उपानुक्रम क्या है?

उदाहरण 11.15 (उपानुक्रमीय सीमाएँ)

$u_n = (-1)^n \frac{n}{n+1}$ के लिए: सम उपानुक्रम $1$ की ओर जाता है और विषम $-1$ की ओर, अतः अनुक्रम अपसरित होता है — पर वह यह सुव्यवस्थित ढंग से करता है, दोनों मानों $\pm 1$ के आसपास गुच्छे बनाकर। $u_n = \cos\frac{2\pi n}{3}$ के लिए: सूचकांकों $3k$, $3k + 1$, $3k + 2$ वाले तीनों उपानुक्रम अचर हैं और क्रमशः $1$, $-\frac12$, $-\frac12$ के बराबर; उपानुक्रमीय सीमाओं का समुच्चय $\{1, -\frac12\}$ है। समापन का सार: कोई परिबद्ध अनुक्रम ठीक तब अभिसरित होता है जब उसकी एक ही उपानुक्रमीय सीमा हो (अभ्यास 11.8); परिबद्ध अनुक्रम का अपसरण सदा कम से कम दो गुच्छों का अर्थ रखता है, और नीचे बोल्ज़ानो–वाइरश्ट्रास गारंटी देता है कि कम से कम एक गुच्छा है।