Wat is Deelrij?

Voorbeeld 11.15 (Limieten van deelrijen)

Voor $u_n = (-1)^n \frac{n}{n+1}$ gaat de even deelrij naar $1$ en de oneven naar $-1$, zodat de rij divergeert — maar wel op ordelijke wijze, geklonterd rond de twee waarden $\pm 1$. Voor $u_n = \cos\frac{2\pi n}{3}$ zijn de drie deelrijen met indices $3k$, $3k + 1$ en $3k + 2$ constant, gelijk aan $1$, $-\frac12$ en $-\frac12$; de verzameling limieten van deelrijen is $\{1, -\frac12\}$. Het inzicht tot slot: een begrensde rij convergeert precies wanneer ze één enkele deelrijlimiet heeft (Oefening 11.8); de divergentie van een begrensde rij betekent altijd minstens twee klonters, en Bolzano–Weierstrass hieronder waarborgt dat er minstens één is.