Apa itu Subbarisan?

Contoh 11.15 (Limit subbarisan)

Untuk $u_n = (-1)^n \frac{n}{n+1}$: subbarisan genapnya menuju $1$, sedangkan yang ganjil ke $-1$, sehingga barisannya divergen — tetapi ia berbuat demikian secara tertata, dengan menggerombol di sekitar kedua nilai $\pm 1$. Untuk $u_n = \cos\frac{2\pi n}{3}$: ketiga subbarisan berindeks $3k$, $3k + 1$, $3k + 2$ bersifat konstan, yang bernilai $1$, $-\frac12$, $-\frac12$; jadi himpunan limit subbarisannya adalah $\{1, -\frac12\}$. Inti gagasan penutupnya: bahwa barisan yang terbatas konvergen tepat ketika ia hanya mempunyai satu limit subbarisan (Latihan 11.8); jadi kedivergenan barisan yang terbatas selalu berarti sekurang-kurangnya dua gerombolan, dan Bolzano–Weierstrass di bawah menjamin bahwa ada sekurang-kurangnya satu.