'(t) = -\frac{\partial_x g}{\partial_y g}(\gamma(t))$ सहित $\gamma(t) = (t, y(t))$ के रूप में कर देती है ($g(t, y(t)) = 0$ का अवकलन कीजिए)। और एक-चर फलन $t \mapsto f(\gamma(t))$ का $t = a_1$ पर स्थानीय चरम मान है:

अर्थात् सदिशों $\nabla f(a)$ और $\nabla g(a)$ के निर्देशांक अनुपाती हैं: $\lambda = \frac{\partial_y f(a)}{\partial_y g(a)}$ सहित $\nabla f(a) = \lambda \nabla g(a)$।

अनुप्रयोग: वृत्त पर $\nabla(xy) = (y, x)$ का $(2x, 2y)$ के समांतर होना $y^2 = x^2$ को बाध्य कर देता है; और प्रतिबंध के साथ उम्मीदवार $\pm\bigl(\tfrac{1}{\sqrt2}, \tfrac{1}{\sqrt2}\bigr)$ (मान $\frac12$) तथा $\pm\bigl(\tfrac{1}{\sqrt2}, -\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr)$ (मान $-\frac12$) हैं: अतः महत्तम $\frac12$, न्यूनतम $-\frac12$ (और ये प्राप्त होते हैं: वृत्त संहत है)।

हल — अभ्यास 15.7.

$\nabla f = (2x - y + 1,\; 2y - x - 1) = 0$: हल करने पर $x = -\frac13$, $y = \frac13$। हेस्सियन $\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 2\end{pmatrix}$, जो धनात्मक निश्चित है: अतः द्विघात $f$ का वैश्विक न्यूनतम, मान $f\bigl(-\frac13, \frac13\bigr) = -\frac13$।

त्रिभुज $T$ पर: अभ्यंतरीय क्रांतिक बिंदु $(-\frac13, \frac13) \notin T$ (ऋणात्मक $x$)। भुजाएँ: $y = 0$ पर $x \in \intcc{0}{1}$: $f = x^2 + x$, जो वर्धमान है: अतः चरम मान $0$ और $2$। $x = 0$ पर: $f = y^2 - y$, न्यूनतम $y = \frac12$ पर $-\frac14$, और सिरों पर मान $0$ तथा $0$। $x + y = 1$ पर: $y = 1 - x$ प्रतिस्थापित कीजिए, $f = x^2 + (1-x)^2 - x(1-x) + x - (1-x) = 3x^2 - x$; और $\intcc{0}{1}$ पर: न्यूनतम $x = \frac16$ पर $-\frac{1}{12}$, तथा मान $0$ ($x=0$ पर) और $2$ ($x=1$ पर)। शीर्ष: $f(0,0) = 0$, $f(1,0) = 2$, $f(0,1) = 0$। $T$ पर वैश्विक: न्यूनतम $-\frac14$ $(0, \frac12)$ पर, महत्तम $2$ $(1, 0)$ पर।

हल — अभ्यास 15.8.

$J_f = \begin{pmatrix} 1 & 2y\\ 2x & 1\end{pmatrix}$, $\det J_f = 1 - 4xy$। $0$ पर: $\det = 1 \neq 0$: अर्थात् स्थानीय अवकल समाकृतिकता (प्रमेय 15.14), जहाँ

किसी गोले पर प्रतिलोमनीयता: सर्वत्र $4\abs{xy} < 1$ चाहिए; और $\norm{(x,y)}_2 < r$ पर $\abs{xy} \leq \frac{x^2 + y^2}{2} < \frac{r^2}{2}$, अतः $r = \frac{1}{\sqrt2}$ काम करता है; और वही महत्तम है: $(x, y) = \bigl(\tfrac12, \tfrac12\bigr)$ पर, जिसका मानदंड $\frac{1}{\sqrt2}$ है, $\det J_f = 0$।

हल — अभ्यास 15.9.

$f(t) = (\cos t, \sin t)$: $f(0) = f(2\pi) = (1, 0)$, फिर भी $f'(t) = (-\sin t, \cos t)$ का मानदंड $1$ है, जो कभी शून्य नहीं: अर्थात् ऐसा कोई बिंदु नहीं जहाँ अवकलज लुप्त हो — रोल का कोई सदिश अनुरूप नहीं है। और मध्यमान असमिका आराम से सत्य रहती है: $\norm{f(2\pi) - f(0)} = 0 \leq 2\pi \cdot \sup\norm{f'} = 2\pi$।