Wat is Regulier geparametriseerd oppervlak?

Voorbeeld 19.2 (De drie standaardbeschrijvingen)

1. Grafiek: $\sigma(u, v) = (u,\ v,\ f(u, v))$ voor $f \in \mathcal{C}^1(U)$. Altijd regulier: $\sigma_u = (1, 0, f_u)$ en $\sigma_v = (0, 1, f_v)$ zijn onafhankelijk.

2. Bol (bolcoördinaten): voor de bol met straal $R$,

   $$\sigma(\theta, \varphi) = (R\cos\theta\cos\varphi,\ R\sin\theta\cos\varphi,\ R\sin\varphi), \qquad (\theta, \varphi) \in \R \times \bigl(-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2\bigr),$$

   met $\theta$ de lengtegraad en $\varphi$ de breedtegraad. Men gaat na dat $\norm{\sigma_\theta \wedge \sigma_\varphi} = R^2\cos\varphi > 0$: regulier buiten de polen (die deze kaart weglaat).

3. Niveauverzameling: $S = \{(x,y,z) : f(x, y, z) = c\}$ met $f$ van klasse $\mathcal{C}^1$ en $\nabla f \neq 0$ op $S$. Nabij elk punt kan één coördinaat als functie van de twee andere worden uitgedrukt met de stelling van de impliciete functie (Hoofdstuk 15), dus is $S$ lokaal een grafiek.

Voorbeeld 19.3 (Van niveauverzameling naar grafiek)

De stelling van de impliciete functie in punt 3 verdient één expliciete doorloop. Neem de bol $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ nabij haar noordpool $(0, 0, R)$: daar is $\frac{\partial f}{\partial z} = 2z = 2R \neq 0$, en naar $z$ oplossen geeft de grafiekkaart

overal regulier op haar (open) domein — ook in de pool die de bolkaart miste. Nabij een punt op de evenaar zoals $(R, 0, 0)$ lost dezelfde stelling naar $x$ op ($\frac{\partial f}{\partial x} = 2R \neq 0$). De vuistregel: een niveauoppervlak is een grafiek boven het coördinaatvlak dat loodrecht staat op de grootste component van de gradiënt, en door de bol met zes zulke grafiekkaarten te overdekken, gaat men haar gladheid overal na zonder enige goniometrie.