विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · Bachelor Year 3

17लोरां श्रेणी और अवशेष प्रमेय

किसी समविश्लेषिक फलन का उस बिंदु के निकट क्या होता है जहाँ वह परिभाषित नहीं है? उत्तर एक पूर्ण त्रिविभाजन है — विलोपनीय बिंदु, ध्रुव, अथवा सारभूत एकलता — जिसे किसी दो-मुखी घात श्रेणी, यानी लोरां प्रसार, में पढ़ा जाता है। उस प्रसार का एक गुणांक, अवशेष, एकलता के चारों ओर के प्रत्येक परिरेखा समाकल को नियंत्रित करता है: अवशेष प्रमेय कठिन निश्चित समाकलों को परिमित बीजगणित में बदल देती है, फलनों के शून्य गिनती है (कोणांक सिद्धांत, रूशे), और विवृत प्रतिचित्रण प्रमेय सिद्ध करती है। पहले हम कोशी की प्रमेय को तारकाकार प्रांतों से उठाकर उसके निश्चायक, समजातता-मुक्त रूप तक ले जाते हैं — डिक्सन का सुघड़ तर्क — ताकि पूरक के चारों ओर घूर्णन संख्या शून्य वाली सभी परिरेखाएँ उपलब्ध हो जाएँ।

17.1 वैश्विक कोशी प्रमेय

चक्रक $\Gamma$ संवृत पथों $\gamma_1, \dots, \gamma_m$ का कोई परिमित औपचारिक योग है; $\Gamma$ के अनुदिश समाकल और सूचकांक संगत योग होते हैं, और $\operatorname{im}\Gamma = \bigcup\operatorname{im}\gamma_j$ ।

प्रमेय 17.1 (कोशी, वैश्विक रूप)

मान लीजिए $\Omega \subseteq \C$ विवृत है, $f \in \mathcal H(\Omega)$ , और $\Gamma$ $\Omega$ में ऐसा चक्रक कि

\operatorname{Ind}_\Gamma(w) = 0 \qquad\text{प्रत्येक } w \notin \Omega \text{ के लिए} .

तब सभी $z \in \Omega\setminus\operatorname{im}\Gamma$ के लिए

\frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\frac{f(w)}{w - z}\,\dd w = \operatorname{Ind}_\Gamma(z)\,f(z), \qquad\text{तथा}\qquad \int_\Gamma f(w)\,\dd w = 0 .

उपपत्ति (डिक्सन). $g \colon \Omega\times\Omega \to \C$ को इस प्रकार परिभाषित कीजिए

g(z, w) = \begin{cases} \dfrac{f(w) - f(z)}{w - z} & w \neq z,\\[4pt] f'(z) & w = z . \end{cases}

$g$ संतत है: विकर्ण के बाहर यह स्पष्ट है। किसी विकर्ण बिंदु $(a, a)$ के निकट $a$ पर $f$ का घात श्रेणी में प्रसार कीजिए (प्रमेय 16.10): $f(w) - f(z) = \sum_{n\geq1}c_n\bigl((w-a)^n - (z-a)^n\bigr)$ , और प्रत्येक पद को $w - z$ से भाग देने पर ( $u^n - v^n$ का गुणनखंडन) $z, w \in D(a, r)$ के लिए

g(z, w) = \sum_{n\geq1}c_n\sum_{j=0}^{n-1}(w-a)^{\,j}(z-a)^{\,n-1-j},

मिलता है, जो विकर्ण पर भी वैध है (प्रत्येक भीतरी योग $n(z-a)^{n-1}$ बन जाता है, जिनका योग $f'(z)$ है)। छोटे $r$ के लिए यह श्रेणी $D(a,r)^2$ पर एकसमान रूप से अभिसरित होती है ( $\abs{\text{पद}} \leq n\abs{c_n}r^{n-1}$ , जो त्रिज्या के भीतर योग्य है): अतः योग संतत है।

$\Omega$ पर $h(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma g(z, w)\,\dd w$ रखिए: यह संतत है (संहतों पर $g$ का एकसमान सांतत्य), और समविश्लेषिक भी — मोरेरा (प्रमेय 16.15 की कसौटी) से: किसी त्रिभुज $T \subseteq \Omega$ के लिए फुबिनी $\int_{\partial T}h = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\bigl(\int_{\partial T}g(z, w)\dd z\bigr)\dd w = 0$ देता है, जिसमें भीतरी समाकल इसलिए लुप्त होता है कि $z \mapsto g(z, w)$ $\Omega$ पर समविश्लेषिक है ( $z = w$ पर एकलता विलोपनीय है: $g$ वहाँ संतत है और अन्यत्र समविश्लेषिक — प्रमेय 16.9 की उपपत्ति का विस्तार तर्क)।

विवृत समुच्चय $\Omega' = \{z \notin \operatorname{im}\Gamma : \operatorname{Ind}_\Gamma(z) = 0\}$ पर $h_1(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\frac{f(w)}{w - z}\dd w$ परिभाषित कीजिए: यह $\Omega'$ पर समविश्लेषिक है (मोरेरा अथवा समाकल के भीतर अवकलन)। $z \in \Omega\cap\Omega'$ के लिए:

h(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\frac{f(w)}{w-z}\dd w - f(z)\operatorname{Ind}_\Gamma(z) = h_1(z) .

परिकल्पना से $\Omega\cup\Omega' = \C$ ( $w \notin \Omega \Rightarrow \operatorname{Ind}_\Gamma(w) = 0$ ), अतः $h$ और $h_1$ जुड़कर एक समग्र फलन $H$ बना देते हैं। चूँकि $\operatorname{im}\Gamma$ के पूरक का अपरिबद्ध घटक $\Omega'$ में है और $\abs z \to \infty$ पर $h_1(z) \to 0$ (ML परिबंध), $H$ परिबद्ध है और $0$ की ओर जाता है: ल्यूविल (उपप्रमेय 16.12) से $H \equiv 0$ । इस प्रकार $\Omega$ पर $h \equiv 0$ , जो समाकल सूत्र है। उसे स्थिर $a \in \Omega\setminus\operatorname{im}\Gamma$ के लिए $z = a$ पर $\tilde f(w) = (w - a)f(w)$ पर लगाने से:

\frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma f(w)\dd w = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma \frac{\tilde f(w)}{w - a}\dd w = \operatorname{Ind}_\Gamma(a)\,\tilde f(a) = 0 .

∎

17.2 लोरां श्रेणी और विविक्त एकलताएँ

प्रमेय 17.2 (लोरां प्रसार)

मान लीजिए $f$ वलय $A = \{r < \abs{z - a} < R\}$ ( $0 \leq r < R \leq \infty$ ) पर समविश्लेषिक है। तब

f(z) = \sum_{n\in\Z}c_n\,(z - a)^n \qquad A \text{ पर}, \qquad c_n = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_\rho}\frac{f(w)}{(w - a)^{n+1}}\,\dd w

किसी भी $r < \rho < R$ के लिए (जो $\rho$ से स्वतंत्र है), और दोनों अर्ध-श्रेणी संहत उपवलयों पर प्रसामान्य रूप से अभिसरित होती हैं। यह प्रसार अद्वितीय है।

उपपत्ति. $r < \rho_1 < \abs{z - a} < \rho_2 < R$ स्थिर कीजिए और $\Gamma = C_{\rho_2} - C_{\rho_1}$ लीजिए (बाहरी वामावर्त, भीतरी दक्षिणावर्त): यह $A$ में ऐसा चक्रक है जिसके लिए सभी $w \notin A$ पर $\operatorname{Ind}_\Gamma(w) = 0$ (छोटे चक्र के भीतर के बिंदु: $1 - 1 = 0$ ; बड़े के बाहर: $0 - 0$ )। प्रमेय 17.1 से $\operatorname{Ind}_\Gamma(z) = 1 - 0 = 1$ देता है

f(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_{\rho_2}}\frac{f(w)}{w - z}\dd w - \frac1{2\iu\pi}\int_{C_{\rho_1}}\frac{f(w)}{w - z}\dd w .

पहले नाभिक का प्रमेय 16.10 की तरह प्रसार कीजिए ( $\frac{z - a}{w - a}$ की घातें, मापांक $< 1$ ): अऋणात्मक भाग $\sum_{n\geq0}c_n(z-a)^n$ । दूसरे में उलटी दिशा में प्रसार कीजिए: $\frac{-1}{w - z} = \frac1{(z-a)(1 - \frac{w - a}{z - a})} = \sum_{m\geq0}\frac{(w-a)^m}{(z - a)^{m+1}}$ , जो $C_{\rho_1}$ पर प्रसामान्य रूप से अभिसारी है: ऋणात्मक भाग $\sum_{n\leq-1}c_n(z-a)^n$ , कहे गए गुणांकों के साथ (सूचकांक $n = -m-1$ )। $\rho$ से स्वतंत्रता: $C_{\rho}$ और $C_{\rho'}$ पर गुणांक समाकल $A$ में समविश्लेषिक $\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}$ के किसी शून्य-सूचकांक चक्रक पर $\int_\Gamma$ जितने ही भिन्न होते हैं: और वह फिर प्रमेय 17.1 से शून्य है। अद्वितीयता: $C_\rho$ पर $\sum c_n(z-a)^n$ का $(z - a)^{-m-1}$ के सापेक्ष पदशः समाकलन कीजिए (प्रसामान्य अभिसरण): केवल $n = m$ बचता है। ∎

परिभाषा 17.3

यदि $f$ किसी छिद्रित चक्र $D(a, R)\setminus \{a\}$ पर समविश्लेषिक हो, तो लोरां से प्रसार कीजिए ( $r = 0$ )। तीन परस्पर अपवर्जी स्थितियाँ:

$n < 0$ के लिए सभी $c_n = 0$ : विलोपनीय एकलता (अऋणात्मक श्रेणी $f$ को $a$ तक समविश्लेषिक रूप से बढ़ा देती है);
परिमित संख्या के, और कम से कम एक, $n < 0$ के लिए $c_n \neq 0$ : क्रम $m = -\min\{n : c_n \neq 0\}$ का ध्रुव; समतुल्य रूप से $f = g/(z-a)^m$ , जहाँ $g$ समविश्लेषिक और $g(a) \neq 0$ ; समतुल्य रूप से $z\to a$ पर $\abs{f(z)} \to \infty$ ;
अनंत संख्या के ऋणात्मक $c_n \neq 0$ : सारभूत एकलता।

अवशेष $\operatorname{Res}(f, a) = c_{-1}$ है। $\Omega$ में से ध्रुवों के किसी समुच्चय को हटाकर समविश्लेषिक कोई फलन $\Omega$ पर मेरोमॉर्फिक कहलाता है।

प्रमेय 17.4 (रीमान; काज़ोराती–वाइरश्ट्रास)

मान लीजिए $f$ $D(a,R)\setminus\{a\}$ पर समविश्लेषिक है।

(रीमान) यदि $a$ के निकट $f$ परिबद्ध हो, तो एकलता विलोपनीय है।
(काज़ोराती–वाइरश्ट्रास) यदि $a$ सारभूत हो, तो प्रत्येक $\varepsilon$ के लिए $f\bigl(D(a,\varepsilon)\setminus\{a\}\bigr)$ $\C$ में सघन है।

उपपत्ति. (1) $n < 0$ और $\rho \to 0$ के लिए: $C_\rho$ पर ML से $\abs{c_n} \leq M\rho^{-n-1}\cdot\rho\cdot\rho^{-\,n}\dots$ : अतः $\abs{c_n} \leq \frac{1}{2\pi}\,2\pi\rho\cdot M\rho^{-(n+1)} = M\rho^{-n} \to 0$ ( $-n > 0$ पर): इसलिए सभी ऋणात्मक गुणांक लुप्त हो जाते हैं। (2) यदि कोई मान $b$ पास न आता हो: $a$ के निकट $\abs{f - b} \geq \delta$ , अतः $g = 1/(f - b)$ $a$ के निकट समविश्लेषिक और परिबद्ध है: विलोपनीय (1), और $g$ मान $c$ के साथ बढ़ जाता है। यदि $c \neq 0$ हो, तो $f = b + 1/g$ $a$ के निकट परिबद्ध है: विलोपनीय — जो अपवर्जित है। और यदि $c = 0$ हो, तो $g$ का $a$ पर परिमित क्रम $m$ का शून्य है (प्रमेय 16.13; $g \not\equiv 0$ ), और $f = b + 1/g$ का क्रम $m$ का ध्रुव: फिर अपवर्जित। ∎

17.3 अवशेष प्रमेय

प्रमेय 17.5 (अवशेष प्रमेय)

मान लीजिए $\Omega$ विवृत है, $S \subseteq \Omega$ परिमित, $f \in \mathcal H(\Omega\setminus S)$ , और $\Gamma$ $\Omega\setminus S$ में ऐसा चक्रक कि प्रत्येक $w \notin \Omega$ के लिए $\operatorname{Ind}_\Gamma(w) = 0$ । तब

\frac{1}{2\iu\pi}\int_\Gamma f(z)\,\dd z = \sum_{a\in S}\operatorname{Ind}_\Gamma(a)\, \operatorname{Res}(f, a) .

उपपत्ति. प्रत्येक $a \in S$ के लिए मान लीजिए $P_a(z) = \sum_{n\leq-1}c_n^{(a)}(z - a)^n$ $a$ पर $f$ का मुख्य भाग है: यह $\C\setminus\{a\}$ पर अभिसारी श्रेणी है ( $1/(z-a)$ में उसकी त्रिज्या अनंत है: लोरां पुच्छ सभी छोटे $\abs{z-a}$ के लिए अभिसरित होती है, अतः $(z-a)^{-1}$ की घात श्रेणी होने के कारण सर्वत्र), और वहाँ समविश्लेषिक। तब $g = f - \sum_{a\in S}P_a$ की $S$ के प्रत्येक बिंदु पर विलोपनीय एकलताएँ हैं ( $a$ पर उसके लोरां प्रसार का कोई ऋणात्मक भाग नहीं: अन्य $P_{a'}$ $a$ पर समविश्लेषिक हैं), अतः $g$ $\Omega$ तक समविश्लेषिक रूप से बढ़ जाता है, और प्रमेय 17.1 $\int_\Gamma g = 0$ दे देता है। अब प्रत्येक $P_a$ का समाकलन शेष है: पदशः (संहत $\operatorname{im}\Gamma$ पर प्रसामान्य अभिसरण, जो $a$ से बचता है),

\frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma(z - a)^n\,\dd z = 0 \ (n \leq -2: \text{आद्यंतर } \tfrac{(z-a)^{n+1}}{n+1}), \qquad \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\frac{\dd z}{z - a} = \operatorname{Ind}_\Gamma(a),

अतः $\frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma P_a = c_{-1}^{(a)}\operatorname{Ind}_\Gamma(a)$ । अब $a$ पर योग लीजिए। ∎

विधि 17.6 (अवशेष परिकलित करना)

सरल ध्रुव: $\operatorname{Res}(f, a) = \lim_{z\to a}(z - a)f(z)$ ; और $g(a) \neq 0$ , $h(a) = 0$ , $h'(a) \neq 0$ वाले $f = g/h$ के लिए $\operatorname{Res} = g(a)/h'(a)$ । क्रम $m$ का ध्रुव: $\operatorname{Res}(f, a) = \frac1{(m-1)!}\lim_{z\to a}\bigl((z-a)^mf(z)\bigr)^{(m-1)}$ । सारभूत एकलताएँ: प्रसार कीजिए और $c_{-1}$ पढ़ लीजिए (उदाहरणार्थ ज्ञात श्रेणियों से)। सदा सत्यापित कीजिए कि परिरेखा वास्तव में किन ध्रुवों को घेरती है, और किस सूचकांक के साथ।

उदाहरण 17.7 (चार शास्त्रीय समाकल प्रकार)

(क) $\R$ पर परिमेय: $\int_\R\frac{\dd x}{1 + x^4}$ के लिए ऊपरी अर्ध-समतल में किसी बड़े अर्धवृत्त $S_R$ से बंद कीजिए: वहाँ समाकल्य $O(R^{-4})$ है, अतः $\int_{S_R} \to 0$ (ML), और ध्रुवों $\eu^{\iu\pi/4}, \eu^{3\iu\pi/4}$ (सरल, किसी ध्रुव पर अवशेष $\frac1{4z^3} = \frac{z}{4z^4} = -\frac z4$ ) के साथ अवशेष प्रमेय देती है

\int_\R\frac{\dd x}{1 + x^4} = 2\iu\pi\Bigl(-\frac{\eu^{\iu\pi/4}}4 - \frac{\eu^{3\iu\pi/4}}4\Bigr) = \frac{\pi}{\sqrt2} .

(ख) फूरिये प्रकार: $t \geq 0$ के लिए $\int_\R\frac{\eu^{\iu tx}}{1 + x^2}\dd x = 2\iu\pi\operatorname{Res}\bigl(\tfrac{\eu^{\iu tz}}{1+z^2}, \iu\bigr) = 2\iu\pi\frac{\eu^{-t}}{2\iu} = \pi\eu^{-t}$ — ऊपरी अर्धवृत्त इसलिए काम करता है कि वहाँ $\abs{\eu^{\iu tz}} = \eu^{-t\operatorname{Im}z} \leq 1$ ; और वास्तविक भाग लेने पर: $\int_\R\frac{\cos(tx)}{1+x^2}\dd x = \pi\eu^{-\abs t}$ , जिससे अभ्यास 10.10 का स्वीकृत सूत्र तय हो जाता है। (ग) एक आवर्त पर त्रिकोणमितीय: $z = \eu^{\iu t}$ , $\cos t = \frac{z + z^{-1}}2$ , $\dd t = \frac{\dd z}{\iu z}$ प्रतिस्थापित कीजिए: तब $\int_0^{2\pi}\frac{\dd t}{a + \cos t}$ ( $a > 1$ ) इकाई वृत्त के भीतर अवशेषों की गणना बन जाता है (अभ्यास 17.2)। (घ) श्रेणी: $f$ को $\pi\cot(\pi z)$ के साथ युग्मित कीजिए, जिसके ध्रुव पूर्णांक हैं और अवशेष $1$ : सप्ताहांत समस्या $\sum n^{-2}$ और $\sum n^{-4}$ का योग इसी प्रकार लेती है।

∈t_ℝ x/1 + x4 के लिए अर्धवृत्त परिरेखा: R ∈fty पर चाप का योगदान O(R-3) होता है, और अवशेष प्रमेय दोनों घिरे हुए ध्रुव (नीले) गिन लेती है। नीचे के दो ध्रुव (धूसर) बाहर हैं: सूचकांक 0। — $\int_\R\frac{\dd x}{1 + x^4}$ के लिए अर्धवृत्त परिरेखा: $R \to \infty$ पर चाप का योगदान $O(R^{-3})$ होता है, और अवशेष प्रमेय दोनों घिरे हुए ध्रुव (नीले) गिन लेती है। नीचे के दो ध्रुव (धूसर) बाहर हैं: सूचकांक $0$ ।

17.4 कोणांक सिद्धांत और रूशे की प्रमेय

प्रमेय 17.8 (कोणांक सिद्धांत)

मान लीजिए $f$ $\Omega$ पर मेरोमॉर्फिक है, जिसके शून्य $z_j$ (क्रम $m_j$ ) और ध्रुव $p_k$ (क्रम $\mu_k$ ) हैं, और $\gamma$ $\Omega$ में उन सबसे बचता हुआ कोई संवृत पथ है, जिसके लिए $\Omega$ के बाहर $\operatorname{Ind}_\gamma = 0$ । तब

\frac1{2\iu\pi}\int_\gamma\frac{f'(z)}{f(z)}\,\dd z = \sum_j m_j\operatorname{Ind}_\gamma(z_j) - \sum_k \mu_k\operatorname{Ind}_\gamma(p_k)

(केवल परिमित संख्या के पद शून्येतर हैं)। किसी सरल वामावर्त परिरेखा के लिए यह समाकल भीतर के शून्य घटा ध्रुव गिनता है, बहुलता सहित — और वह प्रतिबिंब पथ $f\circ\gamma$ की $0$ के परितः घूर्णन संख्या के बराबर है।

उपपत्ति. क्रम $m$ के किसी शून्य के निकट: $f = (z-a)^mg$ , $g(a) \neq 0$ , अतः $\frac{f'}f = \frac m{z - a} + \frac{g'}g$ , जिसमें दूसरा पद $a$ के निकट समविश्लेषिक है: अर्थात् अवशेष $m$ का एक सरल ध्रुव। क्रम $\mu$ के किसी ध्रुव के निकट: $f = (z-a)^{-\mu}g$ अवशेष $-\mu$ दे देता है। अन्यत्र $\frac{f'}f$ समविश्लेषिक है। (शून्येतर सूचकांक वाले शून्य और ध्रुव $\gamma$ से घिरे किसी संहत क्षेत्र में होते हैं; और तत्समता प्रमेय से वे वहाँ परिमित संख्या में हैं, $f \not\equiv 0$ ।) अब प्रमेय 17.5 लगाइए। अंतिम टिप्पणी: $\frac1{2\iu\pi}\int_\gamma\frac{f'}f = \frac1{2\iu\pi}\int_{f\circ\gamma}\frac{\dd w}w = \operatorname{Ind}_{f\circ\gamma}(0)$ ( $w = f(\gamma(t))$ प्रतिस्थापित कीजिए)। ∎

प्रमेय 17.9 (रूशे)

मान लीजिए $f, g$ $\Omega$ पर समविश्लेषिक हैं, और $\gamma$ ऐसा संवृत पथ जिसके लिए $\operatorname{Ind}_\gamma \in \{0,1\}$ हो और $\Omega$ के बाहर शून्य (अर्थात् एक सरल परिरेखा)। यदि

\abs{g(z)} < \abs{f(z)} \qquad \operatorname{im}\gamma \text{ पर},

तो $f$ और $f + g$ के क्षेत्र $\{\operatorname{Ind}_\gamma = 1\}$ में (बहुलता सहित) शून्यों की संख्या समान होती है।

उपपत्ति. $t \in \intcc01$ के लिए $f_t = f + tg$ का $\operatorname{im}\gamma$ पर कोई शून्य नहीं है ( $\abs{f_t} \geq \abs f - \abs g > 0$ ), अतः

N(t) = \frac1{2\iu\pi}\int_\gamma \frac{f_t'(z)}{f_t(z)}\,\dd z

सुपरिभाषित है; और वह घिरे हुए क्षेत्र में शून्य गिनता है (प्रमेय 17.8; कोई ध्रुव नहीं)। $N$ $t$ में संतत है (समाकल्य संयुक्त रूप से संतत है, और हर नीचे से एकसमान परिबद्ध — प्रभावी अभिसरण) और पूर्णांक-मान वाला: अतः अचर। $N(0) = N(1)$ । ∎

उपप्रमेय 17.10 (विवृत प्रतिचित्रण प्रमेय)

किसी संबद्ध विवृत समुच्चय पर अचरेतर समविश्लेषिक फलन विवृत प्रतिचित्रण होता है। विशेष रूप से (फिर से) उच्चतम सिद्धांत लागू होता है, और किसी समविश्लेषिक एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण का प्रतिलोम समविश्लेषिक होता है।

उपपत्ति. मान लीजिए $f(a) = b$ ; $f - b$ का $a$ पर किसी परिमित क्रम $m \geq 1$ का शून्य है (तत्समता प्रमेय: $f \not\equiv b$ )। ऐसा $r$ चुनिए कि $\bar D(a, r)\setminus\{a\}$ पर $f - b$ शून्य-रहित हो (विविक्त शून्य) और मान लीजिए $\delta = \min_{\abs{z - a} = r}\abs{f(z) - b} > 0$ । $\abs{w - b} < \delta$ के लिए: वृत्त पर $\abs{(b - w)} < \delta \leq \abs{f - b}$ , अतः रूशे ( $f - b$ बनाम अचर $b - w$ ) कहती है कि $f - w$ के $D(a, r)$ में ठीक $m$ शून्य हैं: अर्थात् ऐसा प्रत्येक $w$ प्राप्त होता है — $f(D(a,r)) \supseteq D(b, \delta)$ : विवृत। उच्चतम सिद्धांत: अचरेतर $f$ के लिए $\abs f$ का कोई आंतरिक अधिकतम असंभव है, क्योंकि $f(a)$ के आसपास उसके प्रतिबिंब में बड़े मापांक के बिंदु होते हैं। प्रतिलोम: कोई समविश्लेषिक एकैकी आच्छादक $f$ विवृत है, अतः $f^{-1}$ संतत है; $a$ पर $f - f(a)$ का शून्य सरल है ( $m \geq 2$ होने पर निकटवर्ती मानों के $m$ पूर्वप्रतिबिंब मिलते — और वे भिन्न होते, क्योंकि $f'$ केवल विविक्त बिंदुओं पर लुप्त होता है, अतः $a$ के निकट प्ररूपी छोटे $w$ के लिए $f - w$ के $m$ शून्य सरल और भिन्न होते: जो एकैकीपन का खंडन है); तब $f'(a) \neq 0$ और $f^{-1}$ का अंतर भागफल अभिसरित होता है: $\bigl(f^{-1}\bigr)'(b) = 1/f'(a)$ । ∎

17.5 अभ्यास

अभ्यास 17.1 ★

$0$ पर एकलता का वर्गीकरण कीजिए और अवशेष परिकलित कीजिए:

\frac{\sin z}{z},\qquad \frac{\eu^z - 1}{z^2},\qquad \frac{1}{z(z-1)^2},\qquad \frac{\cos z}{z^3},\qquad \eu^{1/z},\qquad \frac1{\sin z} .

तीसरे का $z = 1$ पर और अंतिम का $z = \pi$ पर अवशेष भी दीजिए।

हल

हल — अभ्यास 17.1.

$\frac{\sin z}z = 1 - \frac{z^2}6 + \cdots$ : विलोपनीय, अवशेष $0$ । $\frac{\eu^z - 1}{z^2} = \frac1z + \frac12 + \frac z6 + \cdots$ : सरल ध्रुव, अवशेष $1$ । $\frac1{z(z-1)^2}$ : $0$ पर अवशेष $\frac1{(0-1)^2} = 1$ वाला सरल ध्रुव; और $1$ पर अवशेष $\frac{\dd}{\dd z}\bigl(\frac1z\bigr)\big|_{z=1} = -1$ वाला द्विक ध्रुव। $\frac{\cos z}{z^3} = \frac1{z^3} - \frac1{2z} + \cdots$ : कोटि $3$ का ध्रुव, अवशेष $-\frac12$ । $\eu^{1/z} = \sum_{n\geq0} \frac{z^{-n}}{n!}$ : सारभूत, अवशेष $1$ । $\frac1{\sin z}$ : $n\pi$ पर सरल ध्रुव; $0$ पर अवशेष $\frac1{\cos 0} = 1$ , और $\pi$ पर $\frac1{\cos\pi} = -1$ (विधि 17.6, $g/h'$ )।

अभ्यास 17.2 ★

$a > 1$ के लिए $z = \eu^{\iu t}$ के माध्यम से परिकलित कीजिए:

\int_0^{2\pi}\frac{\dd t}{a + \cos t} = \frac{2\pi}{\sqrt{a^2 - 1}} .

सीमांत व्यवहार $a \to 1^+$ और $a \to \infty$ जाँचिए।

हल

हल — अभ्यास 17.2.

$z = \eu^{\iu t}$ , $\cos t = \frac{z + z^{-1}}2$ , $\dd t = \frac{\dd z}{\iu z}$ के साथ:

\int_0^{2\pi}\frac{\dd t}{a + \cos t} = \oint_{\abs z = 1}\frac{2\,\dd z}{\iu\,(z^2 + 2az + 1)} .

मूल $z_\pm = -a \pm \sqrt{a^2 - 1}$ $\abs{z_+} < 1 < \abs{z_-}$ के साथ $z_+z_- = 1$ संतुष्ट करते हैं; $z_+$ पर अवशेष $\frac{1}{z_+ - z_-} = \frac1{2\sqrt{a^2-1}}$ है, अतः समाकल $\frac2\iu\cdot2\iu\pi\cdot\frac1{2\sqrt{a^2-1}} = \frac{2\pi}{\sqrt{a^2-1}}$ है। $a \to 1^+$ पर वह फट जाता है (समाकल्य $t = \pi$ पर शिखर बनाता है); और $a \to \infty$ पर वह $\frac{2\pi}a$ की भाँति व्यवहार करता है, जो $\int\frac{\dd t}a$ से मेल खाता है।

अभ्यास 17.3 ★★

अर्धवृत्त परिरेखाओं से परिकलित कीजिए, और चाप आकलन उचित ठहराइए:

\int_\R\frac{x^2}{1 + x^6}\,\dd x = \frac\pi3, \qquad \int_\R\frac{\dd x}{(1 + x^2)^{2}} = \frac\pi2 \quad\text{(\text{अभ्यास 14.3} की पुनर्व्युत्पत्ति)}.

हल

हल — अभ्यास 17.3.

पहला समाकल: $\frac{z^2}{1+z^6}$ के ऊपरी ध्रुव $p = \eu^{\iu\pi/6}, \iu, \eu^{5\iu\pi/6}$ पर; और प्रत्येक पर $\operatorname{Res} = \frac{p^2}{6p^5} = \frac{p^3}{6p^6} = -\frac{p^3}6$ , तथा $p^3$ मान $\iu, -\iu, \iu$ लेता है: अतः अवशेषों का योग $-\frac{\iu}{6}$ । चाप $O(R^{-4})\cdot O(R) \to 0$ है:

\int_\R\frac{x^2\,\dd x}{1 + x^6} = 2\iu\pi\Bigl(-\frac \iu6\Bigr) = \frac\pi3 .

दूसरा: $\frac1{(1+z^2)^2} = \frac1{(z-\iu)^2(z+\iu)^2}$ का $\iu$ पर द्विक ध्रुव:

\operatorname{Res} = \frac{\dd}{\dd z}\,(z + \iu)^{-2}\Big|_{z=\iu} = \frac{-2}{(2\iu)^3} = \frac{-2}{-8\iu} = -\frac\iu4, \qquad \int_\R\frac{\dd x}{(1+x^2)^2} = 2\iu\pi\cdot\Bigl(-\frac\iu4\Bigr) = \frac\pi2 ,

जो अभ्यास 14.3(ख) के संगत है।

अभ्यास 17.4 ★★

$t \geq 0$ और $a > 0$ के लिए सिद्ध कीजिए:

\int_\R\frac{\cos(tx)}{x^2 + a^2}\,\dd x = \frac{\pi}{a}\,\eu^{-at},

और प्रतिलोमन से $x \mapsto \eu^{-a\abs x}$ का फूरिये रूपांतर निकालिए — अभ्यास 14.1 से तुलना करते हुए।

हल

हल — अभ्यास 17.4.

$\frac{\eu^{\iu tz}}{z^2 + a^2}$ को ऊपरी अर्ध-समतल में बंद कीजिए ( $t \geq 0$ ): वहाँ $\abs{\eu^{\iu tz}} = \eu^{-t\operatorname{Im}z} \leq 1$ , अतः चाप का योगदान $O(R^{-2})\cdot O(R) \to 0$ है। एकमात्र घिरा हुआ ध्रुव $\iu a$ अवशेष $\frac{\eu^{-at}}{2\iu a}$ के साथ सरल है:

\int_\R\frac{\eu^{\iu tx}}{x^2 + a^2}\dd x = \frac{\pi}{a}\,\eu^{-at}, \qquad\text{अतः}\qquad \int_\R\frac{\cos(tx)}{x^2+a^2}\dd x = \frac\pi a\,\eu^{-a\abs t}

(वास्तविक भाग; $t$ में सम)। यह $\widehat{\eu^{-a\abs x}} = \frac{2a}{a^2+\xi^2}$ (अभ्यास 14.1) का प्रतिलोमन प्रतिरूप है: दोनों परिकलन प्रमेय 14.5 के माध्यम से एक-दूसरे की पुष्टि करते हैं।

अभ्यास 17.5 ★★

$f(z) = \dfrac1{(z-1)(z-2)}$ का तीनों क्षेत्रों $\abs z < 1$ , $1 < \abs z < 2$ , $\abs z > 2$ में लोरां श्रेणी में प्रसार कीजिए। तीनों प्रसार भिन्न क्यों हैं? समझाइए कि दूसरे और तीसरे प्रसार में $z^{-1}$ का गुणांक $0$ पर $f$ का अवशेष नहीं है ( $f$ की वहाँ कोई एकलता ही नहीं है), और $f$ के वास्तविक अवशेष $1$ पर तथा $2$ पर परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 17.5.

आंशिक भिन्न: $f = \frac1{z-2} - \frac1{z-1}$ । $\abs z < 1$ पर (टेलर): $f = \sum_{n\geq0}\bigl(1 - 2^{-n-1}\bigr)z^n$ । $1 < \abs z < 2$ पर: $\frac1{z-2} = -\sum_{n\geq0}\frac{z^n}{2^{n+1}}$ और $-\frac1{z-1} = -\sum_{n\geq1}z^{-n}$ : अर्थात् एक सच्ची दो-मुखी श्रेणी। $\abs z > 2$ पर: $f = \sum_{n\geq1}\bigl(2^{n-1} - 1\bigr)z^{-n}$ । तीनों भिन्न हैं क्योंकि लोरां प्रसार वलयों से जुड़े होते हैं, बिंदुओं से नहीं: प्रत्येक क्षेत्र के अपने ज्यामितीय प्रसार होते हैं। $z^{-1}$ -गुणांक (क्रमशः $-1$ और $0$ ) भीतर की एकलताओं को घेरने वाले वृत्तों पर समाकल हैं, न कि $0$ पर अवशेष ( $f$ $0$ पर समविश्लेषिक है): $1 < \abs z < 2$ के लिए गुणांक $-1$ $\operatorname{Res}(f, 1)$ है; और $\abs z > 2$ के लिए गुणांक $0$ $\operatorname{Res}(f,1) + \operatorname{Res}(f,2) = -1 + 1$ है। $f$ के अवशेष: $1$ पर $-1$ और $2$ पर $+1$ ।

अभ्यास 17.6 ★★

(क) दर्शाइए कि $\eu^{1/z}$ की $0$ पर सारभूत एकलता है और काज़ोराती–वाइरश्ट्रास हाथ से सत्यापित कीजिए: किसी भी $w \neq 0$ के लिए $\eu^{1/z} = w$ स्पष्ट रूप से हल कीजिए और $0$ के मनमाने निकट हल प्रस्तुत कीजिए। (ख) दर्शाइए कि $\abs{\eu^{1/z}}$ $0$ के प्रत्येक छिद्रित प्रतिवेश पर अपरिबद्ध है, फिर भी $\eu^{1/z}$ का कोई ध्रुव नहीं है: कौन-सी सीमा विफल होती है?

हल

हल — अभ्यास 17.6.

(क) लोरां श्रेणी $\sum_nz^{-n}/n!$ में अनंत ऋणात्मक पद हैं: अतः सारभूत। $\eu^{1/z} = w$ ( $w \neq 0$ ) हल करने पर: $\frac1z = \log\abs w + \iu\arg w + 2\iu\pi k$ , अतः

z_k = \frac1{\log\abs w + \iu\arg w + 2\iu\pi k} \xrightarrow[k\to\infty]{} 0 :

अर्थात् प्रत्येक शून्येतर मान $0$ के निकट अनंत बार प्राप्त होता है — जो सघनता से प्रबलतर है। (ख) $z = 1/x$ के अनुदिश $x \to +\infty$ : $\eu^x \to \infty$ ; और $z = \iu/y$ के अनुदिश: मापांक $1$ । किसी ध्रुव के लिए प्रत्येक पहुँच के अनुदिश $\abs{f(z)} \to \infty$ चाहिए: यहाँ सीमा $[0, +\infty]$ में भी विद्यमान ही नहीं है।

अभ्यास 17.7 ★★

रूशे से गिनिए: (क) $\abs z < 1$ में $z^7 - 4z^3 + z - 1$ के शून्य; (ख) $\abs z < 1$ में और $1 < \abs z < 2$ में $z^4 + 5z + 1$ के शून्य; (ग) दालांबेर–गाउस पुनः सिद्ध कीजिए: घात $n$ के किसी मोनिक बहुपद के किसी बड़े चक्र में $n$ शून्य होते हैं ( $z^n$ से तुलना कीजिए)।

हल

हल — अभ्यास 17.7.

(क) $\abs z = 1$ पर: $\abs{z^7 + z - 1} \leq 3 < 4 = \abs{-4z^3}$ । $f = -4z^3$ , $g = z^7 + z - 1$ के साथ रूशे: अतः चक्र में तीन शून्य। (ख) $\abs z = 1$ पर: $\abs{z^4 + 1} \leq 2 < 5 = \abs{5z}$ : अतः $\abs z < 1$ में एक शून्य। $\abs z = 2$ पर: $\abs{5z + 1} \leq 11 < 16 = \abs{z^4}$ : अतः $\abs z < 2$ में चार शून्य। इसलिए वलय में तीन शून्य। (ग) $P = z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \dots$ के लिए: $\abs z = R > 1 + \sum\abs{a_k}$ पर $\abs{P - z^n} \leq \bigl(\sum\abs{a_k}\bigr)R^{n-1} < R^n = \abs{z^n}$ : अतः $P$ के $D(0, R)$ में ठीक $n$ शून्य हैं — अर्थात् बहुलता सहित दालांबेर–गाउस, विशुद्ध गणना से।

अभ्यास 17.8 ★★★

(हुर्विट्स) मान लीजिए संहतों पर एकसमान रूप से $f_n \to f$ , जहाँ $f_n \in \mathcal H(\Omega)$ , $\Omega$ संबद्ध, $f \not\equiv 0$ । (क) दर्शाइए कि यदि सभी $f_n$ शून्य-रहित हों, तो $f$ भी। (यदि $f(a) = 0$ : $a$ के चारों ओर किसी छोटे वृत्त पर कोणांक सिद्धांत, और $\int f_n'/f_n$ में सीमा लेने के लिए प्रमेय 16.15।) (ख) दर्शाइए कि यदि सभी $f_n$ एकैकी हों, तो $f$ एकैकी है अथवा अचर। ( $\Omega\setminus\{w\}$ पर $z \mapsto f_n(z) - f_n(w)$ पर (क) लगाइए।)

हल

हल — अभ्यास 17.8.

(क) मान लीजिए $f(a) = 0$ , $f \not\equiv 0$ : तो ऐसा $r$ चुनिए कि $f$ वृत्त $C = \partial D(a, r)$ पर शून्य-रहित हो (विविक्त शून्य) और $m = \min_C\abs f > 0$ । प्रमेय 16.15 से $C$ पर एकसमान रूप से $f_n \to f$ और $f_n' \to f'$ ; और बड़े $n$ के लिए $C$ पर $\abs{f_n} \geq m/2$ , अतः

\frac1{2\iu\pi}\int_C\frac{f_n'}{f_n} \longrightarrow \frac1{2\iu\pi}\int_C\frac{f'}{f} \geq 1

(सीमा शून्य $a$ को गिनती है; और अभिसरण इसलिए कि अंश एकसमान रूप से अभिसरित होते हैं और हर एकसमान रूप से नीचे से परिबद्ध हैं)। बायाँ पक्ष चक्र में $f_n$ के शून्य गिनने वाला कोई पूर्णांक है: अतः उसे अंततः $\geq 1$ होना पड़ेगा — जो शून्य-रहितता का खंडन करता है। इसलिए $f$ शून्य-रहित है।

(ख) $w \in \Omega$ स्थिर कीजिए और संबद्ध विवृत समुच्चय $\Omega\setminus\{w\}$ ( $\C$ के किसी विवृत संबद्ध उपसमुच्चय से एक बिंदु हटाने पर संबद्धता बनी रहती है) पर (क) को $g_n(z) = f_n(z) - f_n(w)$ पर लगाइए, जो एकैकीपन से वहाँ शून्य-रहित है और $g = f - f(w)$ पर अभिसरित होता है। यदि $f$ अचरेतर हो, तो $\Omega\setminus\{w\}$ पर $g \not\equiv 0$ , अतः $g$ वहाँ शून्य-रहित है: सभी $z \neq w$ के लिए $f(z) \neq f(w)$ । और $w$ स्वेच्छ था, अतः $f$ एकैकी है।

अभ्यास 17.9 ★★★

$n \geq 2$ के लिए त्रिज्यखंड $\{0 \leq \arg z \leq \frac{2\pi}n,\ \abs z \leq R\}$ की परिसीमा पर $\frac1{1 + z^n}$ का समाकलन कीजिए और निकालिए

\int_0^{+\infty}\frac{\dd x}{1 + x^n} = \frac{\pi}{n\,\sin(\pi/n)} .

$n = 2$ को $\arctan$ के सापेक्ष जाँचिए, और सीमा $n \to \infty$ भी।

हल

हल — अभ्यास 17.9.

त्रिज्यखंड की परिसीमा $[0, R]$ , चाप $A_R$ , और उलटी गई किरण $\eu^{2\iu\pi/n}[0, R]$ से बनी है। भीतर $\frac1{1+z^n}$ का एकमात्र ध्रुव $p = \eu^{\iu\pi/n}$ है, जिसका अवशेष $\frac1{np^{n-1}} = \frac{p}{np^n} = -\frac pn$ है। लौटती किरण पर $z = \eu^{2\iu\pi/n}x$ $z^n = x^n$ और $\dd z = \eu^{2\iu\pi/n}\dd x$ दे देता है; और चाप $O(R^{-n})\cdot O(R) \to 0$ है। अतः

\bigl(1 - \eu^{2\iu\pi/n}\bigr) \int_0^\infty\frac{\dd x}{1 + x^n} = 2\iu\pi\Bigl(-\frac{\eu^{\iu\pi/n}}n\Bigr), \quad\text{अतः}\quad \int_0^\infty\frac{\dd x}{1+x^n} = \frac{2\iu\pi}{n\,\bigl(\eu^{\iu\pi/n} - \eu^{-\iu\pi/n}\bigr)} = \frac{\pi}{n\sin(\pi/n)} .

$n = 2$ : $\frac\pi{2\sin(\pi/2)} = \frac\pi2 = [\arctan]_0^\infty$ । $n \to \infty$ पर: मान $1$ की ओर जाता है, और वस्तुतः समाकल्य $\mathbf 1_{\intco01}$ की ओर जाता है ( $n \geq 2$ के लिए प्रभावी अभिसरण प्रमेय के प्रभुत्व $\min(1, x^{-2})$ के साथ)।

अभ्यास 17.10 ★★

मान लीजिए $f$ $\deg(\text{हर}) \geq \deg(\text{अंश}) + 2$ वाला परिमेय फलन है। दर्शाइए कि $f$ के समस्त अवशेषों का योग शून्य है (बड़े से बड़े वृत्तों पर समाकलन कीजिए)। इसका उपयोग करके $\frac1{z(z-1)(z-2)}$ का आंशिक भिन्न विघटन बिना किसी रैखिक बीजगणित के पुनः परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 17.10.

बड़े $\abs z = R$ पर $\abs f \leq C R^{-2}$ : $\abs{\oint_{C_R} f} \leq 2\pi R\cdot CR^{-2} \to 0$ । पर सभी ध्रुवों से परे $R$ के लिए अवशेष प्रमेय $\oint_{C_R}f = 2\iu\pi\sum_{\text{सभी }p}\operatorname{Res}(f, p)$ देती है: अतः कुल योग लुप्त हो जाता है। $f = \frac1{z(z-1)(z-2)}$ के लिए: $0$ पर अवशेष $\frac1{(-1)(-2)} = \frac12$ , $1$ पर $\frac1{1\cdot(-1)} = -1$ , और $2$ पर $\frac1{2\cdot1} = \frac12$ — जिनका योग भविष्यवाणी के अनुसार $0$ है, और

\frac1{z(z-1)(z-2)} = \frac{1/2}{z} - \frac1{z - 1} + \frac{1/2}{z-2} :

अर्थात् अवशेष ही आंशिक भिन्न गुणांक हैं, और शून्य-योग सर्वसमिका मुफ़्त में संगति जाँच दे देती है (अथवा शेष से अंतिम गुणांक निर्धारित कर देती है)।

अभ्यास 17.11 ★★★

(कुंजीछिद्र: ऑयलर का परावर्तन समाकल) $0 < a < 1$ के लिए

I(a) = \int_0^{\infty}\frac{x^{a-1}}{1 + x}\,\dd x = \frac{\pi}{\sin(\pi a)}

परिकलित कीजिए, और वह भी $f(z) = \frac{z^{a-1}}{1+z} = \frac{\eu^{(a-1)\log z}}{1 + z}$ (लघुगणक $\R_+$ के अनुदिश कटा, $\arg z \in \intoo0{2\pi}$ ) का कुंजीछिद्र परिरेखा पर समाकलन करके: कट के ऊपर से $\varepsilon$ से $R$ तक बाहर, $C_R$ के चारों ओर, कट के नीचे से वापस, और $C_\varepsilon$ के चारों ओर। उचित ठहराइए: दोनों सीधे खंड गुणक $\eu^{2\iu\pi(a-1)}$ जितने भिन्न होते हैं, वृत्तों के योगदान लुप्त हो जाते हैं ( $R^{a-1}\cdot R \to 0$ और $\varepsilon^{a-1}\cdot\varepsilon \to 0$ ), और एकमात्र ध्रुव $z = -1$ का अवशेष $\eu^{\iu\pi(a - 1)}$ है। $\Gamma(a)\Gamma(1 - a) = \frac\pi{\sin\pi a}$ भी निकालिए (समस्या 10.1 से $\Gamma(a)\Gamma(1-a) = B(a, 1-a)$ लिखिए और $t = \frac{x}{1+x}$ प्रतिस्थापित कीजिए)।

हल

हल — अभ्यास 17.11.

कुंजीछिद्र पर, चुने गए निर्धारण के साथ: कट के ठीक ऊपर $\log z = \ln x$ ; और ठीक नीचे $\log z = \ln x + 2\iu\pi$ । चारों टुकड़े

\Bigl(1 - \eu^{2\iu\pi(a-1)}\Bigr)\int_\varepsilon^R \frac{x^{a-1}}{1+x}\dd x + \int_{C_R} + \int_{C_\varepsilon} = 2\iu\pi\operatorname{Res}(f, -1) .

देते हैं। चाप: $C_R$ पर $\abs{f} \leq \frac{R^{a-1}}{R - 1}$ , लंबाई $2\pi R$ : योगदान $O(R^{a-1}) \to 0$ ( $a < 1$ ); $C_\varepsilon$ पर $\abs f \leq \frac{\varepsilon^{a-1}}{1 - \varepsilon}$ , लंबाई $2\pi\varepsilon$ : $O(\varepsilon^a) \to 0$ ( $a > 0$ )। अवशेष: $z = -1 = \eu^{\iu\pi}$ पर $\operatorname{Res} = \eu^{(a-1)\iu\pi}$ । अतः

I(a) = \frac{2\iu\pi\,\eu^{\iu\pi(a-1)}}{1 - \eu^{2\iu\pi(a-1)}} = \frac{2\iu\pi}{\eu^{-\iu\pi(a-1)} - \eu^{\iu\pi(a-1)}} = \frac{\pi}{-\sin(\pi(a-1))} = \frac{\pi}{\sin\pi a} .

गामा परावर्तन: $B(a, 1-a) = \int_0^1t^{a-1}(1-t)^{-a}\dd t$ ; प्रतिस्थापन $t = \frac x{1+x}$ , $1 - t = \frac1{1+x}$ , $\dd t = \frac{\dd x}{(1+x)^2}$ उसे $\int_0^\infty \frac{x^{a-1}}{1+x}\dd x = I(a)$ में बदल देता है, और ऑयलर का सूत्र $B(a, 1-a) = \Gamma(a)\Gamma(1-a)/\Gamma(1)$ (समस्या 10.1) $\Gamma(a)\Gamma(1-a) = \frac\pi{\sin\pi a}$ दे देता है — विशेष रूप से एक बार फिर $\Gamma(\tfrac12) = \sqrt\pi$ ।

अभ्यास 17.12 ★★

(कोणांक सिद्धांत से शून्य गिनना, संख्यात्मक रूप से) मान लीजिए $P(z) = z^4 + 8z + 1$ । (क) इकाई चक्र में कितने शून्य हैं? ( $8z + 1$ के सापेक्ष रूशे।) (ख) वलय $1 < \abs z < 3$ में कितने? ( $\abs z = 3$ पर $z^4$ के सापेक्ष रूशे।) तीक्ष्ण कीजिए: दर्शाइए कि प्रत्येक शून्य का मापांक $< 2.1$ है। (ग) दक्षिण अर्ध-समतल में कितने? (पहले $\abs z = 2$ पर गिनिए; फिर काल्पनिक अक्ष के प्रतिबिंब का अनुसरण कीजिए: $P(\iu t) = t^4 + 1 + 8\iu t$ का वास्तविक भाग सर्वत्र धनात्मक है, अतः अक्ष पर कोई शून्य नहीं, और उसके अनुदिश कोणांक का विचरण परिकलनीय है — किसी बड़े अर्ध-चक्र से निष्कर्ष निकालिए।)

हल

हल — अभ्यास 17.12.

(क) $\abs z = 1$ पर: $\abs{z^4} = 1 < 7 \leq \abs{8z + 1}$ ( $\abs{8z} - 1 = 7$ ): अतः $P$ के $\mathbb D$ में उतने ही शून्य हैं जितने $8z + 1$ के, अर्थात् एक ( $-\frac18$ पर)।

(ख) $\abs z = 3$ पर: $\abs{8z + 1} \leq 25 < 81 = \abs{z^4}$ : अतः $z^4$ के विरुद्ध रूशे चारों शून्य $\abs z < 3$ में दे देते हैं, इसलिए वलय $1 < \abs z < 3$ में $4 - 1 = 3$ शून्य। तीक्ष्णीकरण: $\abs z = r \geq 2.1$ वाला कोई शून्य $r^4 = \abs{8z + 1} \leq 8r + 1$ संतुष्ट करता, पर $r \geq 2$ के लिए $r^4 - 8r - 1$ वर्धमान है और $r = 2.1$ पर $19.45 - 16.8 - 1 = 1.65 > 0$ के बराबर: असंभव। अतः तीनों बाहरी शून्य $1 < \abs z < 2.1$ में हैं। (संख्यात्मक रूप से: $-1.95$ के निकट कोई वास्तविक शून्य और $1.04 \pm 1.73\iu$ के निकट कोई संयुग्म युग्म, जिसका मापांक $2.02$ है — और इसीलिए ठीक त्रिज्या $2$ पर रूशे का प्रयास विफल होना ही चाहिए: प्रमेय कड़ा प्रभुत्व माँगती है, और शून्य ठीक बाहर बैठे हैं।)

(ग) $\iu\R$ पर कोई शून्य नहीं: $\operatorname{Re}P(\iu t) = t^4 + 1 \geq 1$ । दायाँ अर्ध-समतल में शून्य: अर्ध-चक्र $\{\abs z \leq R,\ \operatorname{Re}z \geq 0\}$ की परिसीमा पर कोणांक सिद्धांत का उपयोग कीजिए। बड़े चाप पर $\arg P \approx \arg z^4$ $4\cdot\pi = 2\pi\cdot2$ भर घूमता है (चाप कोण $\pi$ फैलाता है)। $\iu R$ से नीचे $-\iu R$ तक काल्पनिक अक्ष के अनुदिश: $P(\iu t) = (t^4 + 1) + 8\iu t$ दाएँ अर्ध-समतल में ही रहता है ( $\operatorname{Re} > 0$ ), अतः $\arg P$ $\intoo{-\pi/2}{\pi/2}$ के भीतर विचरता है और $R \to \infty$ पर शुद्ध परिवर्तन $\to 0$ के साथ लौट आता है (दोनों अंत-बिंदु $\approx \arg t^4 = 0$ )। कुल घूर्णन: $\frac{4\pi + 0} {2\pi} = 2$ : अर्थात् दाएँ अर्ध-समतल में दो शून्य — जो संख्याओं के संगत है: संयुग्म युग्म $\approx 1.04 \pm 1.73\iu$ का वास्तविक भाग धनात्मक है, और वास्तविक शून्य $\approx -0.125$ तथा $\approx -1.96$ ऋणात्मक।

17.6 समस्या: कोटिस्पर्शज्या से $\zeta(2k)$

समस्या 17.1

सप्ताहांत समस्या — अवशेषों से $\sum n^{-2k}$ का योग

अवशेष प्रमेय श्रेणियों का योग ले लेती है: किसी परिमेय फलन को $\pi\cot(\pi z)$ के साथ युग्मित करने पर, जिसके ध्रुव पूर्णांकों पर बैठते हैं, $\sum_{n}f(n)$ अवशेषों की गणना बन जाता है। हम यह विधि सिद्ध करते हैं और $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$ तथा $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ परिकलित करते हैं — वही मान जो दूसरे वर्ष में फूरिये श्रेणी से और अध्याय 15 में संकारक अनुरेखों से मिले थे, अब परिरेखा समाकलन से।

भाग I — कोटिस्पर्शज्या नाभिक।

दर्शाइए कि $\pi\cot(\pi z)$ $\C$ पर मेरोमॉर्फिक है, जिसके सरल ध्रुव ठीक $z = n \in \Z$ पर हैं और प्रत्येक का अवशेष $1$ है ( $\lim_{z\to n}(z-n)\pi\cot\pi z$ परिकलित कीजिए)।
$0$ पर लोरां प्रसार का आरंभ परिकलित कीजिए:

$\pi\cot(\pi z) = \frac1z - \frac{\pi^2}{3}\,z - \frac{\pi^4}{45}\,z^3 + O(z^5) ,$

और वह भी $\cos$ की घात श्रेणी को $\sin$ की घात श्रेणी से भाग देकर (भाग को उचित ठहराइए: $\frac{\sin\pi z}{\pi z}$ $0$ के निकट समविश्लेषिक और शून्येतर है, अतः उसका व्युत्क्रम समविश्लेषिक है; कोटि $3$ तक गुणांक पहचानिए)।
मान लीजिए $C_N$ शीर्षों $(\pm1\pm\iu)(N + \frac12)$ वाले वर्ग की परिसीमा है। दर्शाइए कि प्रत्येक $N \geq 1$ के लिए $C_N$ पर $\abs{\cot(\pi z)} \leq 2$ । (ऊर्ध्वाधर भुजाओं पर $\cot(\pi(\pm(N + \frac12) + \iu y)) = \mp\tan(\iu\pi y)$ , जिसका मापांक $\abs{\tanh(\pi y)} \leq 1$ है; और क्षैतिज भुजाओं $\abs y = N + \frac12$ पर $\abs{\cot(\pi(x\pm\iu y))} \leq \coth(\pi y) \leq \coth(\pi/2) < 1.1$ को परिबद्ध कीजिए।)

भाग II — योग प्रमेय।

मान लीजिए $f$ परिमेय है, पूर्णांकों पर समविश्लेषिक, और $\deg(\text{हर}) \geq \deg(\text{अंश}) + 2$ । $C_N$ पर अवशेष प्रमेय तथा प्रश्न 3 के परिबंध का उपयोग करके सिद्ध कीजिए:

$\lim_{N\to\infty}\ \sum_{n = -N}^{N} f(n) = -\sum_{p\ \text{जो } f \text{ का ध्रुव है}} \operatorname{Res}\bigl(\pi\cot(\pi z)f(z),\,p\bigr).$
तर्क को घात शर्त की आवश्यकता कहाँ पड़ती है? उदाहरण से दर्शाइए ( $f(z) = 1/(z + \frac12)$ लीजिए) कि धीमे क्षय के लिए सममित सीमा फिर भी विद्यमान हो सकती है जबकि दो-मुखी श्रेणी अपसरित होती है — और तब यह सूत्र मुख्य मान परिकलित करता है।

भाग III — मान।

इस विधि को $f(z) = 1/z^2$ पर लगाइए: यहाँ $f$ का ध्रुव किसी पूर्णांक पर है, अतः तर्क सीधे चलाइए — $C_N$ पर $g(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{z^2}$ का समाकलन कीजिए, दर्शाइए कि समाकल $\to 0$ , और प्रश्न 2 से $\operatorname{Res}(g, 0)$ परिकलित कीजिए। निष्कर्ष निकालिए:

$2\sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}{3}, \qquad \zeta(2) = \frac{\pi^2}6 .$
$g(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{z^4}$ के साथ वही कीजिए: $\operatorname{Res}(g, 0)$ परिकलित कीजिए और $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ निकालिए।
व्यापक प्रतिरूप समझाइए: प्रत्येक $k \geq 1$ के लिए $\zeta(2k)$ $0$ पर $\pi\cot(\pi z)$ के लोरां प्रसार में $z^{2k-1}$ के गुणांक का $-\frac12$ गुना है — अर्थात् $\pi^{2k}$ का कोई परिमेय गुणज। प्रश्न 2 के भाग को एक चरण आगे बढ़ाकर $\zeta(6)$ परिकलित कीजिए। यह विधि $\zeta(3)$ के बारे में क्या कहती है — और कुछ क्यों नहीं कहती?

भाग IV — कोटिस्पर्शज्या का आंशिक भिन्न प्रसार।

$w \in \C\setminus\Z$ स्थिर कीजिए और भाग II की विधि $f(z) = \dfrac{1}{(z - w)(z + w)}$ पर लगाइए — ध्यान दीजिए कि अब $\pi\cot(\pi z)f(z)$ के $\pm w$ पर अतिरिक्त सरल ध्रुव हैं, जिनके अवशेष भी गणना में जुड़ने चाहिए। आंशिक भिन्न प्रसार

$\pi\cot(\pi w) = \frac1w + \sum_{n\geq1}\frac{2w}{w^2 - n^2},$

निकालिए, जिसमें श्रेणी $\C\setminus\Z$ के संहत उपसमुच्चयों पर प्रसामान्य रूप से अभिसरित होती है।
इस प्रसार से, प्रत्येक पद को $w$ की घातों में फैलाकर (अदला-बदली उचित ठहराइए), प्रश्न 2 जैसे वही लोरां गुणांक पुनः प्राप्त कीजिए — वृत्त पूरा हो जाता है: ऑयलर का सूत्र $\sum\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6$ कोटिस्पर्शज्या के दोनों चेहरों में $w$ का गुणांक है। फूरिये-श्रेणी उपपत्ति (दूसरा वर्ष) और अनुरेख उपपत्ति (समस्या 15.1) से तुलना कीजिए: तीन सिद्धांत, एक संख्या।

भाग V — ज्या के लिए ऑयलर का गुणनफल। प्रश्न 9 का प्रसार किसी अनंत गुणनफल का लघुगणकीय अवकलज है; अब हम ऑयलर के 1734 के गुणनखंडन को ईमानदारी से सिद्ध करते हैं।

$N \geq 1$ के लिए $P_N(z) = z\prod_{n=1}^{N}\bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\bigr)$ रखिए। दर्शाइए कि $P_N$ प्रत्येक चक्र $\bar D(0, R)$ पर एकसमान रूप से किसी समग्र फलन $P$ पर अभिसरित होता है, जिसके शून्य ठीक पूर्णांक हैं और सभी सरल। ( $n \geq 2R$ के लिए गुणनखंड को अभ्यास 16.3 के मुख्य लघुगणक के साथ $\exp\log(1 - z^2/n^2)$ के रूप में लिखिए, $\abs u \leq \frac12$ के लिए श्रेणी के माध्यम से $\abs{\log(1+u)} \leq 2\abs u$ परिबद्ध कीजिए, और लघुगणकों के प्रसामान्य अभिसारी योग का चरघातांक लीजिए; शेष परिमित गुणनखंड एक बहुपद हैं। प्रमेय 16.15 से निष्कर्ष निकालिए।)
दर्शाइए कि $\C\setminus\Z$ पर

$\frac{P'(z)}{P(z)} = \frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{2z}{z^2 - n^2} = \pi\cot(\pi z)$

(परिमित गुणनफलों का अवकलन कीजिए, प्रमेय 16.15 और $\Z$ के बाहर $P$ की शून्य-रहितता का उपयोग करते हुए सीमा लीजिए, और प्रश्न 9 उद्धृत कीजिए)।
दर्शाइए कि $Q = \sin(\pi z)/P(z)$ $Q' = 0$ वाले किसी शून्य-रहित समग्र फलन तक बढ़ जाता है, और ऑयलर का गुणनफल निष्कर्ष के रूप में निकालिए:

$\sin(\pi z) = \pi z\prod_{n\geq1} \Bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\Bigr) \qquad (z \in \C) .$
(वालिस, 1655) $z = \frac12$ पर मान निकालिए:

$\frac\pi2 = \prod_{n\geq1}\frac{4n^2}{4n^2 - 1} = \lim_{N\to\infty} \frac{2\cdot2\cdot4\cdot4\cdots(2N)(2N)} {1\cdot3\cdot3\cdot5\cdots(2N-1)(2N+1)} .$
$\abs z < 1$ के लिए गुणनफल के लघुगणक का द्विक श्रेणी में प्रसार कीजिए (पुनर्विन्यास उचित ठहराइए) और $\sin(\pi z) = \pi z - \frac{\pi^3}6z^3 + \cdots$ में $z^3$ के गुणांक का मिलान करके $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ पुनः प्राप्त कीजिए — यही ऑयलर की संख्या का गुणनफल वाला चेहरा है।

भाग VI — सहोदर नाभिक। कोटिस्पर्शज्या के सहोदर हैं; प्रत्येक अपने ही श्रेणी-कुल का मोल तय करता है।

प्रश्न 9 के प्रसार का पदशः अवकलन कीजिए (प्रमेय 16.15 से उचित) और $\C\setminus\Z$ के संहतों पर प्रसामान्य रूप से

$\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)} = \sum_{n\in\Z}\frac1{(z - n)^2} .$

प्राप्त कीजिए।
$z = \frac12$ पर मान निकालिए: $\sum_{m\geq0}\frac1{(2m+1)^2} = \frac{\pi^2}8$ ; और पूर्णांकों को सम-विषमता से बाँटकर $\zeta(2)$ एक बार फिर पुनः प्राप्त कीजिए।
द्विगुणन सर्वसमिका $\tan\theta = \cot\theta - 2\cot(2\theta)$ सत्यापित कीजिए और $\frac12 + \Z$ से बचने वाले संहतों पर प्रसामान्य रूप से

$\pi\tan(\pi z) = \sum_{m\geq0}\frac{8z}{(2m+1)^2 - 4z^2} ,$

निकालिए।
$0$ के परितः प्रसार कीजिए ( $\abs z < \frac12$ ; फिर फुबिनी): $\lambda(s) = \sum_{m\geq0}(2m+1)^{-s}$ के साथ

$\pi\tan(\pi z) = \sum_{k\geq0}8\cdot4^k\,\lambda(2k+2)\,z^{2k+1} ;$

$\tan u = u + \frac{u^3}3 + O(u^5)$ से तुलना करके $\lambda(2) = \frac{\pi^2}8$ पुनः प्राप्त कीजिए और $\lambda(4) = \frac{\pi^4}{96}$ भी; फिर $\lambda(4) = (1 - 2^{-4})\,\zeta(4)$ के माध्यम से $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ की जाँच कीजिए।
$\frac1{\sin\theta} = \cot\frac\theta2 - \cot\theta$ सत्यापित कीजिए और निकालिए

$\frac{\pi}{\sin(\pi z)} = \frac1z + \sum_{n\geq1}(-1)^n\,\frac{2z}{z^2 - n^2} .$

चिह्नों को पूर्णांकों पर $\pi/\sin(\pi z)$ के अवशेषों के सापेक्ष जाँचिए।
$z$ का गुणांक पढ़ लीजिए: $\eta(2) = \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}$ , और संगति $\eta(2) = (1 - 2^{1-2})\,\zeta(2)$ की पुष्टि कीजिए।
(समापन) प्रश्न 20 के प्रसार का $z = \frac12$ पर मान निकालिए और लाइब्नित्स का सूत्र

$\frac\pi4 = 1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \cdots$

निकालिए। एक छोटे अनुच्छेद से समाप्त कीजिए: प्रत्येक अंकगणित के लिए एक नाभिक — कौन-सा नाभिक किस श्रेणी-कुल का मोल तय करता है, और वे सब $\zeta(3)$ के प्रति संरचनात्मक रूप से अंधे क्यों हैं।

भाग VII — पूरी मूल्य सूची: बर्नूली संख्याएँ।

$\pi z\cot(\pi z)$ के आंशिक भिन्न प्रसार को बर्नूली संख्याओं के जनक फलन ( $\frac{w}{\eu^w - 1} = \sum_n\frac{B_n}{n!}w^n$ , समस्या 16.1, भाग VI) के साथ मिलाइए:

$\pi z\cot(\pi z) = \iu\pi z + \frac{2\iu\pi z}{\eu^{2\iu\pi z} - 1}$

से (पहले यह सर्वसमिका सिद्ध कीजिए) संवृत रूप

$\zeta(2k) = (-1)^{k+1}\, \frac{(2\pi)^{2k}\,B_{2k}}{2\,(2k)!} \qquad (k \geq 1).$

निकालिए।
इस सूत्र को $B_2 = \frac16$ , $B_4 = -\frac1{30}$ , $B_6 = \frac1{42}$ के सापेक्ष सत्यापित कीजिए: $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ , $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ पुनः प्राप्त कीजिए, और $\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945}$ परिकलित कीजिए।
(ऑयलर का पुनरावर्तन) $\bigl(z\cot z\bigr)' = \cot z - z(1 + \cot^2z)$ के दोनों पक्षों का प्रसार कीजिए — अथवा कोटिस्पर्शज्या श्रेणी का सीधे वर्ग कीजिए — और सिद्ध कीजिए

$\Bigl(k + \frac12\Bigr)\zeta(2k) = \sum_{j=1}^{k-1}\zeta(2j)\,\zeta(2k - 2j) \qquad (k \geq 2),$

और जाँचिए कि यह $\zeta(2)$ से $\zeta(4)$ और $\zeta(2), \zeta(4)$ से $\zeta(6)$ परिकलित कर देता है — अर्थात् एकमात्र बीज $\frac{\pi^2}6$ से समस्त सम ज़ीटा मान, और कोई नया समाकलन नहीं।

हल

हल — समस्या 17.1.

1. $\sin(\pi z)$ के सरल शून्य ठीक $\Z$ पर हैं ( $\sin\pi z = 0$ तभी और केवल तभी जब $z \in \Z$ , और वहाँ $(\sin\pi z)' = \pi\cos\pi z \neq 0$ ), और $\cos(\pi n) \neq 0$ : अतः $\pi\cot(\pi z) = \pi\cos(\pi z)/\sin(\pi z)$ के $\Z$ पर सरल ध्रुव हैं जिनमें

\operatorname{Res}(\pi\cot\pi z,\ n) = \frac{\pi\cos(\pi n)}{\pi\cos(\pi n)} = 1

( $g/h'$ नियम, विधि 17.6)।

2. $\frac{\sin(\pi z)}{\pi z} = 1 - \frac{(\pi z)^2}6 + \frac{(\pi z)^4}{120} - \cdots$ $0$ के निकट समविश्लेषिक और शून्येतर है: अतः उसका व्युत्क्रम समविश्लेषिक है (परिभाषा 16.1: भागफल), जिसकी श्रेणी $1 + \frac{(\pi z)^2}{6} + \frac{7(\pi z)^4}{360} + \cdots$ है (पहचानिए: $u = \frac{(\pi z)^2}6 - \frac{(\pi z)^4}{120}$ से $(1 - u)^{-1}$ -शैली के गुणांक: $z^4$ गुणांक $\frac1{36} - \frac1{120} = \frac{7}{360}$ है)। $\cos(\pi z) = 1 - \frac{(\pi z)^2}2 + \frac{(\pi z)^4}{24} - \cdots$ से गुणा कीजिए और $z$ से भाग दीजिए:

\pi\cot(\pi z) = \frac1z\Bigl[1 + \pi^2z^2\Bigl(\frac16 - \frac12\Bigr) + \pi^4z^4\Bigl(\frac7{360} - \frac1{12} + \frac1{24}\Bigr)\Bigr] + \cdots = \frac1z - \frac{\pi^2}3\,z - \frac{\pi^4}{45}\,z^3 - \cdots

( $\frac7{360} - \frac{30}{360} + \frac{15}{360} = -\frac8{360} = -\frac1{45}$ )।

3. ऊर्ध्वाधर भुजाएँ $z = \pm(N + \frac12) + \iu y$ : $\cot$ की $\pi$ -आवर्तिता से $\cot(\pi z) = \cot(\pm\frac\pi2 + \iu\pi y) = -\tan(\iu\pi y) = -\iu\tanh(\pi y)$ , जिसका मापांक $\leq 1$ है। क्षैतिज भुजाएँ $z = x \pm \iu(N + \frac12)$ : $\abs{\cot(a + \iu b)}^2 = \frac{\cos^2a + \sinh^2b}{\sin^2a + \sinh^2b} \leq \frac{1 + \sinh^2b}{\sinh^2b} = \coth^2 b$ से

\abs{\cot(\pi z)} \leq \coth\bigl(\pi(N + \tfrac12)\bigr) \leq \coth(\pi/2) < 1.1 .

दोनों परिबंध $\leq 2$ हैं।

4. $C_N$ पर $F(z) = \pi\cot(\pi z)f(z)$ पर प्रमेय 17.5 लगाइए ( $f$ के सभी ध्रुवों से परे $N$ ):

\frac1{2\iu\pi}\oint_{C_N}F = \sum_{n=-N}^{N}f(n) + \sum_p\operatorname{Res}(F, p),

जिसमें पूर्णांक ध्रुव $f(n)$ का योगदान देते हैं (प्रश्न 1; $f$ वहाँ समविश्लेषिक)। $C_N$ पर: $\abs F \leq 2\pi\cdot C\abs z^{-2} \leq 2\pi C N^{-2}$ , और परिमाप $8(N + \frac12)$ है: अतः समाकल $O(1/N) \to 0$ है। $N \to \infty$ लीजिए: और दिखाया गया योग सूत्र मिल जाता है।

5. क्षय $\abs f = O(\abs z^{-2})$ ने परिरेखा समाकल को मारा और $\sum\abs{f(n)}$ को अभिसरित कराया। $f(z) = \frac1{z + \frac12}$ के लिए: सममित योग $\sum_{-N}^N\frac1{n + \frac12}$ दूरबीनी होकर $0$ बन जाते हैं (पद $n$ और $-n - 1$ निरस्त हो जाते हैं), और दायाँ पक्ष $-\operatorname{Res}\bigl(\frac{\pi\cot\pi z}{z + \frac12}, -\frac12\bigr) = -\pi\cot(-\frac\pi2) = 0$ है: संगत — पर $\sum\abs{f(n)}$ अपसारित होता है; यह विधि केवल सममित (मुख्य मान) सीमा परिकलित करती है।

6. $g(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{z^2}$ : शून्येतर पूर्णांकों पर अवशेष $\frac1{n^2}$ वाले ध्रुव, और $0$ पर, जहाँ प्रश्न 2 से

g(z) = \frac1{z^3} - \frac{\pi^2}{3z} - \frac{\pi^4}{45}z - \cdots : \qquad \operatorname{Res}(g, 0) = -\frac{\pi^2}3 .

$C_N$ पर परिरेखा समाकल प्रश्न 4 की भाँति $0$ की ओर जाता है ( $C_N$ पर $\abs{g} = O(N^{-2})$ )। अतः $0 = \sum_{n\neq0}\frac1{n^2} - \frac{\pi^2}3$ : $2\zeta(2) = \frac{\pi^2}3$ , $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ ।

7. $g(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{z^4} = \frac1{z^5} - \frac{\pi^2}{3z^3} - \frac{\pi^4}{45z} - \cdots$ : $0$ पर अवशेष $-\frac{\pi^4}{45}$ के बराबर, और $0 = 2\zeta(4) - \frac{\pi^4}{45}$ : $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ ।

8. $g = \pi\cot(\pi z)/z^{2k}$ के साथ: $0$ पर अवशेष $\pi\cot(\pi z)$ के प्रसार में $z^{2k-1}$ का गुणांक $a_{2k-1}$ है, और लुप्त होती परिरेखा $2\zeta(2k) + a_{2k-1} = 0$ दे देती है: $\zeta(2k) = -a_{2k-1}/2$ , जो $\pi^{2k}$ का कोई परिमेय गुणज है, क्योंकि कोटांजेंट के गुणांक परिमेय हैं। एक और भाग-चरण $a_5 = -\frac{2\pi^6}{945}$ देता है, जिससे $\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945}$ । $\zeta(3)$ के लिए: स्वाभाविक अष्टि $g = \pi\cot(\pi z)/z^3$ विषमता से $\sum_{n\neq0}\frac1{n^3} = 0$ उत्पन्न कर देती है — यह विधि $0 = 0$ सिद्ध करती है और विषम ज़ीटा मानों के प्रति संरचनात्मक रूप से अंधी है ( $\zeta(3)$ का कोई संवृत रूप ज्ञात नहीं; उसकी अपरिमेयता, अपेरी 1978, के लिए बिलकुल भिन्न विचार चाहिए थे)।

9. $F(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{(z - w)(z + w)}$ के पूर्णांकों पर ध्रुव हैं (अवशेष $\frac1{n^2 - w^2}$ , चिह्न पर ध्यान दीजिए: $f(n) = \frac1{(n-w)(n+w)} = \frac1{n^2 - w^2}$ ) और $\pm w$ पर प्रत्येक अवशेष $\frac{\pi\cot(\pm\pi w)}{\pm2w} = \frac{\pi\cot(\pi w)}{2w}$ वाले सरल ध्रुव ( $\cot$ विषम है)। प्रश्न 4 का तर्क ( $\abs f = O(\abs z^{-2})$ )

\sum_{n\in\Z}\frac1{n^2 - w^2} + \frac{\pi\cot(\pi w)}{w} = 0, \qquad\text{अर्थात्}\qquad \pi\cot(\pi w) = \frac1w + \sum_{n\geq1}\frac{2w}{w^2 - n^2},

देता है ( $n = 0$ पद $-\frac1{w^2}$ है; $\pm n$ पुनःसमूहित कीजिए)। $\C\setminus\Z$ के संहतों पर प्रसामान्य अभिसरण: $\abs w \leq R$ और $n \geq 2R$ के लिए $\abs{\frac{2w}{w^2 - n^2}} \leq \frac{2R}{n^2 - R^2} \leq \frac{8R}{3n^2}$ ।

10. $\abs w \leq r < 1$ के लिए: $\frac{2w}{w^2 - n^2} = -\frac{2w}{n^2}\cdot\frac1{1 - w^2/n^2} = -2\sum_{k\geq0}\frac{w^{2k+1}}{n^{2k+2}}$ , जिसमें $\abs{\text{पद}} \leq 2r^{2k+1}/n^{2k+2}$ , जो $(n, k)$ पर योगनीय है: अतः श्रेणियों के लिए फुबिनी

\pi\cot(\pi w) = \frac1w - 2\sum_{k\geq0}\zeta(2k+2)\,w^{2k+1} .

का पुनर्विन्यास कर देती है। प्रश्न 2 से मिलान: $-2\zeta(2) = -\frac{\pi^2}3$ और $-2\zeta(4) = -\frac{\pi^4}{45}$ — वही मान। $\frac{\pi^2}6$ तक तीन मार्ग: पार्सेवाल (फूरिये श्रेणी), तार के ग्रीन संकारक का संचिह्न, और कोटांजेंट के दो प्रसार; और यह कि आवृत्तियों पर एक योग, एक संकारक संचिह्न और एक परिरेखा समाकल सहमत हैं, कोई संयोग नहीं — प्रत्येक उसी स्पेक्ट्रमी सर्वसमिका का एक मुख है।

11. $R \geq 1$ स्थिर कीजिए और मान लीजिए $n_0$ सबसे छोटा पूर्णांक $\geq 2R$ है। $\abs z \leq R$ और $n \geq n_0$ के लिए: $\abs{z^2/n^2} \leq \frac14$ , अतः $1 - z^2/n^2 \in \bar D(1, \frac14)$ , जहाँ मुख्य लघुगणक समविश्लेषिक है, और

\Bigl|\log\Bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\Bigr)\Bigr| \leq \sum_{k\geq1}\frac1k\,\Bigl|\frac{z^2}{n^2}\Bigr|^k \leq \frac{\abs{z^2/n^2}}{1 - \abs{z^2/n^2}} \leq \frac{2R^2}{n^2} :

जिसमें योग $S(z) = \sum_{n\geq n_0}\log(1 - z^2/n^2)$ $\bar D(0, R)$ पर प्रसामान्य रूप से अभिसरित होता है, जिसके आंशिक योग $S_N$ समविश्लेषिक हैं और एकसमान रूप से $\abs{S_N} \leq 2R^2\zeta(2)$ । चूँकि $\abs{\eu^a - \eu^b} \leq \eu^{\max(\abs a,\abs b)}\abs{a - b}$ (रेखाखंड पर माध्य मान परिबंध), अतः पुच्छ गुणनफल $\prod_{n_0\leq n\leq N} = \eu^{S_N}$ $\bar D(0, R)$ पर एकसमान रूप से शून्य-रहित $\eu^S$ पर अभिसरित होते हैं। स्थिर बहुपद $z\prod_{n<n_0}(1 - z^2/n^2)$ से गुणा करने पर: $\bar D(0, R)$ पर एकसमान रूप से $P_N \to P$ , और प्रमेय 16.15 $P$ को वहाँ समविश्लेषिक बना देता है; और $R$ स्वेच्छ होने से $P$ समग्र है। $\bar D(0, R)$ पर $P$ के शून्य बहुपद पूर्व-गुणक के शून्य हैं — अर्थात् मापांक $\leq R$ के पूर्णांक, प्रत्येक सरल ( $(1 - z/n)(1 + z/n)$ के भिन्न सरल शून्य हैं, $\eu^S$ का कोई नहीं): अतः $P$ का शून्य समुच्चय $\Z$ है, जिसमें सभी शून्य सरल हैं।

12. परिमित गुणनफल का, उसके शून्यों से दूर, लघुगणकीय अवकलन:

\frac{P_N'(z)}{P_N(z)} = \frac1z + \sum_{n=1}^{N}\frac{-2z/n^2}{1 - z^2/n^2} = \frac1z + \sum_{n=1}^{N}\frac{2z}{z^2 - n^2} .

किसी संहत $K \subseteq \C\setminus\Z$ पर: एकसमान रूप से $P_N \to P$ और $P_N' \to P'$ (प्रमेय 16.15), तथा $\min_K \abs P > 0$ ( $P$ केवल $\Z$ पर लुप्त होता है), अतः अंततः $\abs{P_N} \geq \frac12\min_K\abs P$ और $K$ पर एकसमान रूप से $P_N'/P_N \to P'/P$ । बीच वाला सदस्य प्रश्न 9 से $\frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{2z}{z^2-n^2} = \pi\cot(\pi z)$ पर अभिसरित होता है: अतः $\C\setminus\Z$ पर $P'/P = \pi\cot(\pi z)$ ।

13. $\sin(\pi z)$ और $P$ एक ही शून्य समुच्चय $\Z$ वाले समग्र फलन हैं, जिनके सभी शून्य सरल हैं (प्रश्न 1 और 11)। $m \in \Z$ के निकट $m$ पर समविश्लेषिक और अलुप्त $\sigma, \psi$ के साथ $\sin(\pi z) = (z - m)\,\sigma(z)$ और $P(z) = (z - m)\,\psi(z)$ लिखिए (घात श्रेणी का गुणनखंडन कीजिए): अतः $Q = \sin(\pi z)/P = \sigma/\psi$ प्रत्येक पूर्णांक के पार समविश्लेषिक और शून्य-रहित रूप से बढ़ जाता है, और $\C\setminus\Z$ पर शून्य-रहित फलनों के भागफल के रूप में शून्य-रहित है। वहाँ

\frac{Q'}{Q} = \frac{(\sin\pi z)'}{\sin\pi z} - \frac{P'}{P} = \pi\cot(\pi z) - \pi\cot(\pi z) = 0 ,

अतः समग्र फलन $Q'$ $\C\setminus\Z$ पर लुप्त होता है, इसलिए सांतत्य से सर्वत्र: अतः $Q$ अचर है। $z \to 0$ पर: $\sin(\pi z)/z \to \pi$ और $P(z)/z \to 1$ , अतः $Q = \pi$ :

\sin(\pi z) = \pi z\prod_{n\geq1} \Bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\Bigr) .

14. $z = \frac12$ पर: $1 = \sin\frac\pi2 = \frac\pi2\prod_{n\geq1}\bigl(1 - \frac1{4n^2}\bigr) = \frac\pi2\prod\frac{4n^2-1}{4n^2}$ , अतः

\frac\pi2 = \prod_{n\geq1}\frac{4n^2}{4n^2 - 1} = \lim_{N\to\infty}\prod_{n=1}^N \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \lim_{N\to\infty} \frac{2\cdot2\cdot4\cdot4\cdots(2N)(2N)} {1\cdot3\cdot3\cdot5\cdots(2N-1)(2N+1)} :

अर्थात् वालिस का गुणनफल, ऑयलर के गुणनखंडन का एक-पंक्ति उपप्रमेय।

15. $\abs z \leq r < 1$ के लिए प्रत्येक गुणक $D(1, r^2) \subseteq D(1, 1)$ में है, अतः $P(z)/z = \exp\bigl( \sum_{n\geq1}\log(1 - z^2/n^2)\bigr)$ : प्रत्येक आंशिक गुणनफल किसी आंशिक योग का चरघातांक है, और दोनों पक्ष $\exp$ की सांतत्य से सीमा तक चले जाते हैं। द्विक श्रेणी

\sum_{n\geq1}\log\Bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\Bigr) = -\sum_{n\geq1}\sum_{k\geq1}\frac{z^{2k}}{k\,n^{2k}} = -\sum_{k\geq1}\frac{\zeta(2k)}k\,z^{2k} = -\zeta(2)\,z^2 + O(z^4)

श्रेणियों के लिए फुबिनी से पुनर्विन्यस्त हो जाती है: $\sum_{n,k} \frac{r^{2k}}{kn^{2k}} \leq \sum_k\zeta(2k)r^{2k} \leq \zeta(2)\frac{r^2}{1-r^2} < \infty$ । अतः

P(z) = z\,\exp\bigl(-\zeta(2)z^2 + O(z^4)\bigr) = z - \zeta(2)\,z^3 + O(z^5) ,

और प्रश्न 13 इसकी तुलना $\sin(\pi z) = \pi z - \frac{\pi^3}6z^3 + O(z^5)$ से करता है: $\pi\zeta(2) = \frac{\pi^3}6$ , अर्थात् $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ । योगात्मक मुख (प्रश्न 10) और गुणनात्मक मुख एक ही संख्या परिकलित करते हैं।

16. किसी संहत $K \subseteq \C\setminus\Z$ पर आंशिक योग $S_N = \frac1z + \sum_{n\leq N}\bigl( \frac1{z-n} + \frac1{z+n}\bigr)$ (प्रश्न 9, पदों को $\frac{2z}{z^2-n^2} = \frac1{z-n} + \frac1{z+n}$ के रूप में पुनःसमूहित करके) एकसमान रूप से $\pi\cot(\pi z)$ पर अभिसरित होते हैं, अतः प्रमेय 16.15 $K$ पर एकसमान रूप से $S_N' \to (\pi\cot\pi z)' = -\pi^2/\sin^2(\pi z)$ दे देता है। चूँकि $S_N' = -\sum_{\abs n\leq N}(z - n)^{-2}$ :

\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)} = \sum_{n\in\Z}\frac1{(z - n)^2} ,

जिसका अभिसरण $\C\setminus\Z$ के संहतों पर प्रसामान्य है (पद $O(n^{-2})$ )।

17. $z = \frac12$ पर बायाँ पक्ष $\pi^2$ है; और दाईं ओर $(\frac12 - n)^2 = \frac{(2n-1)^2}4$ , जिसमें जैसे-जैसे $n$ $\Z$ पर चलता है $2n - 1$ ठीक एक बार सभी विषम पूर्णांकों पर चलता है:

\pi^2 = \sum_{n\in\Z}\frac{4}{(2n-1)^2} = 8\sum_{m\geq0}\frac1{(2m+1)^2}, \qquad \sum_{m\geq0}\frac1{(2m+1)^2} = \frac{\pi^2}8 .

सम-विषमता विभाजन: $\zeta(2) = \frac{\pi^2}8 + \sum_{n\geq1}\frac1{(2n)^2} = \frac{\pi^2}8 + \frac{\zeta(2)}4$ , अतः $\frac34\zeta(2) = \frac{\pi^2}8$ और एक बार फिर $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ ।

18. $c = \cot\theta$ और $\cot(2\theta) = \frac{c^2-1}{2c}$ के साथ: $\cot\theta - 2\cot(2\theta) = c - \frac{c^2-1}c = \frac1c = \tan\theta$ । अतः $\pi\tan(\pi z) = \pi\cot(\pi z) - 2\pi\cot(2\pi z)$ , और $z$ पर तथा $2z$ पर प्रश्न 9

\pi\cot(\pi z) = \frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{2z}{z^2 - n^2}, \qquad 2\pi\cot(2\pi z) = \frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{8z}{4z^2 - n^2} .

दे देता है। दोनों श्रेणियाँ ध्रुवों से बाहर प्रत्येक स्थिर $z$ पर निरपेक्ष रूप से अभिसरित होती हैं, अतः अंतर को इच्छानुसार पुनःसमूहित किया जा सकता है: दूसरी श्रेणी में सम पद $n = 2m$ $\frac{8z}{4z^2 - 4m^2} = \frac{2z}{z^2 - m^2}$ देते हैं और पहली श्रेणी को पूरी तरह निरस्त कर देते हैं, जिससे

\pi\tan(\pi z) = -\sum_{m\geq0}\frac{8z}{4z^2 - (2m+1)^2} = \sum_{m\geq0}\frac{8z}{(2m+1)^2 - 4z^2} ,

बचता है, जो $\frac12 + \Z$ से बचने वाले संहतों पर प्रसामान्य है (पद $O(m^{-2})$ )।

19. $\abs z \leq r < \frac12$ के लिए:

\frac{8z}{(2m+1)^2 - 4z^2} = \frac{8z}{(2m+1)^2} \sum_{k\geq0}\Bigl(\frac{4z^2}{(2m+1)^2}\Bigr)^{k},

जिसमें $\sum_{m,k}8r\,(4r^2)^k(2m+1)^{-2k-2} < \infty$ , क्योंकि $4r^2 < 1$ : अतः फुबिनी द्विक योग का पुनर्विन्यास

\pi\tan(\pi z) = \sum_{k\geq0}8\cdot4^k\,\lambda(2k+2)\,z^{2k+1} .

में कर देती है। $\pi\tan(\pi z) = \pi^2z + \frac{\pi^4}3z^3 + O(z^5)$ के सापेक्ष: $z$ का गुणांक $8\lambda(2) = \pi^2$ देता है — फिर से प्रश्न 17 — और $z^3$ का गुणांक $32\lambda(4) = \frac{\pi^4}3$ , अर्थात् $\lambda(4) = \frac{\pi^4}{96}$ । सम हर हटाने पर $\lambda(4) = \zeta(4) - 2^{-4}\zeta(4) = \frac{15}{16}\zeta(4)$ : $\zeta(4) = \frac{16}{15}\cdot \frac{\pi^4}{96} = \frac{\pi^4}{90}$ , जो प्रश्न 7 से मेल खाता है।

20. $\cot\frac\theta2 - \cot\theta = \frac{\cos\frac\theta2\,\sin\theta - \cos\theta\,\sin\frac\theta2}{\sin\frac\theta2\,\sin\theta} = \frac{\sin\frac\theta2}{\sin\frac\theta2\,\sin\theta} = \frac1{\sin\theta}$ , जिसका अंश $\sin(\theta - \frac\theta2)$ है। $\theta = \pi z$ के साथ $\frac z2$ पर प्रश्न 9 $\pi\cot\frac{\pi z}2 = \frac2z + \sum_{n\geq1}\frac{4z}{z^2 - 4n^2}$ के रूप में पढ़ा जाता है, अतः

\frac{\pi}{\sin(\pi z)} = \pi\cot\frac{\pi z}2 - \pi\cot(\pi z) = \frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{4z}{z^2 - 4n^2} - \sum_{n\geq1}\frac{2z}{z^2 - n^2} .

निरपेक्ष अभिसरण सम-विषमता पुनःसमूहन की अनुमति देता है: घटाई गई श्रेणी में सम $n = 2m$ $\frac{2z}{z^2-4m^2}$ का योगदान देता है, जिससे पहले योग में से $+\frac{2z}{z^2-4m^2}$ बचता है, जबकि विषम $n$ चिह्न $-$ के साथ बच जाता है:

\frac{\pi}{\sin(\pi z)} = \frac1z + \sum_{n\geq1}(-1)^n\,\frac{2z}{z^2 - n^2} .

चिह्न जाँच: $\operatorname{Res}\bigl(\pi/\sin(\pi z), n\bigr) = \pi/(\pi\cos\pi n) = (-1)^n$ (विधि 17.6), और $(-1)^n\frac{2z}{z^2 - n^2} = \frac{(-1)^n}{z-n} + \frac{(-1)^n}{z+n}$ $\pm n$ पर ठीक वही अवशेष ढोता है।

21. $\abs z \leq r < 1$ के लिए प्रत्येक पद का प्रश्न 19 की भाँति प्रसार करके ( $(-1)^n\frac{2z}{z^2-n^2} = (-1)^{n-1}\frac{2z}{n^2}\sum_k\frac{z^{2k}}{n^{2k}}$ ) और फुबिनी लगाकर:

\frac{\pi}{\sin(\pi z)} = \frac1z + 2\sum_{k\geq0}\eta(2k+2)\,z^{2k+1}, \qquad \eta(s) = \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s} .

टेलर की ओर: $\sin(\pi z) = \pi z(1 - \frac{(\pi z)^2}6 + O(z^4))$ $\frac\pi{\sin\pi z} = \frac1z + \frac{\pi^2}6z + O(z^3)$ देता है: $2\eta(2) = \frac{\pi^2}6$ , अतः $\eta(2) = \frac{\pi^2}{12}$ । संगति: $\eta(2) = \zeta(2) - 2\sum_n(2n)^{-2} = (1 - 2^{1-2})\zeta(2) = \frac{\zeta(2)}2 = \frac{\pi^2}{12}$ ।

22. $z = \frac12$ पर प्रश्न 20

\pi = 2 + \sum_{n\geq1}(-1)^n\frac{1}{\frac14 - n^2} = 2 + 4\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)(2n+1)} .

देता है। $\frac1{(2n-1)(2n+1)} = \frac12\bigl(\frac1{2n-1} - \frac1{2n+1}\bigr)$ के साथ, और दोनों एकांतर श्रेणियों के अभिसारी होने से (लाइब्नित्स कसौटी), योग $\frac12\bigl[L - (1 - L)\bigr] = L - \frac12$ के रूप में बँट जाता है, जहाँ $L = 1 - \frac13 + \frac15 - \cdots$ और $\frac13 - \frac15 + \frac17 - \cdots = 1 - L$ । अतः $\pi = 2 + 4(L - \frac12) = 4L$ :

\frac\pi4 = 1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \cdots

शिक्षा: प्रत्येक अष्टि मेरोमॉर्फिक है, जिसके ध्रुव किसी समांतर श्रेढ़ी पर हैं और अवशेष निर्धारित हैं। कोटांजेंट प्रत्येक पूर्णांक पर अवशेष $1$ रखता है और $f(n)$ का योग लेता है; उसका अवकलज ध्रुवों का वर्ग कर देता है और $\lambda(2)$ का मूल्य आँकता है; टैंजेंट ध्रुवों को $\frac12 + \Z$ पर हटा देता है और विषम हरों का मूल्य आँकता है; और $\pi/\sin$ पूर्णांक ध्रुव रखे रहता है पर अवशेष $(-1)^n$ को एकांतरित कर देता है, जिससे एकांतर श्रेणी मिलती है। प्रथम-कोटि की सभी अष्टियाँ विषम फलन हैं: $n$ को $-n$ के साथ युग्मित करने से सम-घात गुणांक दुगुने हो जाते हैं और विषम गुणांक नष्ट, अतः $\zeta(2k)$ यंत्रवत बह निकलता है जबकि $\zeta(3)$ कभी प्रकट नहीं होता। यह अंधापन सम-विषमता का है, तकनीक की कमी का नहीं।

23. $w = 2\iu\pi z$ के साथ:

\iu\pi z + \frac{2\iu\pi z}{\eu^{2\iu\pi z} - 1} = \iu\pi z\,\frac{\eu^{2\iu\pi z} + 1}{\eu^{2\iu\pi z} - 1} = \iu\pi z\,\frac{\eu^{\iu\pi z} + \eu^{-\iu\pi z}}{\eu^{\iu\pi z} - \eu^{-\iu\pi z}} = \pi z\,\frac{\cos\pi z}{\sin\pi z} = \pi z\cot(\pi z) .

अतः $w = 2\iu\pi z$ पर जनक फलन का उपयोग करते हुए (और $\iu\pi z$ पद को निरस्त करते $B_1 = -\frac12$ के साथ, जिससे आगे विषम $B$ लुप्त हो जाते हैं):

\pi z\cot(\pi z) = \sum_{k\geq0}\frac{B_{2k}}{(2k)!} (2\iu\pi z)^{2k} = 1 + \sum_{k\geq1}(-1)^k\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{(2k)!} z^{2k} .

दूसरी ओर आंशिक भिन्न प्रसार (भाग IV) $\pi z\cot(\pi z) = 1 - 2\sum_{k\geq1}\zeta(2k)z^{2k}$ देता है (प्रत्येक $\frac{2z^2}{z^2 - n^2} = -2\sum_k\frac{z^{2k}}{n^{2k}}$ का प्रसार कीजिए और $n$ पर योग लीजिए; $\abs z < 1$ के लिए प्रसामान्य अभिसरण अदला-बदली को उचित ठहराता है)। गुणांकों की तुलना: $-2\zeta(2k) = (-1)^k\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{(2k)!}$ , जो कहा गया सूत्र है।

24. $k = 1$ : $\frac{(2\pi)^2}{2\cdot2}\cdot\frac16 = \frac{\pi^2}6$ । $k = 2$ : $-\frac{(2\pi)^4}{2\cdot24} \cdot\bigl(-\frac1{30}\bigr) = \frac{16\pi^4}{48\cdot30} = \frac{\pi^4}{90}$ । $k = 3$ : $\frac{(2\pi)^6}{2\cdot720} \cdot\frac1{42} = \frac{64\pi^6}{1440\cdot42} = \frac{\pi^6}{945}$ ।

25. $C(z) = \pi z\cot(\pi z) = 1 - 2\sum_{k\geq1}\zeta(2k)z^{2k}$ लिखिए (प्रश्न 23)। $(\cot u)' = -1 - \cot^2u$ का उपयोग करते हुए $C = \pi z\cot(\pi z)$ का सीधा अवकलन:

zC'(z) = \pi z\cot(\pi z) - \pi^2z^2\bigl(1 + \cot^2(\pi z)\bigr) = C - \pi^2z^2 - C^2 .

अब दोनों पक्षों का $z^2$ की घातों में प्रसार कीजिए। बायाँ पक्ष: $\sum_k(-4k)\,\zeta(2k)\,z^{2k}$ । दायाँ पक्ष: श्रेणी का वर्ग करने पर

C - C^2 = 2\sum_{k\geq1}\zeta(2k)z^{2k} - 4\sum_{k\geq2}\Bigl(\sum_{j=1}^{k-1}\zeta(2j) \zeta(2k-2j)\Bigr)z^{2k},

और पद $-\pi^2z^2 = -6\zeta(2)z^2$ केवल $k = 1$ को समायोजित करता है। $k \geq 2$ के लिए $z^{2k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:

-4k\,\zeta(2k) = 2\,\zeta(2k) - 4\sum_{j=1}^{k-1}\zeta(2j)\,\zeta(2k-2j),

अर्थात् $\bigl(k + \frac12\bigr)\zeta(2k) = \sum_{j=1}^{k-1}\zeta(2j)\zeta(2k-2j)$ । ( $k = 1$ पर यह सर्वसमिका $-4\zeta(2) = 2\zeta(2) - 6\zeta(2)$ के रूप में पढ़ी जाती है: एक संगति जाँच, नई सूचना नहीं।) अनुप्रयोग: $k = 2$ : $\frac52\zeta(4) = \zeta(2)^2 = \frac{\pi^4}{36}$ , अतः $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ ; $k = 3$ : $\frac72\zeta(6) = 2\zeta(2)\zeta(4) = \frac{\pi^6}{270}$ , अतः $\zeta(6) = \frac{2}{7}\cdot\frac{\pi^6}{270} = \frac{\pi^6}{945}$ । एक अतिक्रांत बीज ( $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ ), और विशुद्ध बीजगणित प्रत्येक सम ज़ीटा मान उत्पन्न कर देता है।