¿Qué es Superficie parametrizada regular?

Ejemplo 19.2 (Las tres descripciones estándar)

1. Grafo: $\sigma(u, v) = (u,\ v,\ f(u, v))$ para $f \in \mathcal{C}^1(U)$. Siempre regular: $\sigma_u = (1, 0, f_u)$ y $\sigma_v = (0, 1, f_v)$ son independientes.

2. Esfera (coordenadas esféricas): para la esfera de radio $R$,

   $$\sigma(\theta, \varphi) = (R\cos\theta\cos\varphi,\ R\sin\theta\cos\varphi,\ R\sin\varphi), \qquad (\theta, \varphi) \in \R \times \bigl(-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2\bigr),$$

   con $\theta$ la longitud y $\varphi$ la latitud. Se comprueba que $\norm{\sigma_\theta \wedge \sigma_\varphi} = R^2\cos\varphi > 0$: regular fuera de los polos (que esta carta omite).

3. Conjunto de nivel: $S = \{(x,y,z) : f(x, y, z) = c\}$ con $f$ de clase $\mathcal{C}^1$ y $\nabla f \neq 0$ sobre $S$. Cerca de cada punto, una coordenada puede expresarse como función de las otras dos por el teorema de la función implícita (Capítulo 15), de modo que $S$ es localmente un grafo.

Ejemplo 19.3 (Del conjunto de nivel al grafo)

El teorema de la función implícita del punto 3 merece una ejecución explícita. Tomemos la esfera $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ cerca de su polo norte $(0, 0, R)$: allí $\frac{\partial f}{\partial z} = 2z = 2R \neq 0$, y despejar $z$ da la carta de grafo

regular en todo su dominio (abierto), incluido el polo que la carta esférica se dejaba. Cerca de un punto del ecuador como $(R, 0, 0)$, el mismo teorema despeja $x$ en su lugar ($\frac{\partial f}{\partial x} = 2R \neq 0$). La regla práctica: una superficie de nivel es un grafo sobre el plano coordenado ortogonal a la mayor componente del gradiente, y cubriendo la esfera con seis cartas de grafo de ese tipo se comprueba su regularidad en todas partes sin trigonometría alguna.