10लेबेग समाकल

हल — अभ्यास 10.1.

(क) यदि $f$ अनवरोही हो, तो $\{f > t\}$ $\varnothing$, $\R$, अथवा कोई किरण $\intoo a{+\infty}$ / $\intco a{+\infty}$ होता है: प्रत्येक दशा में बोरेल; और अनवर्धमान के लिए भी वैसे ही। कोई अवकलज: $f'(x) = \lim_n n\bigl(f(x + \frac1n) - f(x)\bigr)$ संतत (अतः मापनीय) फलनों की कोई बिंदुशः सीमा है: प्रतिज्ञप्ति 10.2(ग)।

(ख) $\{f > t\} = \bigcup_{q \in \Q,\, q > t}\{f > q\}$: यदि परिमेय स्तर मापनीय हों, तो सभी स्तर मापनीय हैं, और किरणें $\mathcal B(\R)$ को जनित करती हैं।

हल — अभ्यास 10.2.

पहला: $x \geq 0$ के लिए $(1 + x/n)^n \nearrow \eu^x$, अतः समाकल्य बिंदुशः $\eu^{-x}\cos x$ की ओर जाता है; और $n \geq 2$ के लिए $(1 + x/n)^n \geq (1 + x/2)^2$, जिससे समाकलनीय प्रभावी फलन $(1 + x/2)^{-2}$ मिलता है। प्रभावी अभिसरण प्रमेय:

दूसरा: $u = x^n$ प्रतिस्थापित कीजिए ($\intoo01$ का कोई $\mathcal C^1$ एकैकी आच्छादन):

प्रभावी अभिसरण प्रमेय से: $u \in \intoo01$ के लिए $u^{1/n} \to 1$, और समाकल्य किसी परिमित माप समष्टि पर $1$ से परिबद्ध है।

हल — अभ्यास 10.3.

(क) $f_n = n\,\mathbf 1_{\intoo0{1/n}}$: बिंदुशः $\liminf f_n = 0$, $\int f_n = 1$: $0 < 1$।

(ख) ऊँचाई: $n\mathbf 1_{\intoo0{1/n}}$; चौड़ाई: $\frac1n\mathbf 1_{\intoo0n}$; स्थानांतरण: $\mathbf 1_{\intoo n{n+1}}$। सभी $\int = 1$ के साथ बिंदुशः $0$ की ओर जाते हैं। प्रत्येक दशा में प्रभुत्व परिकल्पना विफल हो जाती है: $\sup_nf_n$ $0$ के निकट $\approx 1/x$ है, $\approx$ कोई असमाकलनीय अचर परिच्छेद है, और $\mathbf 1_{\intoo1\infty}$-जैसा — कभी समाकलनीय नहीं।

(ग) स्थानांतरित होते उभार के लिए “$\int\limsup f_n \geq \limsup\int f_n$” विफल हो जाता है: बायाँ पक्ष $0$, दायाँ पक्ष $1$। “$\limsup\int \leq \int\limsup$” वही कथन है। और उल्टे $\leq$ के साथ $\limsup$ के लिए फतू (“उल्टा फतू”) को कोई प्रभावी फलन चाहिए — और वही उभार प्रतिउदाहरण है।

हल — अभ्यास 10.4.

(क) $x > 0$ के लिए: $\frac1{\eu^x - 1} = \frac{\eu^{-x}}{1 - \eu^{-x}} = \sum_{n\geq1}\eu^{-nx}$, अतः $\frac{x}{\eu^x - 1} = \sum_{n\geq1}x\eu^{-nx}$, जो ऋणेतर मापनीय फलनों की कोई श्रेणी है: उपप्रमेय 10.7 पदशः समाकलन की अनुमति देती है:

($\int_0^\infty x\eu^{-nx}\dd x = n^{-2}$ खंडशः; बासेल दूसरे वर्ष के खंड से, अथवा आगे आने वाला अभ्यास 13.5)।

(ख) $\intoo01$ पर $-x\ln x \geq 0$, अतः $x^{-x} = \eu^{-x\ln x} = \sum_k\frac{(-x\ln x)^k}{k!}$ ऋणेतर पदों की कोई श्रेणी है: फिर से अदला-बदली कीजिए। $x = \eu^{-u/(k+1)}$ प्रतिस्थापित करने पर:

अतः $\int_0^1x^{-x}\dd x = \sum_{k\geq0}\frac{1}{(k+1)^{k+1}} = \sum_{n\geq1}n^{-n}$: द्वितीय वर्ष का स्वप्न, कठोरता के साथ।

हल — अभ्यास 10.5.

(क) मार्कोव: $a\,\mathbf 1_{\{f \geq a\}} \leq f$, समाकलन कीजिए: $\mu(\{f \geq a\}) \leq \frac1a\int f$। यदि $\int f = 0$ हो: तो प्रत्येक $n$ के लिए $\mu(\{f \geq \frac1n\}) = 0$, और $\{f > 0\} = \bigcup_n\{f \geq \frac1n\}$ अकिंचन है।

(ख) $\mu(\{\abs f = \infty\}) \leq \mu(\{\abs f \geq n\}) \leq \frac1n\int\abs f \to 0$।

(ग) $A = \{f > 0\}$ लीजिए: $\int f^+\dd\mu = \int_Af\,\dd\mu = 0$, अतः (क) से लगभग सर्वत्र $f^+ = 0$; और इसी प्रकार लगभग सर्वत्र $f^- = 0$।

हल — अभ्यास 10.6.

(क) $\mathbf 1_\Q$: सर्वत्र असंतत, रीमान-समाकलनीय नहीं (प्रमेय 10.12); उसका लेबेग समाकल $\lambda(\Q) = 0$ है। टोमे: प्रत्येक अपरिमेय पर संतत ($\varepsilon$ दिया हो, तो $\intcc01$ में केवल परिमित संख्या के परिमेयों का हर $\leq 1/\varepsilon$ होता है; किसी छोटे प्रतिवेश से उनसे बचिए), और परिमेयों पर असंतत (अपरिमेयों की सघनता): अतः लगभग सर्वत्र संतत, रीमान-समाकलनीय, जिसका समाकल $0$ है (वह लगभग सर्वत्र लुप्त हो जाता है)। $\mathbf 1_K$, जिसमें $K$ कोई मोटा कैंटर समुच्चय है: असांतत्य समुच्चय $\partial K = K$ है (रिक्त अंतःभाग के साथ संवृत), जिसका माप $\frac12 > 0$ है: अतः रीमान-समाकलनीय नहीं — फिर भी लेबेग-समाकलनीय, जिसका समाकल $\lambda(K) = \frac12$ है।

(ख) $\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\abs{\sin x}}x\dd x \geq \frac1{(k+1)\pi}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\abs{\sin x}\dd x = \frac{2}{(k+1)\pi}$: श्रेणी अपसारित होती है। अनुचित समाकल का अभिसरण: $A > \pi$ के लिए

और $A \to \infty$ पर दोनों पद अभिसरित होते हैं ($\frac1{x^2}$ समाकलनीय है): अर्थात् निरपेक्ष समाकलनीयता के बिना सप्रतिबंध अभिसरण।

हल — अभ्यास 10.7.

प्रभुत्व: $\abs{\partial_t(\eu^{-x^2}\cos(tx))} = \abs{x\eu^{-x^2}\sin(tx)} \leq x\eu^{-x^2}$, जो समाकलनीय और $t$ से स्वतंत्र है: अतः प्रमेय 10.15 वैश्विक रूप से लागू होती है,

($\dd v = x\eu^{-x^2}\dd x$ के साथ खंडशः समाकलन)। रैखिक साधारण अवकल समीकरण $F(t) = F(0)\eu^{-t^2/4}$ देता है; और $F(0) = \frac{\sqrt\pi}2$ (समस्या 10.1) के साथ गाउसीय इस कोज्या रूपांतर के अंतर्गत स्वयं को पुनरुत्पन्न कर लेता है।

हल — अभ्यास 10.8.

समाकल अभिसरित होता है: $0$ के निकट समाकल्य $b - a$ की ओर जाता है (परिबद्ध), और अनंत पर वह $\eu^{-ax}$ की भाँति क्षय होता है। $a$ स्थिर कीजिए और $I(b) = \int_0^\infty\frac{\eu^{-ax} - \eu^{-bx}}x\dd x$ को $b \in \intco a{+\infty}$ के फलन के रूप में देखिए। सभी $b \geq a$ के लिए: $\abs{\partial_b(\text{समाकल्य})} = \eu^{-bx} \leq \eu^{-ax}$, और $\int_0^\infty\eu^{-ax}\dd x = \frac1a < \infty$: अर्थात् कोई समाकलनीय प्रभावी फलन। अतः प्रमेय 10.15 $I'(b) = \int_0^\infty\eu^{-bx}\dd x = \frac1b$ दे देती है, और $I(a) = 0$:

(समतुल्य रूप से, संकेत वाला मार्ग: समाकल्य $\int_a^b\eu^{-xt}\dd t \geq 0$ है और यह अदला-बदली उपप्रमेय 10.7 का संतत सादृश्य है, अर्थात् टोनेली — जो अध्याय 11 में सिद्ध है; और प्राचल वाला मार्ग इसी अध्याय के भीतर रहता है।)

हल — अभ्यास 10.9.

$\nu(\varnothing) = 0$; असंयुक्त $(A_n)$ के लिए $f\mathbf 1_{\bigsqcup A_n} = \sum_nf\mathbf 1_{A_n}$ (बिंदुशः, सभी पद $\geq 0$), और उपप्रमेय 10.7 $\sigma$-योज्यता दे देती है। सूत्र $\int g\,\dd\nu = \int gf\,\dd\mu$: $g = \mathbf 1_A$ के लिए वह $\nu$ की परिभाषा है; सरल $g$ के लिए रैखिकता; और मापनीय $g \geq 0$ के लिए सरल $s_n \nearrow g$ लीजिए (प्रमेय 10.4): $s_nf \nearrow gf$, और दोनों पक्षों पर एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय सीमा तक ले जाती है। (यह “सूचक $\to$ सरल $\to$ एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय” वाली सीढ़ी ही इस सिद्धांत की मानक मशीन है।)

हल — अभ्यास 10.10.

(क) $\abs{\sin(tx)} \leq \abs tx$ से $\abs{\frac{\sin(tx)}{x(1+x^2)}} \leq \frac{\abs t}{1+x^2}$ मिलता है: अतः समाकल अभिसरित होता है, और $\abs t \leq T$ पर प्रभावी फलन $\frac{T}{1+x^2}$ सांतत्य दे देता है (प्रमेय 10.14)। अवकलन: $\abs{\partial_t} = \abs{\frac{\cos(tx)}{1+x^2}} \leq \frac1{1+x^2}$, समाकलनीय: अतः सभी $t$ के लिए $f'(t) = \int_0^\infty\frac{\cos(tx)}{1+x^2}\dd x$। किसी दूसरे अवकलन के लिए $\frac{x\sin(tx)}{1 + x^2}$ का समाकलन करना पड़ता, जिसका निरपेक्ष मान अनंत पर $\frac{\abs{\sin(tx)}} x$ की भाँति व्यवहार करता है: असमाकलनीय — कोई प्रभावी फलन विद्यमान नहीं है और प्रमेय 10.15 को फिर से नहीं लगाया जा सकता।

(ख) $t > 0$ के लिए $f'(t) = \frac\pi2\eu^{-t}$ स्वीकार करने पर: $f$ की विषमता से $f'$ सम है, अतः $f'(t) = \frac\pi2\eu^{-\abs t}$ — जो $0$ पर अवकलनीय नहीं है: $f$ $\mathcal C^1$ है पर $\mathcal C^2$ नहीं, जो पुष्टि करता है कि अवरुद्ध दूसरा अवकलन कोई तकनीकी संयोग नहीं था। $t > 0$ के लिए अनुचित समाकल $\int_0^\infty\frac{x\sin(tx)}{1+x^2}\dd x$ $-f''(t) = \frac\pi2\eu^{-t}$ के बराबर है (स्वीकृत सूत्र का वहाँ अवकलन करके जहाँ वह वैध है, अर्थात् $\intoo0\infty$ पर) — अर्थात् कोई अनुचित, ग़ैर-लेबेग मान।

हल — अभ्यास 10.11.

(क) मान लीजिए $g_n = (f - f_n)^+$: तब $0 \leq g_n \leq f$ ($f_n$ की धनात्मकता), लगभग सर्वत्र $g_n \to 0$, और $f$ कोई समाकलनीय प्रभावी फलन है: अतः $\int g_n \to 0$ (प्रभावी अभिसरण प्रमेय)। चूँकि $\abs{f_n - f} = 2(f - f_n)^+ - (f - f_n)$,